Skkn ứng dụng giải tích trong chứng minh bất đẳng thức

Với các em học sinh khối 12, sau khi đượchọc các tính chất giải tích của hàm số, các em sẽ có một công cụ cơ bản và có tínhtương lai để chứng minh bất đẳng thức hay các bài toán max-min.

MỤC LỤC

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài.

1.2 Mục đích nghiên cứu

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm

3 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Đối với người giáo viên đặc biệt là giáo viên ở trường chuyên ngoài nhiệm vụtrang bị cho các em học sinh những kiến thức nền tảng để giải quyết các bài toán cơbản, chúng tôi còn tham gia giảng dạy, bồi dưỡng các đội tuyển học sinh giỏi Vì vậyviệc học tập, trau dồi các chuyên đề nâng cao cũng là một nhiệm vụ quan trọng

Nội dung Bất đẳng thức là một trong các nội dung thường xuất hiện trong đềthi vào 10, đề thi học sinh giỏi môn Toán, đề thi đại học, đề thi THPT quốc gia và ởnhiều mức độ khác nhau Bên cạnh đó lại có nhiều phương pháp giải mới không phảihọc sinh nào cũng có điều kiện tiếp cận Với các em học sinh khối 12, sau khi đượchọc các tính chất giải tích của hàm số, các em sẽ có một công cụ cơ bản và có tínhtương lai để chứng minh bất đẳng thức hay các bài toán max-min

Nhằm nâng cao hiệu quả giáo dục trong nhà trường phổ thông, và góp phầntừng bước nâng cao chất lượng của công tác bồi dưỡng học sinh giỏi của trường

chuyên, tôi biên soạn chuyên đề: “Ứng dụng giải tích trong chứng minh bất đẳng thức ”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của Sáng kiến kinh nghiệm là tìm ra các phương phápgiúp học sinh tiếp cận và có nền tảng kiến thức cơ bản để xử lí bài toán bất đẳngthức, rèn luyện khả năng suy nghĩ độc lập, tìm tòi, và phát hiện vấn đề

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của Sáng kiến kinh nghiệm là các lớp chuyên Toán, cácđội tuyển học sinh giỏi môn Toán Trường THPT chuyên Lam Sơn

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về Bất đẳng thức, Giải tích, Phương

Quan sát: Quan sát thực trạng Dạy - Học của các lớp chuyên Toán 10, 11, 12 nóichung và đội tuyển HSG môn Toán nói riêng, phần bất đẳng thức ở Trường THPTchuyên Lam Sơn.

Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi

và hiệu quả của việc vận dụng dạy học một số nội dung trong phần bất đẳng thức vàodạy các lớp chuyên Toán 10, 11, 12 và đội tuyển học sinh giỏi Toán ở Trường THPTchuyên Lam Sơn

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

1 Định lí về tính đơn điệu của hàm số: Nếu hàm số có đạo hàm trênkhoảng và trên thì đồng biến trên khoảng đó

2 Các bất đẳng thức cơ bản như Cauchy, AM-GM, Cauchy-Schwarz,

3 Các kiến thức cơ bản về hàm số ở Chương I SGK cơ bản Toán 12

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Học sinh các lớp chuyên và đội tuyển thường gặp khó khăn khi gặp bài toán bấtđẳng thức Các tài liệu chưa đưa ra hệ thống các bài tập, phương pháp hiệu quả đểgiải bài toán đa thức

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm, các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

- Hướng dẫn học sinh tìm hiểu kỹ đề bài, gợi ý cho các em theo định hướng pháthiện và giải quyết vấn đề Đưa ra các phân tích tư duy, tại sao và thế nào, cách nghĩchung nhất để phát hiện lời giải

- Luôn hướng dẫn học sinh dùng tương tự hóa để tìm lời giải cho bài toán mới

- Rèn luyện cho học sinh thực hiện phân chia ra thành các công đoạn để dễ thựchiện giải toán

- Luôn linh hoạt trong giải toán, kết hợp thành thục giữa các phương pháp

- Nêu ra một số phương pháp chung để giải bài toán đa thức với hệ thống bài tập

và các ví dụ mẫu mực

Sau đây là phần nội dung chi tiết sáng kiến kinh nghiệm

Phần I SỬ DỤNG HÀM SỐ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Bất đẳng thức (BĐT) trong các kì thi THPTQG, HSG Tỉnh, HSG Quốc gia, HSGkhu vực và Quốc tế có thể coi là những bài toán hay và khó.Cùng với BĐT AM-GM,BĐT Cauchy-Schwarz, BĐT Chebyshes, BĐT Jensen thì sử dụng hàm số cũng làmột phần kiến thức quan trọng trong nhiều bài toán đại số cũng như BĐT Nó thực

sự là một công cụ hiệu quả và có ứng dụng rộng rãi trong giải toán, cũng là mộtphương pháp chuẩn mực nhất khi ta gặp phải các BĐT thông thường

I.1 Bất đẳng thức một biến số

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi ta có .

Giải: Xét hàm số trên Ta có

với mọi , trong đó Vì hàm g đồng biến trên nên

Ta có bảng biến thiên

0

- 0 +

2

Từ bảng biến thiên suy ra

Bài 3: Cho và Chứng minh rằng

Suy ra

Do đó g(x) nghịch biến trên Suy ra

Bài 4: Chứng minh rằng nếu thì

(vì với thì và theo BĐT AM-GM ta có )

Do đó đồng biến trên Suy ra , hay

I.2 Bất đẳng thức có hai hay nhiều biến số

Để chứng minh BĐT có chứa nhiều biến số bằng phương pháp đạo hàm thì điều quantrọng nhất là chúng ta đưa được về một biến và khảo sát hàm số theo biến đó

Bài 7: Chứng minh rằng

Giải: Ta có

,nên là hàm nghịch biến trên Do đó (đpcm)

Bài 8: Chứng minh rằng với mọi ta có

.Giải:

Suy ra tăng trên (0;1), tức là nếu ,

.Giải: Ta có nên BĐT cần chứng minh tương đương

và

Ta có bảng biến thiên

0

- 0 +

0

Suy ra

Bài 11: Cho là các số thực dương thỏa mãn Tìm GTLN

và GTNN của biểu thức

.

Giải: Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử , khi đó Ta

phải tìm GTLN và GTNN của Ta có

trong đó Do và nên ta phải có , tức là

Dấu “=” xảy ra khi là các hoán vị của (2, 1, 1) và

Giải: Ta có

Mà

Áp dụng BĐT AM-GM ta có , suy ra

Bài 13: Chứng minh rằng nếu là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì

.Giải: Đặt Do vai trò của bình đẳng nên khônggiảm tổng quát ta có thể giả sử

.Đồng thời Với giả thiết và và (3) suy ra

, tức là tam giác ABC đều

Bài 14: Cho là các số thực thuộc đoạn [1; 4] và Tìm GTNN của biểu thức

.

Giải: Trước hết ta chứng minh với mọi dương, thì

(*)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hoặc

Áp dụng (*) với thuộc đoạn [1; 4] và ta có

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (2)

Do đó Từ (1) và (2) suy ra dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Bài 15: Xét phương trình với a, b là các số thực, ,

sao cho các nghiệm đều là số thực dương Tìm GTNN của

Giải: Gọi là ba nghiệm thực dương của đa thức Theo định lýViete ta có

Từ đó suy ra

Đặt Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dương ta có

.Mặt khác

Từ (1), (2) và (3) ta có

Xét hàm số với .

Ta được Dấu bằng xảy ra khi Suy ra

Phần II GIỚI THIỆU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

II.1 Phương pháp xét phần tử cực biên

Nội dung của phương pháp này dựa trên tính chất sau đây của hàm số bậc nhất

Định lí 1: Xét hàm số bậc nhất trên ta có

,

Vì vậy phương pháp này chỉ hiệu quả đối với các bài toán có hàm số là hàm bậc nhấttheo từng biến

Giải Ta biến đổi bất đẳng thức về dạng bậc nhất đối với biến như sau:

Ta có

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Phương pháp này còn hiệu quả trong một số trường hợp bất đẳng thức đối xứng ba biến có tổng không đổi như trong ví dụ sau:

Giải Biến đổi vế trái bất đẳng thức về hàm bậc nhất đối với biến như sau:

Vì vậy giống như trong hai ví dụ trên ta đưa về xét

,

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Một ví dụ khác tương tự như sau:

Giải Đối với bài này cần phải biến đổi vế trái như sau:

Thay và coi vế trái là hàm số bậc nhất đối với , ta được

Đến đây ta cũng đưa về xét

Từ đó cũng suy ra được điều phải chứng minh

II.2 Phương pháp tiếp tuyến

Để giải bài này ta cần tới bất đẳng thức phụ:

.Thật vậy, biến đổi ta đưa được về dạng

Từ đó xét

và suy ra điều phải chứng minh

Vấn đề phát sinh trong ví dụ mở đầu này đó là sự xuất hiện của biểu thức Đa phần học sinh khi được giới thiệu cách làm như trên đều có chung một thắc mắc là

làm thế nào để tìm được biểu thức Để trả lời cho câu hỏi này ta bắt đầu với một tính chất:

Định lí 2: Cho hàm số lồi trên một khoảng D chứa điểm , nếu biếtđường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành

độ thì luôn có (đường tiếp tuyến “nằm trên” đồ thị)

Nếu hàm số lõm trên khoảng D thì ta có bất đẳng thức ngược lại

.Trở lại với ví dụ mở đầu, ta luôn có hàm số lõm trên , còn

đường thẳng lại là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm ,

là điểm mà dấu bằng trong bất đẳng thức xảy ra Từ đó áp dụng định lí 2 ta rút ra

trong ví dụ trên

Dự đoán ngay được dấu bằng xảy ra khi Vì vậy đưa về xét tiếp tuyến

của hàm số , tại điểm , viết được phương trình tiếp tuyến là

Nên ta có lời giải sau:

Giải Xét hiệu

Cộng vế các bất đẳng thức cùng chiều ta có

Nhận thấy ngay trong ví dụ 2 đầu tiên cần biến đổi để đưa về các biểu thức một biến

Từ đó đưa về xét tiếp tuyến của đồ thị hàm số , tại điểm mà dấu

bằng xảy ra, tức là tại , viết được phương trình tiếp tuyến là

Từ đó cộng vế các bất đẳng thức cùng chiều ta có điều phải chứng minh

Bài 23 Cho , chứng minh bất đẳng thức

Nhận thấy tính đồng bậc và tính đối xứng của bất đẳng thức nên ta chuẩn hóa

Do đó đưa về chứng minh

Từ đó đưa về xét tiếp tuyến của hàm số tại điểm , viết được

phương trình tiếp tuyến là

, ,

Từ đó cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta có điều phải chứng minh

Bài 24 Cho Chứng minh rằng:

Nhận thấy bất đẳng thức đối xứng và đồng bậc, để ý sự xuất hiện nhiều lần của

, nên ta chuẩn hóa Từ đó đưa về chứng minh

Đến đây đưa về xét hàm và tiếp tuyến của nó tại , thu

được phương trình tiếp tuyến là

cho bằng rồi cộng vế với vế của các bất đẳng thức cùng chiều ta thu được

Từ đó thu được điều phải chứng minh

II.3 Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số bậc ba

Cho ba số thực bất kì, đặt

Khi đó ta tìm được đa thức bậc ba nhận ba số làm ghiệm là

Bây giờ ta xét trong một trường hợp đặc biệt, đó là khi ba số thực thỏa mãn

Như đã biết , vì vậy ta có thể đặt

Trong trường hợp ta suy ngay được và

Vì nên nếu bất đẳng thức hiển nhiên đúng, còn với bình

Và dẫn đến điều phải chứng minh

Bài 26 Cho Chứng minh rằng

Giải Nhận thấy các số hạng trong bất đẳng thức đều đồng bậc nên chuẩn hóa

, với ký hiệu như đã trình bày ở trên thì bất đẳng thức được đưa về

Áp dụng định lý 3 ta có

Từ đó suy ra điều phải chứng minh Đồng thời với cách làm này ta thấy dấu bằng xảy

ra khi (tức là ) và khi (tức là và các hoán vị)

Phương pháp này thường dùng khi trong bất đẳng thức cần chứng minh có các đạilượng và tỏ ra rất hiệu quả Rất nhiều bài toán trên báoToán học tuổi trẻ hay các kì thi HSG có thể giải bằng phương pháp trên, trong khinếu giải bằng phương pháp khác thì khó khăn hơn nhiều!

3 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỐI VỚI HOẠT ĐỘNG GIÁO DỤC, VỚI BẢN THÂN,

ĐỒNG NGHIỆP VÀ NHÀ TRƯỜNG

Là giáo viên đã dạy chuyên Toán nhiều năm và hiện đang dạy lớp 11 chuyênToán, tác giả đã nhận thấy những kết quả rất tích cực sau khi triển khai sáng kiếnkinh nghiệm cho các lớp chuyên Toán và các em trong đội tuyển HSG trường

Trước hết, các em đã có được những kiến thức rất cơ bản, cách tiếp cận bài toán

đa thức và có thể làm được ngay trong đề thi hay bài tập nâng cao

Trước khi áp dụng sáng kiến này: các em chưa có kĩ năng dùng giải tích để

chứng minh bất đẳng thức, lúng túng khi gặp chọn các hàm số để giải quyết vấn đề

Sau khi áp dụng sáng kiến: các em đã có phương pháp giải, biết chọn hàm số để

xử lí Trong các bài kiểm tra học kì của các khóa chuyên Toán 2021,2019-2022, bài toán bất đẳng thức ở mức độ vận dụng các em lớp chuyên toánT1, T2 đều làm được và có đáp án đúng

2017-2020,2018-Trong kì thi HSG quốc gia lớp 12 năm học 2019-2020 và 2020-2021, 100%(10/10) các em đều đạt giải Riêng năm học 2020-2021 có 1 giải nhất, 7 giải nhì, 2giải ba quốc gia môn Toán! Kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia-VMO 2022 dành cho khối

11 và 12 đội tuyển nhà trường đạt 03 giải nhì, 02 giải ba, 02 giải KK, và có 1 em được chọn đi thi Toán quốc tế IMO.

Sáng kiến này với hệ thống bài tập cũng là một tài liệu để các em tra cứu và tựluyện Giáo viên nên cho các em làm hết tất cả các bài tập, xem kĩ các bài tập mẫu.Các bài tập này giúp các em biết vận dụng cao hơn, tư duy sâu hơn, phát triển kĩ nănggiải Toán Các bài tập thậm chí rất có ích cho các em khi làm trắc nghiệm

4 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 4.1 Kết luận

Phần Bất đẳng thức trong chương trình toán học phổ thông là phần khó, và luôn

là thách thức trong các kì thi HSG Khi các em học sinh vượt qua được bài này là cógiải chính thức Phần này ở đầu chương trình lớp 12 các em còn gặp lại nhiều trongcác bài toán khảo sát hàm số, vốn kiến thức về bất đẳng thức vững vàng sẽ giúp íchcho các em khi học cao lên ở chương trình Đại học

Trên đây là một số kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi một số nội dung trongphần bất đẳng thức ở Trường THPT chuyên Lam Sơn của người viết Trong phạm vi

đề tài này, tác giả cũng chỉ mới đưa ra một số ít phương pháp điển hình và dạng bàitập về nội dung trên Rất mong các bạn đồng nghiệp, người đọc góp ý kiến, bổ sung

để có cách dạy và khai thác thể loại này một cách tốt nhất và hiệu quả cao nhất

4.2 Kiến nghị

Sở GD và ĐT luôn ủng hộ và tạo điều kiện để các giáo viên được gặp gỡ, giaolưu, rút kinh nghiệm và có thêm nhiều sáng kiến hay trong giảng dạy môn Toán vàtrao đổi chuyên đề

* * *Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung củangười khác

Thanh Hóa, ngày 09 tháng 05 năm 2022

Bùi Văn Bình

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Đề thi Olympic vùng Duyên hải và đồng bằng Bắc Bộ môn Toán các năm từ 2010đến 2018

2 Đề thi đề nghị Olympic vùng Duyên hải và đồng bằng Bắc Bộ môn Toán các năm

từ 2010 đến 2018

3 Báo Toán Học và Tuổi Trẻ

4 Đề thi học sinh giỏi môn Toán của các nước từ 1990 đến 2018

5 Đề thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán các năm từ 1990 đến 2018

6 Đề thi chọn đội tuyển quốc gia môn Toán các năm từ 1990 đến 2018

7 Tài liệu mạng: www.http://math.vn

www.http://mathscopre.org.vnwww.http://diendantoanhoc.orghttp://violet.vn

http://k2pi.net

Mẫu 1 (2)

DANH MỤC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP

CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Bùi Văn Bình

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên Toán, Trường THPT chuyên Lam Sơn,

Cấp đánh giá xếp

loại

(Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh )

Kết quả đánh giá xếp loại

(A, B, hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

1 Bài toán giới hạn dãy số Ngành GD tỉnh;