Tài liệu này sd cho cả chuyên đề thầy đỗ văn đức bài giảng nguyên hàm tích phân và ứng dụng khóa imo 2022

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y ex1, trục hoành và hai đường thẳng 277.. Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay  H quanh trục hoành.. Tính thể tíc

Thầy Đỗ Văn Đức

Khóa học LIVE-VIP IMO môn Toán Page livestream và tài liệu: https://www.facebook.com/dovanduc2020

Group hỏi bài và tâm sự: https://www.facebook.com/groups/2004thayduc

Bài 1 – Mở đầu về Nguyên Hàm

1 Định nghĩa

 Cho hàm số f x xác định trên   K (K là khoảng,

đoạn hoặc nửa khoảng) Hàm số F x được gọi là  

nguyên hàm của hàm số f x trên   K nếu

   

F x  f x với mọi x K

 Ví dụ: Hàm số y x 32x là 1 nguyên hàm của hàm số 3x2 trên 2  vì

x32x3x2  2 x 

 Chú ý 1: Nếu K  a b; thì các đẳng thức F a  f a F b ;   f b  được hiểu là

     lim

 Với mọi hằng số ,C hàm số F x  cũng là một nguyên hàm của hàm số C f x trên   K

 Với mỗi nguyên hàm G x của   f x trên   K thì tồn tại một hằng số C sao ho G x F x  Cvới mọi x K

Do đó F x C C,  là họ tất cả các nguyên hàm của f x trên   K Ký hiệu  f x x F x d   C

 Chú ý: Mọi hàm số f x liên tục trên   K đều có nguyên hàm trên K

 Chú ý: Nếu f x x F x d   C thì f ax b x d F ax b  C a 0 

a



4 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

 Chú ý: Nếu  f x x F x d   C thì f u u F u d   C, với u là 1 hàm của x, và

 d 1  

a

 Từ đó ta chỉ cần biết nguyên hàm của một số hàm số thông dụng

sẽ xây dựng được nguyên hàm của hàm số hợp

Bài 2: Chứng minh rằng hàm số F x ln sinx là một nguyên hàm của hàm số f x cotx

Bài 3: Chứng minh hàm số F x  a2x2 là một nguyên hàm của hàm số f x  2 x 2





Bài 4: Chứng minh hàm số   1 ln





TAILIEUONTHI.NET

8 2

11 Biết hàm số F x ax2bx c  2x là một nguyên hàm của hàm số 3   20 30 7

hoặc bằng bậc của đa thức Q x thì ta thực hiện phép  

chia đa thức để biến bậc của đa thức tử nhỏ hơn bậc của đa thức mẫu Phân tích đa thức Q x thành các  

nhân tử để tính nguyên hàm Một số khai triển cần lưu ý

x

xx

11

xx





TAILIEUONTHI.NET

 I  f cosx.sin dx x t cosxdt sin d x x

 I  f sinx.cos dx x t sinxdtcos d x x

2 1 d 18

d.3

x xI

cos tan 2

xI

d cos

1

xI

3

d 1

1

d 1

d cos

x xI

A 3 11ln 2

4



B 3 4

Bài 4 – Phương pháp nguyên hàm từng phần

PHƯƠNG PHÁP

 Bước 1: Biến đổi về dạng I  f x x d g x h x x    d

 Bước 2: Đổi biến  

xxx

ax b x P x x  d e dx x Lưu ý: Dạng mũ nhân lượng giác là dạng lấy nguyên hàm từng phân luân hồi

Kỹ thuật chọn hệ số

Khi tính tích phân từng phần, việc đặt dv g x x  d  v G x C, với C là hằng số bất kỳ, ta thường theo một thói quen chọn C Đôi khi việc chọn 0 C làm cho việc tính nguyên hàm không được dễ chịu, và ta 0thường quên mất rằng ta có thể chọn hệ số C thích hợp mà ở đó biểu thức dv u đơn giản nhất

d x d

xu



 2 2

ln d1



77 Tìm các nguyên hàm sau:

a) x2 2e dx x b)  x21 cos d 2x x c)  x2 e d 2 x x

TAILIEUONTHI.NET

d1

xx

88 Cho hàm số ye sin x Họ nguyên hàm của hàm số trên là

A xcotxln sin x C B xcotxln sin x C

C xcotxln sin x C D xcotxln sin x C

94 Giả sử F x là một nguyên hàm của hàm số   f x  lnx2 3

Bài 5 – Nguyên hàm các hàm số lượng giác

xI

a) I sin3xcos3xcos3xsin 3 dx x b) d 3

sin cos

xI

Bài 4 – Mở đầu về Tích Phân

1 Bài toán diện tích hình thang cong Cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành

và hai đường thẳng x a x b a b ,     Giả sử f là hàm số liên tục,

đồng biến và nhận giá trị dương trên đoạn  a b Ta có diện tích ; S

của hình thang cong đó là: SF b F a , với F là một nguyên

hàm bất kì của f trên đoạn  a b ;

2 Quãng đường đi được của một vật Giả sử một vật chuyển động có vận tốc thay đổi theo

thời gian, v f t  0 t T Khi đó quãng đường L

vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm t a

đến thời điểm t b 0 a b T    là

   ,

L F b F a trong đó F là một nguyên hàm bất

kì của f trên khoảng 0;T 

3 Khái niệm tích phân Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F b F a  được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là  d    

b

b a a

 f là hàm số dưới dấu tích phân

 f x x là biểu thức dưới dấu tích phân  d

 x là biến lấy tích phân

 Định lý về diện tích hình thang cong

Cho hàm số y f x  liên tục, không âm trên đoạn  a b Khi đó diện tích ; S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a x b ,  là  d

1d

17.6

b) Từ công thức I  J L, hãy đưa ra một đánh giá chính xác hơn cho I.

132 Một vật chuyển động với vận tốc v t  1 2sin 2t (m/s) Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t0 (s) đến thời điểm 3

a) Sau bao lâu viên đạn đạt tới độ cao lớn nhất?

b) Tính quãng đường viên đạn đi được từ lúc bắn lên cho đến khi chạm đất (tính chính xác đến hàng phần trăm)

Bài 5 – Phương pháp đổi biến tính tích phân

Đổi biến loại 1

xI

2 0

d 1

1

xI

1

xI

1 d x

d

1 3

xI

2

d 4

148 Khi đổi biến x 3 tan ,t tích phân 1 2

0

d3

xI

3 0

2

d 1

4

d 1

2 3d 1

0

1

d 1

2

d 1

1

d 9

1

d 1

2 1 2

x xI

xI

2 0

d.1

x xI

sin

d cos

ln d

e

3 2 1

ln sin

d cos

d 2

e d x

3 0

d ax d

axu

Bài toán 4 – Phương pháp tích phân từng phần tạo ra các lượng triệt tiêu

Tham khảo: Nhóm giáo viên Toán Việt Nam

2 1

2 1 2

.e d

ln( e) ln( e),1

1

2.3

1

2

d 3

1 3ln

xx

d 9

uuu





206 Cho biết

3 7

sin cos

xI

226 Cho hàm số f x liên tục trên    thỏa mãn 2   16  

2

1 4

4

d

f xxx

sin d ,cos

d

I  u u D

1 2 0

Bài 9 – Đổi biến một số tích phân đặc biệt

234 Cho số dương a và hàm số f x liên tục trên    thỏa mãn f x  f    x a, x  Giá trị của biểu thức  d

0

1

xI

e d

x t

1 4

d

f x xx

15

17.4

267 Cho hàm số f x liên tục trên    và thỏa mãn   2

Bài 10 - Ứng dụng tích phân tính diện tích

Giới hạn bởi một đồ thị, trục hoành và hai đường thẳng x a x b , 

270 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 1 ln x

271 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 4 x y2, 0 và hai đường thẳng x1,x 3

272 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x e ,x trục Ox và hai đường , x 1,x 2

273 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 1x2, trục hoành và đường x1

274 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y ex1, trục hoành và hai đường thẳng

277 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 24 x  và trục hoành 3

Giới hạn bởi hai đồ thị y f x y g x ,    và hai đường thẳng x a x b , 

278 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x2 4x và y x

279 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x 36x29x và y x

280 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y ln x2

x

 và

 2

4 ln .2

xy

x





281 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 1 xex và y x e x

282 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x e ,x x y  1 0 và xln 5

283 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y(x1) x và đường thẳng 1 y  x 1

284 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x x 216 và y3x212 x

285 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ysin 2 ,x ycosx và hai đường thẳng 0,

2

x x

286 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 ,x y  x2 2x và hai đường thẳng x0,x 2

287 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y x23x và đường thẳng 2 y  x 2

288 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y x y,   và trục hoành 6 x

A 22

3TAILIEUONTHI.NET

152 2.3

291 Diện tích miền phẳng giới hạn bởi parabol

2

2

x

y và nửa đường tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính

2 2, nằm trên trục hoành, thuộc khoảng nào sau đây:

294 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y 3 ,x2 cung tròn có phương trình y 4x2 (với

0 x 2) và trục hoành Diện tích của  H bằng

297 Tìm a để diện tích hình phẳng giới hạn bởi  : 2 ,

yx

320 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y 4ax a 0 và đường thẳng  là

a

2

8.3

Bài 11 - Ứng dụng tích phân tính thể tích

Thể tích khi quay miền D giới hạn bởi y=f(x), y=0, x=a, x=b quanh trục hoành

328 Cho hình phẳng  H giới hạn bởi các đường y  x2 2 ,x y0 Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay  H quanh trục hoành

329 Cho hình phẳng  H giới hạn bởi các đường y x 2 lnx, trục hoành và xe Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay hình  H quanh trục hoành

Thể tích khi quay miền D giới hạn bởi y=f(x), y=g(x), x=a và x=b với

    0  ;

f x g x   x a b

330 Tính thể tích khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol  P y x:  2 và đường thẳng

d y x quay xung quanh trục Ox

331 Cho hình phẳng  H giới hạn bởi các đường x2  y 5 0 và x y   Tính thể tích của khối tròn 3 0.xoay được tạo thành khi quay hình  H quanh trục hoành

332 Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y x y,   và 2 x y 0

333 Tính thể tích của khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

y x  x y x khi nó quay quanh trục hoành

Thể tích khi quay miền D giới hạn bởi các đường x g y y a y b  ,  ,  quanh trục tung

334 Cho hình phẳng  H giới hạn bởi các đường y x 2, 8x y2 Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình  H quanh trục tung

335 Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng

337 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng  H giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 4 x

và trục hoành quanh trục hoành là

.4

.2

.2



339 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng  H giới hạn bởi đồ thị hàm số y ,

x

 trục hoành và hai đường thẳng x1,x2 quanh trục hoành là

3.2 3

.5V

9.2 3

.5V

12.2 3

.5V

6.2 3

.5V

.2

.2

.2



344 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng  H giới hạn bởi đồ thị hàm số y  và 3 x2

đường thẳng y1 quanh trục tung là

A V 2  B V 3  C V 4  D V 5 

345 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng  H giới hạn bởi đồ thị hàm số y2x x 2

và trục hoành quanh trục hoành là

347 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng  H giới hạn bởi đồ thị hàm số ysin cos ,x x

trục hoành, trục tung và đường thẳng

V 

B

2

.12

V 

C

2

.15

V 

D

2

.16

V 

TAILIEUONTHI.NET

348 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng  H giới hạn bởi đường cong 22 ,

1

yxy

349 Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng  H giới hạn bởi đồ thị hàm số y2x x 2,

trục hoành quanh trục tung là

351 Cho hình phẳng  H giới hạn bởi các đường y22x và x Khi quay 4  H

quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng

A 10  B 16 

C 32  D 20 

352 Gọi  H là hình phẳng giới hạn bởi các đường y  3x 10, y1 và nhánh nằm

bên phải trục tung của Parabol y x 2 Thể tích khối tròn xoay khi quay hình

354 Cho vật thể như hình vẽ, biết AC AD 5;BCBD 2 và AB 1

Thể tích khối tròn xoay khi quay vật thể này quanh trục là đường thẳng AB là

355 Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y x y,  0

và x quanh trục 4 Ox Đường thẳng x a 0 a 4 cắt đồ thị hàm số y x tại M (hình vẽ) Gọi

A 1208

3



B 1280 3



C 1820 3



D 1802 3

358 Hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia ra làm 2 phần bởi một nhánh của Parabol có đỉnh là O (như hình vẽ) Gọi  H là phần hình phẳng có diện tích lớn hơn Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình  H quanh trục OC (trong hình vẽ) là

sao cho tâm của hình tròn trùng với tâm của hình vuông như hình vẽ Tính thể tích V của vật thể tròn xoay tạo thành khi quay mô hình trên quay trục AB, với AB là 1 đường kính của hình tròn và là trục đối xứng của hình vuông (như hình vẽ)

4 3

V    

2 3

V    

.3

8 3

V    

363 Một thùng đựng bia hơi (có dạng như hình vẽ) có đường kính đáy là 30 cm, đường kính lớn nhất của thân thùng là 40 cm, chiều cao của thùng là 60 cm, cạnh bên hông của thùng có hình dạng của một parabol Thể tích của thùng bia gần nhất với con số nào sau đây? (coi độ dài của vỏ thùng không đáng kể)

A 60 lít B 62 lít C 64 lít D 70 lít

TAILIEUONTHI.NET

366 Một vật chuyển động với vận tốc 10m/s thì tăng tốc với gia tốc   1 2

23

a t  t t (m/s2), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc Hỏi quãng đường vật đi được trong 12 giây

kể từ lúc bắt đầu tăng tốc bằng bao nhiêu?

367 Một chiếc máy bay vào vị trí cất cánh chuyển động trên đường bằng với vận tốc v t   (m/s) với t2 2t

t là thời gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động Biết máy bay đạt vận tốc 120 (m/s) thì nó rời đường băng Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường bằng gần nhất với giá trị nào dưới đây?

Nguồn: Đề KSCL Toán thi tốt nghiệp THPT 2021 lần 3 trường chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa

Bài 13 - Ứng dụng tích phân và bài toán có yếu tố đồ thị

Nhận xét: Hình tròn có thể coi là 1 hình Elip đặc biệt với a b R  , nên SR2

2 Diện tích Parabol bị cắt bởi đường thẳng nằm ngang

Một Parabol y ax 2bx c và một đường thẳng y m cắt nhau tạo thành

một hình phẳng có diện tích là 4

3

S Rh với R và h được thể hiện như hình

vẽ

Cho Parabol y ax 2bx c và 2 điểm A B, có hoành độ lần lượt là x x1, 2 thuộc  P Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P và đường thẳng AB là  3

4 Diện tích hình viên phân

Hình viên phân cắt ra từ hình tròn có bán kính R và cung có số đo  (rad) là  sin 

2

R

S  

368 Cho hàm số y x 43x2m có đồ thị  C với m m là tham số thực Giả sử  C cắt trục Ox tại bốn m

điểm phân biệt như hình vẽ Gọi S S S1, 2, 3 lần lượt là diện tích các phần gạch chéo được cho trong hình

52.15

370 Cho hàm số f liên tục trên 6;5 có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ Giá trị của 5  

372 Cho hàm số y f x  có đồ thị trên đoạn 1; 4 như hình vẽ Tính  

31.3

376 Cho hàm số y ax 4bx2c có đồ thị  C Biết rằng  C đi qua điểm A1;0  Tiếp tuyến  tại A

của  C cắt  C tại A và tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2 Biết diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi , đồ thị  C và hai đường thẳng x0,x2 có diện tích bằng 56

377 Cho đường cong  C : y x và điểm A 9;0 Gọi M là 1 điểm thuộc  C có hoành độ 0xM 9

Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C và đường thẳng OM,S2 là diện tích tam giác OMA.Biết 1 4

S  Khẳng định nào sau đây là đúng?

379 Cho hàm số y x 3ax2bx c có đồ thị  C Biết rằng tiếp tuyến d của  C tại điểm A có hoành

độ bằng 1 cắt  C tại điểm B có hoành độ bằng 2 (hình vẽ) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d và

 C (phần gạch chéo) bằng

A 27

11

25

13.2

380 Cho hàm số bậc ba y f x  có đồ thị  C như hình vẽ Biết đồ thị hàm số đã cho cắt trục Ox tại 3 điểm có hoành độ x x x1, ,2 3 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng và x3 x1 2 3 Gọi diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C và trục Ox là S Diện tích S1 của hình phẳng giới hạn bởi các đường

  1,   1, 1

y f x  y f x  x x và x x 3 bằng

TAILIEUONTHI.NET