SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGHI SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỊNH HƯỚNG LỜI GIẢI BÀI TOÁN CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ CHO[.]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGHI SƠN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỊNH HƯỚNG LỜI GIẢI BÀI TOÁN CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC BẰNG CÁCH SỬ
DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ CHO HỌC
SINH LỚP 11 Ở TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGHI SƠN
Người thực hiện: Mai Như Quỳnh Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HÓA NĂM 2022
Trang 22 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1.1 Định nghĩa hai đường thẳng vuông góc trong không gian 22.1.2 Quan hệ giữa hai đường thẳng vuông góc và Vectơ chỉ phương
2.1.3 Định nghĩa góc giữa hai Vectơ trong không gian 22.1.4 Định nghĩa tích vô hướng của hai Vectơ trong không gian 32.1.5 Một số quy tắc Vectơ cần dùng 32.1.6 Một số tính chất của tích vô hướng 42.1.7 Sơ đồ chứng minh bằng phương pháp phân tích đi lên 4
2.3.1 Các bài toán mở đầu về chứng minh hai đường thẳng vuông góc
bằng cách sử dụng tích vô hướng của hai Vectơ 62.3.2 Phương pháp để chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng
cách sử dụng tích vô hướng của hai Vectơ 82.3.3 Đối với các bài toán cho biết yếu tố độ dài đoạn thẳng và góc
2.3.4 Đối với các bài toán cho biết yếu tố vuông góc của hai đường
2.3.5 Các bài tập tương tự 16
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC: Mẫu phiếu khảo sát học tập.
Trang 31 MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài
Chúng ta đang sống ở thế kỷ XXI, thế kỷ của nền kinh tế tri thức với sựphát triển như vũ bão của khoa học kỹ thuật và văn minh công nghệ thông tin
Để đáp ứng yêu cầu của thời đại và yêu cầu của sự nghiệp đổi mới đất nước,
Đảng ta đã khẳng định vai trò quan trọng của sự nghiệp giáo dục, trong đó Toán
học là một trong những bộ môn quan trọng trong nền giáo dục nước nhà
Mặc dù học sinh ngay từ lúc đi học đã được học và tiếp thu kiến thức Toánqua các năm học nhưng môn Toán không phải là bộ môn dễ dàng đối với tất cảhọc sinh, đặc biệt là bộ môn Hình học không gian trong chương trình ToánTrung học phổ thông
Thực tế giảng dạy cho thấy đối với các bài toán về Quan hệ vuông góc trong
không gian ở chương trình Toán 11 việc học sinh tìm ra lời giải của một bài toán
là không hề đơn giản, hầu hết đều mang tính tự phát, làm theo bản năng, không
có hệ thống hay phương pháp cụ thể Học sinh có thể tiếp thu rất nhanh khi đọc
hướng dẫn giải trong các ví dụ minh họa nhưng khi gặp các bài toán khác lạicảm thấy bế tắc, không có hướng giải quyết phù hợp
Trong quá trình giảng dạy bài “Hai đường thẳng vuông góc” trong sách
giáo khoa hình học 11, tôi thấy rằng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc
ta thường dùng ba cách: dùng định nghĩa hai đường thẳng vuông góc, quan hệsong song và vuông góc của hai đường thẳng, chứng minh tích vô hướng của hai
Vectơ chỉ phương của chúng bằng 0 Hầu hết các bài tập ở bài “Hai đường
thẳng vuông góc” trong sách giáo khoa hình học 11 đều phải giải bằng cách
dùng tích vô hướng của hai Vectơ vì lý do đề bài không cho các yếu tố: đường
thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc Hơn nữa học sinh
chưa được học các kiến thức này Khi giải các bài tập trong bài “Hai đường
thẳng vuông góc” trong sách giáo khoa, nhiều học sinh gặp lúng túng, thậm chí
không có căn cứ khoa học và tư duy lôgic để định hướng cách giải nên khôngthể giải được
Trước khó khăn của học sinh đã nêu ở trên, tôi chọn đề tài “Định hướng lời giải bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách sử dụng tích vô hướng của hai Vectơ cho học sinh lớp 11 ở trường THCS và THPT Nghi Sơn” nhằm hình thành cho học sinh cách tư duy khoa học, có cơ sở để giải
một số bài tập trong bài “Hai đường thẳng vuông góc” trong sách giáo khoa
nói riêng và các bài tập khác tương tự nói chung
Trang 41.2 Mục đích nghiên cứu
Trình bày cách để chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách sửdụng tích vô hướng của hai Vectơ trong dạy học Hình học không gian 11 nhằmđịnh hướng lời giải bài toán cho học sinh, rèn luyện kỹ năng giải toán Vận dụngvào trong các tiết học Hình học và giúp nâng cao chất lượng dạy học môn Toán
ở nhà trường
1.3 Đối tượng nghiên cứu
Định hướng lời giải bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằngcách sử dụng tích vô hướng của hai Vectơ cho học sinh lớp 11 ở trường THCS
và THPT Nghi Sơn
1.4 Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
- Phương pháp quan sát, điều tra, thống kê, phân tích, so sánh
- Phương pháp thực nghiệm
2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
Hai đường thẳng và được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữachúng bằng , ký hiệu
2.1.2 Quan hệ giữa hai đường thẳng vuông góc và
Nếu và lần lượt là hai Vectơ chỉ phương của hai đường thẳng và thì:
2.1.3 Định nghĩa góc giữa hai Vectơ trong không gian3
Trong không gian, cho và là hai Vectơ khác Vectơ – không Lấy một
điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho Khi đó ta gọi góc
Trang 5( ) là góc giữa hai Vectơ và trong không gian, kí hiệu
a) Quy tắc ba điểm, quy tắc trừ
Với ba điểm tùy ý ta luôn có:
Trang 6Cho hình hộp có ba cạnh xuất phát từ đỉnh A là AB, AD,
và có đường chéo
Khi đó ta có quy tắc hình hộp là:
d) Trung điểm của đoạn thẳng
Nếu là trung điểm của đoạn thẳng AB thì ta có:
2.1.6 Một số tính chất của tích vô hướng
Với các Vectơ tùy ý ta luôn có:
có phải có là điều đã được khẳng định nên ta dừng lại Vì đúng
nên X đúng.
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trang 7Thực tế giảng dạy Toán học 11 ở trường THCS và THPT Nghi Sơn nămhọc 2020-2021 cho thấy:
- Trong việc học môn Toán nhất là bộ môn Hình học không gian của khánhiều học sinh lớp 11 là chưa tốt Đặc điểm cơ bản của môn học là môn học yêucầu các em học sinh có trí tưởng tượng phong phú Cách trình bày chặt chẽ, suyluận lôgic của một bài hình học làm cho học sinh khó đạt điểm cao trong các bàikiểm tra Phần lớn học sinh trung học phổ thông rất ngại học Hình học khônggian dẫn đến các em rất yếu về kỹ năng giải toán hình học
- Nhiều em chưa biết cách trình bày lời giải các bài toán về quan hệ vuônggóc trong không gian, sử dụng các kiến thức hình học đã được học chưa thuầnthục, lộn xộn trong lời giải của mình Cá biệt có một số học sinh vẽ hình quáxấu, không đáp ứng được yêu cầu của một bài giải hình học
- Trước những thực trạng nêu trên, tôi đã tiến hành khảo sát về mức độhứng thú học tập và tìm hiểu những khó khăn gặp phải của học sinh trong quátrình học môn Hình học không gian 11, kết quả thu được:
Tổng số học sinh tham gia khảo sát là 76 học sinh của 02 lớp 11A4 và 11A5 Kết quả câu hỏi số 1 trong phiếu khảo sát:
Nhận xét: Tỉ lệ học sinh không mấy hứng thú với việc học tập môn Hình
học không gian là khá cao chiếm 55,7%, trong đó có 22,5% không thích họcmôn Hình học không gian điều này làm ảnh hưởng rất lớn đến chất lượng dạyhọc môn Toán tại trường
Có tình trạng trên là do nhiều nguyên nhân, trong đó: Do kiến thức tiền đềcủa các em các lớp dưới không tốt (mất gốc) chiếm 28,5% Do kiến thức Toánquá khó và khô khan kém hấp dẫn chiếm 40%, ngoài ra còn có các nguyên nhân
do ham chơi, chưa quyết tâm học tập chiếm 18%, do hoàn cảnh gia đình, cácđiều kiện xã hội tác động chiếm 9% và nguyên nhân khác chiếm 4,5%
Chất lượng học tập môn Toán lớp 11 còn thấp, cụ thể trong năm học
2020-2021 kết quả môn Toán của các lớp 11A4, 11A5 và 11A6 như sau:
Trang 8Lớp Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém
11A4 1 2,4% 11 26,8% 27 65,9% 6 4,9% 0 0%11A5 1 2,5% 10 25,6% 25 64,1% 4 7,8% 0 0%11A6 0 0% 10 23,3% 28 65,1% 7 9,3% 1 2,3%
Kết quả chất lượng môn Toán năm học gần đây cho thấy tỉ lệ học sinhkhá, giỏi môn Toán là khá khiêm tốn, vẫn còn nhiều học sinh xếp loại học lựcyếu
2.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Từ những thực trạng nêu trên tôi đưa ra biện pháp nhằm mục đích nâng caohiệu quả giảng dạy và tạo hứng thú cho học sinh học môn Hình học không gianbằng cách định hướng lời giải bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông gócbằng cách sử dụng tích vô hướng của hai Vectơ cho học sinh lớp 11 ở TrườngTHCS và THPT Nghi Sơn
2.3.1 Các bài toán mở đầu về chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách sử dụng tích vô hướng của hai Vectơ
Bài toán 1: 6 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Tính
a) ;
b) ;
c)
Giải:
Trang 9Từ lời giải trên ta có nhận xét sau đây:
Nhận xét 1: Khi tính tích vô hướng của hai Vectơ mà đề bài cho yếu tố độ
dài đoạn thẳng, góc giữa hai đường thẳng ta thường gặp hai trường hợp sau:
- Trường hợp 1: Hai Vectơ có điểm chung hoặc cùng phương: Ta áp dụng
trực tiếp định nghĩa tích vô hướng của hai Vectơ để tính (như câu a và câu b củabài toán 1 chẳng hạn);
- Trường hợp 2: Hai Vectơ không có điểm chung và không cùng phương:
Ta có thể chuyển về hai Vectơ có điểm chung tương ứng bằng chúng rồi làmnhư trường hợp 1, hoặc phân tích một Vectơ thành các Vectơ khác sao cho cácVectơ này có điểm chung với Vectơ còn lại rồi dùng tính chất của tích vô hướng
và sau đó đưa về trường hợp 1 để tính
Bài toán 2:7 Cho tứ diện ABCD có Gọi P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD Tính
Giải:
7 Trích từ tài liệu tham khảo số [1]
Trang 10Ta dễ dàng chứng minh được
Do đó
(Vì )
Từ lời giải trên ta có nhận xét sau đây:
Nhận xét 2: Khi tính tích vô hướng của hai Vectơ mà đề bài cho yếu tố
vuông góc giữa hai đường thẳng ta thường gặp hai trường hợp sau:
- Trường hợp 1: Nếu đề bài cho hai Vectơ đó vuông góc với nhau thì có
ngay kết quả là tích vô hướng của chúng bằng 0;
- Trường hợp 2: Nếu hai Vectơ không có điểm chung và không vuông góc
với nhau thì ta phải biến đổi tích vô hướng của hai Vectơ đã cho thành tổng cáctích vô hướng sao cho mỗi hạng tử của tổng là tích vô hướng của hai Vectơvuông góc với nhau và sau đó đưa về trường hợp 1 để tính
Hai nhận xét trên là cơ sở khoa học để học sinh định hướng lời giải cho cácbài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách dùng tích vô hướngcủa hai Vectơ
2.3.2 Phương pháp để chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách
sử dụng tích vô hướng của hai Vectơ
Muốn chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau ta chứng minh tích vô hướng của hai Vectơ chỉ phương của chúng bằng 0.
2.3.3 Đối với các bài toán cho biết yếu tố độ dài đoạn thẳng và góc giữa hai đường thẳng
Ví dụ 1: 8 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Chứng minh rằng: + Định hướng lời giải:
Trang 11- Muốn chứng minh ta phải chứng minh ;
- Việc tính trực tiếp bằng định nghĩa không thể thực hiện được vì
và là hai đường thẳng chéo nhau và ta không tính được góc giữa haiVectơ và bằng định nghĩa góc giữa hai Vectơ;
- Nhận thấy rằng đề bài cho tứ diện đều cạnh a nên các mặt của tứ diện làcác tam giác đều Từ đó suy ra các góc ở đỉnh của tứ diện bằng nhau và cùngbằng Do đó đây là bài toán biết yếu tố độ dài đoạn thẳng, góc giữa haiđường thẳng;
- Theo bài toán 1c ta đã có Từ đó áp dụng tương tự suy ra điềuphải chứng minh
- Sơ đồ phân tích định hướng cách giải ví dụ 1 như sau:
+ Lời giải:
Ta có:
Do đó
Trang 12+ Định hướng lời giải:
- Muốn chứng minh ta phải chứng minh ;
- Việc tính bằng định nghĩa không thể thực hiện được vì SB và AC
là hai đường thẳng chéo nhau và ta không tính được góc giữa hai Vectơ
và bằng định nghĩa góc giữa hai Vectơ;
- Nhận thấy rằng đề bài cho
Do đó đây cũng là bài toán biết yếu tố độ dài đoạn thẳng, góc giữa hai đường thẳng;
- Từ giả thiết ta suy ra
- Do đó dựa vào nhận xét 1, để chứng minh ta phải biến đổi
( và có chung điểm đầu là S với ), sau đó biến đổi
làm xuất hiện tích vô hướng của các cặp Vectơ có chung điểm đầu là S
và dùng định nghĩa tích vô hướng của hai Vectơ để tính
+ Sơ đồ phân tích định hướng cách giải như sau:
Trang 13+ Lời giải:
Ta có
Suy ra điều phải chứng minh
+ Với đề bài như ví dụ 2, giáo viên có thể yêu cầu học sinh chứng minh
Ví dụ 3:10 Cho hình chóp có đáy ABCD là hình bình hành Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của SA và SD Biết , Chứngminh
Định hướng lời giải:
- Muốn chứng minh ta phải chứng minh ;
- Việc tính bằng định nghĩa không thể thực hiện được vì MN
và SB là hai đường thẳng chéo nhau, ta không tính được góc giữa hai Vectơ
và bằng định nghĩa góc giữa hai Vectơ;
10 Trích từ tài liệu tham khảo số [5]
Trang 14- Nhận thấy rằng đề bài cho , Do đó đây cũng là bàitoán biết yếu tố độ dài đoạn thẳng, góc giữa hai đường thẳng;
- Theo bài ra ta có nên ta biến đổi
và theo ít nhất một trong các Vectơ Sau đó biến đổi làm xuất hiện các tích vô hướng và và dùng định nghĩatích vô hướng của hai Vectơ để tính
+ Sơ đồ phân tích định hướng cách giải như sau
+ Lời giải:
Ta có
(Vì , )Suy ra điều phải chứng minh
Như vậy dựa vào phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Trang 15hướng được cách giải ba ví dụ trên một cách có căn cứ khoa học, tư duy lôgic.Đặc biệt ở ví dụ 2, ví dụ 3 ta thấy việc chứng minh hai đường thẳng vuông gócbằng cách dùng tích vô hướng của hai Vectơ là hợp lý và có thể nói là ngắn gọnnhất vì đề bài không cho quan hệ vuông góc nên việc chứng minh bằng phươngpháp khác gặp nhiều khó khăn.
2.3.4 Đối với các bài toán cho biết yếu tố vuông góc của hai đường thẳng
Ví dụ 4: 11 Cho tứ diện ABCD có Gọi P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD Chứng minh
+ Định hướng lời giải:
- Muốn chứng minh ta phải chứng minh ;
- Việc tính bằng định nghĩa không thể thực hiện được vì ta khôngtính được góc giữa hai Vectơ và bằng định nghĩa góc giữa hai Vectơ;
- Nhận thấy rằng đề bài cho Do đó đây là bài toáncho biết yếu tố cho biết yếu tố vuông góc của hai đường thẳng;
- Theo bài toán 2 ta đã ta có Từ đó suy ra điều phảichứng minh
- Sơ đồ phân tích định hướng cách giải ví dụ 4 như sau
11 Trích từ tài liệu tham khảo số [1]
Trang 16- Nhận thấy rằng đề bài cho hình lập phương Do đó đây
là bài toán cho biết yếu tố vuông góc của hai đường thẳng;
- Theo nhận xét 2, ta thấy để chứng minh ta phải biến đổi thành tổng các tích vô hướng của hai Vectơ mà hai Vectơ đó phảivuông góc với nhau Muốn vậy phải biểu thị và thành tổng, hiệu cácVectơ mà giá của chúng chứa các cạnh của hình lập phương
+ Sơ đồ phân tích định hướng cách giải ví dụ 5 như sau:
Trang 17+ Dưới đây là lời giải theo hướng phân tích trên:
Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh
Ví dụ 6: 13 Cho hình lập phương cạnh a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh GF và CD Chứng minh
+ Định hướng lời giải:
- Muốn chứng minh ta phải chứng minh ;
- Việc tính bằng định nghĩa không thể thực hiện được vì họcsinh không tính được góc giữa hai Vectơ và bằng định nghĩa gócgiữa hai Vectơ;
- Nhận thấy rằng đề bài cho hình lập phương Do đó đâycũng là bài toán cho biết yếu tố vuông góc của hai đường thẳng;
13 Trích từ tài liệu tham khảo số [5]
Trang 18- Theo nhận xét 2, ta thấy để chứng minh ta phải biến đổi thành tổng các tích vô hướng của hai Vectơ mà hai Vectơ đó phải vuônggóc với nhau Muốn vậy phải biểu thị hai Vectơ và thành tổng cácVectơ mà giá của chúng là các đường thẳng chứa các cạnh của hình lập phương.+ Sơ đồ phân tích định hướng cách giải ví dụ 6 như sau:
Từ đó ta suy ra điều phải chứng minh
Như vậy: Dựa vào phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc
bằng cách sử dụng tích vô hướng của hai Vectơ và nhận xét 2, ta đã có cơ sở
khoa học để định hướng cách giải ví dụ 4, ví dụ 5 và ví dụ 6 một cách lôgic mà