Skkn một số định hướng phát triển tư duy sáng tạo dành cho học sinh lớp 12 thông qua việc khai thác bài toán thể tích khối chóp vào giải toán hình học

Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến mộtmặt phẳng hoặc là tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là bài toánnâng cao và thường dành cho học sinh khá giỏi.. Đề tài này sẽ hư

MỤC LỤC

Phần I Mở đầu………1

1.1 Lí do chọn đề tài……… 1

1.2 Mục đích nghiên cứu……… 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu……… 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… ……….2

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm……….2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm……… 2

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm………… 3

2.3 Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề……… 3

2.3.1 Trang bị cho học sinh kiến thức cơ bản về diện tích, thể tích, các kiến thức và kĩ năng tính toán liên quan……… 3

2.3.2 Sử dụng thể tích để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng……….3

2.3.3 Sử dụng thể tích để tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau……….8

2.3.4 Sử dụng thể tích để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng………11

2.3.5 Sử dụng thể tích để tính diện tích thiết diện……… 13

2.3.6 Sử dụng thể tích để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Hình Học….15 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm ………17

3 Kết luận, kiến nghị……….19

3.1 Kết luận………19

3.2 Kiến nghị……… 19

Phần I Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài

Trong những năm gần đây việc dạy học phát triển năng lực người họcđược xem là cốt lõi của việc đổi mới phương pháp Môn Toán là một môn học điđầu trong việc phát triển tư duy nên càng cần được đặc biệt chú ý Việc giải toán

là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, giúp học sinh phát triển tư duy,tính sáng tạo [6] Thông qua hoạt động giải bài tập toán giáo viên có thể tạo điềukiện để thực hiện các mục đích dạy toán ở trường phổ thông Dạy giải bài tậptoán cho học sinh có tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát triển tư duy,gây hứng thú học tập cho học sinh, yêu cầu học sinh có kỹ năng vận dụng kiếnthức vào tình huống mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có nănglực độc lập suy nghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọn phương pháp tự họctối ưu Giải Bài toán hình học không gian đáp ứng cao những yêu cầu đó

Bên cạnh đó đề thi Trung học phổ thông Quốc gia, đề thi học sinh giỏi và

đề thi đánh giá năng lực không ngừng đổi mới liên tục và rất đa dạng, đòi hỏihọc sinh phải linh hoạt sáng tạo và ứng biến tốt Trong các bài toán hình họckhông gian thì bài toán thể tích khối chóp là phổ biến có nhiều câu ở mức cơ bảnnên học sinh rất có hứng thú Bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến mộtmặt phẳng hoặc là tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là bài toánnâng cao và thường dành cho học sinh khá giỏi Các bài toán về đẳng thức vàbất đẳng thức hình học lại chủ yếu dành cho học sinh giỏi Tuy là các chủ đềkhác nhau nhưng chúng cũng có mối liên hệ nhất định nếu chúng ta khai thác tốtcông thức thể tích và tỷ số thể tích

Nói về bài toán tính khoảng cách thì chúng ta có thể giải quyết theo nhiềucách như: Sử dụng định nghĩa, so sánh khoảng cách, sử dụng tọa độ hoặc là giảiquyết bằng con đường gián tiếp thông qua sử dụng công thức thể tích Tuy nhiênthực tế giảng dạy cho thấy việc dựng khoảng cách từ điểm đến một mặt phẳnghay dựng đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau hoặc so sánhkhoảng cách là một việc làm không dễ đối với đại đa số học sinh, kể cả những

em học tương đối khá Còn việc chuyển bài toán sang bài toán tọa độ thì khôngphải là thuận lợi cho mọi bài toán hình học không gian, nó chỉ thuận lợi với một

số bài toán nhất định

Đối với các bài toán diện tích thiết diện, đẳng thức và bất đẳng thức hìnhhọc thì hẳn là bài toán khó mà những học sinh có tư duy tốt sẽ rất hứng thú Cónhiều con đường tùy theo từng bài toán, nhưng việc khai thác thể tích khối chóp

và tỉ số thể tích thì tôi nhận thấy là rất hiệu quả và thú vị

Qua nghiên cứu tài liệu và tham khảo các sáng kiến của đồng nghiệp, tôinhận thấy có nhiều ứng dụng hay của công thức thể tích khối chóp rất phù hợpcho định hướng phát triển tư duy sáng tạo Để giúp học sinh có những cách nhìnmới và tư duy mới cho các bài toán trên, bằng những kinh nghiệm thực tiễn dạyhọc và nghiên cứu của bản thân tôi nhận thấy việc khai thác tốt bài toán thể tích

khối chóp là một lựa chọn phù hợp cho yêu cầu thực tiễn về phương pháp pháttriển năng lực tư duy, tìm tòi sáng tạo Vì vậy tôi đã chọn nghiên cứu đề tài: “

Một số định hướng phát triển tư duy sáng tạo dành cho học sinh lớp 12 thông qua việc khai thác bài toán thể tích khối chóp vào giải toán hình học”.

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Đề tài này sẽ hướng đến việc làm thế nào để nâng cao tính chủ động, sự tựtin của học sinh lớp 12 khi giải các bài toán hình học không gian, định hướngphát triển tư duy sáng tạo thông qua việc khai thác bài toán thể tích khối chóp.Thấy được các khía cạnh, các góc nhìn một công thức và khai thác nó một cáchhiệu quả, linh hoạt

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Phân dạng các cách khai thác công thức thể tích vào các bài toán thườnggặp Khai thác các khía cạnh: cách tính thể tích và khai thác nó như thế nào chonhững bài toán tính khoảng cách,tính diện tích, chứng minh và sáng tạo đẳngthức, bất đẳng thức Cách giải quyết vấn đề và các nhận xét quan trọng

Học sinh các lớp 11 và 12 mà tôi trực tiếp giảng dạy, trong đó có lớp 12 là12C7

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Sử dụng phương pháp sưu tầm, phân tích các tài liệu, các đề thi thửTHPT

- Nghiên cứu về cấu trúc và nội dung chương trình Toán 11, 12 phần hình

đề ra những giải pháp phù hợp để nâng chất lượng học tập cho học sinh

-Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Sử dụng phương pháp thống kê để

xử lý số liệu, so sánh kết quả thu thập trước và sau khi tác động

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

- Có kỹ năng tốt trong tính thể tích, diện tích và khoảng cách là các mảng

kiến thức quan trọng, cốt lõi của hình học không gian thi THPT Quốc gia

- Khai thác tốt công thức thể tích sẽ giúp định hướng tư duy sáng tạo của

học sinh, hình thành thói quen nhìn nhận vấn đề ở nhiều khía cạnh

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

- Thực trạng chung: Hầu hết học sinh sẽ mặc định ngay các bài toán

khoảng cách và bất đẳng thức hình học là khó và ít có tự tin xử lí tốt, thườngchấp nhận tâm lí gặp rồi thì hi vọng làm được, may rủi khi làm trắc nghiệm

- Thực trạng đối với giáo viên: trình bày vấn đề khó khăn vì liên quan

nhiều kiến thức

- Thực trạng đối với học sinh tại lớp 12 C7 : Hầu hết học sinh chưa có tâm

thế tốt, chưa nắm được cách khai thác, cách suy rộng một công thức Chưa cókhả năng khái quát và tổng kết kinh nghiệm

2.3 Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn đề.

2.3.1 Trang bị cho học sinh kiến thức cơ bản về diện tích, thể tích, các kiến thức và kĩ năng tính toán liên quan như: Hệ thức lượng trong tam giác, các

công thức tính diện tích tam giác,công thức độ dài đường trung tuyến

Việc làm này sẽ được tôi thực hiện trong các tiết học chính khóa và học chuyên đề

2.3.2 Sử dụng thể tích để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Giáo viên nêu vấn đề bằng cách đặt câu hỏi: Từ định nghĩa chiều cao củamột khối chóp công thức tính thể tích khối chóp ta có thể khai thác được những

gì? Học sinh sẽ dễ dàng suy ra công thức tính khoảng cách: d= Sau đây

là các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1 Cho lăng trụ đều ABC EFG có tất cả các cạnh bằng a M, N, P lần lượt

là trung điểm của BF, EF và FG Tính khoảng cách từ N đến mặt phẳng (AMP)

Nhận xét: Việc tính khoảng cách này rất khó khăn do mặt phẳng (AMN) không

thuận lợi cho việc dựng khoảng cách theo cách truyền thống Giáo viên nên đưa

ví dụ này đầu tiên và phân tích kĩ để gây hứng thú cho học sinh

Giải:

+)Trước hết ta tính thể tích khối chóp PAMN bằng việc so sánh thể tích:

+) Tính diện tích tam giác AMP:

Ta có tam giác AMP vuông tại M nên ( Có thể tính bằng công thức Herong và sử dụng máy tính cũng rất thuận lợi)

+) Khoảng cách cần tính:

Ví dụ 2 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có Lấy

điểm M trên cạnh AD sao cho Tính theo khoảng cách từ điểm M đến mp(AB’C) [2].

Nhận xét:

+) Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C) phải tính toán qua bài toán so sánh khoảng cách với điểm B và chọn góc nhìn phù hợp (đáy dưới nên đặt là (ABCD)

và B nên đặt phía bên trái) Việc làm này khá là khó khăn và học sinh cần phải

có kinh nghiệm giải toán với hình lăng trụ

+) Khoảng cách từ điểm M đến mp(AB’C) bằng độ dài đường cao kẻ từ M của hình chóp M.AB’C.

Ví dụ 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang,

Cạnh bên SA vuông góc với đáy và Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB Tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mp(SCD) [5].

Lời giải 1

Lấy I là trung điểm của AD tứ giác là hình vuông

vuông tại C mà

Lời giải 2

Gọi E là giao điểm của AB và CD

Lấy M là trung điểm của EC, N là

trung điểm của SE, F là trung điểm

Ta có NB là đường trung bình của tam giác SAE

vuông tại B có BJ là đường cao

nên

, mà (đvđd)

So sánh hai lời giải ta thấy: Ở lời giải thứ nhất sau khi chuyển việc tính khoảng cách về tính khoảng cách học sinh chỉ cần sử dụng thuần túy tính toán biến đổi để tính mà không cần phải đi dựng khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) mà tôi cho rằng việc dựng này không hề đơn giản cho đa số các học sinh.

*Kết luận

Như vậy việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng hoàn

toàn có thể sử dụng thông qua việc tính thể tích khối chóp, đồng thời trong quá trình tính khoảng cách đó chúng ta cũng có thể sử dụng kết hợp với việc so sánh khoảng cách để chuyển về tính khoảng cách thuận lợi hơn

Sau khi học sinh đã phát hiện ra việc tính khoảng cách dựa vào thể tích, giáo viên sẽ nêu một số câu hỏi lớn:

Câu hỏi 1: Nêu những công thức tính tứ diện mà chúng ta đã được học hoặc đã xây dựng được?

Câu hỏi 2: Trong những công thức đó, công thức nào giúp cho ta có thể tính khoảng cách và góc?

Câu hỏi 3: Hãy nêu các công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng mà em biết?

Học sinh sẽ đưa ra khá nhiều công thức, và giáo viên dẫn dắt để tập trung vào bốn công thức có thể khai thác:

Công thức 1: , với d là khoảng cách giữa AB và CD, là góc giữa AB và CD.

Từ công thức này học sinh sẽ suy ra được một cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Công thức 2: Với là góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và

(BCD)

Từ công thức này học sinh sẽ suy ra được một cách tính góc giữa hai mặt phẳng

Công thức 3: , với là góc giữa SM và mặt phẳng (P), M

là góc giữa MN và mặt phẳng (P).

Từ công thức này học sinh sẽ suy ra được một cách tính góc giữa đường thẳng

và mặt phẳng

Công thức 4: Và do vai trò như nhau của hai mặt phẳng ta

cũng có: .Với là góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng

(SCB) [8].

Sau đây sẽ là khai thác các công thức trên kết hợp với thể tích cho việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và tính góc

2.3.3 Sử dụng thể tích để tính khoảng cách giữa hai đường chéo nhau

Bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là một trong nhữngbài toán khó đối với học sinh Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéonhau ta có ba con đường: sử dụng định nghĩa, tính bằng con đường gián tiếp,hay sử dụng công thức của hình học tọa độ bằng cách chuyển bài toán sang bàitoán hình học tọa độ

Như đã nói ở phần trên, việc chuyển bài toán sang hình học tọa độ chỉ nên sửdụng và sử dụng tốt cho một lớp các bài toán đặc trưng

Tính bằng cách sử dụng định nghĩa là chúng ta đi dựng đoạn vuông góc chungcủa hai đường thẳng chéo nhau rồi tính độ dài đoạn thẳng đó Tuy nhiên bằngkinh nghiệm bản thân và tìm hiểu thực tiễn cho thấy việc dựng đoạn vuông gócchung của hai đường thẳng chéo nhau chỉ được thực hiện khá dễ dàng khi haiđường thẳng đó vuông góc với nhau mà thôi Chính vì vậy mà con đường nàychỉ nên sử dụng khi hai đường thẳng chéo nhau đó là vuông góc hoặc bài toányêu cầu dựng

Tính gián tiếp nghĩa là chúng ta không đi dựng đoạn vuông góc chung của haiđường thẳng chéo nhau mà thay thế khoảng cách cần tính bởi một khoảng cáchtương đương khác rồi tính hoặc là sử dụng công thức thể tích Một trong nhữngcon đường gián tiếp đó là chuyển về tính khoảng cách từ một điểm thuộc đườngthẳng này đến mặt phẳng chứa đường thẳng còn lại mà song song với nó Theocách này chúng ta sẽ phải đi dựng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng,đây là công việc đã đơn giản hơn nhưng cũng không dễ đối với đa số học sinh

nhất là những em yếu khâu vẽ hình và dựng hình, hoặc sử dụng kỹ thuật tínhnhư mục 2.3.2 Ở đây, tôi muốn hướng học sinh tới một cách tính gián tiếp khácnhờ ứng dụng của bài toán tính thể tích tứ diện Trước hết ta tiếp cận vấn đềbằng một bài toán:

Bài t oán Cho tứ diện ABCD Gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và

CD, là góc giữa hai đường thẳng đó Chứng minh rằng

Điều đáng chú ý ở công thức trên là có xuất hiện công thức liên hệ giữa thể tích

tứ diện và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.Giáo viên tiếp tục nêu câu hỏi : Em có thể rút ra điều gì ở công thức trong bài toán trên ?

Học sinh sẽ đưa ra được câu trả lời mong muốn: Với AB và CD là hai đường

thẳng chéo nhau, khoảng cách giữa chúng được cho bởi công thức

Như vậy giáo viên kết luận : để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéonhau AB và CD chúng ta có thể thực hiện theo các bước sau:

B1 Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

B2 Tính độ dài các đoạn thẳng AB, CD và

tính

Theo cách tính này thì học sinh sẽ tránh được việc phải dựng hình khó khăn

Sau đây là các ví dụ minh họa.

Ví dụ 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA = h và

vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng

c) Ta có ,

Ví dụ 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a M, N lần

lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của CN với MD Biết SH

Từ giả thiết ta có SH là đường cao của hình chóp SDCM

Do ABCD là hình vuông M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD

*Kết luận: Có thể sử dụng việc tính thể tích để tính khoảng cách giữa hai đường

thẳng chéo nhau.

2.3.4 Sử dụng thể tích để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng.

Bài toán tính góc rất khó thường là các bài toán với hình lăng trụ Các mặtphẳng không thuận lợi về vị trí sẽ không thể dựng được góc Vì vậy nếu chủđộng được trong các tình huống này, học sinh sẽ thấy ưu thế của việc khai thácthể tích Sau đây là một ví dụ điển hình:

Ví dụ 6 Cho lăng trụ đều ABC EFG có tất cả các cạnh bằng a M, N, P lần lượt

là trung điểm của BF, EF và FG

a)Tính sin góc giữa AN và mặt phẳng (MNP)

b) Tính sin góc giữa hai mặt phẳng (AMP) và (MNP)

Đây là bài toán được phát triển từ ví dụ 1 Một số kết quả tính toán ở ví dụ 1:

a) Ta có

b) Ta có

Ví dụ 7 Cho tứ diện ABCD có Tính

sin góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (ABC).

Hướng dẫn: Ta dễ dàng chứng minh được mặt phẳng (ABE) vuông góc với CD

2.3.5 Sử dụng thể tích để tính diện tích thiết diện

Để tính diện tích thiết diện sau khi đã dựng được thiết diện chúng ta có thể thựchiện theo một trong các con đường sau:

+) Xác định thiết diện là các đa giác đặc biệt như đa giác đều hoặc các tam giáchoặc tứ giác đặc biệt và tính diện tích thiết diện đó

+) Chia thiết diện cần tính thành các đa giác đặc biệt tính được diện tích

+) Sử dụng phương pháp thêm bớt, nghĩa là chúng ta thêm vào thiết diện cầntính các đa giác thích hợp để được đa giác lớn hơn tính được diện tích rồi trừ đidiện tích các đa giác thêm vào sẽ được diện tích cần tính

+) Sử dụng công thức hình chiếu: , trong đó S và S’ lần lượt là diện

tích của thiết diện và diện tích hình chiếu của thiết diện trên mặt phẳng chiếu,

là góc giữa mặt phẳng chứa thiết diện và mặt phẳng chiếu

Sau đây là các ví dụ minh họa

Ví dụ 8 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy a chiều cao SO =

Dựng thiết diện cắt bởi mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC Tính diện

tích thiết diện vừa dựng [4]

Lời giải

(P) là mặt phẳng qua A và

song song với BD

Trong tam giác SAC kẻ AH

 SC, AH cắt SO tại E.

Qua E kẻ đường thẳng song

song với BD cắt SD, SB tại