SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC BÀI TẬP SỐ 7, TRANG 49, SÁCH GIÁO KHOA HÌNH HỌC 12 CHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN ĐỂ TẠO HỨNG THÚ HỌC TOÁN VÀ PHÁT TRIỂN NĂ[.]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
Trang 2Nội dung Trang
1.Mở đầu 1
1.1 Lý do chọn đề tài 1
1.2 Mục đích nghiên cứu 1
1.3 Đối tượng nghiên cứu 2
1.4 Phương pháp nghiên cứu 2
2 Nội dung nghiên cứu 2
2.1 Cơ sở lý luận 2
2.1.1 Một số công thức thường gặp trong hình phẳng 3
2.1.2.Một số kiến thức về mặt cầu 4
2.1.3 Một số phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ 4
2.1.4 Một số công thức tính thể tích khối đa diện 5
2.1.5 Khái niệm tứ diện gần đều 5
2.2 Thực trạng của đề tài 6
2.3 Các biện pháp giải quyết vấn đề 7
2.3.1 Bài toán mở đầu 7
2.3.2 Khai thác bài toán 7
2.3.2.1 Đặc biệt hóa 7
2.3.2.2 Khai thác và phát triển bài toán 8
2.3.2.2.1 Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy 8
2.3.2.2.2 Hình lăng trụ đứng 14
2.3.2.2.3 Hình tứ diện gần đều 16
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 18
3 Kết luận, kiến nghị 19
3.1 Kết luận 19
3.2 Kiến nghị 19
Tài liệu tham khảo……… 20
Trang 31 Mở đầu
1.1 Lý do chọn đề tài
Đối với mỗi giáo viên, việc khai thác tài liệu để phục vục giảng dạy là một
việc làm thường xuyên nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học Trong cáchọc liệu phục vụ giảng dạy và học tập thì sách giáo khoa là một trong những họcliệu quan trọng nhất Các bài tập trong sách giáo nói chung và sách giáo khoamôn toán nói riêng thường được chọn lọc rất cô đọng ở mỗi dạng toán và ẩnchứa trong đó nhiều nội dung quan trọng mà càng suy ngẫm càng thấy hay, càngkhám phá cho ta thêm nhiều vấn đề mới, từ đó thêm được công cụ để giải quyếtcác dạng toán liên quan khác một cách gọn gàng hơn, tinh tế hơn Bài tập 7 ởtrang 25, sách giáo khoa hình học 12 chương II là một ví dụ điển hình cho việckhai thác và phát triển một bài toán trong sách giáo khoa để khơi dậy trí tò mò,khám phá của học góp phần nâng cao kiến thức, phát triển năng lực cho sinh
Trong thực tế giảng dạy môn Hình học lớp 12 ta thấy: Có nhiều bài toánxác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện tưởng như rất khórất phức tạp nhưng trên cở sở vận dụng kiến thức “ khai thác” được ở bài toán
cơ bản thì ta nhanh chóng giải quyết bài toán rất “đẹp” một cách bất ngờ Đặcbiệt các kiến thức này rất phù hợp với cách làm những dạng toán thi trắcnghiệm trong kỳ thi THPT Quốc gia những năm 2017, 2018, 2019 hay kì thi Tốtnghiệp THPT các năm 2020, 2021 và 2022 này
Chính vì vậy tôi xin được trao đổi với quý đồng nghiệp đề tài: “Khai
thác bài tập số 7 trang 49, Sách giáo khoa Hình học 12 chương trình cơ bản
để tạo hứng thú học toán và phát triển năng lực cho học sinh”, với mục đích
giúp học sinh lớp 12 biết cách khai thác, tìm tòi, phát triển một bài toán cơ bảntrong sách giáo khoa để vận dụng vào giải các bài toán khó hơn, phức tạp hơnnhằm tạo hứng thú học toán đồng thời phát triển năng lực cho học sinh Đặc biệt
đề tài này góp phần giúp học sinh lớp 12 chuẩn bị ôn luyện tốt kiến thức cho kỳthi Trung học phổ thông Quốc gia trước đây hay kỳ thi Tốt nghiệp Trung họcphổ thông hiện nay cũng như như kỳ thi đánh giá năng lực của một số trườngĐại học của nước ta
1.2 Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là khai thác bài tập số 7 trang 49, Sáchgiáo khoa Hình học 12 chương trình cơ bản để giải các dạng toán như: Xácđịnh tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp một khối đa diện.Từ đó rènluyện cách nhìn đa chiều của học sinh về một bài toán, một công thức hay mộttính chất của toán học, góp phần nâng cao nhãn quan toán học cho học sinh
Từ đó góp phần cải thiện, nâng cao chất lượng dạy học môn toán ởtrường Trung học phổ thông Đồng thời cũng giúp học sinh ôn luyện tốt kiếnthức chuẩn bị cho các kỳ thi như thi tốt nghiệp Trung học phổ thông cũng như
kỳ thi đánh giá năng lực của một số trường Đại học của nước ta
1
Trang 41.3 Đối tượng nghiên cứu
Với mục đích nghiên cứu đã nêu ở trên, đối tượng nghiên cứu của đề tàilà:
- Nghiên cứu cách khai thác, phát triển một bài tập trong sách giáo khoa
- Các bài tập về xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đadiện trong chương trình toán Trung học phổ thông
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu chuyên ngành lí luận và phươngpháp giảng dạy môn toán đã học được tập trung vào các phương pháp sau:
-Đọc các tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung
đề tài
-Đọc SGK, sách giáo viên, các loại sách tham khảo Dự giờ, trao đổi ý kiếnvới đồng nghiệp về nội dung Thể tích khối đa diện
-Tổng kết rút kinh nghiệm trong quá trình dạy học
-Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án đã thông quacác tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi của đề tài
2 Nội dung nghiên cứu
2.1 Cơ sở lý luận
Theo nghị quyết số 29-NQ/TW, ngày 4 tháng 11 năm 2013- nghị quyết
hội nghị trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo
nêu rõ: nhiệm vụ trung tâm trong trường học là hoạt động dạy của thầy và hoạt
động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân
lực, bồi dưỡng nhân tài” Trong các văn kiện trình Đại hội XII, Đảng ta nhấn
mạnh sự quan tâm đặc biệt và làm rõ hơn lập trường, quan điểm, tính nhất quán
về sự cần thiết phải đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục, đào tạo, phát triểnnguồn nhân lực
Vai trò của toán học ngày càng quan trọng và tăng lên không ngừng thểhiện ở sự tiến bộ trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ,sản xuất và đời sống xã hội, đặc biệt là với máy tính điện tử, toán học thúcđẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá trong sản xuất, mở rộng nhanh phạm
vi ứng dụng và trở thành công cụ thiết yếu của mọi khoa học
Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ởmôn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạngbài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tưduy logic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học vànghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổthông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợpcác cách giải
Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đínhgiúp cho học sinh lớp 12 biết khai thác, phát triển một bài toán cơ bản trong sáchgiáo khoa từ đó học sinh có thêm kiến thức giải các dạng bài tập: Xác định tâm
và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện; tính thể thích khối đa diện
Trang 5nhằm tạo hứng thú học toán và phát triển năng lực cho học sinh Đặc biệt cóthể giúp học sinh lớp 12 chuẩn bị ôn luyện tốt kiến thức cho kỳ thi Trung họcphổ thông Quốc gia trước đây hay kỳ thi Tốt nghiệp Trung học phổ thông cũngnhư kỳ thi đánh giá năng lực của một số trường Đại học của nước ta hiện nay.
Để khai thác bài tập số 7 trang 49, Sách giáo khoa Hình học 12 chươngtrình cơ bản học sinh cần nắm vững kiến thức như “Các hệ thức lượng trongtam giác” học ở cấp 2 và ở môn Hình học lớp 10; kiến thức ở các chương I,chương II trong sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản nhà xuất bản giáo dục ViệtNam năm 2009 như sau:
2.1.1 Một số công thức thường gặp trong hình phẳng
Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho vuông tại A, đường cao AH:
Hệ thức lượng trong tam giác bất kì
Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c
lần lượt là độ dài các đường trung tuyến tương ứng với ;
bán kính đường tròn ngoại tiếp R, nội tiếp r, nửa chu vi p.
;
;
+ Từ định lý sin suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính:
+ Đường tròn ngoại tiếp đa giác đều n cạnh có bán kính với a là độ
dài của đa giác đều đó
3
Trang 6Diện tích hình vuông: với a là độ dài cạnh hình vuông.
Diện tích hình chữ nhật với a, b là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật Diện tích hình thang có độ dài đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là m, n và độ dài đường cao là h:
2.1.2 Một số kiến thức về mặt cầu
a) Tập hợp những điểm M
trong không gian cách điểm O cố định một
khoảng không đổi bằng r (r > 0) được gọi là
mặt cầu tâm O bán kính r Kí hiệu S(O; r).
b) Mặt cầu được gọi là nội tiếp hình đa diện
nếu mặt cầu đó tiếp xúc với tất cả các mặt của hình
đa diện
Mặt cầu được gọi là ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của hình
đa diện đều nằm trên mặt cầu
c) Cho mặt cầu S(O; r):
Diện tích mặt cầu:
Thể tích khối cầu: [2]
2.1.3 Một số phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, hình lăng trụ
Phương pháp 1: (Dựa vào định nghĩa) Tìm điểm cách đều tất cả các đỉnh
của hình chóp hoặc hình lăng trụ.
Để tìm điểm các đều tất cả các đỉnh của khối đa diện, ta có thể vận dụng một trong những tính chất và kỹ thuật sau:
Trang 7 Tính chất các đường trung trực.
Tính chất đường trung tuyến
Các đường tương ứng cùa hai tam giác bằng nhau
Tính chất các đường chéo của hình hộp chữ nhật
Phương pháp 2: Phát hiện các điểm cùng nhìn một đoạn thẳng dưới một
đường tròn ngoại tiếp đa giác
đáy( đi qua O và vuông góc
với mặt phẳng chứa đa giác
đáy)
Bước 3 Xác định mặt
phẳng là mặt phẳng trung
trực của một cạnh bên (hoặc
đường trung trực d của một
cạnh bên) Khi đó giao điểm I
của mặt phẳng trung trực
(hoặc đường trung trực d) của
một cạnh bên và đường thẳng
chính là tâm của mặt cầu ngoại hình chóp ấy [3]
2.1.4 Một số công thức tính thể tích khối đa diện
Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là a, b, c là
Thể tích khối lăng trụ H có diện tích đáy bằng B và chiều cao h là
Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng B và chiều cao h là [2]
2.1.5 Khái niệm tứ diện gần đều
Tứ diện gần đều ABCD là tứ diện có
A
c
b c
a
C
Trang 82.2 Thực trạng của đề tài
Hình học không gian nói chung cũng như bộ môn Hình học lớp 12 đa sốhọc sinh thường gặp khó khăn trong nhiều vấn đề, đặc biệt là vấn đề tính thể tíchkhối đa diện, xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp một khối đadiện
Trước khi áp dụng đề tài tôi đã khảo sát các lớp mà mình giảng dạy về dạng toán xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện, tác giả thấy rằng học sinh làm bài kết quả thấp Cụ thể như sau:
- Năm học 2018 -2019 (kiểm nghiệm ở lớp 12A3)
Qua số liệu ở các bảng trên tôi thấy rằng tỉ lệ học sinh đạt điểm trung bình
và yếu kém cao, tỉ lệ học sinh đạt khá giỏi còn thấp, chứng tỏ rằng đa số họcsinh vẫn còn gặp khó khăn trong việc giải các dạng toán liên quan đến việc xácđịnh tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
Trang 92.3 Các biện pháp giải quyết vấn đề
2.3.1 Bài toán mở đầu
Ta xét bài toán sau:
Bài toán (Bài 7 câu a, Sách giáo khoa Hình học 12 chương trình cơ bản,
trang 49) Cho hình hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có
Hãy xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó
[2]
Lời giải
Vì các đường chéo AC’, A’ C, BD’, B’D
của hình hộp chữ nhật bằng nhau và cắt
nhau tại trung điểm của mỗi đường nên
nếu ta gọi I là trung điểm của AC’ thì
IA= = IB = IC =ID = IA’ = IB’ =IC’
=ID’ Tức là điểm I cách đều 8 đỉnh của
a) Mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a có bán kính
b) Hình lập phương nội tiếp mặt cầu bán kính R có cạnh là
C B
A
C' B'
A'
Trang 10a) Ta nhận thấy rằng tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật
ABCD.A’B’C’D’ cũng chính là trung điểm của các đoạn thẳng AC’, A’ C, BD’, B’D và OO’.
b) Mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cũng chính là mặt
cầu ngoại tiếp các hình lăng trụ ABC.A’B’C’, ACD.A’C’D’ và cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A’ ABCD và các tứ diện A’ABD, A’ABC,
A’BCD, A’ ACD, A’ D’DC’, A’B’BC’, ACB’D’.
2.3.2.2 Khai thác và phát triển bài toán
Từ bài toán mở đầu đối tượng hình là hình hộp chữ nhật ta đã biết cách xácđịnh tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đó, ta đặt câu hỏilà: Liệu các đối tượng hình khác các xác định tâm và tính bán kính có thể làmtương tự hay không? Sau đây ta sẽ khai thác với ba đối tượng đó là: Hình chóp
có cạnh bên vuông góc với đáy, hình lăng trụ đứng, và hình tứ diện gần đều
2.3.2.2.1 Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Dấu hiệu khai thác 1: Trong bài toán mở đầu hình chóp A’ ABCD có đáy
ABCD là hình chữ nhật và cạnh bên A’A vuông góc với đáy, mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp A’ ABCD cũng chính là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật
ABCD.A’B’C’D’ từ đó ta có
bài toán sau:
Bài toán 1.1 Cho hình chóp
S.ABCD có đáy ABCD là hình
chữ nhật và cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng đáy
(ABCD) Xác định tâm và tính
bán kính của mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp S.ABCD theo
SA, AB, AD.
Kết quả khai thác 1.1 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I là trung
điểm của đoạn SC và có bán kính là
Ví dụ 1 ( Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 mã đề 104) Cho hình chóp
S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 3a, BC = 4a, SA = 12a
và SA vuông góc với đáy Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABCD.
A
I S
D
C B
Trang 11A B C D [4]
Hướng dẫn: Theo kết quả khai thác 1.1 ở trên ta có Mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp có tâm I là trung điểm của đoạn SC và có bán kính là
Do đó chọn đáp án C.
Ví dụ 2 (Trích đề tham khảo THPT Quốc gia 2017) Cho hình hình hộp
chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB’C’.
A B C D [5]
Hướng dẫn: Ta thấy rằng mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB’C’ cũng chính
là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ nên theo kết quả của
Do đó chọn đáp án C.
Dấu hiệu khai thác 2: Trong bài toán mở đầu, hình chóp A’.ABD có đáy
ABD là tam giác vuông tại B, cạnh bên A’A vuông góc với đáy, và mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp A’.ABD cũng chính là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật
ABCD.A’B’C’D’ nên ta có bài toán sau:
Bài toán 1.2 Cho hình chóp
S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông
tại B và cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy (ABC) Xác định tâm I
và tính bán kính R của mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp S.ABC theo SA, AB,
BC.
Kết quả khai thác 1.2 Mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp có tâm I là trung
điểm của cạnh SC và bán kính
Ví dụ 3 (Trích đề thi HSG lớp 12 năm học 2019-2020, Sở GD & ĐT Thái
Bình) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) Tính diện tích S
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
9
A
I S
C
B
Trang 12A B C D
[6]
Hướng dẫn: Theo kết quả 1.2 mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có tâm I là
trung điểm của cạnh SC và bán kính
Diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là:
Do đó chọn đáp án D.
Dấu hiệu khai thác 3:Trong bài toán mở đầu, hình chóp A’.ABC có đáy
ABC là tam giác vuông tại A, cạnh bên A’A vuông góc với đáy, và mặt cầu hình
chóp A’.ABC cũng chính là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật
ABCD.A’B’C’D’ nên ta có bài toán sau:
Bài toán 1.3 Cho hình chóp
S.ABC có đáy ABC là tam giác
vuông tại A và cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy
(ABC) Xác định tâm I và tính
bán kính R của mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp S.ABC theo SA,
Ví dụ 4 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) Mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S.ABC có bán kính r bằng
S
C A
I
D B