MỤC LỤC Mục Trang 1 Mở đầu 1 1 1 Lí do chọn đề tài 2 1 2 Mục đích nghiên cứu 2 1 3 Đối tượng nghiên cứu 3 1 4 Phương pháp nghiên cứu 3 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 4 2 1 Cơ sở lí luận của sáng kiế[.]
Trang 11 Mở đầu 1
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 42.2 Thực trạng về kỹ năng tư duy về cực trị của học sinh trường
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 6
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 19
Trang 31 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài:
Ngày nay cùng với sự phát triển của tất cả các ngành khoa học cơ bảnToán học là một trong số những ngành khoa học đi đầu, có vị trí hết sức quantrọng Chúng ta có thể nhận thấy điều này thông qua ứng dụng của Toán họchầu hết có mặt trong tất cả các lĩnh vực của đời sống xã hội Sự ra đời và pháttriển mạnh mẽ của công nghệ thông tin đã dẫn đến sự bùng nổ các ứng dụng củatoán học, đem lại hiệu quả to lớn cho đời sống xã hội
Toán học có ví trí đặc biệt quan trọng trong việc nâng cao và phát triểndân trí Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh (người học Toán) những
kỹ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả năng tư duylôgic, một phương pháp luận khoa học
Trong việc dạy học Toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học vàgiải bài tập Toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc hệ thống bài tập,phương pháp dạy học để góp phần hình thành và phát triển tư duy của họcsinh Đồng thời qua việc học Toán học sinh cần được bồi dưỡng, rèn luyện vềphẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để giải các bài tập Toán trong đó loạitoán về bất đẳng thức cũng là một trong những bài toán hay giúp học sinh pháthuy cao độ tính tư duy trí tuệ
Trong chương trình THCS, toán học chiếm một vai trò rất quan trọng Vớiđặc thù là môn khoa học tự nhiên, toán học không chỉ giúp học sinh phát triển tưduy, óc sáng tạo, khả năng tìm tòi và khám phá tri thức, vận dụng những hiểubiết của mình vào trong thực tế, cuộc sống mà toán học còn là công cụ giúp các
em học tốt các môn học khác và góp phần giúp các em học sinh phát triển mộtcách toàn diện
Từ vai trò quan trọng đó mà việc giúp các em học sinh yêu thích, say mêtoán học giúp các em học sinh khá giỏi có điều kiện mở rộng, nâng cao kiếnthức là một yêu cầu tất yếu đối với giáo viên dạy toán Trong quá trình giảngdạy toán cần thường xuyên rèn luyện cho học sinh các phẩm chất trí tuệ có ýnghĩa lớn lao đối với việc học tập, rèn luyện và tu dưỡng trong cuộc sống củahọc sinh
Trong chương trình Toán THCS khối lượng kiến thức rất phong phú và đadạng, các dạng toán cũng đề cập không ít Trong số đó có bất đẳng thức là mộtdạng toán quan trọng và khá phổ biến Trong các kì thi học sinh giỏi các cấp vàthi vào THPT, THPT chuyên thì bất đẳng thức thường hay gặp trong các đề thi.Bởi vậy muốn bồi dưỡng và phát triển các đối tượng học sinh khá, giỏi bản thânngười dạy phải nghiên cứu tài liệu, tìm tòi các phương pháp giải Nhằm bổ trợ
và nâng cao kịp thời cho các em
Trang 4Ở dạng toán bất đẳng thức thì mỗi bài toán với số liệu riêng của nó, đòi hỏi taphải vận dụng cách giải phù hợp Điều đó có tác dụng rèn luyện tính tư duy toán học linh hoạt và sáng tạo của người học.
Không những thế bất đẳng thức luôn là một đề tài thú vị của môn Đại số,
vì nó còn tiếp tục được giới thiệu và nghiên cứu ở cấp THPT Do đó bất đẳngthức mãi mãi là đối tượng nghiên cứu của Toán học, là vấn đề đa số người họcquan tâm trong các kì thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh và thi vào lớp 10
Từ những yếu tố khách quan và chủ quan, để giúp học sinh giải quyết đượcphần nào khó khăn khi gặp bài toán chứng minh Bất đẳng thức Tôi đã mạnh dạn
tìm tòi và nghiên cứu đề tài: “ Phát triển tư duy học sinh lớp 9 trường THCS
Lê Đình Chinh Ngọc Lặc từ bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp đánh giá phần tử đại diện” Nhằm tìm ra các biện pháp hữu
hiệu nhất để có một phương án đúng đắn giúp học sinh tiếp cận với các bài toán
về bất đẳng thức chủ động hơn, có hứng thú trong quá trình học
1.2 Mục đích nghiên cứu.
Với mục đích cung cấp một phương pháp giải toán mới cho các em họcsinh và quan trọng hơn cả là giúp các em nhìn thấy được bản chất của sự việc,hiện tượng, thấy được sự sáng tạo ra những bài toán đẹp từ những kiến thức hếtsức cơ bản Sử dụng phương pháp đánh giá phần tử đại diện để chứng minh bấtđẳng thức là một phương pháp rất rõ ràng và dễ áp dụng để giải một lớp các bàitoán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểuthức, một nội dung mà học sinh luôn gặp trong bất cứ kì thi nào và hầu hết các
em học sinh đều gặp rất nhiều khó khăn trong việc xác định phương pháp giải
Hi vọng phương pháp này sẽ xoá tan tâm lí sợ gặp bài toán chứng minh bất đẳngthức Chính vì vậy mà đề tài này rất cần thiết cho các đối tượng là các em họcsinh trong đội tuyển học sinh giỏi và tất cả các em học sinh muốn tìm hiểu mộthướng sáng tác của các bài toán chứng minh bất đẳng thức
* Đối với giáo viên:
- Giúp giáo viên dạy toán THCS nói riêng có quan điểm coi trọng việcnghiên cứu, dạy bất đẳng thức
- Đưa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức và một số phương phápchứng minh bất đẳng thức phù hợp trình độ học sinh
- Qua việc triển khai đề tài này góp phần nâng cao chất lượng dạy - học tốtnội dung bất đẳng thức và do đó sẽ dạy - học tốt môn toán trong trường THCS
*Đối với HS, sau khi thực hiện đề tài sẽ giúp các em:
- Giúp học sinh có kiến thức sâu hơn về bất đẳng thức, góp phần học tốthơn môn toán
- Giúp học sinh phát huy tính tích cực chủ động tìm tòi, khả năng suyluận, phán đoán và tính linh hoạt áp dụng vào thực tế của từng bài toán
Trang 5- Giúp học sinh định hướng đường lối giải bài toán.
- Giúp học sinh rèn kỹ năng giải bài toán bằng nhiều cách và biết lựa chọnphương án tối ưu
- Rèn luyện kĩ năng thực hành các thao tác tư duy toán học hợp lí
- Giải quyết triệt để những yếu kém, hạn chế về kỹ năng tư duy lôgic màhọc sinh vẫn mắc phải lâu nay trong quá trình giải toán
- Cung cấp thêm vốn kiến thức cần thiết và tăng cường hiểu biết là cơ sởtiếp thu các kiến thức toán học ở các lớp sau này
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
Đối tượng là một số vấn đề, thực trạng về dạy và học bất đẳng thức của họcsinh THCS
Một số tài liệu được tham khảo được sử dụng cho học sinh THCS, hiện đangđược nghiên cứu, thử nghiệm tại trường THCS
Tôi áp dụngđề tài này trong qua trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi các cấpcủa môn toán lớp 9, ôn thi vào 10 trường chuyên Lam Sơncủa trường THCS LêĐình Chinh Ngọc Lặc
1.4 Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết
Pương pháp thống kê, xử lí số liệu
Phương pháp nghiên cứu lí luận: đọc tài liệu sách báo, tạp chí, Internet có
nội dung liên quan “Phát triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em ýthức, năng lực vận dụng một cách thông minh những điều đã học”
Phương pháp phân tích, tổng hợp: phân tích các số liệu từ tài liệu để sử
dụng trong sáng kiến kinh nghiệm Sau đó tổng hợp các số liệu
Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Tìm hiểu thực
trạng về kỹ năng tư duy lôgic của học sinh các khối, lớp
Phương pháp quan sát : Nhìn nhận lại quá trình học tập môn toán của học
sinh của trường trong năm học vừa qua.Đưa ra một số biện pháp để nâng cao kếtquả học tập cho học sinh của trường trong giai đoạn hiện nay
Trang 62 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Xuất phát từ mục tiêu Giáo dục trong giai đoạn hiện nay là phải đào tạo racon người có trí tuệ phát triển, giàu tính sáng tạo và có tính nhân văn cao Trongquá trình dạy học ở trường THCS nói chung và dạy toán nói riêng, việc làm chohọc sinh biết vận dụng các kiến thức đã học để giải các bài toán là công việc rấtquan trọng và không thể thiếu được của người dạy toán Vì thông qua đó có thểrèn luyện được tư duy, khả năng sáng tạo, khả năng vận dụng cho học sinh Đểlàm được điều đó giáo viên phải cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản, cácphương pháp vận dụng và biến đổi phù hợp giúp học sinh hiểu được thực chấtcủa vấn đề để từ đó có các kĩ năng giải toán thành thạo, thoát khỏi tâm lí chánnản và sợ môn Toán
Trong quá trình giảng dạy toán cần thường xuyên rèn luyện chohọc sinh các phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao đối với việc họctập, rèn luyện và tu dưỡng trong cuộc sống của học sinh Đối với họcsinh khá giỏi, việc rèn luyện cho các em tính linh hoạt, tính độc lập, tínhsáng tạo, tính phê phán của trí tuệ là những điều kiện cần thiết vô cùngtrong việc học toán
Với mục đích thứ nhất là rèn luyện khả năng sáng tạo Toán học, trước mỗibài tập tôi đã cho học sinh tìm hiểu cách giải,đồng thời người thầy giáo cũngphải gợi ý và cung cấp cho học sinh nhiều cách giải.Trên cơ sở đó học sinh tựtìm ra cách giải hợp lí nhất.Phát hiện ra những cách giải tương tự và khái quátđường lối chung.Trên cơ sở đó với mỗi bài toán cụ thể các em có thể khái quáthoá bài toán thành bài toán tổng quát và xây dựng bài toán tương tự
Điều mong muốn thứ hai đó là mong muốn thay đổi phương pháp bồidưỡng học sinh khá giỏi từ trước tới nay Xây dựng một phương pháp mới đó làrèn luyện khả năng sáng tạo Toán cho học sinh sao cho mọi lúc mọi nơi các em
có thể phát huy năng lực độc lập sáng tạo của mình
2.2 Thực trạng về kỹ năng tư duy vềbất đẳng thức của học sinh trườngTHCS Lê Đình Chinh.
Bất đẳng thức là một vấn đề rất quan trọng và khó đối với học sinh cấptrung học phổ thông Học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc xácđịnhphương pháp giải vì không có một phương pháp và đường đi rõ ràng Cónhững cách giảikhông biêt từ đâu mà có Học sinh không thể hiểu được vì saongười ta lại nghĩ ra được một bài toán như vậy, vì sao lại có một bài giải nhưvậy Trong đề tài này tôi xin trình bày một phương pháp mà nếu học sinh khôngnắm được cơ sở lí luận đó thì sẽ không hiểu tại sao lại có một lời giải như vậy,
Trang 7và khi học sinh nắm được cơ sở lí luận của phương pháp này rồi thì việc sửdụng phương pháp này thật rõ ràng cụ thể, các em sẽ có thể tự chứng minh đượcmột lớp các bất đẳng thức và có thể tự sáng tác ra các bài toán chứng minh bấtđẳng thức
Qua thực tế dạy học ở trường trung học cơ sở cùng với việc trao đổi chuyênmôn qua một số giáo viên, việc dạy học nói chung và việc bồi dưỡng cho đốitượng học sinh khá và giỏi thông qua dạy học giải bài toán bất đẳng thức và cựctrị đối với yêu cầu phát triển tư duy sáng tạo, chúng tôi nhận thấy một số tồn tạinhư sau:
Do số tiết học ở trên lớp còn rất ít, khối lượng tri thức cần truyền đạt nhiềuđồng thời phải đúng lịch phân phối chương trình theo quy định nên việc mởrộng, khai thác, ứng dụng sáng tạo các kiến thức đã học chưa được triệt để sâusắc Điều này ảnh hưởng đến việc huy động vốn kiến thức của học sinh, hạn chếđến việc rèn luyện tính tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh trong học tập,nhất là đối tượng học sinh khá và giỏi
Học sinh ít khi được phát hiện vấn đề mới mà thường lặp lại hoặc phát hiệnvấn đề được giáo viên đã đưa ra, học sinh thường bị động khi tiếp nhận kiếnthức từ phía giáo viên Cách dạy và học như vậy sẽ làm hạn chế khả năng tìmkiếm, tự phát hiện vấn đề của học sinh, điều này trái với quan điểm về việc họctheo xu hướng hoạt động hoá người học, lấy người học làm trung tâm Chính vìđiều đó mà trong dạy học, người giáo viên phải biết chú trọng công tác bồidưỡng học sinh năng lực nhận biết tìm tòi, phát triển vấn đề để giúp học sinh rènluyện các kỹ năng tư duy vào thói quen phát triển tìm tòi, thông qua một số thaotác trí tuệ Việc thường xuyên rèn luyện cho học sinh năng lực này tạo cho họcsinh thói quen luôn luôn tích cực khám phá kiến thức ở mọi lúc, mọi nơi Muốnlàm tốt điều đó đòi hỏi học sinh phải trải qua một quá trình tìm tòi, mò mẫm, dựđoán, suy xét ở nhiều góc độ để rồi thử nghiệm
Trong chương trình toán trung học cơ sở, hệ thống bài tập trong sách là rất
đa dạng và phong phú nhưng đang còn rời rạc, thiếu sự liên kết với nhau trongtừng chủ đề Trong thực tế, cách dạy phổ biến hiện nay là giáo viên với tư cách
là người điều khiển đưa ra kiến thức rồi giải thích chứng minh, sau đó đưa ramột số bài tập áp dụng, làm cho học sinh cố gắng tiếp thu vận dụng Rõ ràng vớicách dạy như vậy giáo viên cũng thấy chưa thoả mãn bài dạy của mình, học sinhcũng thấy chưa hiểu được cội nguồn của vấn đề mà chỉ học một cách máy móc,làm cho các em có ít cơ hội phát triển tư duy sáng tạo, ít có cơ hội khai thác tìmtòi cái mới
Để khắc phục những tồn tại đã chỉ ra ở trên, người giáo viên cần phải có phươngpháp dạy học tích cực, tận dụng tối đa tiết dạy, quan tâm hơn nữa phần khai thác
và phát triển các bài toán bất đẳng thức cơ bản, đồng thời phải phối hợp nhiềuđịnh lý, bài toán đã học vào việc giải toán, từ bài toán dễ đến bài toán khó mà sự
Trang 8huy động kiến thức đó là cần thiết, cần phải làm cho học sinh luôn thấy được sựcần thiết thiếu hụt tri thức của bản thân Bởi vì khi học sinh nhận ra sự thiếu hụttri thức của bản thân thì chính sự thiếu hụt đó là một yếu tố kích thích chuyểnđộng thích nghi để tìm kiếm lại sự cân bằng Học sinh khi đó trở thành ngườimong muốn bù lấy sự thiếu hụt đó, thoả mãn nhu cầu nhận thức của bản thânmình.
Do đặc điểm của nội dung kiến thức, sáng kiến kinh nghiệm này tôi chỉ đưa
ra để áp dụng cho các em ôn thi học sinh giỏi toán lớp 9 các cấp và ôn thi vàocác trường chuyên Lam Sơn, khi đưa ra các bài tập mà chưa hướng các em tưduy thì kết quả thu được rất khiêm tốn Cụ thể tôi đã ôn 21 em học sinh của khối
9 và sau một số bài kiểm tra với nội dung tương tự như trong SKKN tôi đã trìnhbày, kết quả thu được như sau:
Bảng 1: Mức độ hứng thú của học sinh trước khi áp dụng SKKN
dễ đến bài toán khó, từ kiến thức cơ bản đến kiến thức nâng cao làm cho họcsinh luôn thấy được sự cần thiết thiếu hụt tri thức để phát triển tư duy của bảnthân
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1 Lí thuyết:
Nếu gặp các bất đẳng thức thuần nhất hoặc đồng nhất thì ta nên chuẩnhóa, tùy vào đặc điểm của từng bài mà ta có cách chuẩn hóa phù hợpđể đưa bấtđẳng thức về dạng các biến được cô lập dạng
thực hiện theo các bước sau:
Trang 9- Bước 1: xét xem dấu bằng xảy ra khi nào và phải là
- Bước 2: dựa vào hình thức của bất đẳng thức xét phần tử đại diện
-Bước 3: viết các phần tử đại diện về dạng với mọi x thuộc TXĐ
để chứng minh đa thức dấu bằng xảy ra khi x= a, ta cần chứng minh
Tôi bắt đầu đưa cho các em học sinh một ví dụ quen thuộc sau:
Ví dụ 1: Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh
Phân tích:
- Dấu “=” của BĐT xảy ra khi
- Bất đẳng thức trên các biến trong cả 2 vế và điều kiện đềukhông ràng buộc nhau điều này khiến ta nghĩ ngay đánh giá phần tử đại diện
- Ta đi tìm m, n sao cho luôn đúng với và dấu
bằng xảy ra khi
Trang 10Suy ra phải tìm điều kiện cần để đa thức P(x) có nghiệm bội
Lời giải:
- Ta sử dụng bất đẳng thức sau đây
- Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với Hiển
nhiên đúng với Dấu “=” xảy ra khi .Áp dụng bất đẳng thức
Tương tự, ta cũng có:
Cộng (1),(2),(3) ta có điều phải chứng minh
Ở đây có một câu hỏi đặt ra là, nếu không sử dụng bất đẳng thức Côsi thì có tìmđược đánh giá (1) hay không? Nếu được thì làm như thế nào?
Câu trả lời là có và ta sẽ làm như sau:
- Ta đi tìm các hệ số m, n sao cho phần tử đánh giá:
, , 0
2 2
a c
c c b
b b a
3 4
2
b a
a a b
2
nb ma b a
a
Trang 11Chú ý rằng bất đẳng thức trong bài toán trên xảy ra dấu đẳng thức khi .
Với , từ (1) ta có: , để dấu “ = ” xảy ra ta chọnm, nsaocho:
Khi đó (4) trở thành:
Chia cả hai vế (*) cho , đặt khi đó (4) trở thành:
-Để (5) đúng ta chọn m thỏa mãn: Từ đó suy ra(1)
Lời giải bài toán trình bày như sau:
Bài toán trên là một bài toán khá đơn giản, song với cách tiếp cận như trên
đã đem đến cho chúng ta một ý tưởng giải lớp các bài toán đồng bậc một cách
1 ( 2 ) 2
b
2 4
) (
) (
3
2 2
a c
c c
Trang 12Tiếp theo tìm m, n sao cho
Các hệ số m, n được chọn phải đảm bảo dấu đẳng thức xảy ra, do đó:
Khi đó (6) trở thành:
Chia cả 2 vế (6) cho , đặt được:
Nếu (8) đúng với mọi thì phải có nghiệm
Thay vào phương trình ta được Với , (8) trở thành:
Do đó thỏa mãn, suy ra
Lời giải:
Ta có:
(đúng)Tương tự, ta cũng có:
Cộng theo vế các bất đẳng thức (i),(ii),(iii) suy ra điều phải chứng minh
Ví dụ 4: Cho là các số thực dương Chứng minh
Phân tích:
- Dấu “=” của BĐT xảy ra khi
- Bất đẳng thức trên ta nghĩ ngay đánh giá phần tử đại diện
- Ta đi tìm m, n sao cho luôn đúng với và dấu bằngxảy ra khi
t
9 16