Skkn rèn luyện kỹ năng giải bài toán tìm đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm cho học sinh lớp 11 thông qua sự hỗ trợ của máy tính cầm tay kết hợp với phương pháp dạy học theo dự án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THCS VÀ THPT NHƯ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN TÌM ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM CHO HỌC SINH LỚP 11 VỚI SỰ HỖ T

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THCS VÀ THPT NHƯ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN TÌM ĐẠO HÀM

VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM CHO HỌC SINH LỚP 11 VỚI

SỰ HỖ TRỢ CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY KẾT HỢP PHƯƠNG

PHÁP DẠY HỌC THEO DỰ ÁN

Người thực hiện: Lưu Thị Hương Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2022

MỤC LỤC

1 Mở đầu 1

1.1 Lý do chọn đề tài 1

1.2.Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2

2.3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề 2

2.3.1 Một số nội dung về đạo hàm trong Đại số và Giải tích 11 2

2.3.2 Ứng dụng MTCT để tìm đạo hàm của hàm số 4

2.3.3 Vận dụng dạy học theo dự án đối với các bài toán ứng dụng của đạo hàm 9

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 17

3 Kết luận, kiến nghị 18

3.1 Kết luận 18

3.2 Kiến nghị 18

1 Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài

Những năm gần đây trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông, môntoán thi dưới hình thức đề trắc nghiệm Số lượng câu hỏi nhiều, áp lực kiến thứcgia tăng, cần đẩy tốc độ làm bài nhanh nhất nên nếu học sinh không có hứng thúhọc thì khi kiểm tra các em sẽ khoanh bừa

Máy tính cầm tay (không có thẻ nhớ) là một công cụ hỗ trợ đắc lực và phổbiến đối với học sinh và giáo viên bậc THPT, nó thực hiện các phép toán nhanh

và chính xác nên rất phù hợp thi trắc nghiệm

Hơn nữa, trên tinh thần không ngừng đổi mới phương pháp dạy học trongchương trình giáo dục THPT hiện nay thì dạy học theo dự án là một hình thứcdạy học, trong đó người học thực hiện một nhiệm vụ học tập phức hợp, có sự kếthợp giữa lý thuyết và thực hành, có tạo ra các sản phẩm có thể giới thiệu Nhiệm

vụ này được người học thực hiện với tính tự lực cao trong toàn bộ quá trình họctập, từ việc xác định mục đích, lập kế họach, đến việc thực hiện dự án, kiểm tra,điều chỉnh, đánh giá quá trình và kết quả thực hiện Làm việc nhóm là hình thức

cơ bản của dạy học dự án Người học tham gia tích cực và tự lực vào các giaiđoạn của quá trình dạy học, từ việc xác định mục đích, lập kế hoạch đến việcthực hiện dự án, kiểm tra, điều chỉnh, đánh giá quá trình và kết quả thực hiện.Giáo viên chủ yếu đóng vai trò tư vấn, hướng dẫn, giúp đỡ, khuyến khích tínhtích cực, tự lực, tính trách nhiệm, sự sáng tạo của người học Người học khôngchỉ tiếp thu kiến thức về các sự kiện mà còn áp dụng lý thuyết vào thực tế, rènluyện kĩ năng giải quyết vấn đề

Chương trình môn Toán khối 11 tương đối dài và khó đối với nhiều họcsinh Chương V- Đạo hàm trong Đại số và Giải tích 11 là nội dung cuối của sáchgiáo khoa nên vừa có tính kế thừa, vừa là sự tiếp nối cho chương trình Giải tích

12 Đạo hàm có một ý nghĩa vô cùng quan trọng trong thực tiễn cũng như trongmột số môn khoa học khác như Vật lý, Hóa học, Sinh học,…hoặc trong nhữngbài toán kinh tế, bài toán tối ưu,…

Vì vậy tôi đã áp dụng biện pháp: ‘‘Rèn luyện kỹ năng giải bài toán tìmđạo hàm và ứng dụng của đạo hàm cho học sinh lớp 11 thông qua sự hỗ trợ củamáy tính cầm tay kết hợp với phương pháp dạy học theo dự án’’

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Cách giải một số dạng toán tính đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm

Nghiên cứu phương pháp giải các bài toán thi TPHT quốc gia theo nhiềucách

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Với đề tài này, tác giả sử dụng chủ yếu là phương pháp thống kê, lựa chọn

những bài toán hay, độc đáo, có cùng phương pháp giải sau đó phân tích, so

sánh, khái quát hóa, đặc biệt hóa để làm nổi bật phương pháp rút ra kết luận

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Dựa vào định nghĩa đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm, ứng dụng củađạo hàm

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Năm học 2020 -2021 bản thân tôi là giáo viên thuộc đối tượng dôi dư đượcđiều động đến công tác tại trường THCS và THPT Như Xuân Tôi được giaonhiệm vụ giảng dạy môn Toán khối 11

Trường THCS và THPT Như Xuân được đặt trên địa bàn thôn Ná Cà 2, xãThanh Quân, huyện Như Xuân từ năm học 2017 – 2018 Đây là một xã thuộcvùng đặc biệt khó khăn Khoảng 99% học sinh là người dân tộc thiểu số, đaphần thuộc diện hộ nghèo và có hoàn cảnh tương đối đặc biệt: bố mẹ đi làm ăn

xa, các em phải tự lực trong việc chăm sóc bản thân và học hành Điều này ảnhhưởng không nhỏ đến điều kiện sinh sống và học tập của các em

Qua tìm hiểu về đối tượng học sinh mà mình giảng dạy tôi nhận thấy:

- Điểm đầu vào môn toán của các em rất thấp: Năm 2019 là 1,8

- Một bộ phận không nhỏ các em mất kiến thức cơ bản, kỹ năng tính toánquá yếu Nhiều học sinh không biết cộng trừ số âm, không biết cách giải phươngtrình bậc nhất, bậc hai và đặc biệt rất hạn chế sử dụng máy tính cầm tay

- Các em còn lúng túng trong các bài toán có nội dung thực tiễn, thường

bỏ qua những bài toán trong sách giáo khoa nếu nó mang nội dung thực tiễn

- Học sinh ở trường rất ít em có MTCT và nếu có cũng chỉ để tính nhữngphép toán thông thường chứ chưa sử dụng các thuật toán để giải toán cũng nhưtìm đáp số nhanh nhất

Phân phối chương trình không có tiết hướng dẫn dùng MTCT, chưa cậpnhật với sự thay đổi hiện nay Nên biện pháp này của tôi mong muốn góp mộtphần giúp HS có thêm những cách làm về một số bài toán liên quan đến đạohàm có sử dụng MTCT để đi đến kết quả nhanh và chính xác

Những vấn đề trên đòi hỏi bản thân tôi phải luôn luôn tìm tòi và đưa rahướng giải quyết khắc phục sao cho học sinh của mình đạt kết quả cao nhấttrong các kì thi và phải tìm ra được những cách giải phù hợp và nhanh cho từngdạng toán cụ thể để truyền thụ cho học sinh Bản thân tôi cũng mong muốn gópphần phát huy tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh, tăng cường ứngdụng thực tế, giúp học sinh có phương pháp học tốt cũng như thích ứng với xu

hướng hiện nay, thực hiện quan điểm dạy học lấy học sinh làm trung tâm.

Thực trạng trên là những động lực giúp tôi nghiên cứu biện pháp này

2.3 Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề.

2.3.1 Một số nội dung về đạo hàm trong Đại số và Giải tích 11

a Định nghĩa đạo hàm tại một điểm: Cho hàm số xác định trên

khoảng và Nếu tồn tại giới (hữu hạn) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm tại điểm và kí hiệu là

(hoặc ), tức là hoặc

Lưu ý : Các hàm số ta xét trong bài luôn có đạo hàm

b Ý nghĩa của đạo hàm :

Ý nghĩa hình học :

+) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm

+) Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm

d Đạo hàm của các hàm số lượng giác.

2.3.2 Ứng dụng MTCT để tìm đạo hàm của hàm số

Để khắc phục tình trạng số máy tính trong lớp không nhiều, tôi đã traođổi, động viên một số phụ huynh có khả năng mua máy tính cho con mình, mặtkhác tôi cũng tự trang bị một số máy giúp một số em không có khả năng mua.Tôi chia lớp thành nhiều nhóm, trong chia đều mỗi nhóm có các bạn có MTCT

và có kỹ năng dùng MTCT tốt để giúp đỡ các bạn còn lại

MTCT sử dụng ở đây là Casio fx- 570 VN Plus là loại máy mà đa số các

em đang dùng, các chức năng cơ bản của máy xem ở tài liệu fx- 570VN PLUS(bảng hướng dẫn sử dụng) Các máy tính khác có các chức năng tương tự đều cóthể vận dụng

Các ví dụ lấy trong tài liệu này chủ yếu thuộc mức độ nhận biết và thônghiểu để phù hợp với năng lực của học sinh

Dạng 1: Tính đạo hàm của hàm số tại một điểm

Bài toán: Tính đạo hàm của hàm số số y = f(x) tại x = x0

Cú pháp:

- Nếu ta nhập sai hàm số f(x) không liên tục tại x0 thì máy báo lỗi “ MathERROR”

- Đối với phần lớn hàm số khi ta nhập sai hàm số f(x) liên tục tại x0 mà không

có đạo hàm tại x0 thì máy thông báo “Time Out”

- Nếu f(x) có dạng lượng giác thì cài đặt máy ở mode R (tính theo đơn vị

radian)

- Nếu giá trị ở các phương án có số vô tỉ thì cài đặt hiển thị ở chế độ fix- 9(SHIFT MODE 6 9) và tính theo cách 2 (A được gán bởi các giá trị của mỗiphương án )

Thao tác bấm máy :

Bước 1 : Bấm tổ hợp phím +

Bước 2: Nhập hàm số tại điểm x0 và ần bằng

Ví dụ 1: Cho hàm số Tính đạo hàm của hàm số tại x = 2

Hướng dẫn giải

Nhận xét: Nếu đề bài yêu cầu dùng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số thì ta

làm cách 1 hoặc cách 2 Sau khi học công thức tính đạo hàm của hàm số thườnggặp thì học sinh có làm thêm cách 3 Cách 4 cho biết đáp số nhanh mà chưa cầnphải biết công thức tính đạo hàm của hàm số thường gặp cũng như không phảibiến đổi gì

Bài tập đề nghị

Câu 1: Với hàm số thì bằng

A B C D

Câu 2 : Cho chuyển động được xác định bởi phương trình ,

trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét Vận tốc của chuyểnđộng khi là

- Trong đó f là hàm số cần xác định đạo hàm, i là các phương án đã cho

- A được gán giá trị bất kì để kiểm tra (không nên nhập cho A giá trị lớn, khi

đó máy sẽ báo lỗi), nếu máy cho ít nhất một giá trị khác không thì loại phương

án đó, nếu máy luôn cho giá trị bằng không với một dãy giá trị của A thì chọnphương án đó Để dễ đọc kết quả ta nên cài chế độ hiển thị fix- 9

Lưu ý: Nếu không cài đặt chế độ hiển thị fix-9 máy không cho kết quả bằng

không mà cho kết quả có giá trị tuyệt đối vô cùng bé

Việc tính đạo hàm của hàm số thường là áp dụng công thức và các qui tắc Do đó ở phần này tôi yêu cầu các em phải nhớ và vận dụng thành thạo các công thức về phép toán đạo hàm

Ví dụ 1 : Tính đạo hàm của các hàm số sau

Dạng 3 : Đạo hàm của các hàm số lượng giác

Sau phần qui tắc tính đạo hàm thì đối với hàm số lượng giác tôi cũng sẽ yêu cầu học sinh áp dụng các công thức tìm đạo hàm rồi mới “tung’’ câu hỏi trắc nghiệm.

Ví dụ 1 : Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) y = 3sinx + 5cos x b) y = xcotx c)

Hướng dẫn: Sử dụng công thức đạo hàm của các hàm số cơ bản.

Giải a) y’ = (3sinx)’ + (5cosx)’= 3cosx- 5 sinx

b) y’ = x’cotx+x cotx =

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau

Chú ý: Ở MTCT không có công thức cot nên để có cot2x ta bấm

Nhận xét: Tính đạo hàm của hàm số lượng giác tan, cot cho kết quả là sin, costhì em nào nhớ được công thức nên làm theo cách 2 Tuy nhiên phần đa là học

sinh không còn nhớ công thức nên sẽ khoanh bừa, thay vào đó các em nên dùngMTCT, thời gian thử lâu nhưng được đáp án đúng

Bài tập đề nghị

A Bài tập tự luận

Câu 1: a) Cho hàm số f(x)=

cos x 1+sin x Tính f '(0); f '(π); f '(π2); f '(π4)

a Những bài học kinh nghiệm để dạy học dự án thành công

- Việc phân chia các bước trong dạy học dự án chỉ có tính tương đối Trong thực

tế chúng có thể xen kẽ và thâm nhập lẫn nhau

- Giáo viên phải phác họa trước các ý tưởng cơ bản của dự án Nếu không bámsát vào mục tiêu dạy học, mục đích của dự án sẽ mơ hồ và kết quả học tập có thể

- Hãy nhớ kiểm tra những kỹ năng cần thiết, kiểm tra tư duy của học sinh Việckiểm tra và tự kiểm tra, điều chỉnh cần được thực hiện kịp thời trong tất cả giaiđoạn của dự án

- Trong suốt dự án, nên tạo nhiều cơ hội để đánh giá và kiểm soát sự tiến bộ củahọc sinh Sau mỗi dự án cần đánh giá và rút kinh nghiệm nghiêm túc cho lần sau

có kết quả tốt hơn

Trong dự án này GV chỉ yêu cầu HS thực hiện nhiệm vụ tìm hiểu, lĩnh hội những dạng toán thường gặp và sẽ gặp trong các đề thi THPT Quốc gia để biết cách giải quyết nó Đồng thời biết định hướng và đề xuất những bài toán tương

tự

b Áp dụng

GV chia lớp thành 4 nhóm, giao cho mỗi nhóm một đề tài chung là tìm hiểucác dạng bài toán chuyển động ứng dụng đạo hàm; lập phương trình tiếp tuyếncủa đồ thị hàm số và đề xuất bài toán tương tự Song các nhóm có yêu cầu khácnhau:

-Nhóm I+II: Tính vận tốc hoặc gia tốc của vật trong thời điểm t;

-Nhóm III+IV: Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

- Lập nhóm 4 nhóm zalo tương ứng

- Trong thời gian thực hiện dự án, do ảnh hưởng của dịch Covid 19, các buổithảo luận riêng của các nhóm và việc giáo viên gặp gỡ các bạn cũng rất hạn chế.Hơn nữa, cũng là để tập cho các em kĩ năng học online, ứng phó với dịch bệnhkhi cần thiết, tôi đã tiến hành trao đổi, kiểm tra tiến trình làm việc của các nhómthông qua hình thức trực tuyến qua phần mềm Zoom và Google Meet

- Sau khi kết thúc dự án, việc giao bài tập trên các nhóm vẫn được duy trì

*Kế hoạch thực hiện

Bước 1: Chuẩn bị:

1.Những việc cần làm:

-Nhóm họp bàn phân công nhiệm vụ cho từng thành viên

-Họp nhóm để đánh giá nguồn tư liệu

2 Thời gian: 1 tuần.

3 Phương pháp tiến hành:

-Đọc sgk, sách tham khảo và các nguồn tư liệu khác

Bước 2 Thực hiện dự án:

-Từng thành viên trong nhóm theo phân công để thực hiện

-Thảo luận giữa đợt giữa các thành viên trong nhóm để giải quyết vấn đề khókhăn và kiểm tra tiến độ

-Thảo luận cuối đợt để xây dựng sản phẩm: tập hợp, kiểm duyệt các kết quảthành một sản phẩm cuối cùng

-Soạn bài để báo cáo

Bước 3: Nhóm tự đánh giá:

+) Qua dự án đã học được gì? Hình thành được thái độ tích cực nào?

+) Nhóm có hài lòng về kết quả thu được hay không?

+) Khi thực hiện dự án gặp những khó khăn gì? Giải quyết bằng cách nào?

+) Những cảm nhận của cá nhân sau khi thực hiện xong 1 dự án

-Các nhóm khác nhận xét đánh giá: mỗi nhóm hoàn thành dự án in một bản chocác nhóm khác cùng đọc để nhận xét, đánh giá Các nhóm dựa vào các tiêu chíđánh giá để đánh giá dự án của nhóm khác

+Đánh giá về chất lượng sản phẩm, kết quả tự đánh giá của nhóm.

+Phương pháp làm việc của nhóm, thái độ làm việc của các thành viên trong nhóm

+Đánh giá trên cơ sở tiêu chí đánh giá

2.2.4 Các dạng bài tập thông qua hoạt động nhóm

Sau khi kết thúc dự án, tôi tổ chức một buổi luyện tập theo hình thức hoạtđộng nhóm, bao gồm cả kỹ năng sử dụng MTCT và các kiến thức liên quan đếnứng dụng của đạo hàm Các kiến thức và dạng bài tập cần lưu ý như sau:

Dạng 1: Tính vận tốc tức thời hoặc gia tốc tức thời.

Để ghi nhớ cách tính bài toán chuyển động HS cần nắm vững sơ đồ sau:

Nếu lần lượt lấy đạo hàm quãng đường của vật chuyển động thì được vận tốc tức thời; lấy đạo hàm vận tốc tức thời được gia tốc.

Phương pháp: s ’ (t)=v tt ; a(t)= v ’ (t)=s ’’ (t).

Ví dụ 1: Một vật rơi tự do với phương trình chuyển động , trong đó

và tính bằng giây Vận tốc của vật tại thời điểm bằng:

A B C D

Ví dụ 2: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = t3 + 3t2 – 9t +27,trong đó t tính bằng giây (s) và S được tính bằng mét (m) Gia tốc của chuyểnđộng tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

a Viết phương trình tiếp tuyến (pttt) với đồ thị của hàm số

tại điểm

Phương pháp:

* Tính hệ số góc của tiếp tuyến tính

* Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có phương trình

Nếu biết hoành độ tiếp điểm x=x0, thay vào y

Nếu biết tung độ tiếp điểm y0.: giải phương trình

Khi đó hệ số góc f’(x0) pttt:

Ví dụ 1: Viết với đồ thị (C) của hàm số

a) Tại điểm A (-1; 7) b) Tại điểm có hoành độ x = 2 c) Tại điểm có tung độ y=5

y’ (2) = 9 Do đó phương trình tiếp

tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x =

2 là:

c)

a) Nhập bấm = được 0 là pttt cần tìm

b) , bấm = được 9

bấm phím CALC với , bấm phím = được -11

Vậy pttt là : c)

MODE 5 4 nhập a, b, c, d giải phương trình bậc 3 được

Nhận xét: Dùng MTCT chức năng MODE 5 hoặc SHIFT SOLVE ta có thể tìmđược nghiệm phương trình bậc ba hoặc một số phương trình không mẫu mực màphương pháp truyền thống phải tốn rất nhiều thời gian và không phải HS nàocũng tìm được