Tóm tắt đề tài nghiệm suy rộng của phương trình monge ampere loại elliptic

Mục lục LỜI NÓI ĐẦU 3 1 R độ cong của hàm lồi và một số tính chất 4 1 1 Một số khái niệm của Giải tích lồi 4 1 1 1 Tập lồi 4 1 1 2 Hàm lồi 4 1 1 3 Mặt phẳng giá 4 1 1 4 Siêu diện lồi 4 1 2 R độ cong c[.]

LỜI NÓI ĐẦU 3

1.1 Một số khái niệm của Giải tích lồi 4

1.1.1 Tập lồi 4

1.1.2 Hàm lồi 4

1.1.3 Mặt phẳng giá 4

1.1.4 Siêu diện lồi 4

1.2 R-độ cong của hàm lồi và một số tính chất 5

1.2.1 Ánh xạ tiếp xúc 5

1.2.2 Bổ đề hội tụ của mặt phẳng giá 5

1.2.3 Các tính chất chính của ánh xạ tiếp xúc của một siêu diện lồi 6

1.2.4 R-độ cong của hàm lồi 6

1.2.5 Sự hội tụ yếu của R-độ cong 7

1.3 Một số tính chất của hàm lồi liên quan đến R-độ cong của chúng 7

1.3.1 Các định lí về sự so sánh và tính duy nhất 7

1.3.2 Các bổ đề hình học và một số đánh giá 8

1.3.3 Hàm biên của hàm lồi 9

1.3.4 Giá parabolic của siêu mặt đồ thị lồi 10

2 Nghiệm suy rộng của phương trình Monge-Ampere loại elliptic 11 2.1 Sự cản trở và điều kiện cần của tính giải được đối với bài toán Dirichlet 11

2.2 Nghiệm suy rộng và nghiệm yếu đối với phương trình Monge-Ampere loại elliptic 13 2.3 Bài toán Dirichlet trong tập các hàm lồi Q(A1, A2, , Ak) 15

2.4 Sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu của bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge-Ampere det(zij) = R(Dz)ϕ(x) 15

TÀI LIỆU THAM KHẢO 20

Phương trình Monge-Ampere là một lĩnh vực của Toán học, có nhiều ứng dụng trong thực tiễn như: Hình học, Vật lý, Thiên văn học, Lý thuyết điều khiển tối ưu, và được nhiều nhà khoa học nghiên cứu và quan tâm

Phương trình Ampere loại elliptic là một phần nội dung của phương trình Monge-Ampere Nhiều bài toán đưa đến việc xác định nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet đối với phương trình loại này Loại nghiệm suy rộng này cho phép tìm nghiệm của bài toán Dirichlet khi khái niệm độ cong được mở rộng và tìm được mặt cong có độ cong Gauss được cho trước Nội dung của luận văn “Nghiệm suy rộng của phương trình Monge-Ampere loại elliptic” được hoàn thành chủ yếu dựa trên tài liệu “Convex Analysis and Nonlinear Geometric Elliptic Equations” của tác giả I J Bakelman [1] Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, nội dung của luận văn bao gồm 2 chương:

Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ sở về một số khái niệm của Giải tích lồi, khái niệm R-độ cong của hàm lồi và một số tính chất của chúng

Chương 2: Là phần nội dung chính của luận văn, trong đó trình bày về nghiệm suy rộng của phương trình Monge-Ampere loại elliptic Bao gồm: sự cản trở và điều kiện cần của tính giải được đối với bài toán Dirichlet, nghiệm suy rộng và nghiệm yếu đối với phương trình Monge-Ampere loại elliptic, bài toán Dirichlet trong lớp các hàm lồi, sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm yếu của bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge-Ampere det(zij) = R(Dz)ϕ(x) Mặc dù bản thân đã rất cố gắng nhưng do sự hạn chế về thời gian, trình độ và kinh nghiệm nghiên cứu khoa học nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp để bản luận văn được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Tác giả

Chương 1

R-độ cong của hàm lồi và một số tính chất

1.1 Một số khái niệm của Giải tích lồi

K được gọi là tập lồi nếu đoạn thẳng xy hoàn toàn chứa trong K đối với hai điểm bất kỳ

x, y ∈ K hay xt = tx + (1 − t)y ∈ K, ∀x, y ∈ K, ∀t ∈ [0, 1]

Hàm f : K → R (K là tập lồi trong Rn) được gọi là hàm lồi nếu f (tx+(1−t)y) ≤ tf (x)+(1−t)y,

∀x, y ∈ K, ∀t ∈ [0, 1]

Giả sử En là một không gian điểm Euclide n-chiều và S là một tập con trong En Mặt phẳng

α được gọi là mặt phẳng giá của tập S nếu α ∩ S 6= ∅ và toàn bộ tập S nằm về một phía của mặt phẳng α

Tập F được gọi là một siêu diện lồi n-chiều trong En+1 nếu tồn tại một khối lồi (n + 1)-chiều

H trong En+1 sao cho F là tập con liên thông của ∂H

1.2 R-độ cong của hàm lồi và một số tính chất

Ký hiệu x1, x2, , xn, xn+1 là các tọa độ Descartes trong không gian Euclide (n + 1)-chiều trong

En+1 và En là siêu phẳng xn+1 = 0 Đặt xn+1 = z và gọi x = (x1, x2, , xn) và (x, z) = (x1, x2, , xn, z) là các điểm trong không gian En và En+1

Giả sử G là một miền lồi, mở, bị chặn trong En Gọi Sz là đồ thị của hàm z(x) : G → R, tức là Sz = {(x, z) : z = z(x), x ∈ G}

Gọi W+(G) và W−(G) lần lượt là lớp các hàm lồi và lõm xác định trong G Nếu z(x) ∈

W+(G) hoặc z(x) ∈ W−(G) thì Sz gọi là một siêu diện lồi hoặc siêu diện lõm

Giả sử z(x) là hàm lồi bất kì xác định trong G và α là một mặt phẳng giá tùy ý của Sz Nếu

z − z0 = (p0, x − x0) = p01(x1 − x0

1) + + p0n(xn− x0

là phương trình của α thì điểm (x0, z0) ∈ Sz∩ α Điểm p0 = (p0

1, p0

2, , p0

n) ∈ Rn gọi là ảnh của mặt phẳng giá α và được biểu thị bởi

Tập hợp

χz(x0) = [

α

được gọi là ảnh tiếp xúc của điểm x0, ở đó x0 là một điểm bất kì của G và α là mặt phẳng giá bất kì của Sz tại điểm (x0, z(x0)) ∈ Sz

Lấy e là tập con bất kỳ của G Tập hợp

χz(e) = [

x 0 ∈e

là một tập con của không gian Gradient Rn và được gọi là ảnh tiếp xúc của e Khi đó ánh xạ

χz : G → Rn được gọi là ánh xạ tiếp xúc

Bổ đề 1.1 Lấy dãy các siêu diện lồi Szk hội tụ tới siêu diện lồi Sz, ở đó zk(x) và z(x) là các hàm lồi xác định trong G Lấy các điểm (x0, zk(x0)) ∈ Sz Khi đó giới hạn của bất kì dãy hội

tụ của mặt phẳng giá αk của Szk tại điểm (xk, zk(xk)) ∈ Sz là mặt phẳng giá của của Sz tại điểm (x0, zk(x0))

1.2.3 Các tính chất chính của ánh xạ tiếp xúc của một siêu diện lồi

Gọi G là một miền lồi, mở, bị chặn trong En

A) Giả sử z1(x) và z2(x) là các hàm lồi xác định trong G sao cho z1|∂G = z2|∂G và z1(x) ≤

z2(x), ∀x ∈ G Khi đó

B) Giả sử z(x) là một hàm lồi bất kì xác định trong G Khi đó χz(F ) là một tập đóng bị chặn trong Rn đối với mọi tập con đóng F của G Ký hiệu δF là khoảng cách từ F tới ∂G và

M (z, δF) là giá trị lớn nhất của |z(x)|, ∀x ∈ G sao cho dist(x, ∂G) ≥ δF Khi đó bất đẳng thức

được thỏa mãn và χz(F ) chứa trong hình cầu |p| ≤ 4δ−1F M (z, δF)

C) Một mặt phẳng giá α của siêu diện lồi Sz được gọi là kì dị nếu tập α ∩ Sz chứa ít nhất hai điểm khác nhau Khi đó bất kì mặt phẳng giá kì dị α của Sz chứa ít nhất một đoạn thẳng

l ⊂ α ∩ Sz Lấy Qz là tập của tất cả các siêu phẳng kì dị của Sz Khi đó:

mesRn

( [

α∈Q z

χ(α)

)

D) Nếu e là một tập con Borel bất kì của G thì tập χz(e) là đo được Lebesgue trong không gian Rn

E) Nếu z(x) ∈ W+(G) ∩ C1(G) thì ánh xạ tiếp xúc có thể đưa về ánh xạ của các điểm và nó trùng với ánh xạ tiếp tuyến

Gọi G là một miền lồi, mở, bị chặn trong En Giả sử R(p) > 0 là một hàm khả tích địa phương trong không gian Rn và z(x) là một hàm lồi bất kì xác định trong G Xét hàm

ω(R, z, e) =

Z

χ z (e)

ở đó e là một tập con Borel bất kì của G

Hàm ω(R, z, e) gọi là R-độ cong của hàm lồi z(x) R-độ cong chỉ lấy giá trị không âm Đặt

B(R) =

Z

R n

Rõ ràng B(R) > 0 Trường hợp B(R) = +∞ là không loại trừ Đẳng thức mesRn[χz(e1) ∩

χz(e2)]= 0 đúng với hai tập con Borel e1 và e2 rời nhau bất kì của ánh xạ tiếp xúc Từ lý thuyết tích phân, suy ra R-độ cong ω(R, z, e) là một hàm tập hoàn toàn cộng tính không âm trên vành các tập con Borel của G

1.2.5 Sự hội tụ yếu của R-độ cong

Gọi G là một miền lồi, mở, bị chặn trong En Lấy tập hợp các hàm tập ϕk(e), k = 1, 2, và ϕ(e) là các hàm tập hoàn toàn cộng tính trên các tập con e của G Khi đó ϕk(e) được gọi là hội tụ yếu tới ϕ(e) trong G nếu

lim

k→∞

Z

G

h(x)ϕk(de) =

Z

G

h(x)ϕ(de) đối với mọi hàm liên tục h(x) mà khác 0 chỉ trên một tập tập H nào đó sao cho H ⊂ H ⊂ G,

ở đó H là bao đóng của H

Định lí 1.2 Nếu các hàm lồi zk(x) ∈ W+(G) hội tụ tới hàm lồi z(x) ∈ W+(G) thì R-độ cong của chúng ω(R, zk, e) hội tụ yếu trong G tới ω(R, z, e)

Việc chứng minh định lý trên dựa trên các bổ đề sau:

Bổ đề 1.3 Nếu các hàm lồi zk(x) ∈ W+(G) hội tụ tới hàm lồi z(x) ∈ W+(G) với mọi x ∈ G, thì

lim

k→∞ω(R, zk, F ) ≤ ω(R, zk, F ) đối với mọi tập con đóng F của G

Bổ đề 1.4 Lấy H là một tập con mở bất kì của G và H ⊂ G, ở đó H là bao đóng của H Lấy các hàm lồi zk(x) ∈ W+(G) hội tụ tới hàm z(x) ∈ W+(G), ∀x ∈ G và ω(R, z, ∂H) = 0 Khi đó

lim

lim

lim

nếu bất đẳng thức

lim

được thỏa mãn

1.3 Một số tính chất của hàm lồi liên quan đến R-độ

cong của chúng

Định lí 1.5 Lấy z1(x), z2(x) ∈ W+(G) và z1(x) ≥ z2(x) trên ∂G, ở đó G là miền lồi, mở, bị chặn trong En Giả thiết rằng

với mọi tập con Borel e của G Khi đó z1(x) ≥ z2(x) với mọi x ∈ G.

Việc chứng minh định lí dựa trên các bổ đề sau:

Bổ đề 1.6 Lấy z(x) ∈ W+(G) và C là hằng số bất kỳ Khi đó

đối với mọi tập con Borel e của G

Bổ đề 1.7 Lấy z1(x), z2(x) ∈ W+(G) và Q là một miền con của G sao cho:

a) H ⊂ G,

b) z1(x) < z2(x) với mọi x ∈ Q,

c) z1(x) = z2(x) với mọi x ∈ ∂Q

Nếu

ít nhất tại một điểm x0 ∈ ∂G, thì

ω(R, z1, Q) > ω(R, z2, Q)

Định lí 1.8 Lấy z1(x), z2(x) ∈ W+(G) và z1(x) = z2(x), ∀x ∈ ∂G Giả sử ω(R, z1, e) = ω(R, z2, e) đối với mọi tập con Borel e của G Khi đó z1(x) = z2(x) với mọi x ∈ G

Bổ đề 1.9 Giả sử R(p) là một hàm khả tích địa phương trong Rn = {p = (p1, p2, , pn)}, e

K(x) là hàm số xác định nón K Khi đó

ω(R, z, G) ≥ ω(R, eK, G) ≥

Z

|p|≤ρ

ở đó ρ = |z(x0 )|

d(G) và d(G) là đường kính của G

Bây giờ chúng ta đưa vào hàm

gR(ρ) =

Z

|p|<ρ

Khi đó gR(ρ) là một hàm liên tục, tăng ngặt và gR(0) = 0, gR(∞) = B(R)

Kí hiệu TR : [0, B(R)) → [0; +∞) là hàm ngược của gR(ρ) Khi đó TR(τ ) là một hàm liên tục, tăng ngặt

Định lí 1.10 Giả sử z(x) là một hàm lồi trong G thỏa mãn hai điều kiện sau:

a) z|∂G = h = const,

b) ω(R, z, G) < B(R)

Khi đó

với ωz = ω(R, z, G)

Định lí 1.11 Gọi G là một miền lồi, mở, bị chặn trong En và V (ωz) = {u(x)} là tập hợp tất

cả các hàm lồi và hàm lõm thuộc W (G) và thỏa mãn các điều kiện sau:

a) −∞ < m ≤ u|∂G ≤ M < +∞,

b) ω(R, u, G) ≤ ωz < B(R)

Khi đó bất đẳng thức

m − TR(ωz)d(G) ≤ u(x) ≤ M luôn đúng nếu u(x) là hàm lồi

Giả sử z(x) là hàm lồi bất kỳ thuộc W+(G) Khi đó z(x) là một hàm liên tục trong G và nhận giá trị hữu hạn trong G

Gọi Hz là hợp của các điểm (x, v), ở đó x ∈ G, v ≥ z(x) Khi đó tập hợp Hz là lồi và

Hz = Hz∪ ∂Hz là một khối lồi trong En+1

Gọi Z = ∂G × R là hình trụ {(x, v), x ∈ ∂G, v ∈ (−∞; +∞)} Khi đó ∂Hz = Sz ∪ Mz, ở

đó Sz là đồ thị của hàm z(x) trong G và Mz là tập con đóng của Z sao cho Sz ∩ Mz = ∅ và hình chiếu của Mz lên En trùng với ∂G

Do đó ta có

z0 = inf

đối với bất kỳ hàm z(x) ∈ W+(G)

Chúng ta ký hiệu Lz(x0) là tập hợp tất cả các điểm tới hạn của siêu mặt lồi Sz nằm trên đường thẳng `x0 Từ (1.20) và tính lồi của Sz ta suy ra Lz(x0) là điểm (x0, v0) hoặc là đoạn đóng chứa các điểm {(x0, v); v0 ≤ v ≤ v1} hay là tia đóng chứa các điểm {(x0, v); v0 ≤ v < +∞} Bây giờ chúng ta đưa vào hàm

được cho bởi công thức hz(x0) = v0 đối với điểm bất kỳ x0 ∈ ∂G Khi đó hz được gọi là hàm biên của hàm z(x) ∈ W+(G)

1.3.4 Giá parabolic của siêu mặt đồ thị lồi

Gọi G miền lồi, bị chặn, mở trong En Lấy a0 là điểm bất kỳ của ∂G Khi đó tồn tại một (n − 1)-mặt phẳng giá α của ∂G đi qua điểm a0, một n-hình cầu mở Uρ(a0) với tâm a0 và bán kính ρ > 0 sao cho (n − 1)-mặt lồi

có một phép chiếu trực giao πα : Γρ(a0) → α

Ký hiệu Πρ(a0) = πα(Γρ(a0)) Lấy x1, x2, , xn, z là các tọa độ trong En với a0 là gốc, các trục x1, x2, , xn−1 nằm trong mặt phẳng α, trục xn cùng phương với pháp tuyến trong của

∂G tại điểm a0, trục z trực giao với siêu phẳng của En Khi đó (n − 1)-mặt lồi Γρ(a0) là đồ thị của hàm lồi g(x1, x2, , xn−1) ∈ W+(Πρ(a0))

Rõ ràng

và

đối với mọi điểm của tập Πρ(a0)

Hàm g(x1, x2, , xn−1) được gọi là biểu diễn tường minh của siêu diện lồi ∂G gần các điểm đánh dấu a0

Khi đó, ta nói ∂G có một giá parabolic địa phương có bậc τ ≥ 0 tại điểm a0 nếu tồn tại các

số dương ρ0 ≤ ρ và b(x0) sao cho

g(x1, x2, , xn−1) ≥ b(x0)

n−1

X

i=1

x2i

!r+22

(1.25)

đối với mọi (x1, x2, , xn−1) ∈ Πρ(a0)

Chúng ta nói ∂G có một giá parabolic có bậc không lớn hơn τ = const ≥ 0 nếu tồn tại một giá parabolic địa phương của ∂G có bậc không lớn hơn τ tại mọi điểm a0 ∈ ∂G

Chương 2

Nghiệm suy rộng của phương trình

Monge-Ampere loại elliptic

2.1 Sự cản trở và điều kiện cần của tính giải được đối

với bài toán Dirichlet

Gọi G là một miền lồi, mở, bị chặn trong En và Rn là không gian Gradient

Giả sử z(x) ∈ C2(G) ∩ C(G) là một nghiệm lồi ngặt của phương trình

det(zij) = ϕ(x)

trong đó ϕ(x) và R(p) lần lượt là các hàm dương và liên tục trong G và Rn

Khi đó ánh xạ tiếp xúc χz : G → Rn là một C1-vi phôi Do đó

Z

G

ϕ(x)dx =

Z

G

R(Dz) det(zij)dx

= Z

χ z (G)

R(p)dp ≤

Z

R n

Bất đẳng thức

Z

G

là một điều kiện cần cho tính giải được của bài toán Dirichlet đối với phương trình (2.1) Nếu B(R) = RRnR(p)dp = +∞ thì bất đẳng thức (2.3) không phải là một sự thu hẹp đối với hàm ϕ(x)

Bây giờ chúng ta xét một điều kiện không tầm thường thứ hai cho tính giải được của bài toán Dirichlet sau đây:

det(zij) = ϕ(x)(1 + |Dz|2)

n+2

trong đó G là n-hình cầu

n

P

i=1

x2

i ≤ r2, K = const > 0 và hàm ϕ(x) thỏa mãn bất đẳng thức

0 < a = const ≤ ϕ(x) ≤ b = const < +∞

Lưu ý rằng (2.4) và (2.5) là bài toán Dirichlet đối với các siêu diện có độ cong Gaussian cho trước Lấy νz : G → Sn là ánh xạ Gauss của siêu diện Sz : z = z(x), ở đó Sn là hình cầu đơn

vị trong En+1, tức là

νz : x → (−zx1(x), −zx2(x), , −zxn(x), 1)

p1 + |gradz(x)|2 Khi đó νz(G) chỉ nằm trên trên một nửa hình cầu của Sn và

1

2σn≥ σ(νz(G)) =

Z

G

ϕ(x)p1 + |grad z(x)|2dx ≥ aσ(z), (2.6) trong đó σn là diện tích của Sn, σ(νz(G)) là diện tích của ảnh hình cầu νz(G) của G và σ(z) là diện tích của siêu diện Sz

Từ bất đẳng thức (2.6) ta suy ra

σ(z) ≤ 1

Bất đẳng thức (2.7) là ước lượng tiên nghiệm đối với diện tích của tất cả các nghiệm của phương trình (2.4) Lấy r < b−n Khi đó

Z

G

ϕ(x)dx ≤

Z

G

trong đó µn là thể tích của n-đơn vị hình cầu trong En

Từ RRn(1 + |p|2)−

n+2

2 dp = µn, bất đẳng thức (2.8) cho thấy điều kiện cần (2.3) là thỏa mãn đối với bài toán Dirichlet (2.4) và (2.5)

Lấy FK là mặt đa điện n-chiều xác định bởi đồ thị của hàmez(x) = Kx1, ở đó (x1, x2, , xn) ∈

G Giả thiết rằng

K > σn

và z(x) ∈ C2(G) ∩ C(G) là một nghiệm của bài toán toán Dirichlet (2.4) và (2.5)

Khi đó z|∂G = Kx1 và z(x) ≤ ez(x) hầu khắp nơi trong G Do đó σ(z) ≥ σ(Fk) = Kµnrn

Từ (2.9) ta suy ra

σ(z)>σn

Ta thấy (2.7) và (2.10) là không tương thích Khi đó bài toán Dirichlet (2.4) và (2.5) không

có nghiệm thỏa mãn điều kiện (2.9) theo nghĩa cổ điển

Do đó ở đây có ít nhất hai sự cản trở khác nhau cho tính giải được của bài toán Dirichlet đối với phương trình (2.1)

2.2 Nghiệm suy rộng và nghiệm yếu đối với phương trình

Monge-Ampere loại elliptic

Gọi G là một miền lồi, mở, bị chặn trong En Chúng ta xét phương trình Monge-Ampere

det(zij) = ϕ(x)

trong đó ϕ(x) là hàm khả tích không âm trong G và R(p) là hàm khả tích địa phương dương trong không gian Gradient Rn

Giả sử e là một tập Borel con bất kì của G Tương tự như (2.2) ta có

ω(R, z, e) =

Z

e

Phương trình (2.12) là mở rộng của phương trình Monge-Ampere (2.11) trong lớp các hàm lồi

W+(G), tức là việc giải phương trình Monge-Ampere (2.11) có thể xem như là việc xây dựng hàm lồi z(x) ∈ W+(G) mà dựa theo R-độ cong của nó

Lưu ý rằng giá trị của R-độ cong được cho bởi hàm tập liên tục tuyệt đối không âm được xác định bởi

µ(e) =

Z

e

Chúng ta gọi hàm lồi z(x) ∈ W+(G) là một nghiệm suy rộng của phương trình Monge-Ampere (2.11) nếu R-độ cong ω(R, z, e) của nó thỏa mãn phương trình (2.12)

Vì mọi hàm z(x) ∈ W+(G) đều có vi phân cấp một và cấp hai hầu khắp mọi nơi nên chúng

ta có thể có định nghĩa khác của nghiệm suy rộng Hàm z(x) ∈ W+(G) được gọi là một nghiệm suy rộng của phương trình Monge-Ampere (2.11) nếu z(x) thỏa mãn (2.11) hầu khắp mọi nơi

và ω(R, z, e) là một hàm tập liên tục tuyệt đối

Rõ ràng cả hai định nghĩa nghiệm suy rộng của phương trình Monge-Ampere (2.11) là tương đương

Nếu R-độ cong của hàm lồi z(x) ∈ W+(G) không phải là một hàm tập liên tục tuyệt đối thì z(x) không phải là nghiệm suy rộng của phương trình Monge-Ampere (2.11)