Skkn một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 11 trường thpt mường lát cách giải quyết bài toán dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giảicác bài toán liên quan đến dãy số và đặc biệt là các bài toán xác định công thức sốhạng tổng quát và bài toán tìm giới hạn của dãy số cho bởi h

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT MƯỜNG LÁT

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 11 TRƯỜNG THPT MƯỜNG LÁT CÁCH GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN DÃY SỐ CHO BỞI HỆ THỨC TRUY HỒI

Người thực hiện: Lê Thị Thùy Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2022

MỤC LỤC Nội dung Trang

1 Mở đầu 1

1.1 Lí do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu 1

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 1

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm .1

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm .3

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề .3

2.3.1.Dự đoán số hạng tổng quát của dãy số và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học 3

2.3.2 Sử dụng CSC – CSN để tìm công thức tổng quát của một số dạng dãy số cho bởi công thức truy hồi 6

2.3.3 Phương pháp tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi 13

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường .18

3 Kết luận và kiến nghị .18

3.1 Kết luận .18

3.2 Kiến nghị .19

TÀI LIỆU THAM KHẢO 20

1 Mở đầu 1.1.Lí do chọn đề tài

Trong chương trình toán học THPT, các bài toán liên quan đến dãy số là một phầnquan trọng của Đại số và giải tích 11 Học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giảicác bài toán liên quan đến dãy số và đặc biệt là các bài toán xác định công thức sốhạng tổng quát và bài toán tìm giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Hiện nay, các tài liệu chuyên sâu về chuyên đề tìm công thức số hạng tổng

quát và tìm giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi vẫn còn rất hạn chế Vớimong muốn nâng cao chất lượng giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, cung cấp chocác em học sinh (đặc biệt là các em học sinh yêu thích môn toán) có thêm một tài

liệu để tham khảo và học tập, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài “Một số kinh

nghiệm hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 11 trường THPT Mường Lát cách giải quyết bài toán dãy số cho bởi hệ thức truy hồi”.

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Các kết quả nghiên cứu trong đề tài được xây dựng một cách tự nhiên từ đơngiản đến phức tạp giúp các em học sinh nắm bắt kiến thức dễ dàng hơn và pháttriển tư duy cho các em học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đề tài nghiên cứu một số phương pháp giải quyết bài toán dãy số cho bởi hệthức truy hồi, nhằm góp phần tạo sự hứng thú và sự tự tin cho học sinh khi gặpdạng toán này

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

+ Nghiên cứu lý luận dạy học, tìm hiểu các tài liệu liên quan.

+ Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

+ Thống kê, tổng hợp, phân tích các dạng toán

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

2.1.1 Dãy số cho bởi hệ thức truy hồi (hay quy nạp):

- Cho số hạng đầu (hay vài số hạng đầu)

- Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài sốhạng) đứng trước nó

2.1.2 Tính chất của dãy số

Dãy số gọi là dãy tăng nếu

Dãy số gọi là dãy giảm nếu

Dãy số gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực sao cho

Dãy số gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực sao

Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là

2.1.3 Cấp số cộng (CSC)

* Định nghĩa: Dãy số được gọi là một CSC nếu có một số thực d sao cho với

một số nguyên n ta có:

d: được gọi là công sai của CSC

* Số hạng tổng quát: Nếu CSC có số hạng đầu và công sai d thì số hạng

tổng quát được xác định bởi công thức: với

q: được gọi là công bội của CSN

Số hạng tổng quát: Nếu CSN có số hạng đầu và công bội q thì số hạng

tổng quát được xác định bởi công thức: với

Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

Cho CSN với công bội Đặt Khi đó:

Chú ý: Nếu thì CSN là , , , …, , … Khi đó

2.1.5 Phương pháp quy nạp toán học

Để chứng minh một mệnh đề đúng với bằng phương pháp quy nạp toánhọc ta tiến hành theo hai bước:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì (gọi là giả thiếtquy nạp), chứng minh rằng nó cũng đúng với [1]

2.1.6 Giới hạn của dãy số

Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực

a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì

= 0c) Nếu lim un = a  0, lim vn = 0 thì lim =

d) Nếu lim un = +, lim vn = athì lim(un.vn) =

* Khi tính giới hạn có một trong cácdạng vô định: , ,  – , 0. thìphải tìm cách khử dạng vô định

Định lí kẹp về giới hạn của dãy số: Cho ba dãy số , , và

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trường THPT Mường Lát đóng trên địa bàn huyện Mường Lát có điều kiện

kinh tế khó khăn và trình độ dân trí còn thấp, chất lượng đầu vào thấp nhất tỉnh, tỷ

lệ học sinh khá giỏi ít Trong năm học 2020-2021, các đề thi học sinh giỏi khối 11xuất hiện một số bài toán về dãy số khiến các em học sinh lúng túng và không biếtphải xử lý thế nào Nhất là những dãy số cho bởi công thức truy hồi, không thể tìm

ra số hạng tổng quát và tính giới hạn của dãy được, những bài toán này thậm trímáy tính cầm tay cũng khó giải quyết Qua thực tế giảng dạy tôi thấy đây là phần

mà các em sợ nhất, hầu như qua các bài kiểm tra liên quan đến tìm số hạng tổngquát và tính giới hạn của dãy thì các em bỏ trống, hoặc chỉ làm được những bài hếtsức cơ bản Những bài đòi hỏi tư duy và kỹ năng thì các em không xử lý được Do

đó cần tìm ra những phương pháp để giúp đỡ các em thoát khỏi nỗi sợ hãi về dãy

số, đặc biệt là dãy số cho bởi hệ thức truy hồi, làm tròn trách nhiệm của mỗi ngườithầy cô giáo Giúp các em tự tin hơn trong giải toán, làm cho các em đam mê họctập đạt hiệu quả cao

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

2.3.1 Dự đoán số hạng tổng quát của dãy số và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Ví dụ 1: Cho dãy số xác định bởi : Xác định sốhạng tổng quát của dãy đã cho.

Bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được

2.3.2 Sử dụng CSC – CSN để tìm công thức tổng quát của một số dạng dãy số cho bởi công thức truy hồi

DẠNG 1: Dãy số cho bởi , (a, b là các số thực và )

có công thức tổng quát như sau:

Chứng minh:

- Nếu thì dãy số là một CSC với công sai nên ta có:

- Nếu , gọi là dãy số sao cho (1)

Thay công thức (1) vào công thức truy hồi, ta có:

là một CSN với công bội và số hạng đầu Do đó

có số hạng tổng quát là

Ví dụ 1: Xác định số hạng tổng quát của dãy số biết

Giải:

Ta thấy dãy là một CSC với công sai Ta có:

Ví dụ 2: Xác định số hạng tổng quát của dãy số biết

Giải:

Ta thấy dãy là một CSN với công bội Ta có:

Ví dụ 3: Xác định số hạng tổng quát của dãy số biết

Giải:

Gọi là dãy số sao cho Ta có:

là một CSN với công bội và số hạng đầu Ta có:

.Vậy số hạng tổng quát của dãy số là:

DẠNG 2: Dãy số được xác định bởi: , trong đó

là một đa thức bậc k theo n; a là hằng số Để tìm CTTQ của dãy số , ta làm như sau:

Gọi là dãy số thỏa mãn

Ví dụ 4: Xác định dãy số hạng tổng quát của dãy số cho bởi:

Khi đó:

- Nếu , ta chọn Khi đó dãy là một cấp số nhân

với

- Nếu , ta có

Vậy ta có kết quả sau:

DẠNG 3: Cho dãy số Khi đó, ta có:

Gọi là dãy số thỏa mãn (*) Ta có dãy là một CSN và

Vậy , thay vào (*) ta có

Vậy dãy số được xác định bởi Đây là bài toán thuộc dạng 3

Giải: Ta tìm cách làm mất vế phải trong công thức truy hồi của dãy bằng cách:

Đặt Thay vào công thức truy hồi của dãy, ta được:

- Nếu (1) có ba nghiệm phân biệt , , Dựa vào , ,

Ví dụ 14: Xác định số hạng tổng quát của dãy số

Đặt ta có dãy số Đây là bài toán dạng 1, ta dễ dàng

Ví dụ 15: Xác định số hạng tổng quát của dãy số

Giải: Việc tìm số hạng tổng quát của dãy số này không còn đơn giản như ví dụ trên

nữa vì ở tử số còn có hệ số tự do Ta cần làm mất đi hệ số tự do ở tử bằng cách đặt

2.3.3.1 Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi bằng cách xác định công thức tổng quát của dãy.

Dãy số là một CSN khi Khi đó:

Dãy số có công thức tổng quát là

Suy ra Ta có:

Trước hết ta sẽ chứng minh dãy số tăng và bị chặn trên.

Chứng minh dãy tăng bằng quy nạp, tức là (1)

- Khi ta có nên mệnh đề (1) đúng với

Hay

, tuy nhiên việc xác định CTTQ của không phải là đơn giản

và mất nhiều thời gian Với kĩ thuật tính giới hạn như bài giải trên, bài toán được giải quyết gọn nhẹ

Ví dụ 2: Cho dãy số xác định bởi Tính

Vậy dãy là dãy số dương tăng

Hơn nữa, ta thấy

Hay (do ) Nên bị chặn trên bởi 4

Do đó dãy số có giới hạn hữu hạn Giả sử , khi đó

Từ hệ thức truy hồi suy ra

Ví dụ 3: Cho dãy số xác định bởi

Chứng minh rằng dãy có giới hạn và tính giới hạn đó

Thật vậy,

Do đó ta có Theo bất đẳng thức Cosi, ta có

.Mặt khác ta có

“Tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi ”

Kết quả thu được như sau:

Lớp Giải được Có đường lối giải Không giải được

Các phần khó hơn trong nội dung đề tài tôi dùng để giảng dạy cho các emhọc sinh học khá, giỏi môn toán và yêu thích môn toán Sau khi nắm bắt đượcphương pháp làm bài, các em vận dụng khá thành thạo và giải quyết tốt nội dungcủa các bài toán tìm công thức tổng quát và tính giới hạn của dãy số

3 Kết luận và kiến nghị 3.1 Kết luận.

Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung các bài giảng liên quan đến đề tài và

có sự tham gia góp ý của đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dạy đã thu đượcmột số kết quả tích cực như sau:

- Học sinh trung bình trở lên nắm vững được một số phương pháp và biết vậndụng ở các bài toán cơ bản xác định được công thức tổng quát của dãy số

- Một số đề thi học sinh giỏi, học sinh lớp chọn có thể sử dụng phương pháptrình bày trong đề tài để giải bài toán

- Là một phương pháp tham khảo cho học sinh và các thầy cô giáo

- Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp có thể xây dựng thêm các bài toán về dãy

Trong quá trình biên soạn đề tài tôi đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên cũngkhông tránh khỏi những thiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý chân thành củacác thầy cô giáo đồng nghiệp và Hội đồng chuyên môn nhà trường để đề tài của tôiđược hoàn thiện hơn Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA THỦ

TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2022

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mìnhviết, không sao chép nội dung của người

khác

(Ký và ghi rõ họ tên)

Lê Thị Thùy

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn (Chủ biên), Đại số và Giải tích 11 Cơ bản, NXB Giáo dục, năm 2014.

[2] Vũ Tuấn (Chủ biên), Bài tập Đại số và Giải tích 11 Cơ bản, NXB Giáo dục,