Skkn ứng dụng tỉ số thể tích để giải một số bài toán tính thể tích khối đa diện

Trong phương pháp này, việc quantrọng nhất là lựa chọn được khối đa diện trung gian phù hợp và tính được tỉ sốthể tích của khối đa diện cần tìm so với khối đa diện trung gian.. Đối tượng

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

2.3.3 Ứng dụng tỉ số thể tích để giải một số bài toán tính thể

tích khối đa diện

6

2.3.3.1 Tính thể tích khối đa diện dựa vào tỉ số thể tích

so với khối chóp

6

2.3.3.2 Tính thể tích khối đa diện dựa vào tỉ số thể tích

so với khối lăng trụ

9

2.3.3.3 Tính thể tích khối đa diện dựa vào việc khôi phục hình 12

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục

với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

18

2.4.1 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo

dục thông qua hoạt động thực nghiệm sư phạm

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Trong các đề thi Trung học phổ thông Quốc gia(THPTQG), đề thi tốtnghiệp Trung học phổ thông(THPT) những năm gần đây, và đặc biệt là trong đềthi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán thì không thể thiếu các câu hỏi về thể tíchkhối đa diện Những câu hỏi ở mức độ nhận biết và thông hiểu thì các em họcsinh chỉ cần áp dụng trực tiếp công thức tính thể tích của hai khối đa diện cơ bản

là khối chóp và khối lăng trụ để tính Tuy nhiên ở các câu hỏi với mức độ vậndụng thấp và vận dụng cao thì các khối đa diện rất đa dạng Học sinh thườnggặp khó khăn trong việc định hướng cách giải

Ứng dụng tỉ số thể tích chính là một giải pháp hiệu quả giúp các em có thểtính thể tích của một khối đa diện phức tạp Trong phương pháp này, việc quantrọng nhất là lựa chọn được khối đa diện trung gian phù hợp và tính được tỉ sốthể tích của khối đa diện cần tìm so với khối đa diện trung gian

Từ thực tế giảng dạy, trải qua quá trình tìm tòi và nghiên cứu, nhằm gópphần nâng hiệu quả việc giảng dạy Hình học không gian cho học sinh nhất làphần thể tích khối đa diện Thông qua một số lần thử nghiệm tương đối thành

công, tôi xin được mạnh dạn đề xuất một sáng kiến, đó là: “Ứng dụng tỉ số thể tích để giải một số bài toán tính thể tích khối đa diện”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Nhằm giúp học sinh có thêm định hướng giải quyết lớp các bài toán về thểtích các khối đa diện phức tạp thông qua việc so sánh thể tích của nó với thể tíchcủa một khối đa diện khác Từ đó giúp các em tự tin hơn khi gặp dạng toán nàytrong các đề thi THPTQG, thi tốt nghiệp THPT, cũng như trong đề thi học sinhgiỏi môn Toán

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi tập trung nghiên cứu một số bài toán về

tính thể tích của khối đa diện được cắt ra từ khối chóp và khối lăng trụ Vớinhững khối đa diện này nếu ta tính trực tiếp thể tích của nó thì sẽ gặp nhiều khókhăn Tuy nhiên, nếu biết cách lựa chọn khối đa diện trung gian phù hợp vàthực hiện so sánh thể tích của khối cần tính với thể tích khối trung gian, thì bàitoán lại trở nên đơn giản hơn

Đề tài đã được kiểm nghiệm thông qua việc giảng dạy cho học sinh lớp 12A1 trường THPT Cẩm Thủy 3 trong năm học 2020 – 2021

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý luận;

Điều tra, khảo sát thực tế, thu thập thông tin;

1.5 Những điểm mới của SKKN

Điểm nổi bật của đề tài là đã sử dụng tỉ số thể tích để giải một số bài toántính thể tích khối đa diện Đặc biệt, việc sử dụng kết hợp tỉ số thể tích và khôiphục hình trong giải bài toán tìm thể tích là một phương pháp chưa được ápdụng nhiều

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Theo Polya: trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thựchiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứngminh nhận được

Kỹ năng giải toán có cơ sở là các tri thức Toán học (kiến thức, kỹ năng,phương pháp) Kỹ năng Toán học được hình thành và phát triển thông qua cáchoạt động Toán học, hoạt động học tập môn Toán Kỹ năng có thể được rútngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động Trong giảng dạy cần rènluyện cho học sinh các kỹ năng sau:

- Kỹ năng giải toán;

- Kỹ năng vận dụng quy tắc;

- Kỹ năng vận dụng tri thức vào giải toán;

- Kỹ năng chứng minh toán học;

- Kỹ năng đọc và vẽ hình;

- Kỹ năng so sánh.

Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học sinhđược tiến hành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức nào đó.Chẳng hạn, quy trình bốn bước của Polya để giải một bài toán gồm :

 Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán

 Bước 2 : Xây dựng thuật giải

 Bước 3 : Thực hiện thuật giải

 Bước 4 : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải

Tuy nhiên qua thực tế, việc học và nắm vững các bước trên để vận dụngvào giải toán thật không hề đơn giản đối với học sinh, vì đây là một qúa trìnhtrừu tượng hoá và khái quát hóa trong việc rèn luyện tư duy toán học

Do vậy, thông qua một số bài toán cụ thể để hướng dẫn các em làm quendần với việc giải bài toán tính thể tích bằng cách tính gián tiếp thông qua mộtkhối đa diện khác với mức độ từ đơn giản đến phức tạp

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.2.1 Thuận lợi

Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện là bài toán đã được sách giáo khoaHình học 12 đề cập đến thông qua ví dụ và bài tập trong sách Đây là nền tảngban đầu, là cơ sở để từ đó ta phát triển nó lên một mức độ cao hơn Áp dụng vàogiải quyết lớp các bài toán phức tạp hơn

2.2.2 Khó khăn

Học sinh trường THPT Cẩm Thủy 3 đa số là người dân tộc thiểu số, giađình khó khăn nên không được quan tâm đúng mức đến việc học Điểm tuyểnvào lớp 10 của trường là thấp so với mặt bằng chung của tỉnh, mà trong đó môntoán còn thấp hơp nữa Tính thể tích khối đa diện là một chuyên đề khó đối vớihọc sinh lớp 12 Nó càng khó hơn đối với các học sinh của trường THPT CẩmThủy 3, ngay cả với các em học sinh được chọn vào đội tuyển ôn thi HSG cấp

Từ năm 2017 đến nay, việc tổ chức thi trắc nghiệm đối với bộ môn toántrong kỳ thi tôt nghiệp THPT và cả kỳ thi chọn HSG cấp tỉnh môn toán cũng đã

tổ chức thi theo hình thức trắc nghiệm, đã khiến nhiều học sinh có tư tưởng làm

tù mù, không thực sự tập trung vào những phần khó dẫn đến kết quả chưa cao

2.3 Các giải pháp thực hiện

2.3.1 Các kiến thức liên quan

2.3.1 1 Tỉ số thể tích khối chóp

Trường hợp 1: Khối chóp có đáy là tam giác.

Cho hình chóp S.ABC có 3 điểm A’ B’, C’ lần lượt nằm trên 3 cạnh SA, SB,

SC Khi đó, ta có công thức về tỉ số thể tích như sau:

Lưu ý: Công thức trên vẫn đúng trong trường hợp A’ trùng với A Khi đó:

Trường hợp 2: Khối chóp có đáy là hình bình hành

Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Trên các đoạn SA,

SB, SC, lấy lần lượt các điểm A’, B’, C’ khác S Mặt phẳng (A’B’C’) cắt SD tại D’

và tỉ số thể tích là:

2.3.1 2 Tỉ số thể tích khối lăng trụ

Trường hợp 1: Khối lăng trụ có đáy là tam giác.

Cho khối lăng trụ tam giác Trên các cạnh lần lượt lấy

A'

M

P

N

Trường hợp 2: Khối lăng trụ có đáy là hình bình hành.

Cho khối lăng trụ tứ giác có đáy là hình bình hành Mặt phẳng cắt các cạnh lần lượt tại các điểm

C

C' D'

 Tính thể tích khối đa diện dựa vào tỉ số thể tích so với khối chóp

 Tính thể tích khối đa diện dựa vào tỉ số thể tích so với khối lăng trụ

 Tính thể tích khối đa diện dựa vào việc khôi phục hình

2.3.3 Ứng dụng tỉ số thể tích để giải một số bài toán tính thể tích khối đa diện

2.3.3.1 Tính thể tích khối đa diện dựa vào tỉ số thể tích so với khối chóp Bài toán 1 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại ;

Mặt phẳng đi qua điểm

và vuông góc với lần lượt cắt tại Tính ?

Gọi lần lượt là hình chiếu của lên

Khi đó, mặt phẳng là mặt phẳng

Nhận xét: Do khối đa diện trung gian là khối chóp tam giác nên ta sử

dụng trực tiếp công thức tính tỉ số thể tích khối chóp trong trường hợp

có đáy là tam giác để tính tỉ số thể tích.

Bài toán 2 Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng , tâm

của đáy là Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh Gọi

là giao điểm của và mặt phẳng Tính thể tích của khốichóp

Do đó Suy ra .

Bài toán 3 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh ,

vuông góc với mặt phẳng và Gọi lần lượt làtrung điểm của cạnh và ; mặt phẳng cắt tại Tínhthể tích khối đa diện ?

Nhận xét: Trong bài toán 2 và bài toán 3, do khối đa diện trung gian là

khối chóp có đáy là hình bình hành giác nên ta sử dụng trực tiếp công thức tính tỉ số thể tích khối chóp trong trường hợp có đáy là hình bình hành để tính tỉ số thể tích.

Bài toán 4 Cho khối chóp có đáy là tứ giác lồi, tam giác

đều cạnh , tam giác cân tại và , và

Mặt phẳng đi qua và vuông góc với cắt lần lượt tại Tính thể tích khối chóp ?

Lời giải

Ta chia khối S.AMNP thành hai khối là: S.AMN và S.APN.

Tính thông qua khối S.ABC; tính thông qua khối S.ADC

Giả thiết: cân tại và

vuông tại có

.Giả thiết: cân và đều

Mặt khác vuông cân tại là trung điểm

Tương tự ta có là trung điểm

Trong tam giác vuông tại có ,

Nhận xét: Trong bài toán 4, khối chóp có đáy là một tứ giác không

phải hình bình hành nên ta phải chia nó thành hai khối chóp tam giác

để việc tính tỉ số thể tích được thuận lợi.

2.3.3.2 Tính thể tích khối đa diện dựa vào tỉ số thể tích so với khối lăng trụ Bài toán 1 Cho khối hộp chữ nhật có thể tích bằng Biết

Mặt phẳng cắt hình hộp theo thiết diện là tứ giác

Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích cho khối lăng trụ có đáy là hình bình hành ta có:

.Vậy khối đa điện nhỏ hơn là

Nhận xét: Trong bài toán 1, do khối đa diện trung gian là khối lăng trụ

có đáy là hình bình hành nên ta sử dụng trực tiếp công thức tính tỉ số thể tích có sẵn để tính tỉ số thể tích.

Bài toán 2 Cho hình lăng trụ có thể tích bằng Gọi là trung

thể tích của đa diện ?

Lời giải

Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích cho khối lăng trụ có đáy là tam giác ta có:

Mà từ giả thiết suy ra

Nhận xét: Trong bài toán 2, do khối đa diện trung gian là khối lăng trụ

có đáy là tam giác nên ta cũng sử dụng trực tiếp công thức tính tỉ số thể tích có sẵn để tính tỉ số thể tích.

Bài toán 3 Cho khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều Mặt

phẳng tạo với đáy góc và tam giác có diện tích bằng Tính thể tích của khối đa diện ?

Lời giải

Dễ nhận thấy (Chóp và lăng trụ có cùng đáy và chiều cao), suy ra Vậy ta chỉ cần tính

Gọi là trung điểm cạnh Vì là lăng trụ đứng có đáy

là tam giác đều nên là khối lăng trụ đều

Do đó ta có: Suy ra tam giác cân tại .Mặt khác: tam giác đều

Suy ra Vậy góc giữa mặt phẳng và mặt đáy bằng

Nhận xét: Trong bài toán 3, khối đa diện cần tính thể tích mà khối đa

diện trung gian lại là khối lăng trụ có đáy là tam giác, nên ta không

sử dụng công thức tính tỉ số thể tích có sẵn mà phải linh hoạt dựa vào công thức tính thể tích của mỗi loại, đem so sánh diện tích đáy và chiều cao để suy ra tỷ số thể tích của chúng.

Bài toán 4 Cho hình lăng trụ đứng có đáy là hình thoi có cạnh ,

, Gọi lần lượt là trung điểm cạnh Tính thể tích khối da diện lồi có các đỉnh là các điểm

?

Lời giải

Ta chia khối đa diện cần tính thành 2 khối là và

Để tính thể tích khối ta sẽ dùng khối đa diện trung gian

Để tính thể tích khối ta sẽ dùng khối đa diện trung gian

Nhận xét: Trong bài toán 4, khối đa diện cần tính nằm trong khối lăng

trụ nhưng ta không so sánh trực tiếp thể tích của nó với thể tích khối lăng trụ lớn mà gián tiếp qua các khối chóp nằm trong khối lăng trụ.

2.3.3.3.Tính thể tích khối đa diện dựa vào việc khôi phục hình

Trong một số trường hợp, khối đa diện trung gian chưa có sẵn thì chúng

ta phải nghĩ đến việc vẽ thêm hình sao cho hợp lý Sau đó lại sử dụng tỷ số thểtích của hình cần tính với hình vẽ thêm để giải bài toán

Bài toán 1: Cho khối đa diện như hình vẽ Biết tứ giác là một

là hình thang cân có nên Suy ra tam

giác là tam giác đều Do đó, , với là trungđiểm của cạnh

Nhận xét: Trong bài toán 1 này , việc tính trực tiếp thể tích của khối

đa diện đã cho gặp khó khăn vì nó không phải là khối đa diện cơ bản Tuy nhiên, nhờ kỹ thuật khôi phục hình mà ta có được khối chóp tam giác làm trung gian.

Tính thể tích khối tứ diện

Nhận xét: Trong bài toán 2 này , khối tứ diện đã cho độ dài các cạnh

nhưng ta gặp khó khăn vì khó xác định chiều cao của tứ diện.Tuy nhiên, nhờ kỹ thuật khôi phục hình mà ta có được khối tứ diện đặc biệt làm trung gian.

Bài toán 3: Trong không gian, cho khối đa diện (tham khảo hình vẽ)

Biết rằng và là hai hình thang cân nằm

trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau, , Tính thể tích của khối đa diện ?

Lời giải

Nhận thấy đây là một phần của khối lặng trụ tam giác có một mặt bên

là CDEF Gọi , lần lượt là hai mặt phẳng chứa , vàvuông góc với mặt phẳng Gọi , lần lượt là giao điểm của với ,

Do nên góc giữa hai đường thẳng và bằng góc giữa hai mặt phẳng và Mà

, là các hình thang cân bằng nhau nên Do đó,

Thể tích của khối lăng trụ bằng

Hai khối chóp , bằng nhau có Thể tích của các khối chóp , bằng

.Vậy thể tích của khối đa diện bằng

Nhận xét: Trong bài toán 3 này , khối đa diện cần tính thể tích cũng

không phải là khối đa diện cơ bản nên việc tính trực tiếp thể tích sẽ gặp khó khăn Nhờ kỹ thuật khôi phục hình mà ta có được khối lăng trụ đứng tam giác làm trung gian.

Bài toán 4 Cho tam giác đều có cạnh bằng a Dựng các tia , ,

vuông góc với mặt phẳng và cùng nằm về một phía đối với mặt phẳng Trên các tia , , lần lượt lấy các điểm , , sao cho , , Tính thể tích của khối đa diện

khối đa diện trở nên dơn giản hơn rất nhiều so với tính trực tiếp Tuy nhiên ta phải biết cách khôi phục hình một cách hợp lý và chính xác sao cho khối đa diện mới có mối liên hệ với khối đa diện ban đầu và tính thể tích của khối đa diện mới phải dễ dàng hơn.

2.3.3 Bài tập vận dụng

Bài 1 Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , vuônggóc với mặt phẳng và Gọi lần lượt là trung điểm củacạnh và ; mặt phẳng cắt tại Tính thể tích khối đa diện

?

Bài 2 Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , ,

, Gọi , lần lượt là trung điểm của , Góc giữa hai

mặt phẳng và là thỏa mãn Thể tích khối chóp

bằng bao nhiêu?

Bài 3 Cho hình chóp SABCD có là hình chữ nhật cạnh , , vuông góc với mặt phẳng Mặt phẳng tạo với đáy một góc sao cho Gọi , , lần lượt là chân đường cao hạ từ lên cáccạnh , , Tính thể tích khối chóp ?

Bài 4 Cho khối chóp có đường cao bằng 5 diện tích đáy bằng Gọi

lần lượt là trọng tâm các mặt bên Tính thể tíchcủa khối đa diện lồi có đỉnh là các điểm ?

Bài 5 Cho tứ diện đều có cạnh bằng Gọi lần lượt là trung điểmcác cạnh Điểm trên cạnh sao cho Mặt phẳng

cắt tại Tính thể tích khối đa diện ?

Bài 6 Cho lăng trụ có chiều cao bằng 9 và diện tích đáy bằng 15.Gọi , theo thứ tự là các điểm trên các cạnh sao cho ,

Gọi , lần lượt là trọng tâm các tam giác , Tính thểtích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm , , , , và ?

Bài 7 Cho hình lập phương cạnh Gọi là trung điểm của, thuộc cạnh thỏa mãn Mặt phẳng chia khối lậpphương thành hai khối, gọi là khối chứa điểm Tính thể tích khối ?

Bài 8 Cho hình lăng trụ có thể tích là Gọi là trung điểm ,điểm thuộc cạnh sao cho Tính thể tích khối chóp

theo ?

Bài 9 Cho hình lăng trụ có chiều cao bằng và diện tích đáy