Skkn một số phương pháp tìm tích phân của hàm hợp, hàm ẩn mức độ vận dụng vận dụng cao

Từ năm 2017 Bộ GD&ĐT đãđưa hình thức thi trắc nghiệm khách quan vào bài thi môn toán và phần tích phânđã được yêu cầu rộng hơn khó hơn trước đặc biết là các bài toán tích phân về hàmhợp,

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

MỤC LỤC Trang

2.3.5 Một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số 26

Phép tính tích phân được bắt đầu giới thiệu cho các em học sinh lớp 12 và nóthường xuyên có mặt trong các kỳ thi THPT- QG Từ năm 2017 Bộ GD&ĐT đãđưa hình thức thi trắc nghiệm khách quan vào bài thi môn toán và phần tích phân

đã được yêu cầu rộng hơn khó hơn trước đặc biết là các bài toán tích phân về hàmhợp, hàm ẩn, đòi hỏi học sinh phải có hệ thống kiến thức về tích phân vững chắc và

tư duy linh hoạt hơn mới giải được các bài toán dạng này

Vì những lí do đó, để giúp học sinh có cơ sở khoa học, có có hệ thống kiếnthức vững chắc về tính tích phân đặc biệt là tích phân của hàm hợp,hàm ẩn và tháo

gỡ những vướng mắc trên, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học, đáp ứng nhu cầu

đổi mới giáo dục , tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Một số phương pháp tính tích phân của hàm hợp, hàm ẩn mức độ vận dụng-vận dụng cao”.

Với đề tài này tôi hi vọng sẽ giúp cho học sinh dễ dàng nắm bắt và thànhthạo trong việc tính tích phân nói chung và tích phân của hàm hợp, hàm ẩn nóiriêng

- Làm cho học sinh thấy được tầm quan trọng của chương học, là vấn đề thenchốt cho việc tiếp nhận và giải các dạng toán tiếp theo

- Nâng cao chất lượng bộ môn toán theo từng chuyên đề khác nhau góp phầnnâng cao chất lượng dạy học

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Chương Nguyên hàm - Tích phân và chủ yếu là phương pháp tính tích phâncủa một số hàm hợp, hàm ẩn

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp nghiên cứu: Tự tìm tòi, khám phá, đưa vào thực nghiệm

và đúc rút thành kinh nghiệm, kết hợp với nghiên cứu tài liệu để tổng hợp thành hệthống theo từng mức độ từ dễ đến khó

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Người ta dùng kí hiệu để chỉ hiệu số Như vậy Nếu là

một nguyên hàm của trên thì

2.1.2 Tính chất

Giả sử liên tục trên và là ba số bất kì thuộc Khi đó ta có

Chú ý là nếu với mọi thì

2.1.3 Phương pháp đổi biến số

Tính tích phân Giả sử được viết dưới dạng

,trong đó hàm số có đạo hàm trên , hàm số y=f(u) liên tục sao cho hàm hợp

xác định trên và là hai số thuộc Khi đó

Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ số thay

cho Như vậy tích phân không phụ thuộc vào biến tức là

2.1.4 Phương pháp tính tích phân từng phần

Công thức (trong đó có đạo hàm liên tục trên và là hai số thuộc ).

2.1.5 Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

a.Hình phẳng giới hạn bởi thì diện tích là

b.Hình phẳng giới hạn bởi thì diện tích là

2.2 Thực trạng của đề tài

Năm học 2016 - 2017 Bộ GD&ĐT chuyển đổi hình thức thi THPT quốc gia củamôn toán từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi phương pháp dạy và họccũng phải thay đổi cho phù hợp

Trong các đề minh họa của bộ GD - ĐT , đề thi THPT quốc gia và đề thi thử củacác trường THPT trên toàn Quốc , học sinh thường gặp một số câu về tính tích phâncủa hàm hợp, hàm ẩn và các bài toán có liên quan, đây là các bài ở mức độ vận dụng đểlấy điểm cao Hướng dẫn các em vận dụng tốt phần này sẽ tạo được cho các em cóthêm phương pháp, có linh hoạt hơn trong việc tính tích phân và nâng cao tư duy tronggiải toán nhằm lấy được điểm cao hơn trong bài thi

Trước khi áp dụng đề tài này vào dạy học, tôi đã khảo sát chất lượng học tập củahọc sinh trường THPT Nông Cống I năm học 2020-2021 (thông qua các lớp trực tiếpgiảng dạy) về các bài toán tính tích phân của hàm hơp, hàm ẩn, đã thu được kết quả nhưsau:

Thực hiện đề tài này tôi đã hệ thống lại các phương pháp tính tích phân đã đượchọc để áp dụng tính cho hàm ẩn thông qua các phương pháp cụ thể và ví dụ tương ứngcho mỗi phương pháp đó Cuối cùng là bài tập tổng hợp đề học sinh vận dụng cácphương pháp đã được học vào giải quyết Do khuôn khổ đề tài có hạn nên tôi chỉ đưa rabốn phương pháp tính tích phân của hàm hợp, hàm ẩn đó là: Phương pháp biến đổi đểđưa về nguyên hàm cơ bản, Phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng

2.3 Các giải pháp tổ chức thực hiện

Thực hiện đề tài này tôi chia nội dung thành năm phần

Phần 1 Phương pháp đổi biến số

Phần 2 Phương pháp biến đổi đưa về nguyên hàm cơ bản

Phần 3 Phương pháp tính tích phân từng phần

Phần 4 Phương pháp tạo bình phương cho hàm số dưới dấu tích phân

Phần 5 Một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số

Mỗi phần được thực hiện theo các bước:

- Nhắc lại kiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài

Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ số thay cho

Như vậy tích phân không phụ thuộc vào biến tức là

Ví dụ 6 Cho hàm số liên tục trên đoạn và thỏa mãn ,

Bài 7 Cho hàm số liên tục trên thảo mãn

Khi đó ta có biến đổi sau:

Nhận xét: Nếu là biểu thức cho trước thì ta có

Đặt ta được (*) Như vậy nếu biểu thức

có dạng ta có thể biến đổi đưa về dạng Khi đó ta có bài toán tổng quát cho ví dụ 7 như sau:

Cho ; là các biểu thức đã biết Tìm hàm số thỏa mãn

(**)

Do vế trái có dạng (*) nên ta có thể biến đổi (**)

Trong đó được chọn sao cho :

(với là một nguyên hàm của ) từ đây ta sẽ chọn được biểu thức

, Tính tích phân

Nhận xét : trước hết ta đi tìm biểu thức Ta có

nên ta chọn , khi đó ta có lời giải như sau:

Ví dụ 9 Cho có đạo hàm trên thỏa mãn ,

Biết Tính tích phân

Nhận xét : trước hết ta đi tìm biểu thức Ta có

nên ta chọn , khi đó ta có lời giải như sau:

Bài 6 Cho hàm số có đạo hàm trên và thỏa mãn

Ví dụ 8 Cho hàm số là hàm số chẵn liên tục, có đạo hàm trên và thỏa mãn

Nhận xét : Giả thiết chứa và nên ta tạo bình phương dạng

Bài 9 Cho hàm số có đạo hàm trên đoạn Biết

2.3.5 Một số bài toán liên quan đến đồ thị hàm số

a Kiến thức sử dụng

-Hình phẳng giới hạn bởi thì diện tích là

-Hình phẳng giới hạn bởi thì diện tích là

b Ví dụ áp dụng

có đồ thị của hàm số như hình bên Hãy so

Ta có

Vì

Biết hàm số đạt cực tiểu tại , có đồ thị

như hình vẽ bên và đường thẳng là tiếp tuyến của đồ

Ví dụ 4.Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên

có hai giá trị cực trị là và Tính diện tích hình

phẳng giới hạn bởi đường và

Lời giải:

Khi đó

Giả sử là hai điểm cực trị của hàm số

Vì và và là hai giá trị cực trị của hàm số nên

Phương trình hoành độ giao điểm của và là

Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:

Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Dựa vào hình vẽ, ta thấy:

Suy ra

Bài tập tương tự

hàm số như hình bên Đặt Hãy

trên như hình vẽ bên (phần cong

của đồ thị là một phần của parabol )

Biết Tính giá trị của biểu thức

Bài 3 Cho hàm số

có đồ thị là Biết rằng đồ thị đi qua gốc tọa độ

và đồ thị hàm số cho bởi hình vẽ bên

Tính giá trị của biểu thức

phần đường thẳng và một phần parabol có đỉnh là

gốc tọa độ như hình vẽ bên Tính tích phân

Bài 5 Cho hàm số liên tục có đồ thị như

Tính

vẽ bên dưới Biết diện tích hình phẳng phần sọc kẻ bằng Tính giá trị của biểu thức

có hai giá trị cực trị là và Tính diện tích hình

phẳng giới hạn bởi các đường và

Biết hàm số có 3 điểm cực trị là – 1, 2, 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường và

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Thực tiễn giảng dạy ở trường THPT Nông Cống I năm học 2020-2021, tôiđược nhà trường giao cho giảng dạy hai lớp 12B1, 12B3 Sau khi thử nghiệm dạynội dung này qua việc lồng gép giờ dạy trên lớp, các giờ dạy tự chọn, bồi dưỡng tôithấy học sinh rất hứng thú học tập, tiếp thu kiến thức có hiệu quả và chất lượng họctoán được nâng lên rõ rệt

Sau khi áp dụng đề tài trên tôi đã khảo sát lại học sinh và thu được kết quảnhư sau:

Với đề tài này tôi cũng đã đưa ra trước tổ bộ môn để trao đổi, thảo luận vàrút kinh nghiệm Đa số các đồng nghiệp trong tổ đã đánh giá cao và vận dụng cóhiệu quả, tạo được hứng thú cho học sinh và giúp các em hiểu sâu, nắm vững hơn

về bản chất biến đổi trong việc tính tích phân của hàm ẩn , cũng như tạo thói quensáng tạo trong nghiên cứu và học tập

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Dạy Toán ở trường THPT là một quá trình sáng tạo Mỗi giáo viên đều tựhình thành cho mình một con đường ngắn nhất, những kinh nghiệm hay nhất để đạtđược mục tiêu giảng dạy là đào tạo, bồi dưỡng nhân tài, những chủ nhân tương laicủa đất nước Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh học tập, đọc tài liệutham khảo và ôn thi THPT quốc gia tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nêu trên Như

vậy với đề tài "Một số phương pháp tính tích phân của hàm hơp, hàm ẩn mức độ vận dụng-vận dung cao" đã giúp học sinh có được hệ thống kiến thức, linh hoạt

hơn trong việc định hướng biến đổi và có kinh nghiệm trong việc tính tích phân nóichung và tích phân của hàm ẩn nói riêng góp phần nâng cao chất lượng dạy học,đáp ứng được yêu cầu đổi mới trong dạy học

Cuối cùng dù đã cố gắng tự nghiên cứu, tự bồi dưỡng và học hỏi đồngnghiệp song vẫn không thể tránh khỏi những thiếu sót Rất mong được sự góp ý, bổsung của các đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn

3.2 Kiến nghị

3.2.1 Đối với tổ chuyên môn:

Cần có nhiều hơn các buổi họp thảo luận về nội dung phương pháp tính tíchphân Khuyến khích học sinh xây dựng bài tập toán liên quan đến những dạng bàitập toán trong bài giảng

3.2.2 Đối với trường:

Cần bố trí những tiết thảo luận nhiều hơn nữa để thông qua đó các học sinh

bổ trợ nhau về kiến thức.Trong dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần xây dựngbài giảng thành hệ thống những bài tập có phương pháp và quy trình giải toán

3.2.3 Đối với sở giáo dục:

Phát triển và nhân rộng những đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thờisau mỗi năm sở sẽ tập hợp những sáng kiến kinh nghiệm đạt giải in thành sách nội

bộ để gửi về các trường làm sách tham khảo cho học sinh và giáo viên

Tôi xin cam đoan đây là SKKN dochính bản thân mình viết, không saochép nội dung của người khác

Trần Thanh Minh

4 Tài liệu tham khảo

[1] Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục Việt Nam, Đoàn Quỳnh

( Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan ( Chủ biên)

[2] Sách bài tập Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục Việt Nam Nguyễn Huy

Đoan ( Chủ biên)

[3] Đề minh họa, đề thi THPT QG từ năm 2017, đề thi thử THPT QG của các

trường trên cả nước

(Ngành GD cấphuyện/tỉnh;

Tỉnh…)

Kết quả đánh giá xếp loại

(A, B,hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

1 Phát triển tư duy hàm cho học

sinh qua các bài toán về

phương trình vô tỉ

Ngành GD cấptỉnh