Sáng Kiến Kinh Nghiệm Tìm Hiểu Bài Toán Cực Trị Hình Học Giải Tích Trong Mặt Phẳng Oxy.pdf

TÌM HIỂU BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯNG YÊN TRƯỜNG THPT VĂN GIANG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÌM HIỂU BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY BỘ MÔN TOÁN HỌC GIÁ[.]

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯNG YÊN

TRƯỜNG THPT VĂN GIANG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÌM HIỂU BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

TRONG MẶT PHẲNG OXY

BỘ MÔN TOÁN HỌC GIÁO VIÊN: ĐÀO QUANG BÌNH ĐƠN VỊ: TỔ TOÁN TIN – THPT VĂN GIANG

Năm học 2013-2014

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Xuất phát từ những bài toán trong thực tế, bài toán cực trị là mô hình đơn giản của các bài toán kinh tế trong cuộc sống Với tinh thần đổi mới giáo dục trong các đề thi Đại học của những năm gần đây, bài toán cực trị được đưa vào thường xuyên Điều đó đặt ra cho quá trình giảng dạy bộ môn Toán học cần phải chú ý rèn luyện cho học sinh những dạng toán này, nhằm đáp ứng với đòi hỏi của thực tiễn và đưa giáo dục nói chung và Toán học nói riêng gần hơn với cuộc sống

Với lý do trên cùng với mong muốn nâng cao chất lượng bài giảng, chất

lượng quá trình giáo dục chúng tôi mạnh dạn “Tìm hiểu bài toán cực trị hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy”.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn các phương pháp giải bài toán cực trị hình học giải tích

3 Nhiệm vụ nghiên cứu.

Đề xuất một số phương pháp giải bài toán cực trị trong hình học giải tích

4 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

Khách thể: Công tác dạy học bộ môn Toán học ở trường phổ thông.

Đối tượng: Các phương pháp giải bài toán cực trị trong hình học giải tích.

5 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các phương pháp giải bài toán cực trị trong hình học giải tích được giảng dạy tại trường THPT Văn Giang trong 02 năm học 2012-2013; 2013-2014

6 Giả thuyết khoa học

Hiện nay việc giảng dạy và học tập các phương pháp giải bài toán cực trị trong hình học giải tích còn gặp một số khó khăn Nếu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm của tác giả một cách phù hợp thì hiệu quả học tập và giảng dạy chuyên

7 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý luận

Phương pháp nghiên cứu thực tiễn Phương pháp thống kê Toán học

8 Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm

Mở đầu

Nội dung

Kết luận

Tài liệu tham khảo

NỘI DUNG

I Cơ sở lý luận

1 Các tính chất của Bất đẳng thức

a b< ⇔ + < +a c b c

0

c> a b< ⇔ac bc<

0

c< a b< ⇔ac bc>

a b

a c b d

c d

<

 ⇒ + < +

 <



0 0

a b

ac bd

c d

< <

 < <



;

< ⇔ < ∈

< < ⇒ < ∈

< < ⇔ <

< ⇔ <

2 Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Cho hàm số f x( ) xác định trên tập D

Giá trị M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f x( ) trên D nếu

( )

( ) ; ax f x( )

f x M x D

M M

D





≤ ∀ ∈

=

Giá trị m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( ) trên D nếu

( )

( ) ; min f x( )

f x m x D

m D

x D f x m





≥ ∀ ∈

=

Đối với hàm hai biến, ba biến…ta cũng có định nghĩa tương tự

3 Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM)

Cho n số không âm: a a1 2; ; ;a n

khi đó ta có: a1+a2+ + a n n a a a

≥

4 Bất đẳng thức Bunhiacopxki

Cho hai bộ n số: a a1 , , , ; , , , 2 a b b n 1 2 b n khi đó ta có bất đẳng thức:

a b +a b + +a b ≤ a +a + +a b + + +b b

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 2

n

a

a a

b = b = = b .

5 Định lý Nếu hàm số y= f x( ) liên tục trên đoạn [ ]a b; thì hàm số tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ ]a b;

6 Phương trình tham số của đường thẳng

Đường thẳng ∆ đi qua M x y( 0 ; 0) nhận u a br( ); ≠ 0r làm vector chỉ phương

Khi đó ∆ có phương trình tham số là: 0

0

;

x x at

y y bt

= +



 = +



7 Phương trình tổng quát của đường thẳng

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M x y( 0 ; 0) nhận u a br( ); ≠ 0r làm vector pháp tuyến Khi đó ∆ có phương trình tổng quát là:

(x-x 0) ( 0) 0 x 0;( x 0 0)

a +b y y− = ⇔a +by c+ = c= −a −by

8 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát: ax + by + c = 0 và điểm

( 0 ; 0)

M x y Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ được tính

bằng công thức: ( ) 0 0

x

d M

a b

∆ =

9 Góc giữa hai đường thẳng

Cho 2 đường thẳng ∆ ∆ 1 ; 2 lần lượt có phương trình

a x b y c a b

a x b y c a b

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng đã cho Khi đó:

1 2 1 2

os

.

a a b b c

10 Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Cho đường thẳng ∆ đi qua M x y z( 0 ; ; 0 0) nhận n a b cr( ; ; ) ≠ 0r làm vector pháp tuyến Khi đó đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát là:

a x x− +b y y− +c z z− = ⇔ax b c ax −by −cz

11 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho mặt phẳng ( )α : ax + by + cz + d = 0 và điểm M x y z( 0 ; ; 0 0) Khoảng cách từ điểm M đến ( )α được tính bằng công thức

( )

x

d M

II Một số dạng bài toán cực trị hình học giải tích trong chương trình phổ thông

1 Dạng bài tìm điểm thỏa mãn một yếu tố cực trị

Bài 1 Cho đường thẳng ∆ − :x 2y+ = 2 0;A( ) ( )0;6 ;B 2;5 Tìm điểm M ∈ ∆

sao cho:

a) MA MB+ nhỏ nhất

b) MA MB− lớn nhất.

Lời giải

a) Phân tích:

B /

A

A

M

∆

Nếu hai điểm A, B khác phía so với

đường thẳng ∆ thì điểm M cần tìm chính

là giao điểm của đường thẳng ∆ với

đường thẳng AB

Nếu hai điểm A, B cùng phía so với

đường thẳng ∆ (Hình 1) khi đó ta thực

Bước 1: Xác định điểm A/ là điểm đối xứng với A qua ∆.

khi và chỉ khi A M B/ ; ; thẳng hàng Nên ta đi viết phương trình đường thẳng A B/

Với thuật toán trên ta đi đến lời giải chi tiết cho câu a) như sau:

Đặt f x y( ; ) = −x 2y+ 2

Ta có: f ( )0;6 = − + = − 0 12 2 10; f ( )2;5 = − + = − 2 10 2 6.

Như vậy hai điểm A B; nằm về một phía so với đường thẳng ∆

Gọi A/ là điểm đối xứng với A qua ∆

Đường thẳng AA : 2( / x− + 0) 1(y− = ⇔ 6) 0 2x y+ − = 6 0

Gọi I = AA / ∩ ∆ Tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình:

( )

2;2

I

Do I là trung điểm của AA / nên ta có: A/(4; 2 − )

Từ đó uuuurA B/ = −( 2;7)

Đường thẳng A B/ : 7(x− + 2) 2(y− = ⇔ 5) 0 7x+ 2y− 24 0 =

Tọa độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ phương trình:

11

;

; 19

8

x

x y

M

x y

y

 =





Trong trường hợp câu b) thì thuật toán lại có sự khác biệt so với câu a) Nếu

hai điểm A; B mà nằm về hai phía so với ∆ thì ta lại phải đi tìm điểm A/ đối

xứng với A qua ∆ Sau đó ta sử dụng đánh giá:

MA MB− = MA −MB ≤ A B= hằng số Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi /

, ,

M A B thẳng hàng Từ đó tìm ra tọa độ của M (M = A B/ ∩ ∆)

Nếu hai điểm A B; nằm về cùng một phía so với ∆ thì ta có ngay đánh giá:

MA MB− ≤ AB=hằng số Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M A B; ; thẳng hàng

Do đó điểm M cần tìm là giao của AB với ∆

Sử dụng kết quả câu a) ta có hai điểm A B; nằm về cùng phía so với ∆ nên ta

có đánh giá: MA MB− ≤ AB=hằng số Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M A B; ;

thẳng hàng

Ta có uuurAB=(2; 1 − ) nên AB:1(x− + 0) 2(y− = ⇔ + 6) 0 x 2y− = 12 0

Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

5;

5;

7

2

x

x y

M

=



Để củng cố thuật toán trên các em học sinh làm thêm một số bài tập:

Bài 2

Cho hai điểm A( ) (2;5 ;B − 4;5) và đường thẳng ∆ − :x 2y+ = 3 0 Tìm điểm

:

M∈ ∆ MA MB+ đạt giá trị nhỏ nhất? ( Đáp số: 3 9;

2 4

M 

Bài 3

Cho hai điểm A(2; 5 ; − ) (B − 4;5) và đường thẳng ∆ − :x 2y+ = 3 0 Tìm điểm :

N∈ ∆ NA NB− đạt giá trị lớn nhất?

Bài 4

Cho hai điểm A( ) (1;2 ;B 0; 1 − ) và đường thẳng : ;

1 2

x t

=



∆  = +

 Tìm M ∈ ∆ sao cho :

a) MA MB+ đạt giá trị nhỏ nhất

b) MA MB− đạt giá trị lớn nhất.

Vẫn là bài toán tìm điểm thỏa mãn một yếu tố cực trị nhưng được hỏi theo

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M( )2;1 Đường thẳng ∆ đi qua M cắt Ox; Oy lần lượt tại A a( ) ( ) (;0 ;B 0; ;b a> 0;b> 0) .

a)Tìm a b; để diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ nhất?

b) Tìm a b; : 12 12

OA +OB đạt giá trị nhỏ nhất?

c) Tìm a b OA OB; : + đạt giá trị nhỏ nhất?

a) Lời giải 1

Sử dụng phương trình đoạn chắn ta có: : x y 1

a b

Nhận thấy tam giác OAB vuông tại O nên: 1 .

2

OAB

S∆ = a b

Mặt khác do M 2 1 1; ( )1

a b

∈ ∆ ⇒ + =

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: 2 1 2 2 1 2 2 ab 8; ( )2

a b+ ≥ ab ⇔ ≥ ab ⇔ ≥

Từ đó suy ra: 1 4

2

OAB

S∆ = ab≥ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ( )2 xảy ra dấu

bằng Khi đó kết hợp với ( )1 ta có hệ phương trình:

4;

1

a

a b

b

a b

 =

 + =



Bình luận: Ở đây ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM và nhận thấy tính hiệu

quả cao, lời giải gọn gàng và đẹp Vấn đề là học sinh cần tìm hiểu được nhiều cách giải cho một đề toán Do vậy một trong những thủ thuật của người thầy (theo cá nhân tôi) là sau lời giải một bài toán nên đặt câu hỏi tự nhiên theo diễn

biến tâm lý: Còn lời giải nào khác nữa không? Câu hỏi đó làm cho học sinh có

hứng thú tìm tòi, và phải làm cho học sinh thấy được chúng ta không nên bằng lòng theo kiểu “ăn xổi”

a) Lời giải 2

Tải bản FULL (17 trang): https://bit.ly/3KOYxaw

Dự phòng: fb.com/TaiHo123doc.net

Từ kết quả ( )1 ta rút ra:

2 1

1

2

a b

a b+ = ⇒ = a

− Theo bài ra do b> 0;a> ⇒ > 0 a 2

OAB

a

a

−

Ta đi khảo sát hàm số f a( ) trên miền a> 2

( ) ( ( ) ) 2 ( 2 )

/

f a

0

f a

=





Lại có: lim2 ( ) lim2 2

a

f a

a

+ +

−

a

f a

a

→+∞ = →+∞ = +∞

− Lập bảng biến thiên ta có:

( )

/

( )

f a

( )4

f

Suy ra: min ( ) ( )4 4

>

Với a= ⇒ = 4 b 2 Vậy các giá trị cần tìm là: 4;

2.

a b

=



 =



Bình luận: Lời giải 2 có vẻ phức tạp, tuy nhiên việc sử dụng đạo hàm vào

bài toán cực trị cũng cần hết sức chú ý vì đây cũng là một công cụ rất mạnh trong chương trình toán phổ thông mà học sinh cần được trang bị và thành thạo

b) Lời giải 1