Mặc dù đa phần các bài tập đều quy về khảo sát hàm số bằng phương pháp đạo hàm song với thời gian giải quyết đề thi trắc nghiệm như hiện nay, việc sử dụng các kết quả sẵn có giúp học sin
NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
NGUYÊN TẮC GHÉP TRỤC XÉT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM HỢP
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm , giả sử ta được tập xác định
Bước 2: Xét sự biến thiên của và hàm (B2 có thể làm gộp trong bước 3 nếu nó đơn giản).
Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa và
Các thành phần trong BBT bao gồm việc xác định các điểm kỳ dị của hàm số, sau đó sắp xếp các điểm này theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải Quá trình này giúp hiểu rõ hơn về đặc điểm của hàm số và chuẩn bị cho các bước phân tích tiếp theo Chú ý quan trọng là cần chú ý đến các điểm kỳ dị của hàm để đảm bảo phân tích đúng đắn và chuẩn xác.
Dòng 2: Điền các giá trị với
Trên mỗi khoảng cần bổ xung các điểm kỳ dị của của hàm
Trên mỗi khoảng cần sắp xếp các điểm theo thứ tự chẳng hạn: hoặc (xem chú ý 2).
Dòng 3: Xét chiều biến thiên của hàm dựa vào BBT của hàm bằng cách hoán đổi: đóng vai trò của ; đóng vai trò của
Sau khi hoàn thiện BBT hàm hợp ta thấy được hình dạng đồ thị hàm này.
Bước 4: Dùng BBT hàm hợp giải quyết các yêu cầu đặt ra trong bài toán và kết luận.
- Các điểm kỳ dị của gồm: Điểm biên của tập xác định , các điểm cực trị của
- Nếu xét hàm thì trong dòng 1 các điểm kỳ dị còn có nghiệm của pt (là hoành độ giao điểm của với trục ).
- Nếu xét hàm thì trong dòng 1 các điểm kỳ dị còn có số 0 (là hoành độ giao điểm của với trục ).
- Có thể dùng thêm các mũi tên để thể hiện chiều biến thiên của
- Điểm kỳ dị của gồm: Các điểm tại đó và không xác định; các điểm cực trị hàm số
- Nếu xét hàm thì trong dòng 2 các điểm kỳ dị còn có nghiệm của pt (là hoành độ giao điểm của với trục ).
- Nếu xét hàm thì trong dòng 2 các điểm kỳ dị còn có số 0(là hoành độ giao điểm của với trục ).
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Kể từ năm 2017, kỳ thi THPT Quốc Gia đã có sự thay đổi, trong đó các bài toán về hàm số chiếm tỷ lệ 20% và có thể xuất hiện trong đề thi Các đề thi minh họa lần 1 và lần 2 của Bộ Giáo Dục và Đào tạo đều bao gồm các bài toán về hàm hợp, thể hiện tính phổ biến của dạng bài này Trước khi bắt đầu đề tài này, nhiều học sinh mất khoảng 7 phút để xử lý một bài toán hàm hợp, đây là dạng toán quen thuộc đối với học sinh chăm chỉ Với nỗ lực luyện tập, học sinh hoàn toàn có thể rút ngắn thời gian giải xuống còn 1 phút, mục tiêu mà tôi hướng tới khi thực hiện chuyên đề này.
Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Câu 46-MH-BGD-L1 Năm 2020: Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình bên
Số điểm cực trị của hàm số
Cách 1: Tự luận truyền thống Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số như sau
Dựa trên đồ thị hàm số, chúng ta có thể nhận thấy rằng đường thẳng cắt đồ thị tại một điểm duy nhất, cho thấy giá trị của hàm số tại điểm đó Đồng thời, đồ thị cũng cho thấy đường thẳng cắt hàm số tại ba điểm khác nhau, phản ánh sự biến đổi của hàm số qua các vị trí khác nhau trên trục hoành Điều này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số và mối liên hệ giữa đường thẳng và đồ thị hàm số.
Như vậy phương trình có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt.
Vậy hàm số có 7 cực trị.
Cách 2: Phương pháp ghép trục
Xét hàm số ta có
Gọi a, b, c là các điềm cục trị của hàm số khi đó
Và ta cũng có Suy ra có 7 điểm cực trị.
Câu 45-MH-BGD-L1 năm 2020: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thuộc đoạn của phương trình là
Cách 1: Tự luận truyền thống Đặt Do nên Khi đó ta có phương trình Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có 2 nghiệm và
Trường hợp 1: Ửng với mỗi giá trị thì phương trình có 4 nghiệm
Trường hợp 2: Ứng với mỗi giá trị thì phương trình có 4 nghiệm Hiển nhiên cả 6 nghiệm trong 2 trường hợp trên đều khác nhau
Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm thuộc đoạn
Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt vì
Câu 46-MH-BGD-L2: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau
Số nghiệm thuộc đoạn của phương trình là
Cách 1: Tự luận truyền thống Đặt
Khi đó phương trình trở thành
Dựa vào bảng biến thiên, ta có
Trường hợp 1: Ứng với mỗi giá trị thì phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn
Trường hợp 2: Ửng với mỗi giá trị thì phương trình có 3 nghiệm thỏa mãn
Hiển nhiên cả 5 nghiệm trong 2 trường hợp trên đều khác nhau Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thuộc đoạn
Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt
Khi đó phương trình trở thành
Do đó tổng số nghiệm của phương trình đã cho là 5
Bài tập ứng dụng
Câu 1: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên , và có bảng biến thiên như dưới đây
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có đúng 6 nghiệm thực phân biệt?
Ghép trục ta được: Để phương trình có đúng 6 nghiệm thực phân biệt thì
Hàm số bậc bốn có đồ thị như hình vẽ bên, yêu cầu xác định số giá trị nguyên của tham số để phương trình có ít nhất năm nghiệm phân biệt Để đảm bảo phương trình có ít nhất năm nghiệm phân biệt, cần phân tích kỹ hình dạng đồ thị và các điểm cực trị của hàm số Việc tìm các giá trị nguyên của tham số thỏa mãn điều kiện này giúp mở rộng kiến thức về nghiệm phân biệt của phương trình bậc bốn Đây là một bài toán quan trọng trong lĩnh vực đại số và phân tích toán học, thu hút sự quan tâm của các học sinh và sinh viên.
Ta có BBT của hàm số Đặt
Ta có BBT của hàm số
Ghép trục ta được: có ít nhất 5 nghiệm phân biệt và
Câu 3: Cho có bảng biến thiên như sau:
Số điểm cực trị của hàm số với là:
Ta có BBT của hàm số là:
Từ bảng biến thiên của hàm số và , ta có bảng biến thiên của hàm số qua phương pháp ghép trục là:
Do đó có 7 điểm cực trị.
Câu 9: Cho hàm số có đạo hàm trên và có bảng biến thiên như sau
Số điểm cực đại của hàm số là
Tập xác định của hàm số là
Ta có Đặt Khi đó bảng biến thiên của hàm số là
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số cho có 7 điểm cực đại.
Câu 16: Cho hàm số có đạo hàm trên và có bảng biến thiên như sau:
Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
Dựa vào bảng biến thiên của
Nên ta có bảng biến thiên sau:
Sử dụng phương pháp ghép trục, ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số có 9 điểm cực trị.
Câu 1: Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên như hình bên.
Xác định số nghiệm của phương trình ,biết
Theo bài ra ta có bảng biến thiên tổng hợp: Đồ thị hàm số là phần nét liền.
Câu 2: Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình có nghiệm phân biệt
Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
Câu 3: Cho hàm số Số điểm cực trị của hàm số là
Từ hai BBT trên ta có BBT của hàm số
Vậy hàm số ban đầu có 3 điểm cực trị.
Câu 4: Cho là hàm đa thức bậc sao cho đồ thị hàm số như hình vẽ
Tìm số điểm cực trị của hàm số
Đầu tiên ta nhận xét tại và đồ thị tiếp xúc trục nên ta có trong đó , là nghiệm kép.
Xét phương trình ,ta loại hai nghiệm và do nghiệm kép không là điểm cực trị.
Tóm lại hàm số có ba điểm cực trị là
BBT cùa hàm số Đặt
Vậy hàm số có ba điểm cực trị.
Câu 5: Cho hàm số liên tục trên có đồ thị như hình vẽ. x y
Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn
Cách 1: PP tự luận truyền thống
Dựa vào đồ thị ta có
Ta có nên phương trình vô nghiệm.
Xét đồ thị hàm số trên đoạn x y
Ta thấy phương trình có 2 nghiệm trên đoạn ; phương trình
Hàm số u có 2 điểm cực trị là
Từ đồ thị hàm số và từ bảng biến thiên của hàm số ta có bảng sau:
Từ bảng trên ta thấy phương trình có nghiệm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm
Câu 6: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thuộc khoảng của phương trình là
Cách 2: PP tự luận truyền thống Đặt
Số nghiệm thuộc khoảng của phương trình là 6
Câu 7: Cho hàm số liên tục và xác định và có đồ thị như hình vẽ Hàm số có tất cả bao nhiêu điểm cực trị? Đặt
Vẽ đồ thị hàm số , từ đó suy ra đồ thị
Suy ra hàm số có tất cả 5 diểm cực trị.
Câu 8: Cho hàm số liên tục trên có đồ thị như hình vẽ Phương trình có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?
Cách 1: Phương pháp tự luận
+) Do phương trình có 1 nghiệm
+) Do phương trình có 3 nghiệm
+) Do phương trình có 3 nghiệm
Dễ thấy 7 nghiệm phân biệt Vậy phương trình đã cho có đúng 7 nghiệm.
Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt
Từ đồ thị của hàm ta suy ra BBT của hàm và hàm như sau
Từ bảng trên ta thấy phương trình có 7 nghiệm phân biệt.
Câu 9: Cho hàm số có đạo hàm trên và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Đặt Số điểm cực trị của hàm số là
Cách 1: Phương pháp tự luận
, có 3 nghiệm đơn phân biệt , , khác và
+ Vì nên có 3 nghiệm đơn phân biệt , , khác , , , Suy ra có 8 nghiệm đơn phân biệt.
Do đó hàm số có 8 điểm cực trị.
Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt
Từ đồ thị của hàm ta suy ra BBT của hàm và hàm như sau (với ).
Từ BBT của hàm hợp ta có hàm số có 8 điểm cực trị.
Câu 10: Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Số điểm cực trị của hàm số là
Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống
Do là hàm số bậc bốn nên là hàm số liên tục và có đạo hàm luôn xác định tại
Theo đồ thị hàm số ta có được
Ta có , , từ đó ta có BBT của như sau
Từ Bilinear form của hàm số, ta xác định được phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt, tất cả các nghiệm này đều khác nhau, đảm bảo tính phân biệt rõ ràng của các nghiệm Điều này cho thấy phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt và tất cả đều là nghiệm đơn Do đó, hàm số này có các điểm cực trị, phản ánh rõ sự biến thiên của hàm theo các nghiệm này.
Từ đồ thị hàm số ta có được và Đặt Cho
Từ bảng biến thiên trên ta thấy hàm số có 11 điểm cực trị.
Hàm số liên tục trên và có đồ thị là đường cong trơn, không gãy khúc, giúp xác định chính xác số nghiệm phân biệt của phương trình Việc phân tích đặc điểm đồ thị và tính liên tục của hàm số là chìa khóa để xác định số nghiệm phân biệt của phương trình liên quan Các tài liệu về hàm số và đồ thị giúp dễ dàng nhận biết số nghiệm phân biệt dựa trên hình dạng của đường cong Để giải bài toán này, cần khảo sát tính biến thiên của hàm số và dựa vào đồ thị để xác định số nghiệm phân biệt chính xác nhất.
Từ đồ thị ta có và Đặt , ta có hàm số
Số nghiệm phân biệt của phương trình chính là số cực trị của hàm số
Dựa vào đồ thi hàm số ta có bảng biến thiên sau:
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số có 12 cực trị.
Vậy phương trình có 12 nghiệm phân biệt.
Câu 19: Cho hàm số liên tục trên có đồ thị như hình vẽ
Phương trình có bao nhiêu nghiệm?
Ta có bảng biến thiên sau
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Câu 20: Cho hàm số liên tục trên có đồ thị có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thuộc đoạn của phương trình là
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy PT có 10 nghiệm.
Câu 21: Cho hàm số thỏa mãn Đồ thị hàm số cho bởi hình vẽ dưới đây.
Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu?
Từ đồ thị hàm ta có BBT:
Số điểm cực trị dương của hàm là
Do đó số điểm cực tiểu của là:
Câu 22: Cho hàm số Tìm m để phương trình có đúng nghiệm phân biệt thuộc
Câu 23: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm thuộc đoạn phương trình là
Số nghiệm phương trình bằng số giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số , từ bảng biến thiên phương trình có 9 nghiệm.
Vậy phương trình có 9 nghiệm.
Câu 24: Cho hàm số với có đồ thị như hình vẽ
Phương trình (với là tham số thực dương), có tối đa bao nhiêu nghiệm?
Số nghiệm phương trình bằng số giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số , từ bảng biến thiên phương trình có tối đa 18 nghiệm.
Câu 25: Cho hàm số có đồ thị như hình dưới Có bao nhiêu số nguyên để phương trình có 6 nghiệm phân biện thuộc đoạn ?
Khi đó , có 6 nghiệm phân biệt
Vậy có duy nhất 1 số nguyên thoả mãn bài toán.
Câu 26: Cho hàm số , hàm số có đồ thị như hình bên Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng ?
Khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
SL % SL % SL % SL % SL %