Skkn sử dụng bất đẳng thức côsi để chứng minh bất đẳng thức trong dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán 10

Để rèn luyện khả năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 10 tôi đã hướng dẫn học sinh kĩ năng sử dụng sáng tạo bất đẳng thức Côsi để chứng minh bất đẳng thức.. Mặt khác từ việc ch

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Mục tiêu hàng đầu của việc dạy học môn toán trung học phổ thông là trang bị những tri thức, phương pháp và phát triển tư duy, trí tuệ cho học sinh

Để rèn luyện khả năng chứng minh bất đẳng thức cho học sinh lớp 10 tôi đã hướng dẫn học sinh kĩ năng sử dụng sáng tạo bất đẳng thức Côsi để chứng minh bất đẳng thức Mặt khác từ việc chứng minh một bài toán cụ thể, kết hợp khai thác các kiến thức đã học, các kiến thức liên quan tìm ra các bất đẳng thức mới Từ đó phát huy tính cực, chủ động, sáng tạo của học sinh trong việc lĩnh hội tri thức và tạo niềm tin, hứng thú trong học tập môn Toán

Khi thực hiện giảng dạy bài ”Bất đẳng thức” trong chương trình đại số 10 và dạy bồi dưỡng học sinh giỏi tôi nhận thấy: Chủ đề bất đẳng thức tương đối khó đối với mọi đối tượng học sinh Sự nhận thức học sinh thể hiện khá rõ:

- Học sinh lúng túng không có định hướng khi gặp bài toán chứng minh bất đẳng thức

- Khả năng phân tích dữ kiện, tổng hợp các kiến thức liên quan đến bài toán còn hạn chế

- Chưa có kỹ năng vận dụng tính chất cơ bản của bất đẳng thức và các bất đẳng thức cổ điển để kiến tạo ra tri thức tổng hợp từ đó vận dụng vào giải bài tập

- Từ các bất đẳng thức đã chứng minh chưa biết phân tích xây dựng thành các bài toán mới

Vì vậy để khắc phục các hạn chế trên của học sinh, và bồi dưỡng khả năng tư duy cho học sinh khá giỏi, qua đó nâng cao chất lượng mũi nhọn cho nhà trường tôi đã

chọn đề tài:

Sử dụng bất đẳng thức CôSi để chứng minh bất đẳng thức trong dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 10

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Giúp học sinh rèn luyện kỹ năng: chọn bộ số, tách, thêm bớt số hạng, thêm bớt biểu thức khi sử dụng bất đẳng thức côsi để chứng minh bất đẳng thức

- Giúp giáo viên có định hướng tốt khi giảng dạy chủ đề bất đẳng thức

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu các tài liệu sư phạm có liên quan đến bài toán sử dụng bất đẳng thức Côsi để chứng minh bất đẳng thức

- Nghiên cứu phương pháp dạy học từ đó tìm ra phương pháp phù hợp, để học sinh học đạt kết quả cao nhất trong quá trình dạy nội dung sáng kiến

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

Để thực hiện mục đích nhiệm vụ của đề tài trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các phương pháp sau:

- Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn)

- Phương pháp đàm thoại phỏng vấn.(lấy ý kiến của giáo viên và học sinh thông qua trao đổi trực tiếp)

- Phương pháp thực nghiệm

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN

2.1.Cở sở lý luận

a) Bất đẳng thức cô si: Cho 2 số không âm :

Dấu bằng xảy ra khi

Tổng quát: Cho số không âm:

b) Bất đẳng thức bu-nhi-a-cốp xki. Dấu bằng xảy ra khi .

Cho 4 số thực :

Dấu bằng xảy ra khi

Tổng quát: Cho số thực:

Dấu bằng xảy ra khi

2.2 Thực trạng vấn đề

Phần bất đẳng thức là chủ đề khá quan trọng trong việc phát triển tư duy sáng tạo, tư duy biện chứng cho học sinh Đồng thời cũng thường gặp trong các đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi học sinh giỏi hàng năm

Trước khi vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này, đa số học sinh rất sợ phần bất đẳng thức gần như các em thường bỏ qua phần này, một phần là cũng do đối với một bài toán chứng minh bất đẳng thức, có rất nhiều phương pháp vận dụng chứng minh, các phương pháp giải đa dạng, một số tài liệu đưa ra cách giải mang tính thủ thuật, không tự nhiên làm cho học sinh không có cách nhìn bao quát về

chứng minh bất đẳng thức Dẫn đến không có định hướng tư duy khi làm các bài tập phần này

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Rèn luyện kĩ năng tách thêm bớt số hạng, thêm bớt biểu thức khi sử dụng bất đẳng thức cô si

Sử dụng bất đẳng thức Côsi được coi là công cụ hữu hiệu để chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Tuy nhiên để áp dụng thành công BĐT Cô si vào giải toán một kĩ năng không thể thiếu là: chọn bộ số, tách số hạng, thêm bớt số hạng, thêm bớt biểu thức Để rèn luyện kĩ năng này cho học sinh tôi đã chọn hệ thống ví dụ đa dạng, mỗi ví dụ giải nhiều cách khác nhau Thông qua các cách giải giúp học sinh nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, từ đó rèn luyện kĩ năng cho học sinh đồng thời giúp học sinh chủ động lĩnh

hội tri thức Từ đó tạo niềm tin trong quá trình chinh phục các dạng Toán khó

Ví dụ 1 Cho 3 số không âm :

a) Chứng minh rằng:

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Nhận xét:

- Vai trò của bình đẳng nên dấu bằng khi

- Cần đánh giá x5 thông qua x2 nên sử dụng bất đẳng thức cô si cho 5 số:

Lời giải

a) Áp dụng bất đẳng thức CôSi cho 5 số:

Tương tự ta có:

Cộng các bất đẳng thức trên ta được:

Dấu bằng xảy ra khi

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x101 + y101 + z101

- Vai trò của bình đẳng nên dấu bằng khi

- Chọn số hạng sao cho khi sử dụng bất đẳng thức côsi cho các số hạng đó đánh giá được x101 qua x5

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 101 số: gồm 5 số x101 và 96 số1

Tương tự với y và z ta được:

Dấu bằng xảy ra khi

Từ ví dụ trên giáo viên tổng kết để học sinh phát hiện bài toán tổng quát.

a) Tìm giá trị lớn nhất của

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Tổng quát 2: Mở rộng cho n biết.

Cho số không âm thỏa mãn:

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q=

Ví dụ 2 Chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c :

Nhận xét:

- Bài toán này ta chưa thể sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi được nên giáo viên phân tích dữ kiện từ đó định hướng để học sinh rút ra các hướng tách, thêm bớt số hạng, thêm bớt biểu thức phù hợp để có thể sử dụng BĐT côsi vào chứng minh

- Giáo viên hướng dẫn học sinh làm nhiều cách nhằm rèn luyện kĩ năng phân tích ,

so sánh, tổng hợp, xét tương tự hóa, trừu tượng hóa, khái quát hóa

Cách 1 Thêm bớt hằng số

Dấu bằng xảy ra khi

Cách 2 Sử dụng tách số hạng

Dấu bằng xảy ra khi

Cách 3 Thêm bớt biểu thức phù hợp

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

Ta có:

Tương tự:

Suy ra: Dấu bằng xảy ra khi

Cách 4 Kết hợp bất đẳng thức trung gian

Áp dụng BĐT Cô si ta có:

Dấu bằng xảy ra khi

Cách 5: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ:

Đặt

Khi đó ta có:

Dấu bằng xảy ra khi

Cách 6 Sử dụng bất đẳng thức bu-nhi-a-cốp-ski

Dấu bằng xảy ra khi

Nhận xét:

- Từ ví dụ trên giáo viên định hướng cho học sinh mở rộng bài toán Từ đó phát triển tư duy sáng tạo chủ động của học sinh

Từ ví dụ trên giáo viên hướng dẫn định hướng mở rộng bài toán.

a) Mở rộng theo hướng tăng số biến:

Bài toán 1: Cho n số dương a 1 .a n. Đặt S = a 1 + +a n

Chứng minh rằng:

b) Mở rộng bài toán theo hướng tăng bậc của biến:

Bài toán 2: Cho 3 số dương a,b,c chứng minh rằng:

Nhận xét:

- Bài toán này có cùng dạng với ví dụ 2 nhưng có độ phức tạp hơn để học sinh rèn

luyện kĩ năng

- Căn cứ mẫu số và giả thiết giáo viên hướng dẫn để học sinh thêm bớt biểu thức sao cho luôn đảm bảo yêu cầu dấu bằng xảy ra khi a = b = c

Cách 1.Thêm bớt biểu thức:

Áp dụng bất đẳng thức cô si

Dấu bằng xảy ra khi

Nhận xét: Khi dấu bằng xảy ra thì có giá trị bằng nên ta có thể thêm bớt như sau:

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

Vì

Dấu bằng xảy ra khi

Cách 3 Sử dụng BĐT bu-nhi-a-cốp-xki

Ta có:

Dấu bằng xảy ra khi

Ví dụ 4 Cho các số dương thỏa mãn

Chứng minh rằng:

Nhận xét:

- Vai trò bình đẳng do đó dấu bằng xảy ra khi

- Ta cần đánh giá để xuất hiện biểu thức

- Tử số chứa nên cần đánh giá xuất hiện

Lời giải

Cách 1 Áp dụng bất đẳng thức cô si

Mặt khác: áp dụng BĐT Côsi ta có:

Từ đó suy ra:

Ta chứng minh được :

Tương tự :

Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được:

Dấu bằng xảy ra khi:

Cách 2: Ta có:

Áp dụng BĐT Côsi ta có:

Tương tự ta có:

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:

Vì

Dấu bằng xảy ra khi

Cách 3 Ta có

Mặt khác:

Xét hàm số

Phương trình tiếp tuyến tại 3 là:

Ta sẽ chứng minh :

Điều này luôn đúng do đó ta có:

Dấu bằng xảy ra khi

2.3.2 Phát triển bài toán đã chứng minh thành các bài toán mới.

Với mục tiêu không chỉ dừng lại ở việc chứng minh một bất đẳng thức cụ thể.Từ các bất đẳng thức đã chứng minh tôi hướng dẫn học sinh phát triển thành các bất đẳng thức mới qua đó phát triển tư duy sáng tạo và thúc đẩy học tập tự chủ cho học sinh

Phát triển ví dụ 3: Cho 3 số dương sao cho

Chứng minh rằng:

Hướng 1 Thay mẫu bởi biểu thức thích hợp ta được bài toán mới

Từ

Từ sự khai thác theo hướng trên ta có thể xây dựng nhiều bài toán mới như sau Cho 3 số dương sao cho Chứng minh :

Hướng 2 Tăng số biến và số bậc của biến

a)

Tăng số biến lên n ta được bài toán:

Cho n số không âm: x1; x2; .;xn sao cho x1x2+ +xn-1xn=1 Đặt S=x1+x2+ xn

Chứng minh rằng:

b)

Tăng số bậc lên n, số biến lên m biến, biểu thức dưới mẫu có thể thay ở dạng tích của các biểu thức đối xứng của các biến

Cho m số không âm: x1; x2; ;xm Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

Ví dụ: Cho ba số dương a,b,c thõa mãn abc = 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức sau:

Hướng 3 Thay biến bởi biểu thức phù hợp

Hướng 3.1 Đặt

Ta có bài toán 3.1 Cho x, y, z dương thỏa mãn xyz = x + y +z Chứng minh rằng

Hướng 3.2 Thay biến bởi các biểu thức không còn đối xứng

Ta có bài toán 3.2

Cho 3 số dương x, y, z thảo mãn 3xy + yz + 2xz = 6 Chứng minh rằng:

Hướng 4: Khai thác dữ kiện

Ta có

Hướng 4.1: Từ đó ta xây dựng được các bài toán:

Hướng 4.2 Khai thác theo hướng biến đổi thành biểu thức không có dạng đối

xứng:

Cộng các bất đẳng thức trên ta được:

Từ đó ta có các bài toán: Cho 3 số dương sao cho Chứng minh rằng:

a)

b)

c)

Hướng 4.3 : Ta có :

Ta có bài toán 4.3 : Cho là các số dương thõa mãn :

a)

c)

Hướng 5: Kết hợp với các bất đẳng thức cổ điển để tạo ra các bất đẳng thức mới Hướng 5.1 Mở rộng theo hướng khai thác phạm vi của biến tăng số biến

Xuất phát từ dữ kiện ta có: (x - 1)(y - 1) 0 xy x + y -1

Áp dụng BĐT Côsi:

Ta có bài toán 5.1: Nếu là các số thực không âm thì

Bằng cách tương tự ta có thể mở rộng cho n biến x1, x2, xn ta có BĐT

Tổng quát: Nếu x1, x2, xn là các số thực không âm thì

Hướng 5.2: Mở rộng theo hướng tăng bậc của ẩn

Theo BĐT Côsi

Ta có bài toán 5.2: Cho các số thực không âm x, y, z Chứng minh rằng

Hướng 6:

-Tôi hướng dẫn học sinh xuất phát từ bất đẳng thức đã có, kết hợp việc lựa chọn bộ

số thích hợp để sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, từ đó tạo ra nhiều bất đẳng thức mới Từ đó giúp học sinh có cách nhìn linh hoạt trong việc sử dụng bất đẳng thức Côsi và Bunhiacopxki

Hướng 6.1: Xuất phát từ các bất đẳng thức:

Bài toán 6.1: Cho ba số dương x,y,z thõa mãn: xy + yz+ xz =1 Chứng minh

Chú ý: Ta có thể thay đổi biểu thức bằng các biểu thức phù hợp ta sẽ được các bất đẳng thức mới

b) Hướng 6.2: Xuất phát từ biểu thức:

Mặt khác áp dụng BĐT bunhiacopxki ta có:

Từ đó ta có bài toán 6.2: Cho ba số dương x,y,z thõa mãn: xy + yz+ xz =1 Chứng minh rằng:

c) Hướng 6.3: Xuất phát từ biểu thức:

Mà :

Từ đó ta có bài toán 6.3: Cho ba số dương x,y,z thõa mãn: xy + yz+ xz =1 Chứng

minh rằng: :

Hướng 7 : Khai thác bài toán trên theo hướng lượng giác hóa

Nhận xét : - Chương trình lớp 10 các em đã học về biến đối lượng giác Vì vậy

việc định hướng học sinh vận dụng kiến thức lượng giác vào giải các bài toán bất đẳng thức là rất cần thiết, giúp học sinh có cách phân tích bài toán đa dạng, đồng

thời học sinh thấy được sự liên kết logic của các nội dung, các chương học trong chương trình Toán

Hướng 7.1: Đặt

Ta có:

Mặt khác trong tam giác ta có các bất đẳng thức sau :

Từ đó ta có bài toán 7.1: Cho ba số dương x, y, z thõa mãn: xy + yz + xz = 1.

Chứng minh rằng:

Vì

Từ đó ta có bài toán 7.2: Cho ba số 0< x, y, z < 1 và xy + yz + xz = 1 Chứng

minh rằng:

Hướng 7.3: Đặt:

Ta có:

Mà

Ta có bài toán 7.3: Cho ba số dương x, y, z thõa mãn: xy + yz + xz = 1 Chứng

minh rằng:

Hướng 7.4: Thay đổi dữ kiện bằng dữ kiện

ba góc trong tam giác

Ta có:

Ta có bài toán 7.4 : Cho x,y,z là các số dương thõa mãn : x + y+ z = xyz

Nhận xét: - Từ sự dẫn dắt trên học sinh có thể khai thác và tìm thêm nhiều bài

toán mới, đồng thời giúp học sinh có thể nhìn bài toán một cách đa dạng hơn

- Trên đây tôi hướng dẫn học sinh dựa trên mối liên hệ logic của toán học phát triển bài toán cụ thể thành các bài toán khác nhau, từ đó rèn luyện học sinh đức tính luôn

chủ động, tích cực trong việc tiếp thu tri thức Từ đó phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

Bài tập áp dụng

Bài 1 : Cho ba số dương x, y, z thõa mãn : x + y + z = xyz

b) Phát triển bài toán trên thành các bài toán mới

Bài 2 : Cho ba số dương x, y, z thõa mãn xyz = 1

a) Chứng minh rằng :

b) Phát triển bài toán trên thành các bài toán mới

2.4 Hiệu quả đạt được

- Đề tài được nghiên cứu và thực hiện giảng dạy trong hai năm 2020- 2021; 2021- 2022 Trong một số tiết chữa bài tập và một số tiết bồi dưỡng học sinh khá giỏi khối 10

- Đối tượng thực nghiệm là học sinh các lớp 10A2(2020-2021),10A3(2020-2021),10A1(2021-2022) của nhà trường

- Sau khi giảng dạy tôi tiến hành kiểm tra khả năng tiếp thu của học sinh kết quả thu được như sau : 10A2(2020-2021),(chưa triển khai sáng kiến này), 10A3(2020-2021),10A1(2021-2022)(đã triển khai sáng kiến này)

Lớp 10A2

Lớp10A3

Lớp10A1

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1.Kết luận

Qua thời gian nghiên cứu và vận dụng đề tài vào giảng dạy tôi rút ra một số nhận xét sau :

- Với cách dạy như trên tạo ra tâm thế hứng thú, sẵn sàng lĩnh hội tri thức, khắc phục tính chủ quan hình thành tính độc lập chủ động của người học

- Giáo viên đã tạo được niềm tin cho học sinh khi đứng trước bài toán về bất đẳng thức, đó là động lực thúc đẩy học sinh khám phá thêm các phần tương tự, các bài toán khó về bất đẳng thức

- Rèn luyện khả năng phân tích tổng hợp, tư duy trừu tượng hóa, khái quát hóa, phán đoán logic cho học sinh

3.2 Kiến nghị

- Trong khuôn khổ một sáng kiến tôi chỉ đề xuất một vài hướng giải quyết bài toán, vì vậy theo định hướng này giáo viên phải tiếp tục đào sâu nghiên cứu để xây dựng nhiều bài tập tương tự để dạy cho học sinh đạt kết quả cao

- Duy trì phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm hàng năm nhằm nâng cao chất lượng dạy và học

- Rất mong được sự góp ý từ các thầy cô giáo và hội đồng khoa học của Sở GD&ĐT Thanh Hóa để sáng kiến này được hoàn thiện, thuận lợi cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi tốt nghiệp THPT

XÁC NHẬN CỦA THỦ

TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05 năm 2022.

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

Nguyễn Thị Hiền