CÁC NỘI DUNG CẦN CHÚ Ý KHI ÔN TẬP TOÁN 3 chương 4

Chương 10: Hàm véc tơ Véc tơ tiếp tuyến đơn vị, vận tốc, gia tốc, độ cong. Chương 11: Đạo hàm riêng Đạo hàm riêng cấp 1 và cấp 2 Phương trình mặt phẳng tiếp xúc Gradient, Đạo hàm có hướng Qui tắc dây chuyền (tự xây dựng công thức và tính) Đạo hàm hàm ẩn Cực trị tương đối của hàm hai biến Chương 12: Tích phân bội Xác định cận và tính tích phân bội hai Đổi thứ tự lấy tích phân bội hai Tích phân bội hai trong tọa độ cực Xác định cận và tính tích phân bội ba Đổi biến sang tọa độ trụ và tọa độ cầu tích phân bội ba Ứng dụng của tích phân bội: tính diện tích mặt cong, thể tích vật thể Chương 13: Giải tích véc tơ Trường véc tơ, độ phân kỳ và véc tơ xoáy của trường véc tơ, trường thế Tích phân đường: công thức Green, tích phân đường không phụ thuộc đường đi Tích phân mặt: Thông lượng

12.1 Tích phân bội hai trên miền chữ nhật 12.2 Tích phân bội hai trên miền bất kỳ 12.3 Đổi biến sang hệ tọa độ cực

12.4 Diện tích bề mặt

12.5 Tích phân bội ba

Nội dung chính:

12.1 Tích phân bội hai trên miền chữ nhật

Tích phân trên hình chữ nhật 𝑅: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑

• Bước 1 Phân hoạch 𝑅 thành 𝑚𝑛 hình chữ nhật con, gọi phân hoạch

này là 𝑃

• Bước 2 Trên mỗi hình chữ nhật con chọn một điểm đại diện 𝑥𝑘∗, 𝑦𝑘∗

Gọi Δ𝐴𝑘 là diện tích của hình chữ nhật con thứ 𝑘 Lập tổng

∑𝑘=1𝑁 𝑓 𝑥𝑘∗, 𝑦𝑘∗ Δ𝐴𝑘 (gọi là tổng Riemann của hàm 𝑓 trên miền 𝑅 )

• Bước 3 Gọi ∥ 𝑃 ∥ là đường kính của phân hoạch, giới hạn (nếu tồn

Các tính chất của tích phân bội hai

Luật tuyến tính: Với hằng số 𝑎 và 𝑏,

Tích phân bội hai như là thể tích

Vật thể phía dưới mặt 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) trên hình chữ nhật 𝑅 có thể tích:

Định lí Fubini trên một miền chữ nhật

Nếu 𝑓(𝑥, 𝑦) liên tục trên hình chữ nhật 𝑅: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑 thì tích phân bội hai ∬𝑅𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 có thể được tính bởimột trong hai tích phân lặp, đó là

2 − 𝑦 𝑑𝐴

ඵ 𝑅

𝑥2𝑦5𝑑𝐴

ඵ 𝑅 𝑥cos(𝑥𝑦) 𝑑𝐴

12.2 Tích phân bội hai trên miền bất kỳ

(a) Lấy tích phân theo 𝑦 trước.

(b) Lấy tích phân theo 𝑥 trước

Tích phân bội hai như là diện tích và thể tích

Diện tích của miền 𝐷 trong mặt phẳng 𝑥𝑦 được cho bởi

Ví dụ

1) Tìm diện tích kủa miền 𝐷 giữa 𝑦 = cos 𝑥 và 𝑦 = sin 𝑥 trên đoạn 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋

4 dùng(a) một tích phân đơn;

(b) một tích phân bội hai

2) Tìm thể tích của khối bị chặn trên bởi mặt phẳng 𝑧 = 𝑦 và bị chặn dưới trong mặt phẳng O𝑥y bởi phần nằm tronggóc phần tư thứ nhất của đĩa 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1

3) Đổi thứ tự lấy tích phân ∫02∫1𝑒𝑥𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥

4) Miền 𝐷 bị chặn bởi parabol 𝑦 = 𝑥2 − 2 và đường thẳng 𝑦 = 𝑥 Tìm diện tích của 𝐷?

5) Tính ∫01∫𝑥1𝑒𝑦2𝑑𝑦𝑑𝑥

12.3 Đổi biến sang hệ tọa độ cực

⋄ Trường hợp 1: Miền 𝐷 không chứa gốc tọa độ O,

2) Tính diện tích của miền 𝐷 bị chặn trên bởi đường thẳng

𝑦 = 𝑥 và bị chặn dưới bởi đường tròn 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑦 = 0

3) Tính ∬𝐷 1

𝑥𝑑𝐴, trong đó 𝐷 là miền nằm bên trong đường tròn

𝑟 = 3cos 𝜃 và bên ngoài đường cardioid 𝑟 = 1 + cos 𝜃

4) Tính ∫02∫0 2𝑥−𝑥2𝑦 𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑦𝑑𝑥 bằng việc chuyển sang tọa

độ cực

Tìm diện tích mặt (đến phần trăm gần nhất của đơn vị diện tích) của phần paraboloid 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧 = 5nằm phía trên mặt phẳng 𝑧 = 1.

Ví dụ

12.5 Tích phân bội ba

Định nghĩa:

Giả sử 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) xác định trên miền đóng, bị chặn 𝐷, chứa trong một " hình hộp" 𝐵 trong không gian

• Chia 𝐵 thành một số hữu hạn các hình hộp nhỏ bằng các mặt phẳng song song với các mặt phẳng tọa độ Chúng ta không xét đến các hình hộp chứa các điểm bên ngoài 𝐷

• Gọi Δ𝑉1, Δ𝑉2, … , Δ𝑉𝑛 và ký hiệu cho thể tích của các hình hộp còn lại, và định nghĩa chuẩn ∥ 𝑃 ∥ của việc chia D làđường kính dài nhất của hình hộp bất kỳ có trong sự phân chia đó

• Chọn một điểm tùy ý ൫𝑥𝑘∗, 𝑦𝑘∗, 𝑧𝑘∗) trong mỗi hình hộp Δ𝑉𝑘, lập tổng Riemann:

𝑓 𝑥𝑘∗, 𝑦𝑘∗, 𝑧𝑘∗ Δ𝑉𝑘

Định lý Fubini cho tích phân ba lớp

Nếu hàm 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) liên tục trong hình hộp chữ nhật 𝐵 : 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, 𝑟 ≤ 𝑧 ≤ 𝑠, thì tích phân bội ba có thểtính bởi tích phân lặp sau:

𝑓3(𝑧)𝑑𝑧

Tích phân bội ba trên miền 𝒛-đơn (𝑥-đơn, 𝑦-đơn)

Giả sử 𝐷 là miền giới hạn dưới bởi mặt 𝑧 = 𝑢(𝑥, 𝑦) và giới hạn trên bởi 𝑧 = 𝑣(𝑥, 𝑦) có hình chiếu 𝐴 lên mặt phẳng 0𝑥𝑦 Nếu 𝐴 là loại I hay loại II, thì tích phân của hàm liên tục 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) trên miền 𝐷 là

Tương tự (trên miền 𝑦-đơn) , giả sử 𝐷 là miền giới hạn dưới bởi mặt y= 𝑢(𝑥, z) và giới hạn trên bởi 𝑧 = 𝑣(𝑥, z) có

hình chiếu 𝐴 lên mặt phẳng 0𝑥𝑧 Nếu 𝐴 là loại I hay loại II, thì tích phân của hàm liên tục 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) trên miền 𝐷 là

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑦 𝑑𝐴

= 0 − 8 + 4 +32

3 + 0 − 0 =

203

Do vậy, chúng ta được:

Ví dụ Tính ׮𝐷𝑥𝑑𝑉, trong đó 𝐷 là khối trong góc phần tám thứ nhất giới hạn bởi mặt trụ

𝑥2 + 𝑦2 = 4 và mặt phẳng 2𝑦 + 𝑧 = 4

Mặt giới hạn trên của 𝐷 là mặt phẳng 𝑧 = 4 − 2𝑦, và mặt giới hạn dưới là mặt phẳng

0𝑥𝑦, 𝑧 = 0 Hình chiếu 𝐴 của hình khối 𝐷 lên mặt phẳng 0𝑥𝑦 là một phần tư hình tròn

𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4 với 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 (vì 𝐷 nằm ở góc phân tám thứ nhất) Hình chiếu này cóthể mô tả trong loại I dạng tập hợp các điểm (𝑥, 𝑦) thỏa với mô̂i giá trị cố định 𝑥 giữa 0

và 2, 𝑦 thay đổi từ 0 đến 4 − 𝑥2

Giải:

Tính thể tích nhờ các tích phân bội ba:

Ví dụ. Tính thể tích của tứ diện 𝑇 giới hạn bởi mặt phẳng 2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 6 và các mặt phẳng tọa độ 𝑥 = 0, 𝑦 = 0 và

ම

𝐷

𝑑𝑉

Ví dụ Thiết lập (không cần tính) một tích phân bội ba để tính thể tích của khối 𝐷 giới hạn trên bởi mặt cầu 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4

và dưới bởi mặt phẳng 𝑦 + 𝑧 = 2 Hình chiếu lên mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦 được biểu diễn như hình dưới

Giải: Vi phân giới hạn bởi mặt câu và mặt phắng nằm phía trên mặt

phẳng 0𝑥𝑦, nghĩa là 𝑧 ≥ 0 Từ phương trình mặt câu 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4

ta có nửa mặt câu phía trên có phương trình 𝑧 = 4 − 𝑥2 − 𝑦2

Giao tuyến của nửa mặt cầu 𝑧 = 4 − 𝑥2 − 𝑦2 và mặt phẳng

Do vậy hình chiếu của khối 𝐷 lên mặt phẳng 0𝑥𝑦(𝑧 = 0) là hình elip có phương

trình 𝑥2 + 2(𝑦 − 1)2 = 2 (như hình 12.41)

Từ phương trình 𝑥2 + 2(𝑦 − 1)2 = 2 ⇒ 𝑥 = ± 2 − 2(𝑦 − 1)2 = ± 4𝑦 − 2𝑦2 Do vậy miền 𝐷 xác định bởi

0 ≤ 𝑦 ≤ 2, − 4𝑦 − 2𝑦2 ≤ 𝑥 ≤ 4𝑦 − 2𝑦2, 2 − 𝑦 ≤ 𝑧 ≤ 4 − 𝑥2 − 𝑦2

Do đó ta có công thức tính thể tích của khối 𝐷 là

𝑉 = ∫02∫− 4𝑦−2𝑦4𝑦−2𝑦22∫2−𝑦4−𝑥2−𝑦2𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦

hoặc 𝑉 = 2∫02∫0 4𝑦−2𝑦2∫2−𝑦4−𝑥2−𝑦2𝑑𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦

Ví dụ Tính thể tích của vật thể 𝐷 giới hạn bên dưới bởi mặt paraboloid 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 và giới hạn trên bởi mặt phẳng 2𝑥 +

𝑧 = 3

Giải Hình vẽ của vật thể 𝐷 như trong hình vẽ a Hình chiếu của vật thể lên mặt phẳng 0𝑥𝑦 có biên là hình tròn (xem hình b)

có phương trình 𝑥2 + 𝑦2 = 3 − 2𝑥 ⇔ (𝑥 + 1)2 + 𝑦2 = 4

Với hình chiếu lên mặt phẳng 0𝑥𝑦 như vậy ta có công thức tính thể tích được thiết lập là

việc tính tích phân này không đơn giản

Do vậy ta thử chiếu vật thể 𝐷 lên mặt phẳng 0𝑥𝑧(𝑦 = 0) ta được miền giới hạn bởi đường parabol 𝑧 = 𝑥2 và đườngthẳng 2𝑥 + 𝑧 = 3 (xem hình c)

16 = 8𝜋

• Mômen khối lượng bản phẳng: Nếu 𝜌(𝑥, 𝑦) là hàm khối lượng riêng liên tục trên bản phẳng ứng với miền phẳng 𝑅, thì

mô men khối lượng của hàm khối lượng riêng quanh các trục 𝑂𝑥 và 𝑂𝑦, lần lượt là

• Trọng tâm: Nếu trọng lượng riêng 𝜌 là hằng số, điểm ( ᪄𝑥, ᪄𝑦) được là trọng tâm của miền

Khối lượng và khối tâm trong mặt phẳng

Phương trình hoành độ giao điểm 𝑥 = 2 − 𝑥2 ⇔ 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0 ⇔ 𝑥 = 1; −2

Chúng ta thấy rằng miên 𝑅 là tập hợp tất cả các điểm (𝑥, 𝑦) thỏa: ቊ −2 ≤ 𝑥 ≤ 1

−2

1

= 6320

Ví dụ:

Tìm khối lượng của bản mỏng có khối lượng riêng

𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 tương ứng với miền 𝑅 giới hạn bởi parabol

𝑦 = 2 − 𝑥2 và đường thẳng 𝑦 = 𝑥

Giải:

Khối lượng và khối tâm của vật thể trong ℝ𝟑

Đổi biến sang hệ tọa độ trụ: 𝑥, 𝑦, 𝑧 → 𝑟, 𝜃, 𝑧

Tính tích phân trong tọa độ trụ

Giả sử 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) liên tục trên miền lấy tích phân 𝐷, với 𝐷 = (𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑢(𝑥, 𝑦) ≤ 𝑧 ≤ 𝑣(𝑥, 𝑦), ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴𝑥𝑦 Khi đó

= 𝑟

Ví dụ Tính thể tích của vật thể trong góc phần tám thứ nhất giới hạn bởi mặt trụ 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑦, mặt nón 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 vàmặt phẳng 𝑂𝑥𝑦.

Các mặt dễ dàng biểu diễn sang tọa độ trụ như sau

Vì miền 𝐷 nằm trong góc phân tám thứ nhất, ta có 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋

2, do vậy miền 𝐷 được biểu diễn là

0

Τ

𝜋 2

= 169

Ví dụ: Bằng cách đổi biến sang tọa độ trụ, hãy tính tích phân sau:

a) 𝐼 = ׮𝑉𝑧 𝑥2 + 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, 𝑉: ൜ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 2𝑥

𝑦 ≥ 0, 0 ≤ 𝑧 ≤ ℎ, (ℎ > 0)b) 𝐽 = ׮𝑉𝑥𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, 𝑉 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 : 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑥2 + 𝑦2, 𝑥2+𝑦2 ≤ 4, 𝑥 ≥ 0

Công thức đổi biến: ቐ

𝑥 = 𝑟sin 𝜃cos 𝜑

𝑦 = 𝑟sin 𝜃sin 𝜑

𝑧 = 𝑟cos 𝜃Điều kiện của 𝜃: 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋,

𝑓(𝑟sin 𝜃cos 𝜑, 𝑟sin 𝜃sin 𝜑, 𝑟cos 𝜃)𝑟2sin 𝜃𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝜃

Đổi biến sang hệ tọa độ cầu

Ví dụ Viết các phương trình sau sang tọa độ cầu:(1) Mặt cầu 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑎2 (𝑎 > 0)

Ví dụ Bằng cách đổi biến sang tọa độ cầu, tính tích phân sau:

a) 𝐼 = ׮𝑉𝑧 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, 𝑉: ቊ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 4

𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0

b) 𝐽 = ׮𝑉 𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, 𝑉: ቊ4 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 16

𝑧 ≥ 0