Skkn phương pháp gắn hệ trục toạ độ để giải bài toán thể tích và khoảng cách

Hình học giải tích nghiên cứu những hình và những phép biến đổi được cho bởi những phương trình đại số trong tọa độ vuông góc bằng cách sử dụng các phương pháp của đại số” Trích Từ điển

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP GẮN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN THỂ TÍCH VÀ KHOẢNG CÁCH

Người thực hiện: Nguyễn Thị Sen Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM2022

MỤC LỤC

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

1.2 Mục đích nghiên cứu

1.3 Đối tượng nghiên cứu

1.4 Phương pháp nghiên cứu

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

2.3 Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài

a) Một số phép toán về vectơ trong không gian

b) Một vài dấu hiệu nhận biết một số bài toán HHKG có thể sử dụng bằngphương pháp tọa độ

c) Các bước giải bài toán HHKG bằng phương phương pháp tọa độ

*) Kĩ năng chọn hệ trục toa độ Oxyz.

Tài liệu tham khảo

Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

GIÚP HỌC SINH YẾU KÉM GIẢI BÀI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN

1 Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài:

Trong chương trình Toán phổ thông, hình học không gian (HHGK) ở lớp

12 là một trong những nội dung quan trọng Các bài toán tính khoảng cách vàtính thể tích khối đa diện rất đa dạng và phong phú, thường có mặt trong các đềthi tốt nghiệp và Đại học Đây là những bài tập luôn gây không ít khó khăn chohọc sinh khi tư duy hình vẽ, đặc biệt là việc kẻ thêm đường phụ dẫn đến họcsinh có tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình

Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo Quyết định số

16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 5/6/2006 của Bộ trưởng Bộ GD&ĐT đã nêu: “Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trưng bộ môn, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập của học sinh”.

Trong quá trình giảng dạy, người thầy cần phát huy được tính tích cực,chủ động và sáng tạo của học sinh, rèn luyện cho học sinh có khả năng phát hiện

ra những bài toán mới từ những bài toán đã có; cần khơi dậy và phát triển tiềmnăng sáng tạo còn tiềm ẩn trong mỗi học sinh

mình, tôi mạnh dạn viết sáng kiến “Phương pháp gắn hệ trục tọa độ để giải bài

toán về thể tích và khoảng cách ” Qua SKKN này với mong muốn được cùng

chia sẻ với các đồng nghiệp, đồng môn tìm ra biện pháp nâng cao chất lượngdạy và học môn toán tại các trường; giúp học sinh cảm thấy thoải mái tiếp thu vàchủ động giải quyết các bài toán hình học không gian, từ đó phát huy được tínhtích cực của mình

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Các bài toán về thể tích và khoảng cách

- Hệ thống các bài toán giúp học sinh phân tích tổng hợp

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Nghiên cứu tài liệu: nghiên cứu một số giáo trình, sách tham khảo vềphương pháp dạy học toán, tuyển tập các đề thi ĐH – CĐ, và các đề thi học sinhgiỏi

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: tổng kết kinh nghiệm qua các nămtrực tiếp giảng dạy chuyên đề, qua trao đổi với các đồng nghiệp để từ đó xâydựng được một hệ thống phương pháp, bài tập về tiếp tuyến.

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: thử nghiệm giảng dạy chuyên đề chođối tượng là các học sinh Khá, Giỏi của trường trung học phổ thông và các lớp

ôn thi ĐH – CĐ các năm gần đây

2 NỘI DUNG ĐỀ TÀI:

2.1.Cơ sở lý luận:

“Hình học là một phần quan trọng của toán học nghiên cứu những dạng quan hệ và dạng không gian Đầu thế kỷ 17 Descartes là người đã đưa phương pháp tọa độ vào hình học , tạo điều kiện gắn hình học với đại số, điều này là cơ

sở cho sự ra đời của hình học giải tích, theo hướng mới đó hình học thoát khỏi hình học sơ cấp Hình học giải tích nghiên cứu những hình và những phép biến đổi được cho bởi những phương trình đại số trong tọa độ vuông góc bằng cách

sử dụng các phương pháp của đại số” (Trích Từ điển bách khoa phổ thông toán học 1 – NXB Giáo dục - 2003).

Trong thực tế, việc dạy và học hình học không gian trong chương trìnhphổ thông hiện nay nhìn chung vẫn chưa đạt hiệu quả cao Qua kinh nghiệmgiảng dạy của mình, tôi nhận thấy một số bài toán HHKG về tính thể tích và tínhkhoảng cách đã gây cho học sinh những khó khăn sau:

*) Những khó khăn của học sinh khi học HHKG:

- Vẽ hình chưa trực quan,

- Vận dụng các định lí quan trọng chưa tốt,

- Chưa nắm chắc các khái niệm đa diện thường gặp,

Đặc biệt là tâm lí lo ngại khi tiếp cận bài toán HHKG về tính thể tích vàtính khoảng cách, điều này đã “cản bước” và làm cho các em không tự tin đểgiải các bài toán này

*) Thực trạng việc dạy của giáo viên: Có một số giáo viên đã vận dụng

phương pháp dạy học sáng tạo nhưng thường dừng lại ở mức độ nhỏ lẽ như khaithác những bài toán tương tự, tìm và giải bài toán tổng quát

*) Thực trạng việc học của học sinh: Đa số học sinh chỉ biết giải các bài

tập HHKG về tính thể tích và tính khoảng cách một cách tương tự với những bài

mà mình đã giải rồi, và bế tắc khi gặp bài toán mới Nhiều học sinh không hề cóchút suy nghĩ tìm lời giải khi gặp những bài toán mới

Thực tế cho thấy nhiều học sinh không làm được bài toán này nhưng vẫnlàm được bài toán hình tọa độ không gian Vậy tại sao chúng ta không chuyểnbài toán tính thể tích khối đa diện và tính khoảng cách sang tọa độ, điều đó cóthể giúp chúng ta đơn giản hơn khá nhiều những vấn đề khó

Qua phân tích thực trạng việc học của học sinh và việc dạy của giáo viên,tôi nhận thấy đề tài cần thiết đối với giáo viên trực tiếp giảng dạy nhằm giớithiệu những kinh nghiệm và phương pháp phù hợp để nâng cao hiệu quả học tậpHHKG cho học sinh lớp 12

2.2 Thực trạng trước khi thực hiện các giải pháp

Thuận lợi

Khái niệm vectơ trong không gian đã được đưa vào nội dung chương trìnhlớp 11 Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gianlàm cho cách diễn đạt một số nội dung hình học được gọn nhẹ hơn, học sinh dễdàng tiếp thu Mặt khác một số kiến thức về vectơ này sẽ là cơ sở chuẩn bị choviệc xây dựng khái niệm tọa độ trong không gian trong chương trình hình họclớp 12, một công cụ hữu ích để giải nhiều bài toán hình học không gian

Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặcbiệt là dạy hình học là hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp toạ độ vàogiải toán, nghĩa là biết vận dụng linh hoạt và sáng tạo các kiến thức về toạ độđiểm, toạ độ vectơ và các công thức có liên quan vào giải toán Điều này giúpcho việc giải bài tập hình học không gian có những thuận lợi là:

- Không sử dụng quá nhiều hình vẽ, thay vào đó là kĩ năng và vận dụng côngthức một cách hợp lí

- Đã xây dựng được các kết quả quan trọng để học sinh có thể vận dụng vàogiải một số bài toán HHKG về tính thể tích và tính khoảng cách

2 Khó khăn:

Không ít học sinh chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của việc chủđộng phân tích đề bài, dựng hình và định hướng phương pháp giải quyết bàitoán mà các em chỉ làm một cách máy móc, lập luận thiếu căn cứ, không chínhxác, đôi lúc không phân biệt được đâu là giả thiết, đâu là phần cần chứng minh

Do đó kết quả không như mong đợi

Đây là một nội dung khó đối với học sinh lớp 12 Do chưa tìm ra được phương pháp thích hợp để giải toán nên sẽ nhiều vướng mắc, từ đó thiếu hứng thú trong học tập Để giúp các em mau chóng tiếp cận được phương pháp giảng dạy mới,

đòi hỏi sự nỗ lực và sự quyết tâm cao của cả thầy và trò

2.3 Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài

Qua cơ sở và thực trạng nói trên, đúc kết kinh nghiệm tôi mạnh dạn tổng hợp một cách khái quát về chủ đề gắn hệ trục tọa độ với nội dung sau:

a)

Một số phép toán về vectơ trong không gian:

Trong chương III §1, §3 sách giáo khoa (SGK) hình học 12 nâng cao

-Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - NXBGD-2008, đã nêu định nghĩa và một số tính

chất sau:

Cho hệ trục tọa độ Oxyz,

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

d1, d2 lần lượt có vectơ chỉ phương

 Hình đã cho có một đỉnh là tam diện vuông

 Hình chóp có một cạnh bên (mặt bên) vuông góc với mặt đáy và đáycủa hình chóp là các đa giác đặc biệt (như tam giác vuông, tam giácđều, hình chữ nhật, hình vuông, …)

 Hình hộp đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương, ….

 Một vài hình chưa có sẵn tam diện vuông nhưng có thể tạo ra đượctam diện vuông,…

c)

Các bước giải bài toán HHKG bằng phương phương pháp tọa độ:

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz.

Suy ra tọa độ các điểm liên quan (phụ thuộc theo giả thiết độ dài)

Bước 2: Chuyển ngôn ngữ (bài toán) hình học thuần túy sang ngôn ngữ

(bài toán) hình học giải tích

*) Kĩ năng chọn hệ trục toa độ Oxyz :

Ta có: vuông góc từng đôi một Do đó, nếu trong hình vẽ chứacác cạnh vuông góc thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa

độ

Cần nhấn mạnh rằng, việc xây dựng hệ trục tọa độ Oxyz là rất quan trọng,

nó đảm bảo cho việc tính toán ở các bước tiếp theo là đơn giản hay phức tạp.Sau đây là một số cách đặt hệ trục tọa độ với một số hình đặc biệt mà ta thường

sử dụng:

Loại I - HÌNH CHÓP:

1-Hình chóp tam giác đều S.ABC

Gốc O trùng với trọng tâm G của đáy, Oz

trùng với đường cao SG của hình chóp.

C

B A

Gốc O trùng với tâm của hình vuông ABCD,

Oz trùng với đường cao của hình chóp.

Gốc O trùng với tâm của hình vuông ABCD, Oz trùng với đường

cao của hình chóp

Đáy của chóp đều S.ABCD:

O

C D

y x

z

S

C D

4 -Hình chóp tam giác S.ABC có

Gốc O trùng với đỉnh A của tam giác ABC,

Oz trùng với đường cao SA của hình chóp.

Gốc O trùng với đỉnh A của tam giác ABC, Oz trùng với đường cao SA của

hình chóp

Đáy của chóp S.ABC:

Gốc O trùng với đỉnh A của tam giác ABC,

Oz trùng với đường cao SA của hình chóp.

a) Đáy là hình chữ nhật ABCD b) Đáy là hình thoi ABCD

và có góc

Gốc O trùng với trung điểm I của cạnh AB,

Oz trùng với đường cao SI của hình chóp.

A

y z

Gốc O trùng với trung điểm E của cạnh AB,

Oz trùng với đường cao SE của hình chóp.

F E

A

B

C S

H S

C B

Gốc O trùng với đỉnh A của tam giác đều

ABC, Oz trùng với đường cao AA’ của

hình lăng trụ

y z

x

30

C' A'

B'

A

C B

Đáy của lăng trụ ABC.A’B’C’:

D'

D B

A

C

C' A'

B'

z

y x

Đáy của lăng trụ ABCD.A’B’C’D’:

B A

O

y

x

3.Hình lăng trụ đứng tam giác

ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC

4.Hình lăng trụ đứng tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình

Gốc O trùng với đỉnh A của tam giác đều

ABC, Oz trùng với đường cao AA’ của

A'

B'

C'

D' O'

A O

Đáy của lăng trụ ABCD.A’B’C’D’:

D

C B

A

60 0

30 0

y x

5.Hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có hình

chiếu của A’ trùng với trung điểm I của

6 Hình lăng trụ ABC.A’B’C’

có hình chiếu của A’ trùng với

Gốc O trùng với đỉnh A của tam giác ABC,

Oz trùng với đường cao của lăng trụ.

I A

B

C

B'

C' A'

A

y

H

*) Chuyển ngôn ngữ hình học thuần túy sang ngôn ngữ hình học giải tích

Tính khoảng cách từ 1 điểm

đến 1 mặt phẳng

Tính khoảng cách từ 1 điểm

đến 1 đường thẳng d , d có vtcp

Tính khoảng cách giữa 2 đường

thẳng chéo nhau và d1, d2 lần lượt có vectơ chỉ phương

Tính khoảng cách giữa hai mặt

phẳng và song song

Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’

Tính thể tích khối chóp S.ABC

Tính thể tích khối chóp S.ABCD

M O

Bài tập 1: Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB=a, OC=

, (a>0) và đường cao OA= Gọi M là trung điểm của cạnh BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và OM.

Bài tập 2: (Trích đề thi học kì 2 năm 2009)

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (SBC), SB vuông góc SC biết SA=3, SB=4, SC=5 Tính khoảng cách từ S đến (ABC).

Hướng dẫn:

S C

B

A

E F

(hình vẽ không có đường phụ)

Cách 2 : Ứng dụng tọa độ

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz

sao cho O º S; A Î Ox; B Î Oy và

C Î Oz

Khi đó: S(0;0;0), A(3;0;0),B(0;4;0),C(0;0;5)

Bước 2: Ta có:

vtpt của (ABC) là

pt (ABC): 20x+15y+12z-60=0

Bài tập 3: (Trích SGK hình học 12 nâng cao – Đoàn quỳnh (Tổng chủ biên) –

NXB Giáo dục - 2008)

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB=a, BC=b, CC’=c.

a) Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(A’BD).

b) Tính khoảng cách từ điểm A’ tới đường thẳng C’D.

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.

Hướng dẫn:

a

b c

A N K

M H

Nhận xét: Qua ba bài tập trên (bài 1, bài 2, bài 3) ta nhận thấy, so với phương

pháp sơ cấp (tổng hợp) thì phương pháp tọa độ có những ưu điểm, cụ thể là:

 Hình vẽ đơn giản, không cần kẻ thêm đường phụ (còn giải theo phương pháp tổng hợp thì cần có mức độ tư duy khái quát thật tốt, phải kẻ thêm một số đường phụ để xác định khoảng cách giữa các yếu tố, điều này không phải học sinh nào cũng làm được).

 Trình bày đơn giản, dễ hiểu (phù hợp với đại đa số học sinh).

 Học sinh chỉ cần nhớ công thức và vận dụng vào việc tính toán.

Bài tập 4 : Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' các các mặt bên đều là hình vuông

cạnh a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và B'C'.

B'

A

B

y z

Kết luận:

(đvđd)

Nhận xét: Ở đây ta phải xác định

được khoảng cách giữa hai đường

thẳng A'B và B'C bằng tư duy hình vẽ,

điều này không phải đơn giản.

Bài tập 5 : (Đại học khối B – 2011) Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy

ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD Góc giữa hai mặt phẳng (ADD’A’)

và (ABCD) bằng 600 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (A’BD) theo a.

Hướng dẫn:

Hướng dẫn bài tập 5

Gọi I = AC BD Ta có

Chọn hệ trục Oxyz sao cho O º B;

A Î Ox; C Î Oy, tia Oz là tia Bz

song song và cùng hướng với tia

I

C

A' z

y

x

*Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’:

Vậy khoảng cách từ B’ đến (A’BD) là

(đvđd)

Nhận xét: Nếu giải bài toán trên (bài tập 5) bằng phương pháp sơ cấp thì

chúng ta phải xác định được góc giữa hai mặt phẳng (ADD’A’) và (ABCD) Tuy không mấy phức tạp nhưng cũng gây ít nhiều khó khăn cho học sinh vì các

em phải nhớ cách xác định góc giữa hai mặt phẳng, mặt khác trong quá trình

xác định góc phải kẻ thiêm một số đường phụ Sau đây ta lấy thêm một bài tập

có liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng.

Bài tập 6 : (Trích đề thi Đại học khối A – 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy

ABC là tam giác vuông cân tại B, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng chứa SM và song song với BC, cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC)

và (ABC) bằng Tính thể tích khối chóp S BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với O º B,

A Î Ox, C Î Oy, tia Oz là tia Bz song

song và cùng hướng với tia AS Khi đó:

(z > 0).

Vậy

Nhận xét : Trong bài tập 6, ta có thể tính độ dài đoạn SA sau đó mới chọn hệ

trục tọa độ Oxyz (vì cách xác định góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) trong trường hợp này là tương đối đơn giản) Cách tính độ dài đoạn SA như sau:

và nên góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là góc suy ra khi đó

Vì vậy cần lưu ý rằng, không nhất thiết cứ phải vận dụng toàn bộ (việc trình bày bài toán) bằng phương pháp tọa độ mà đôi lúc chúng ta vẫn có thể kết hợp với phương pháp hình học sơ cấp để việc trình bày trở nên đơn giản và dễ hiểu Ta lấy thêm một ví dụ để thấy tính hiệu quả của nó.

Bài tập 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đều bằng

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD: