Skkn hướng dẫn học sinh khá, giỏi lớp 12 trường thpt lê lợi giải quyết các bài toán hình học tọa độ trong không gian mức độ vận dụng, vận dụng cao chủ đề mặt cầu

Vìvậy qua thực tế giảng dạy và kinh nghiệm của các đồng nghiệp, tôi quyết định chọn đề tài: “ Hướng dẫn học sinh khá, giỏi lớp 12 trường THPT Lê Lợi giải quyết các bài toán hình học tọa

PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ

1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Toán học là một trong những môn học ở trường phổ thông rèn luyện chohọc sinh khả năng tính toán logic, tính cẩn thận và đặc biệt đó là tư duy trừutượng Một trong những nội dung phát huy khả năng tư duy trừu tượng của họcsinh là nội dung hình học giải tích trong không gian

Thực tế cho thấy, trong những năm gần đây khi kì thi THPT nay chuyểnthành kì thi TN THPT chuyển từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm

đã làm học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc tăng tốc độ tư duy trong các câuhỏi ở mức độ vận dụng, vận dụng cao Học sinh phải có khả năng tư duy hìnhhọc không gian và các công thức giải tích, các mối quan hệ giữa các đối tượng

Vì vậy, giáo viên cần xây dựng nội dung phù hợp theo mức độ và nền tảng vữngchắc

Là Giáo viên giảng dạy môn Toán, tôi thật sự trăn trở với vấn đề này Vìvậy qua thực tế giảng dạy và kinh nghiệm của các đồng nghiệp, tôi quyết định

chọn đề tài: “ Hướng dẫn học sinh khá, giỏi lớp 12 trường THPT Lê Lợi giải quyết các bài toán hình học tọa độ trong không gian mức độ vận dụng, vận dụng cao chủ đề Mặt cầu” làm đề tài nghiên cứu của mình Với mong muốn

giúp học sinh có thể nắm vững các nội dung và giải quyết các bài toán từ cáckiến thức gốc, các bài toán nền tảng từ đó rèn luyện khả năng tư duy

2 MỤC ĐÍCH CỦA VIỆC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

Mục đích đầu tiên của tôi khi xây dựng sáng kiến này là nghiên cứu, tìmhiểu những bài toán gốc để xây dựng thành hệ thống có tính kế thừa, tính liêntục Điều này giúp học sinh dễ tiếp thu và làm nền tảng giải quyết các bài toánkhác

Bên cạnh xây dựng hệ thống bài tập, tôi hướng dẫn học sinh cách phântích, định hướng bài toán dựa trên các bài tập gốc Từ đó xác định cách giảiquyết các bài toán vận dụng, vận dụng cao

3 ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU

3.1 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài hướng đến tác động học sinh lớp 12A2 (với 42 học sinh chọn làmlớp thực nghiệm) và lớp 12A5 (với 42 học sinh chọn làm lớp đối chứng), khóahọc 2019 – 2022 Trường THPT Lê Lợi

3.2 Phạm vi nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu, xây dựng hệ thống bài tập nền tảng và định hướng cáchgiải quyết các bài toán mức độ vận dụng, vận dụng cao

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

4.1 Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết

- Thu thập, nghiên cứu và hệ thống lại các tài liệu có liên quan đến đề tài, để làm

cơ sở minh chứng và nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm

4.2 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

- Tiến hành thu thập, sắp xếp và chuẩn hóa các nội dung chủ đề thành hệ thốngphù hợp Từ đó khảo sát khả năng phù hợp, hiệu quả của nội dung trong việc

A

4.3 Phương pháp điều tra, khảo sát, đánh giá kết quả, thống kê xử lí số liệu

- Xử lí các thông tin, số liệu thu thập được nhằm đánh giá kết quả thực nghiệmkhi áp dụng một số tình huống trong thực tiễn

4.4 Phương pháp viết báo cáo khoa học

PHẦN 2 NỘI DUNG CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI.

1.3 Vị trí tương đối của điểm, đường thẳng , mặt phẳng và mặt cầu.

1.3.1 Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu.

Cho mặt cầuS O ; Rvà một điểmAbất kì, khi đó:

 Nếu OA R  A S O ; R Khi đó OA gọi là bán kính mặt cầu Nếu OAvà

OB là hai bán kính sao cho OA OB thì đoạn thẳng AB gọi là một đườngkính của mặt cầu

 Nếu OAR  Anằm trong mặt cầu

 Nếu OA R  Anằm ngoài mặt cầu.

 Khối cầu S O ; R là tập hợp tất cả các điểm M sao cho OM R

1.3.2 Vị trí tương đối của mặt phẳng đối với mặt cầu.

Cho mặt cầuS O ; Rvà mộtmp P  Gọi d là khoảng cách từ tâm O của mặt cầuđến mp P  và H là hình chiếu của O trên mp P   d OH.

 Nếu d  R mp P  cắt mặt cầu S O ; R theo giao tuyến là đường trònnằm trên mp P  có tâm là H và bán kính r HM  R2 d2  R2 OH2 (hìnha)

 Nếu d  R mp P  không cắt mặt cầu S O ; R (hình b)

 Nếu d  R mp P  có một điểm chung duy nhất Ta nói mặt cầu

 Nếu d   R không cắt mặt cầuS O ; R

 Nếu d   R cắt mặt cầuS O ; Rtại hai điểm phân biệt

điều kiện cần và đủ để đường thẳngtiếp xúc với mặt cầu là

Định lí: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S O ; R thì:

 QuaAcó vô số tiếp tuyến với mặt cầu S O ; R

 Độ dài đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng nhau

 Tập hợp các điểm này là một đường tròn nằm trên mặt cầu S O ; R

1.3.4 Vị trí tương đối của hai mặt cầu.

Cho hai mặt cầu và Khi đó

 Nếu hai mặt cầu cắt nhau theo giao tuyến là một đường tròn thì

CHƯƠNG 2 THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI.

d

d =

2.1 Thực trạng quá trình học môn Toán chủ đề mặt cầu trong hình học tọa

độ của học sinh

Đối với học sinh hiện nay, khi học theo hình thức trắc nghiệm, một số họcsinh không nắm được phần gốc của các bài toán tức là không tìm hiểu cách giảiquyết bài toán bắt đầu từ đâu mà tập trung nhớ các công thức tính nhanh, cáchthử máy tính, cách giải quyết trong từng bài toán Vì vậy, quá trình này làmgiảm khả năng suy luận, tư duy của học sinh

Bên cạnh đó, nội dung hình học tọa độ trong không gian, chủ đề mặt cầuvới các bài tập mức độ vận dụng, vận dụng cao là một nội dung khó, kết hợpgiữa khả năng tư duy trừu tượng hình học không gian, các bài toán cực trị cơbản phát triển lên bài toán hình tọa độ không gian và các công thức hình tọa độ.Điều này làm học sinh lúng túng, không có hướng giải quyết theo con đườngnào

2.2 Thực trạng quá trình học môn Toán chủ đề mặt cầu trong hình học tọa

độ của học sinh trường THPT Lê Lợi.

Trường THPT Lê Lợi là trường đóng ở thị trấn Thọ Xuân, có bề dày vềtruyền thống dạy và học Học sinh ở đây chủ yếu là con em vùng nông thôn, cần

cù, chịu khó, hiếu học Tuy nhiên, dưới tác động của nhiều hình thức học tậptrên internet, nhiều yếu tố khách quan một số học sinh đang có những biểu hiệnngại học, ngại tư duy Thích sử dụng các phương pháp giải quyết bài toán màkhông hiểu bản chất Điều này làm học sinh giảm dần khả năng tư duy và nhạybén, lười giải quyết các bài toán cần đến bản chất bài toán

Phần lớn học sinh trường THPT Lê Lợi đều có ý thức xây dựng kiến thứcnền tảng, có sự yêu thích môn học Ngay từ những buổi đầu giáo viên đã địnhhướng cho học sinh cách thức học, tiếp cận cách giải quyết hợp lí Vì vậy họcsinh có kiến thức nền tảng nhất định

Tuy nhiên, để học sinh tiếp cận chủ đề này một cách tốt nhất thì học sinhcòn gặp khá nhiều khó khăn:

- Chưa nắm vững các bài toán cơ bản

- Chưa hiểu rõ bản chất về mối quan hệ giữa các đối tượng

- Chưa biết cách định hướng, nhận ra các dấu hiệu để lựa chọn cách giảiquyết phù hợp

CHƯƠNG 3 XÂY DỰNG VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TẬP GỐC, ĐỊNH

HƯỚNG GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN.

1 Các bài toán liên quan đến tiếp tuyến của mặt cầu.

Bài toán 1 Cho mặt cầu có tâm , bán kính Gọi là một điểm thuộcmặt cầu Khi đó, tất cả các tiếp tuyến của mặt cầu tại điểm đều thuộc mặtphẳng đi qua và vuông góc

là tiếp điểm Có bao nhiêu điểm thuộc mặt phẳng , mà từ khi kẻ đườngtiếp tuyến thì tam giác vuông tại

Từ các điều kiện trên ta đủ số phương trình tìm tọa độ điểm

Lời giải chi tiết

Mặt phẳng đi qua điểm có phương trình là:

Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu nên:

Vậy có hai điểm thỏa mãn điều kiện đề bài

Bài toán 2 Cho mặt cầu có tâm , bán kính Gọi là điểm nằm ngoàimặt cầu, , là hai tiếp điểm của mặt cầu kẻ từ , là chân đường cao củatam giác kẻ từ Khi đó ta có các kết quả sau:

 Tập hợp các tiếp điểm kẻ từ nằm trên mặt phẳng đi qua và

vuông góc

 Từ điểm vẽ các tiếp tuyến tới mặt cầu tạo thành hình nón đỉnh , đáy

là đường tròn tâm và nằm trên mặt phẳng

Bài 2.1 Trong không gian , cho mặt cầu và điểm

Từ kẻ được các tiếp tuyến đến mặt cầu Biết các tiếp điểm luônthuộc mặt phẳng có phương trình Khi đó nhậngiá trị bằng

Phân tích:

 Ta cần xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nên theo bài toán 2, cầnxác định tọa độ , trong đó là hình chiếu của tiếp điểm lên

 Xác định tọa độ dựa vào hệ thức

Lời giải chi tiết

Mặt cầu có tâm , bán kính

Có Kẻ một tiếp tuyến đến mặt cầu , với là tiếpđiểm

Ta có tam giác vuông tại nên ta có

Gọi là chân đường cao kẻ từ của tam giác

Bài 2.2 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt cầu có tâm

và có bán kính Xét đường thẳng là tham

số thực Giả sử là mặt phẳng chứa tiếp xúc với lần lượt tại Khi đó đoạn ngắn nhất hãy tính khoảng cách từ điểm đến đườngthẳng

A. B. C D.

Phân tích:

* Xuất hiện hai điểm nên ta tìm cách đưa bài toán về bài toán 2 Gọi làmặt phẳng qua và vuông góc Khi đó cắt tại và là cáctiếp tuyến của mặt cầu

lớn nhất lớn nhất khi bé nhất

Mặt khác di động nhưng luôn nằm trong mặt phẳng nên

Dấu “=” xảy ra khi

Lời giải chi tiết

Ta thấy đường thẳng đi qua và điểm nằm trong mặt phẳng

.Gọi là mặt phẳng đi qua tâm và vuông góc với tại

đường thẳng Điểm M thuộc trục 0y Từ M kẻ được 2 tiếptuyến đến , sao cho hai tiếp tuyến cùng vuông góc với d Giá trị nguyên lớnnhất của tung độ điểm M để bằng bao nhiêu?

Phân tích:

*Vì qua kẻ 2 đường thẳng cùng vuông góc với nên nằm trong cùng mặtphẳng qua và có

* Vì và từ kẻ được 2 tiếp tuyến đến mặt cầu nên theo bài toán 3 cắt mặt cầu và điểm nằm ngoài mặt cầu

Lời giải chi tiết

Giả sử

(1)Gọi là hai tiếp tuyến kẻ từ M tới mà cùng vuông góc với d

Mặt phẳng chứa nên phương trình có dạng:

Do M thuộc nên ta có:

Suy ra: Phương trình mp (P) là:

Từ ycbt:

Từ (1) (2), ta có giá trị nguyên lớn nhất của là

Bài 3.2 Trong không gian và đường thẳng Phương trình

Có bao nhiêu giá trị củatham số thực sao cho từ mọi điểm trên đều vẽ được hai tiếp tuyến đến mặtcầu

Phân tích:

*Từ giả thiết từ mọi điểm trên đều vẽ được hai tiếp tuyến đến mặt cầu tađịnh hướng đến bài toán 3, có nghĩa đường thẳng thuộc một mặt phẳng luôncắt mặt cầu theo giao tuyến là 1 đường tròn

* Vì mặt cầu chứa tham số, vậy nên ta kiểm tra mặt cầu có luôn cắt một mặtphẳng cố định hay không?

Nhận thấy khi thay đổi, luôn đi qua một đường tròn cố định, là giao

Vậy bài toán thỏa mãn khi

Lời giải chi tiết

Đường tròn giao tuyến có tâm và bán kính

* Từ mọi điểm trên luôn vẽ được tiếp tuyến đến

* Phương trình giao điểm của và :

* Thử lại với , ta có: đi qua và

Vậy có một giá trị thỏa yêu cầu bài toán

2 Các bài toán cực trị liên quan đến mặt cầu.

2.1 Các bài toán lên quan đến điểm và mặt cầu.

Bài toán 1 Tìm điểm thuộc mặt cầu thỏa mãn các điều kiện

a) Cho điểm và mặt cầu có tâm , bán kính là điểm di động tên

b) Sử dụng bất đẳng thức tam giác hoặc , khi

cố định

Bài 1.1 Trong không gian tọa độ , cho mặt cầu

và hai điểm ; Gọi là điểm thuộc sao cho

nhỏ nhất Giá trị bằng

Định hướng:

Từ giả thiết cố định ta nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức tam giác Tuynhiên vì hệ số gắn với không bằng nhau nên cần phải chuyển đổi điểm

về điểm khác sao cho

Lời giải chi tiết

Mặt cầu có tâm , bán kính

Vì đều cố định và cần đánh giá , tuy nhiên hệ số không bằng nhaunên ta tìm cách đưa tổng cần đánh giá về tổng hai độ dài cùng hệ số

Dựng điểm sao cho khi thay đổi trên

Từ đó ta thấy tam giác và đồng dạng với nhau Do đó trên đoạn lấy điểm sao cho Khi đó tam giác và đồng dạng vì góc

điểm , Điểm di chuyển trên mặt cầu Giá trị lớn nhấtcủa đạt được là

Ta có và là hai tam giác đồng dạng vì chung và

2.2 Các bài toán liên quan đến vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu.

Bài toán 2 Cho mặt phẳng và mặt cầu cố định ( và không cóđiểm chung) Xét điểm di động tên và di động trên Xác định vịtrí của để độ dài nhỏ nhất hoặc lớn nhất

Lời giải

Nhận thấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất khi thuộc đường thẳng đi qua tâm

và vuông góc với Ta thấy:

Để tìm các điểm này, ta thực hiện như sau:

 Viết phương trình đường thẳng qua và vuông góc , xác định giaođiểm của và

 Xác định bán kính và tâm I, tính

Bài 2.1 Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và

lớn nhất, biết Tính

Lời giải

Theo bài toán 2, có độ dài lớn nhất khi nằm trên đường thẳng qua vàvuông góc với

Đường thẳng qua và nhận làm vec tơ chỉ phương

Vậy phương trình đường thẳng

Gọi là giao điểm của và Tọa độ điểm có tọa độ là

Ta có , theo bài toán 1, điểm thỏa mãn:

Vậy

Bài 2.2 Trong không gian vơi hệ tọa độ , cho mặt phẳng

thuộc và thuộc sao cho song song với đường thẳng có vectơchỉ phương và có độ dài lớn nhất Tính độ dài ?

Định hướng:

* Ta thấy bài toán này bị ràng buộc theo phương của đường thẳng chứkhông phải là các điểm tùy ý Vì vậy cần tìm mối liên hệ giữa đường thẳng

và đường thẳng đi qua tâm và vuông góc

*Ta thấy , nên độ dài phụ thuộc , đưa về bài toán 2

Lời giải chi tiết

Gọi là góc giữa đường thẳng của mặt phẳng

Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng , khi đó nên

Suy ra, lớn nhất khi lớn nhất

Theo bài toán 2,

Vậy

Bài toán 3 Cho mặt phẳng và mặt cầu cố định có tâm bán kính , cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn Gọi là hình chiếu của trên Khi đó đường tròn có tâm và bán kính .Các bài toán phát triển thường quy về tính min, max của diện tích đường tròn

Cách giải

Bước 1: Xác định đối tượng cần tính GTLN, GTNN.

Bước 2: Thiết lập biểu thức diện tích, thể tích theo một biến và các yếu tố có

sẵn

Bước 3: Sử dụng BĐT hoặc hàm số khảo sát tính min, max và kết luận.

Bài 3.1 Trong không gian , cho điểm và mặt cầu có tâm

, Xét mặt phẳng đi qua A cắt theo giao tuyến là đườngtròn Khi khối nón có đỉnh , đường tròn đáy là có thể tích lớn nhất thìbán kính của bằng

Lời giải chi tiết

Ta có có tâm Khi đó thể tích của khối nón có

đỉnh I và đường tròn đáy là là với

Lời giải

h

r R I

B

A

Mặt cầu có tâm , bán kính

Có nên thuộc mặt cầu

với , là trung điểm của đoạn

Gọi với là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Gọi , , là bán kính đường tròn

.Diện tích thiết diện qua trục của hình nón

(Theo bất đẳng thức Cô si)

2.3 Các bài toán liên quan đến 2 mặt cầu.

2.3.1 Các kiến thức liên quan

nhau theo giao tuyến là 1 đường tròn

Đường tròn thuộc mặt phẳng được xác định bởi

* Các giả thiết dưới dạng hình học được quy về khái niệm mặt cầu:

- cố định, khi đó thuộc mặt cầu đường kính

mặt cầu tâm thỏa mãn

Bài toán 4 Cho mặt cầu có tâm bán kính ; mặt cầu có tâm bánkính và mặt phẳng Gọi lần lượt là các điểm bất kỳ thuộc

Xác định vị trí của điểm để đạt GTLN,GTNN

a) Xác định vị trí để đạt giá trị nhỏ nhất

 Nếu cùng phía, lấy đối xứng qua đưa về bài toán trên

 Nếu cùng phía so với :

 Nếu khác phía so với , lấy lấy đối xứng qua đưa vềbài toán trên

2.3.2 Bài tập

Bài 4.1 Trong không gian cho hai mặt cầu

và mặt phẳng Gọi lần lượt là các điểm thuộc và Đặt Tính giá trị nhỏ nhất của

cùng phía đối với , ;

nên và cùng thuộc một miền không gian có bờ là mp

Gọi mặt cầu đối xứng với mặt cầu qua mặt phẳng

Dấu xảy ra khi và chỉ khi thẳng hàng

Khi đó nhỏ nhất khi và chỉ khi thuộc đoạn

Phương trình đường thẳng ,

Khi đó giao điểm của đường thẳng với là điểm

Bài 4.2 Cho điểm , hai mặt cầu

và điểm di động thuộc cả hai mặt cầu Gọi

là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Tính giá trị của biểu thức

Định hướng:

Điểm thuộc hai mặt cầu nên thuộc đường tròn là giao tuyến chung của 2mặt cầu , đường tròn thuộc mặt phẳng

Gọi là hình chiếu của lên mặt phẳng Khi đó :

đạt GTLN, GTNN phụ thuộc , đưa về bài toán 1 (mục 2.1)

Lời giải chi tiết

Mặt cầu có tâm , bán kính ; mặt cầu có tâm , bánkính

Ta có hai mặt cầu cắt nhau theo một đường tròn, kíhiệu là đường tròn có tâm , bán kính

Phương trình mặt phẳng chứa đường tròn là:

Gọi là hình chiếu của trên mặt phẳng

Ta có là hình chiếu của trên mặt phẳng