Jean-Pierre Richard- Time-delay system: an overview of some recent advances and open problems, Automatica 39 2003 1667-1694.. Zhabko- Lyapunov -Krasovskii approach to the robust stabilit
Trang 1T P CHÍ KHOA H C VÀ CÔNG NGH T p 44, s 2, 2006 Tr 99-105
NGUY#N HOA L%
Các ��i t��ng �i�u khi�n ph�c t�p, có tr� th��ng g�p nhi�u trong các l�nh v�c công nghi�p, trong các công trình th�y l�i, trong giao thông v�n t�i và nhi�u l�nh v�c khác [4, 9-11, 14] Vi�c nâng cao ch�t l��ng các h� th�ng �i�u khi�n các ��i t��ng ph�c t�p, �áp �ng yêu c�u c�a các quá trình công ngh� trong các l�nh v�c công nghi�p th�c s� là v�n �� b�c thi�t, thu hút s� quan tâm c�a các nhà khoa h�c trong l�nh v�c �i�u khi�n Tính �n ��nh c�a các h� th�ng có tr� �ã
���c nghiên c�u nhi�u trong các công trình [9-11, 15-18] Trong [1, 3, 5-7] �� xu�t các ph�ơng pháp t�ng h�p các h� �i�u khi�n thích nghi các ��i t��ng có các tham s� ��ng h�c thay ��i, tr� thay ��i trong �i�u khi�n Trong [8, 12] áp d�ng ph�ơng pháp Lyapunov-Krasovskii tìm �i�u ki�n �� v� tính �n ��nh và các thu�t toán �i�u khi�n dùng cho các ��i t��ng có tr� không ��i trong tr�ng thái Trong [2] �� xu�t ph�ơng pháp t�ng h�p h� �i�u khi�n tr��t thích nghi cho các
��i t��ng có tr� và các tham s� ��ng h�c thay ��i trong d�i r�ng S� k�t h�p gi�a �i�u khi�n thích nghi và �i�u khi�n c�u trúc bi�n ��i � ch� �� tr��t �ã t�o ra nh�ng kh� n�ng m�i trong
�i�u khi�n ch�t l��ng cao cho các ��i t��ng ph�c t�p Trong bài báo này �� c�p v�n �� �i�u khi�n các ��i t��ng có các tham s� ��ng h�c thay ��i, có tr� ��ng th�i trong tr�ng thái và trong
�i�u khi�n
Xét ��i t��ng �i�u khi�n mà ��ng h�c c�a nó ���c mô t� b�ng ph�ơng trình
( ) t A1( ) ( ) t X t A2( ) ( t X t ) ( ) ( B t U t h ) ,
trong �ó X( )t R n- véctơ tr�ng thái c�a ��i t��ng �i�u khi�n; U( )t R m- véc tơ �i�u khi�n,
là hàm liên t�c, kh� vi, b� ch�n, U ( ) t = 0 khi t 0; ,h - th�i gian tr� trong tr�ng thái và trong
�i�u khi�n; các ma tr�n A () ()t = a I t
ij
1 , A 2() ()t = a ij II t , B() ()t = b ij t có kích th��c ( n × n ) và
( n × m ) t�ơng �ng; các thành ph�n aI( ) t
ij , aII( ) t
ij , b ij( )t là các tham s� ��ng h�c c�a ��i t��ng, thay ��i trong các d�i: aij I min aij I( ) t aij I max, aij II min aij II( ) t aij II max,
( )t b max
b
min
b ij ij ij �� �i�u khi�n ��i t��ng có tr� d�ng (1), ta s� d�ng b� �ón tr��c Smith B�i v�y, ph�ơng trình ��ng h�c c�a ��i t��ng �i�u khi�n ���c vi�t d��i d�ng
trong �ó = IO
ij
ij
ij
B - ma tr�n các thành ph�n không ��i;
Trang 2( n × n ) và ( n × m ) t�ơng �ng Trong tr��ng h�p này, ph�ơng trình mô hình ��y �� M1 và ph�ơng trình mô hình không có tr� trong �i�u khi�n M2 trong b� �ón tr��c Smith cho ��i t��ng �i�u khi�n (1) có d�ng:
( )t A A X ( )t A A X (t ) B B U(t h)
M 20 1
M I M 10 1
( )t A A X ( )t A A X (t ) B B U( )t
M 20 2
M I M 10 2
trong �ó ( ) n
1
M t R
X - vectơ tr�ng thái c�a mô hình ��y �� ; ( ) n
2
M t R
X - vectơ tr�ng thái c�a mô hình không có tr� trong �i�u khi�n; = I
Mij I
Mij II
tr�n các tham s� t� ch�nh, có kích th��c ( n × n )và ( n × m ) t�ơng �ng Ký hi�u
( ) t X ( ) t X ( ) t
M
A t
M
A t
G = , H ( ) t = B BM, trong �ó E( )t - véctơ sai s� gi�a véctơ tr�ng thái c�a ��i t��ng �i�u khi�n và vectơ tr�ng thái c�a mô hình ��y �� T� (2) và (3) ta có ph�ơng trình ��i v�i véctơ sai s� E ( ) t :
( )t A E( )t A E(t ) ( )F t X ( ) ( )t G t X (t ) H( ) (t U t h)
V�n �� ��t ra là ph�i xây d�ng các thu�t toán thay ��i các ma tr�n I
M
A , II M
A và B ��m M
b�o tính �n ��nh chuy�n ��ng c�a h� th�ng t�ơng ��i v�i các �i�m
{E t =0 , F t =0 , G t =0 , H t =0}trong không gian {E( ) ( ) ( ) ( )t , F t , G t , H t}
III T NG H P CÁC THU T TOÁN I U KHI N
Ta xác ��nh c�u trúc c�a các thu�t toán t� ch�nh các tham s� ��i v�i h� th�ng có tr� ��ng th�i trong tr�ng thái và trong �i�u khi�n �i�u ki�n �� h� (5) �n ��nh ti�m c�n ���c th� hi�n �
��nh lí sau:
nh lí Gi� s� ma tr�n A = A1 + A2 c�a ��i tư�ng �i�u khi�n (1) là ma tr�n Hurwitz H� (5) s� �n ��nh ti�m c�n, n�u:
( )t P E( )t A E( )s ds PE( )t U ( ) ( )U d X ( )t
t
h t 2 t
t 2
( )t = P E( )t +A E( )s ds + PE( )t U ( ) ( )U d X (t )
t
h t 2 t
t 2
( )t P E( )t A E( )s ds PE( )t U ( ) ( )U d U (t h)
H
t
h t 2 t
t 2
Ch�ng minh ��nh lí ��i v�i h� (5) ta ch�n phi�m hàm Lyapunov-Krasovskii d�ng
Trang 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s ds E( )s ds d tr F( ) ( ) ( ) ( )t F t G t G t H( ) ( )t H t , E
d U U t PE t E ds s E A t E P ' ds s E A t E
V
t
t
t 2 t
t
2
h t 2
t 2 t
2 1
+ +
+ +
+
+ +
+
=
(9)
trong �ó P - ma tr�n ��i x�ng xác ��nh d�ơng, có kích th��c ( n × n ), th�a mãn ph�ơng trình Lyapunov [13]
Q PA P
trong �ó Q - ma tr�n xác ��nh d�ơng; 1, 2, , - các s� d�ơng
Vi phân toàn ph�n c�a V theo t trên nghi�m c�a (5) có d�ng
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )t A E( )s ds PE( )t U ( ) ( )U d U (t h) H( ) ( )t H t E
P
t G t G t
X d U U t PE ds
s E A t E
P
t F t F t X d U U t PE ds
s E A t E P tr
2
ds s E t
E t
E t
E h t U h t U t PE
t
E
t U t U t PE t E d
U U t PE A t
E
2
d U U t E PA t E 2 ds s E PA A t E 2 t QE
t
E
V
t
h t 2 t
t 2 1
1 M t
h t 2 t
t 2 1
1 M t
h t 2 t
t 2 1
t
t
2 2
2 2
2
2 t
h t 2 2
t
h t 1 2
t
t 2 1
1
!"
!
#
$ +
+ +
+
+ +
+ +
!%
!
&
'
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
=
(11)
Tính �n ��nh c�a các quá trình hi�u ch�nh các tham s� c�a các ma tr�n I
M
A , II M
A , B s� M
��m b�o n�u th�a mãn �i�u ki�n V 0 Khi th�a mãn các �i�u ki�n (6), (7), (8), t� (11) ta thu
���c các bi�u th�c ��i v�i F( )t , G ,( )t H( )t Ta ph�i ti�p t�c ch�ng minh
( ) ( )+ ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( )
=
t
h t 1 2
t
t 2 1
V
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ( )2 ( )2 2
2 t
h t 2 2
t E t
E t
E h t U h t U t PE t E
t U t U t PE t E d
U U t PE A t E 2
+ +
+ +
( )s ds 0 E
t
t
S� d�ng các ��c l��ng
Trang 4( ) ( ) ( ) ( )2
min P E t t
PE t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
1 max max
PA t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2+ ( )2
2 max max
PA t E
2 max max
max
PA A t E
trong �ó ( ) * ( )
=
1 i
2
i t e t
E ; (min( )P , (min( )Q , (max( )P - các tr� s� ��c tr�ng c�c ti�u và c�c ��i c�a các ma tr�n P , Q t�ơng �ng; max( )A , max( )A , 1 max( )A 2 - các s� kì d� c�c ��i c�a các ma
tr�n A ,A1 và A t�ơng �ng, t�c là 2
max = ( , max( )A 1 = (max(A 1 A 1), max( )A 2 = (max(A 2 A 2)
Thay các giá tr� c�a (13) - (17) vào (12) ta có
+
+
+ +
+ +
=
t
t
2 2
max max
max 1 2
min 2 min
2 t
h t 2 max max
2
t
h t 1 max max 2 2 max max
max 1 min
1
ds s E A
A P t
E
h t U h t U P t
U t U P d
U U A P
d U U A P 2
A A
P Q
V
(
( (
(
( (
(
h t 2 max max
Các thành ph�n u j( )t , j=1 , m, c�a véc tơ �i�u khi�n U( )t là kh� vi, b� ch�n trên ��t
=
=
=
m 1 j
2
j t u t
U
t
U
t
max
U t
0 + ,U 2 const
max = Ch�n
( ) max( ) max( )2 max
t
h t 2 max max 2
V
t
h t 1 max max 2 2
max max
max 1 min
=
t
h t 2 max max
�� th�a mãn �i�u ki�nV 0, ta ph�i có
2
1 A A
P Q
t
h t
min 2
max 1 max max
1 2
2 max max
max min
+ +
+
+
)
+ ( +
(
( (
(20)
Trang 5��t ,( )t +( )d
h t
max h
t
2
U t
0 , = , khi �ó ta có b�t ��ng th�c
max min
2 max 1 max max
1
2 2
max max
max
min 2
max 1 max max
1
2 2
max max
max
U P A
A P
h 1
A A
P
t P t
A A
P 2 1
A A
P
+ +
+ +
<
+ +
+ +
( (
(
+ ( , (
(
(21)
Do �ó, ch� c�n ch�n
( ) ( ) ( ) ( )( )
h
1 A A
P Q
2 max min
2 max 1 max max
1 2
2 max max
max min
+ +
+
+
)
( (
( (
(22)
thì b�t ��ng th�c (20) th�a mãn, d�n ��n b�t ��ng th�c (12) th�a mãn, và ��o hàm V c�a phi�m hàm Lyapunov-Krasovskii (9)s� luôn luôn âm Th�c t�, có th� ch�n các h� s� ( 1 , 2)>0 �� th�a mãn b�t ��ng th�c (22) và kéo theo s� th�a mãn b�t ��ng th�c (20) �i�u �ó có ngh�a là, khi th�a mãn các �i�u ki�n (6), (7), (8), h� th�ng (5) s� �n ��nh ti�m c�n ��nh lí �ã ���c ch�ng minh
Gi� thi�t r�ng, các tham s� ��ng h�c c�a ��i t��ng thay ��i ch�m và trong quá trình quá �� c�a s� hi�u ch�nh, thay ��i không �áng k�, ngh�a là
0
A 1 / , A 2 / ,0 B/ ; véctơ �i�u khi�n0 U( )t = KX M 2( )t , trong �ó K - k�t qu� gi�i
ph�ơng trình Riccati ��i v�i các tham s� ��ng h�c c�a mô hình M [19] Khi �ó, t� (6), (7) và
Hình 1 Sơ �� c�u trúc h� th�ng �i�u khi�n thích nghi cho các ��i t��ng có tr� trong
tr�ng thái và trong �i�u khi�n
( ) t
XM 1
( ) t X
( ) t E
O
( ) t U
C
AU
DUh
2
M XM 2( ) t
2
M
1
M
Trang 6( ) t X N
AI M 1
AII M 1
( t h )
U N
h t 2 t
t 2
1 P E t A E s ds PE t U U d
Sơ �� c�u trúc c�a h� th�ng �i�u khi�n thích nghi ���c bi�u di�n trên hình 1, trong �ó O
-��i t��ng �i�u khi�n có tr�; M - mô hình không có tr� trong �i�u khi�n; 2 M - mô hình ��y ��; 1 DUh - khâu tr� trong mô hình M ; AU - kh�i thích nghi; C - b� �i�u khi�n 1
IV K T LU N
Bài báo �� xu�t ph�ơng pháp t�ng h�p h� �i�u khi�n thích nghi cho các ��i t��ng có tr�
��ng th�i trong tr�ng thái và trong �i�u khi�n V�i vi�c s� d�ng mô hình trong b� �ón tr��c Smith, trên cơ s� ph�ơng pháp Lyapunov-Krasovskii �ã t�ng h�p ���c các thu�t toán t� hi�u ch�nh các tham s� c�a h� th�ng Các thu�t toán tìm ���c có d�ng ph�ơng trình vi - tích phân, có
�u �i�m d� th� hi�n k� thu�t, ��m b�o bù tr� ���c s� thay ��i c�a các tham s� ��ng h�c c�a ��i t��ng �i�u khi�n có tr� Các k�t qu� nghiên c�u là cơ s� �� góp ph�n hoàn thi�n và nâng cao ch�t l��ng �i�u khi�n các ��i t��ng công ngh� ph�c t�p
TÀI LI U THAM KH#O
1 Cao Ti�n Hu�nh - T�ng h�p h� th�ng �i�u khi�n thích nghi cho các ��i t��ng có tr�, Tuy�n t�p các báo cáo khoa h�c, H�i ngh� toàn qu�c l�n th� I v� T� ��ng hoá, Hà N�i,
1994, tr.194-200
2 Cao Ti�n Hu�nh - T�ng h�p h� �i�u khi�n tr��t, thích nghi cho các ��i t��ng có tr�, Tuy�n t�p các báo cáo khoa h�c, H�i ngh� toàn qu�c l�n th� VI v� T� ��ng hoá, Hà N�i
2005, tr.288-293
3 Nguy�n Hoa L� - �i�u khi�n thích nghi cho m�t l�p các ��i t��ng có tr�, T�p chí Khoa
h�c và Công ngh� 42 (3) (2004) 65-74
4 Nguy�n Hoa L� - ��ng h�c kênh thu� l�i trên quan �i�m �i�u khi�n, Tuy�n t�p các báo cáo khoa h�c, H�i ngh� toàn qu�c l�n th� VI v� T� ��ng hóa, Hà N�i, 2005, tr.351-356
5 ��� ���� ����� - ������ ���������� ������ ���������� ��� �������� �
������������� ���������� (2) (1983) 44-48
6 ��� ���� ����� - ���������� ���������� �������� � ������������� �� ������
������������ ������������������� ������� � �������, ��� (12) (1988), 106-115
7 ��� ���� ����� - ���������� ������� ��� �������� � ������������� ���������
������������� �� �����������, No1714572, ���., 1991,CCCP
8 �.� �������, �.� ������� - ������ ���������� ������� ���������� �������� �
�������������� ����������� ����������� (3) (1993) 53-61
9 �.� ������������, �.� ����� - ������������ � ������������� ������
������������ ������ � �������������� �., �����, 1981, 448c
10 �.� ������� - ���������� ���������� ��������� � �������������� �., �����,
1984, 241c
Trang 711 �������� � - ������ � ������ ������ ���������� � ������������� �, :
��������������, 1974, 328c
12 �.� �������� - ������ ������ ������� �������� ��������������
������������������� ������ ���������� � ��������� ������� ���
�������������� �������� � ������������� ���������� (1) (1982) 20-24
13 � � ��������� ������ ������, �, �����, 1966, 576�
14 Jean-Pierre Richard- Time-delay system: an overview of some recent advances and open
problems, Automatica 39 (2003) 1667-1694
15 V.L Kharitonov, A P Zhabko- Lyapunov -Krasovskii approach to the robust stability
analysis of time-delay systems, Automatica 39 (1) (2003) 15-20
16 Dan Ivanescu, Silviu-lulian Niculescu, Luc Dugard, Jean-Michel Dion, Erik I Verriest- On
delay-dependent stability for linear neutral systems, Automatica 39 (6) (2003) 255-261
17 Han Ho Choi and Myung Jin Chung - Memoryless Stabilization of Uncertain Dynamic
Systems with Time-varying Delayed States and controls, Automatica 31 (9) (1995)
1349-1351
18 Guillermo J.Silva, Aniruddha Datta, and S.P Bhattacharyya - PI stabilization of fist-order
systems with time delay, Automatica 37 (2001) 2025-2031
19 H Kwakernaak, P Sivan – Linear optimal control systems, New York, London, Sydney, Toronto, 1972, 650p
SUMMARY
ADAPTIVE CONTROL SYSTEM DESIGN WITH DELAY IN-STATE AND IN-CONTROL This paper discusses control problems of objects with variable dynamic parameters with delay, both in-state and in-control These objects are very popular in industrial fields, irrigations, hydraulic installations, transportation and communication, and a variety of other fields Using an adaptive control tool with a model of the Smith predictor, based on Lyapunov - Krasovskiis’ method, this paper proposes sufficient conditions for the stability of the system, and self-adjusted algorithms for the system’s parameters The found algorithms are formed as difference-differential equations which are plain and technically realizable, assuring the tolerance for the range of the dynamic parameters of the controlling objects with delay In accordance with modern control theory, this paper has constructed a block diagram of adaptive control system for complex control objects with delay The study’s results are the basis, which contribute to the perfection and improvement of the control quality of complex technological objects
Khoa Công ngh�, Tr��ng ��i h�c S� ph�m Vinh