Skkn phương pháp đạo hàm trong một số dạng toán về hàm hợp của hàm số một biến

Ưu điểm của phương pháp này là rất hiệu quả và dễ sử dụng khi giảitoán liên quan đến chiều biến thiên, cực trị, giá trị lớn nhất - nhỏ nhất của hàm hợp một biến.Các bài toán về đạo hàm v

Dạng 2: Tìm số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị 13 Kết luận 21 Tài liệu tham khảo 23

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình toán trung học phổ thông, nội dung đạo hàm và ứng dụng của đạohàm có một vị trí đặc biệt quan trọng, chiếm hầu hết số tiết có trong chương trình Là mộtcông cụ rất "mạnh" để giải quyết hầu hết những bài toán về hàm số trong các đề thi tốt nghiệpTrung học phổ thông Ưu điểm của phương pháp này là rất hiệu quả và dễ sử dụng khi giảitoán liên quan đến chiều biến thiên, cực trị, giá trị lớn nhất - nhỏ nhất của hàm hợp một biến.Các bài toán về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm về hàm hợp của hàm số một biến có nhiềudạng khác nhau, đặc biệt trong những năm gần đây hình thức thi trắc nghiệm toán được sửdụng rộng rãi trong các kì thi tốt nghiệp và tuyển sinh đại học, cao đẳng thì các bài toán liênquan đến hàm hợp của hàm số một biến ngày càng phong phú và thu hút được nhiều thầy côgiáo và các em học sinh quan tâm

Với lòng đam mê và mong muốn xây dựng hệ thống lý thuyết chặt chẽ và đưa raphương pháp vận dụng hiệu quả để giải quyết các dạng toán về hàm hợp của hàm số một biến

thông dụng trong chương trình toán trung học phổ thông tôi đã chọn đề tài: “Phương pháp đạo hàm trong một số dạng toán về hàm hợp của hàm số một biến”

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Mục đích nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu tìm hiểu về phương pháp đạo hàm tronggiải các bài toán về số cực trị của hàm hợp một biến và xét số nghiệm của phương trình dựavào đồ thị

Bên cạnh đó tác giả còn giới thiệu thêm phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn tronggiải các bài toán về hàm hợp một biến, các bài tập được trình bày dưới dạng trắc nghiệm

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- Đạo hàm của hàm hợp một biến

- Một số bài toán liên qua đến phương pháp đạo hàm trong chương trình toán trunghọc phổ thông như số cực trị hàm số; số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài đã sử dụng các phương pháp tìm hiểu lý thuyết; đọc; dịch và nghiên cứu tài liệu;phân tích; suy luận logic và tổng hợp các tài liệu liên quan đến đề tài

5 Nội dung sáng kiến kinh nghệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

- Phương pháp xét dấu đạo hàm

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm , giả sử ta được tập xác định

Bước 4: Lập bảng biến thiên

Bước 5: Dùng bảng biến thiên hàm hợp giải quyết các yêu cầu đặt ra trongbài toán và kết luận

- Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm , giả sử ta được tập xác định

Bước 2: Xét sự biến thiên của và hàm (bước 2 có thể làm gộp trongbước 3 nếu nó đơn giản)

Bước 3: Lập bảng biến thiên rút gọn tổng hợp xét sự tương quan giữa và

Bảng này thường có 3 dòng như dạng sau

Cụ thể các thành phần trong bảng biến thiên như sau

Dòng 1: Xác định các điểm biên của tập xác định hoặc các điểm cực trị của hàm

, sắp xếp các điểm này theo thứ tăng dần từ trái qua phải, chẳng hạn như

Dòng 2: Điền các giá trị với Trên mỗi khoảng ,

cần bổ xung các điểm không xác định hoặc các điểm cực trị

của hàm Trên mỗi khoảng , cần sắp xếp các điểm theo

Dòng 3: Xét chiều biến thiên của hàm số dựa vào bảng biến thiên của hàm bằng cách hoán đổi: u đóng vai trò của đóng vai trò của Sau khihoàn thiện bảng biến thiên hàm hợp ta thấy được hình dạng đồ thị hàm này.

Bước 4: Dùng bảng biến thiên hàm hợp giải quyết các yêu cầu đặt ra trong bài toán và kết luận

2.2 Thực trạng vấn đề

Theo cấu trúc đề thi TNTHPT mấy năm gần đây, chủ đề hàm số chiếm 20% trong đề thi.

Trong số đó có một số dạng khó liên quan đến hàm hợp mà nhiều học sinh cảm thấy xa lạ vàkhó Một số học sinh áp dụng cách giải truyền thống thường dài, mất thời gian

2.2 Giải pháp thực hiện

Đề tài gồm 4 dạng,mỗi dạng gồm các ví dụ được trình bày hai cách để thấy rõ ưu việt của mỗi cách

Dạng 1: Tìm số cực trị của hàm hợp dựa vào đồ thị.

Ví dụ 1.1 Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình bên

Số điểm cực trị của hàm số là

Lời giải Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm

Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số như sau

Ngoài ra, ta còn có đồ thị của hàm

Từ đồ thị, ta thấy

+) Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 1 điểm

+) Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm

+) Đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 1 điểm

Như vậy phương trình có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt Suy ra hàm

Gọi là các điểm cực trị của hàm số khi đó

chọn C

Ví dụ 1.2 Cho là hàm đa thức bậc 6 sao cho đồ thị hàm số như hình vẽ

Tìm số điểm cực trị của hàm số y = g(x) = f(x 2 + 4x + 5).

A.2 B.5 C.3 D 1

Lời giải Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm

Đầu tiên ta nhận xét tại và đồ thị tiếp xúc trục nên ta có

, trong đó là nghiệm kép

Xét PT , ta loại hai nghiệm và do nghiệm kép không là

điểm cực trị Vì nên hàm số g(x) có ba điểm cực trị là

Cách 2: Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn

Ta có bảng biến thiên của hàm số

của hàm

Bảng biến thiên của hàm số

Hay có một nghiệm bội ba, bốn nghiệm đơn Vậy hàm số có 5điểm cực trị Do đó ta chọn A

Cách 2: Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn

Từ đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên của hàm số như sau

Đặt Ta có Suy ra Lập bảng biến thiên của

hàm số u(x) ta được

Hàm số trở thành hàm số Từ bảng biến thiên của hàm số

và bảng biến thiên của hàm số ta có bảng sau

Từ bảng trên ta thấy hàm số có 5 điểm cực trị Vậy ta chọn A

Ví dụ 1.4 Cho hàm số có đạo hàm trên và có đồ thị là đường cong như hình vẽ

Đặt Số điểm cực trị của hàm số là

Lời giải Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm

Từ đồ thị ta thấy

Phương trình có đúng 3 nghiệm đơn phân biệt khác 0 và Vì

nên có 3 nghiệm đơn phân biệt khác Suy ra

có 8 nghiệm đơn phân biệt Do đó hàm số có 8 điểm cực trị Tachọn B

Cách 2: Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn

Đặt Từ đồ thị của hàm ta suy ra bảng biến thiên của hàm

Từ bảng biến thiên của hàm hợp ta có hàm số có 8 điểm cực trị

Ví dụ 1.5 Cho hàm số bậc bốn có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số là

A 3 B 5 C 7 D.11.

Lời giả Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm

Do là hàm số bậc bốn nên là hàm số liên tục và có đạo hàm luôn xác định tại Theo đồ thị hàm số ta có

Từ bảng biến thiên trên ta thấy hàm số có 11 điểm cực trị.

Ví dụ 1.6 Cho hàm số liên tục trên và đồ thị có ba điểm cực trị như hình vẽ dưới đây

Số điểm cực trị của hàm số là

Lời giải Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm

Ta có đồ thị hàm số

Từ đồ thị hàm số , suy ra

+) Phương trình (1) có 1 nghiệm khác , vì -4 < a < 1

+) Phương trình (2) có 1 nghiệm khác , vì -1 < b < 0.

+) Phương trình (3) có 3 nghiệm phân biệt khác , vì 0 < c < 4

Như vậy phương trình có 7 nghiệm phân biệt, tức là hàm số

Lời giải Cách 1 Phương pháp xét dấu đạo hàm

Ta có bảng xét dấu

Từ đó ta suy ra hàm số có 1 điểm cực trị Vậy chọn A

Cách 2: Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn

Quan sát bảng biến thiên ta thấy hàm số có 1 điểm cực đại.

Dạng 2: Xét số nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị.

Ví dụ 2.1 Cho hàm số có bảng biến thiên như sau

Lời giải Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm

Lập bảng biến thiên của

Từ bảng biến thiên trên, suy ra

+) Phương trình (1) có 1 nghiệm

+) Phương trình (2) có 3 nghiệm

+) Phương trình (3) vô nghiệm

Đặt với , ta có với Khi đó

Lập bảng biến thiên của

Ta có bảng sau

Dựa vào bảng, phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt Vậy chọn D

Ví dụ 2.2 Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm

A B m > -4 C 2 < m < 4 D

Lời giải

Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm

Dựa vào đồ thị đã cho ta có đồ thị của hàm số là

thiên

nghiệm khi và chỉ khi phương trình có nghiệm

Cách 2: Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn

Dựa vào đồ thị đã cho ta có đồ thị của hàm là

Ta có bảng biến thiên

Ví dụ 2.3 Cho hàm số có đồ thị như hình sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt

Lời giải Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm

Từ đồ thị, suy ra bảng biến thiên của hàm số

Xét hàm số TXĐ D = [-2;2] Ta có

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt khi

Vậy có 2 giá trị m thoả mãn bài toán

Cách 2: Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn

Ta lập bảng biến thiên

Phương trình trở thành Từ đồ thị hàm số và bảng biến thiên ta có bảng sau

Từ bảng trên suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt khi hoặc m

= -1 Do nên thoả mãn bài toán Vậy có 2 giá trị m thoả mãn

Ví dụ 2.4 Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới Có bao nhiêu giá trị nguyên

Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm

Ta có bảng biến thiên

Bài toán trở thành tìm m nguyên để phương trình có nghiệm

Dựa vào đồ thị bài ra và bảng biến thiên ta suy ra có nghiệm khi và chỉ khi

Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình có đúng

hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn là

Lời giải Cách 1: Phương pháp xét dấu đạo hàm

Ta có bảng biến thiên

Với , suy ra phương trình không có nghiệm thuộc đoạn

Với , suy ra phương trình có 1 nghiệm thuộc đoạn

Với , suy ra phương trình có 2 nghiệm thuộc đoạn

Khi đó, phương trình trở thành Để phương trình có đúng 2

trị nguyên của m thỏa mãn bài toán Do đó chọn C

Cách 2: Phương pháp lập bảng biến thiên rút gọn

Ta có

khi đó ta có (do ) Lập bảng biến thiên của hàm

Từ bảng biến thiên suy ra: Để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt thì:

Vì nên , Vậy có 6 giá trị

nguyên của m thỏa mãn bài toán Do đó chọn C

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:

Thông qua việc đưa ra các bước giải cụ thể cho từng dạng toán tìm số cực trị và số

nghiệm phương trình dựa vào đồ thị, đồng thời hướng dẫn học sinh cách áp dụng từng dạngtoán tôi thấy học sinh thoải mái, tự tin hơn, tính nhanh và đạt độ chính xác cao hơn Từ đó kếtquả kiểm tra tiến bộ rõ rệt

Qua kiểm tra thử nghiệm với hai lần kiểm tra học sinh của các lớp 12D và 12G mặc dù đềkiểm tra lần 2 ra mức độ khó hơn và trong thời gian làm bài ngắn hơn nhưng kết quả tốt hơnnhiều Kết quả khảo sát và thực nghiệm cụ thể như sau:

Kết quả kiểm tra lần 1

Kết quả kiểm tra lần 2

Kết quả thu được:

Qua quan sát thực tế và các bài kiểm tra về dạng toán này, tôi thấy:

- Học sinh đã định hướng và giải khá nhanh các bài toán tìm số cực trị, số nghiệmphương trình dựa vào đồ thị được tôi sưu tầm từ các đề thi THPT Quốc gia, đề TN THPT củacác trường THPT trong cả nước

- Tiết học sôi nổi, học sinh hứng thú và chủ động khai thác kiến thức, 100% học sinhtrong lớp đã thực hiện các nội dung theo yêu cầu câu hỏi và có kết quả tốt hơn khi chưa ápdụng kinh nghiệm giảng dạy trên

Từ những kết quả trên tôi khẳng định những giải pháp mà đề tài đưa ra là hoàn toàn khả thi và có thể áp dụng hiệu quả trong quá trình dạy học, qua kết quả thực nghiệm, đồng thời

với cương vị là người trực tiếp giảng dạy tôi nhận thấy việc hướng dẫn học sinh giải toán

bằng phương pháp đạo hàm để giải các dạng toán về tìm số cực trị và số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị là rất cần thiết và hiệu quả.

3.1 Kết luận:

Dựa vào các tài liệu chính là , , , chúng tôi đã hệ thống và tường minh các kiếnthức và phương pháp giải một số dạng toán về hàm hợp Cụ thể đề tài đã đề cập đến các nộidung sau:

1 Trình bày hệ thống kiến thức và phương pháp giải một số dạng toán về hàm hợp

2 Trình bày hệ thống bài tập về số cực trị hàm số dưới hình thức trắc nghiệm

3 Trnh bày hệ thống một số bài toán về tìm số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị

4 Trình bày hai phương pháp cơ bản thường sử dụng trong giải các bài toán về hàm hợp

Việc hướng dẫn học sinh giải toán bằng phương pháp đạo hàm để giải các dạng toán về

tìm số cực trị và số nghiệm phương trình dựa vào đồ thị sẽ giúp học sinh chủ động trong

việc phát hiện ra tri thức và nắm bắt được tri thức để từ đó kích thích sự đam mê, sáng tạo trong học tập bộ môn toán của học sinh

3.2 Kiến nghị:

Đối với giáo viên: cần nhiệt tình, tâm huyết với nghề nghiệp, lấy sự tiến bộ của học sinh làm mục đích chính, luôn trau dồi kiến thức, không ngừng tìm tòi, nghiên cứu phương pháp

Đối với học sinh: cần có thái độ học tập nghiêm túc, tự giác, nhiệt tình, tích cực, chủ độngtiếp cận kiến thức một cách khoa học.

Đối với nhà trường: nhân rộng các đề tài khoa học trong nhà trường để đồng nghiệp tham khảo, bổ sung góp ý và vận dụng trong quá trình dạy học

Mặc dù đã có sự đầu tư kĩ lưỡng nhưng bài viết chắc không tránh khỏi những thiếu sót, tôirất mong các bạn đồng nghiệp bổ sung, góp ý để bài viết được hoàn thiện hơn, cũng như việc ứng dụng nội dung bài viết này vào giảng dạy cho học sinh lớp mình, qua đó có thể đem lại cho học sinh những bài giảng hay hơn, hấp dẫn hơn và hiệu quả hơn

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hoá, ngày 10/05/2022

ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến

nghiệm của mình viết, không sao

chép nội dung của người khác Người viết:

Mai Thị Hiền

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích tập 1, NXB GD, 1998

[2] Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXB GD, 2020

[3] Trần Văn Hạo (Chủ biên), Giải tích 12 cơ bản, NXB GD, 2020

[4] Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, NXB GD, 2020

[5] Bộ giáo dục và đào tạo, Bộ đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng năm học:

2018-2019, 2019-2020, 2020-2021

[6] Kênh PPT TIVI, Phương pháp ghép trục trong bài toán hàm hợp

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2022