Skkn tìm hiểu bài toán cực trị hình học giải tích trong mặt phẳng oxy

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÌM HIỂU BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG OXY Người thực hiện Hồ Trung Sơn Chức vụ Hiệu trưởng SKKN thu[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

Nội dung Trang

1.Mở đầu 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 Nội dung nghiên cứu 2

2.1 Cơ sở lý luận 2

2.1.1 Các tính chất của bất đẳng thức 2

2.1.2 Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 2

2.1.3 Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM) 3

2.1.4 Bất đẳng thức Bunhiacopxki 3

2.1.5 Định lý 3

2.1.6 Phương trình tham số của đường thẳng 3

2.1.7 Phương trình tổng quát của đường thẳng 3

2.1.8 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 4

2.1.9 Góc giữa hai đường thẳng 4

2.1.10 Phương trình tổng quát của mặt phẳng 4

2.1.11 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 4

2.2 Thực trạng của đề tài 5

2.3 Các biện pháp giải quyết vấn đề 5

2.3.1 Dạng bài tìm điểm thỏa mãn một yếu tố cực trị 5

2.3.2 Dạng bài tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất sử dụng phương pháp hình giải tích 15

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 18

3 Kết luận 19

Tài liệu tham khảo……… 20

1 Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài

Xuất phát từ những bài toán trong thực tế, bài toán cực trị là mô hình đơngiản của các bài toán kinh tế trong cuộc sống Với tinh thần đổi mới giáo dụcnhằm phát huy tính chủ động, sáng tạo trong quá trình tiếp thu kiến thức của họcsinh, mặt khác, bài toán cực trị được đưa vào thường xuyên trong các đề thi tốtnghiệp trung học phổ thông và đề thi học sinh giỏi, đề thi đánh giá năng lực,đánh giá tư duy do các trường Đại học tổ chức Điều đó đặt ra cho quá trìnhgiảng dạy bộ môn Toán học cần phải chú ý rèn luyện cho học sinh những dạngtoán này, nhằm đáp ứng với đòi hỏi của thực tiễn và đưa giáo dục nói chung vàToán học nói riêng gần hơn với cuộc sống

Với lý do trên cùng với mong muốn nâng cao chất lượng bài giảng, chất

lượng quá trình giáo dục, tôi mạnh dạn đua ra sáng kiến “Tìm hiểu bài toán cực

trị hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn các phương pháp giải bài toán cực trị hìnhhọc giải tích

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, đối tượng nghiên cứu của đề tàilà:Các phương pháp giải bài toán cực trị trong hình học giải tích

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Sử dụng các phương pháp nghiên cứu chuyên ngành lí luận và phươngpháp giảng dạy môn toán đã học được tập trung vào các phương pháp sau:

-Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung

đề tài

-Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo Dự giờ, trao đổi ý kiếnvới đồng nghiệp về nội dung Thể tích khối đa diện

-Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học

-Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông quacác tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài

1

skkn

2 Nội dung nghiên cứu

2.1 Cơ sở lý luận

2.1.1 Các tính chất của Bất đẳng thức

[1] 2.1.2 Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Cho hàm số xác định trên tập D

Giá trị M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên D nếu

Giá trị m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D nếu

[2]

Đối với hàm hai biến, ba biến…ta cũng có định nghĩa tương tự.

2.1.3 Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM)

Cho n số không âm:

khi đó ta có:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi [3]

2.1.4 Bất đẳng thức Bunhiacopxki

Cho hai bộ n số: khi đó ta có bất đẳng thức:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi [3]

2.1.5 Định lý Nếu hàm số liên tục trên đoạn thì hàm số tồn

tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn [3]

2.1.6 Phương trình tham số của đường thẳng

Đường thẳng đi qua nhận làm vector chỉ phương

Khi đó có phương trình tham số là: [4]

2.1.7 Phương trình tổng quát của đường thẳng

Đường thẳng đi qua điểm nhận làm vector pháptuyến Khi đó có phương trình tổng quát là:

[4]

3

skkn

2.1.8 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho đường thẳng có phương trình tổng quát: ax + by + c = 0 và

điểm Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng

được tính bằng công thức: [4]

2.1.9 Góc giữa hai đường thẳng

Cho 2 đường thẳng lần lượt có phương trình

Gọi là góc giữa hai đường thẳng đã cho Khi đó:

[4]

2.1.10 Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Cho đường thẳng đi qua nhận làm vectorpháp tuyến Khi đó đường thẳng có phương trình tổng quát là:

[5]

2.1.11 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

cách từ điểm M đến được tính bằng công thức

2.3 Các biện pháp giải quyết vấn đề

2.3.1 Dạng bài tìm điểm thỏa mãn một yếu tố cực trị

Bước 1: Xác định điểm là điểm đối xứng với A qua

khi và chỉ khi thẳng hàng Nên ta đi viết phương trình đường thẳng

Với thuật toán trên ta đi đến lời giải chi tiết cho câu a) như sau:

Đặt

Như vậy hai điểm nằm về một phía so với đường thẳng

Gọi là điểm đối xứng với A qua

Đường thẳng

Gọi Tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình:

Do I là trung điểm của nên ta có:

Đường thẳng

Tọa độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ phương trình:

Hình 1

Trong trường hợp câu b) thì thuật toán lại có sự khác biệt so với câu a) Nếu

hai điểm A; B mà nằm về hai phía so với thì ta lại phải đi tìm điểm đối

xứng với A qua Sau đó ta sử dụng đánh giá:

hằng số Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

thẳng hàng Từ đó tìm ra tọa độ của M

Nếu hai điểm nằm về cùng một phía so với thì ta có ngay đánh giá:

hằng số Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi thẳng hàng

Do đó điểm M cần tìm là giao của với

Sử dụng kết quả câu a) ta có hai điểm nằm về cùng phía so với nên ta

có đánh giá: hằng số Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

thẳng hàng

Ta có nên

Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Để củng cố thuật toán trên các em học sinh làm thêm một số bài tập:

Bài 2

7

skkn

Cho hai điểm và đường thẳng Tìm điểm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm Đường thẳng đi qua M cắt

Ox; Oy lần lượt tại

a)Tìm để diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ nhất?

b) Tìm đạt giá trị nhỏ nhất?

c) Tìm đạt giá trị nhỏ nhất?

a) Lời giải 1

Sử dụng phương trình đoạn chắn ta có:

Nhận thấy tam giác vuông tại nên:

Mặt khác do

Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:

Từ đó suy ra: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi xảy ra dấu

bằng Khi đó kết hợp với ta có hệ phương trình:

Bình luận: Ở đây ta sử dụng bất đẳng thức AM-GM và nhận thấy tính hiệu

quả cao, lời giải gọn gàng và đẹp Vấn đề là học sinh cần tìm hiểu được nhiềucách giải cho một đề toán Do vậy một trong những thủ thuật của người thầy(theo cá nhân tôi) là sau lời giải một bài toán nên đặt câu hỏi tự nhiên theo diễn

biến tâm lý: Còn lời giải nào khác nữa không? Câu hỏi đó làm cho học sinh có

hứng thú tìm tòi, và phải làm cho học sinh thấy được chúng ta không nên bằnglòng theo kiểu “ăn xổi”

a) Lời giải 2

Từ kết quả ta rút ra:

9

skkn

Bình luận: Lời giải 2 có vẻ phức tạp, tuy nhiên việc sử dụng đạo hàm vào

bài toán cực trị cũng cần hết sức chú ý vì đây cũng là một công cụ rất mạnhtrong chương trình toán phổ thông mà học sinh cần được trang bị và thành thạo

b) Lời giải 1

Gọi là chân đường cao hạ từ O xuống cạnh AB

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAB ta có:

hằng số Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .Tức là

Vậy ta có hệ phương trình:

Vậy các giá trị cần tìm là:

Bình luận: Trong câu b) ta đã sử dụng kiến thức: độ dài đường chiếu luôn nhỏ hơn độ dài đường xiên Giống như câu a) ta lại có một câu hỏi: Còn lời giải nào khác nữa không? Và cứ như vậy học sinh sẽ có sự hứng thú nhất định và

các em trở thành những nhà thám hiểm thực sự trong kho tàng kiến thức!

Để ý thấy: gợi cho ta nhớ tới bất đẳng thứcBunhiacopxki? Do đó gợi ý cho ta lời giải thứ 2 như sau:

b) Lời giải 2

Theo bài ra do

11

skkn

Xét:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Kết hợp với giả thiết ta có hệ phương trình:

Vậy các giá trị cần tìm là:

Bình luận: Thật gọn, đẹp! Còn có cách giải khác nữa không?

Đối với câu c) Giáo viên sẽ tránh cho học sinh một sai lầm khi sử dụng bấtđẳng thức AM-GM thông qua lời giải 1 của câu c) như sau:

c) Lời giải 1

Ta có (Theo bất đẳng thức AM-GM)

Mặt khác (Theo bất đẳng thức AM-GM)

Từ đó suy ra: Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi cả hai

đánh giá cùng xảy ra dấu bằng Điều đó tương đương với

Dễ nhận thấy hệ trên vô nghiệm Như vậy lời giải là sai!

Từ đó ta có kết luận:

Củng cố thuật toán các em học sinh làm thêm một số bài tập sau:

Bài 6

Trong mặt phẳng toạ độ , viết phương trình đường thẳng đi qua điểm

và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại M, N sao cho đạt giá trịnhỏ nhất?

Bài 7

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm , cắt chiều dương của các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm M, N khác gốc toạ độ sao cho diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ nhất?

Bài 8

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm , cắt chiều dương của các trục Ox, Oy tại các điểm A; B khác gốc toạ độ

sao cho đạt giá trị nhỏ nhất?

Bài 9 Bài toán về góc sút và khung thành

Cho hai điểm A, B nằm về cùng phía so với đường thẳng Tìm trên đường thẳng điểm M sao cho M nhìn xuống A, B một góc lớn nhất?

Nhận xét: Bài số 9 là một bài khá lý thú, gây hứng thú và tò mò cho người

làm toán Dễ nhận thấy một vài trường hợp đặc biệt như khi là tiếp tuyến của

đường tròn đường kính AB thì điểm M cần tìm chính là tiếp điểm Vậy trong các

Dựng đường tròn đi qua A, B và tiếp xúc

với tại M Ký hiệu là đường tròn (C)

Hình 2

I

skkn

Vì là một giá trị của biểu thức điều đó tương đương với

phải có điểm chung (*)

(*)

So sánh các kết quả của (1); (2) và (3) ta có

Bình luận: Như vậy ta đã sử dụng phương pháp của hình học giải tích để

tìm Max của biểu thức A nhờ những nhận xét về điều kiện và đầu bài Sẽ tương

đối khó khăn khi đi tìm một phương pháp khác cho bài số 10! Với bài 10 ta cóthể khái quát hoá thành bài tập như sau:

Bài 11 Cho thoả mãn điều kiện P Trong đó P có thể biến đổi về

thức trong đó biểu thức cũng biến đổi được đưa về phương trình của mộtđường tròn nào đó.

Quay lại Bài 10 ta có thể nhận thấy biểu thức A có thể được biến đổi nhờ

điều kiện của đầu bài

Thực vậy: Từ giả thiết ta có

Như vậy nếu gọi là một giá trị của biểu thức A Điều đó chứng tỏ giữa

tâm phải có điểm chung (**)

Bình luận: Với việc đưa biểu thức A về dạng phương trình đường thẳng

thì ta phải xử lý ít trường hợp hơn so với việc đưa biểu thức A về phương trình

của đường tròn

1 Bài tập vận dụng

Bài 12 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức với điều kiện:

trên đường tròn (C) sao cho tam giác HAB có diện tích là lớn nhất, nhỏ nhất

17

skkn

Bài 14 Cho đường tròn: Viết

phương trình đường thẳng d đi qua điểm M cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B

sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất ở đây I là tâm đường tròn (C)

cho

1 có độ dài ngắn nhất (Đ/s: M(-2;1))

2 đạt giá trị nhỏ nhất (Đ/s: )

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến này tôi thực hiện từ năm học 2019-2020 và tiếp tục bổ sung,hoàn thiện vào năm học 2021- 2022 Để đánh giá kết quả của đề tài tôi thực hiệncho học sinh làm dạng bài trong chuyên đề trước và sau khi giảng dạy kết quảthu được là khả quan Trước khi giảng dạy thì chỉ có một số em làm được saukhi giảng dạy chuyên đề thì đa số các em đã định hình phương pháp làm và thựchiện thành thạo Sau đây là kết quả kiểm nghiệm:

Như vậy nhìn vào bảng thống kê đa số học sinh đã hiểu và vận dụng và thực

hiện được bài toán cực trị trong hình giải tích (Oxy) Điều đó chứng tỏ sáng

kiến: “Tìm hiểu bài toán cực trị hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy” đãnâng cao hiệu quả học tập môn toán cho học sinh

Sáng kiến kinh nghiệm này của tôi đã được giáo viên trong tổ đánh giácao và các đồng nghiệp hưởng ứng cùng áp dụng trong phạm vi tổ Qua đó đãđóng góp một phần nho nhỏ vào công tác nâng cao hiệu quả giáo dục của trườngTHPT Tĩnh Gia 3

3 Kết luận

1 Chuyên đề có giá trị thực tiễn trong công tác giảng dạy và học tập của họcsinh và giáo viên

2 Phù hợp với khả năng nhận thức và tiếp thu của học sinh

3 Chuyên đề sẽ được mở rộng ra các bài toán cực trị trong không gian

4 Do trình độ nên chuyên đề có thể còn một số khiếm khuyết, rất mong sựđóng góp ý kiến của đồng nghiệp để chuyên đề có giá trị cao hơn

Xin trân trọng cảm ơn!

19

skkn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Trần Văn Hạo Đại số 10 Hà Nội: Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2009 [2] Trần Văn Hạo Giải tích 12 Hà Nội: Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam,

2009

[3] Trần Phương Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học Hà

Nội: Nhà xuất bản Tri thức, 2009

[4] Trần Văn Hạo Hình học 10 Hà Nội: Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam,

2009

[5] Trần Văn Hạo Hình học 12 Hà Nội: Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam,

2009

[6] Đề thi chọn HSG - lớp 11 Thành phố Hà Nội năm học 2008-2009.

21

skkn

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 05 tháng 05