Skkn đồ thị của hàm đạo hàm với sự biến thiên và cực trị của hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 1 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỒ THỊ CỦA HÀM ĐẠO HÀM VỚI SỰ BIẾN THIÊN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Người thực hiện Lê Thị Hằng Chức vụ Giáo viên SKKN thuộc mô[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỒ THỊ CỦA HÀM ĐẠO HÀM VỚI SỰ BIẾN THIÊN

VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Người thực hiện: Lê Thị Hằng

Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA, NĂM 2022

1 MỞ ĐẦU

1 1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình môn Toán bậc THPT, các em học sinh được học đạohàm từ cuối học kỳ II của lớp 11, nhưng đại đa số các em khi học xong nhữngkiến thức về đạo hàm thì chỉ biết vận dụng công thức để giải các bài toán về tínhđạo hàm, hoặc khảo sát hàm số Còn việc ứng dụng đạo hàm để khai thác và giảicác bài toán liên quan qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậc THPT và tìm hiểu

về tâm lý của đối tượng học sinh tôi thấy học sinh còn rất lúng túng, bỡ ngỡ.Đây là mội chủ đề thường gặp trong các đề thi THPT Quốc Gia, đề thi tốtnghiệp THPT môn Toán hàng năm mà chưa có tài liệu nào bàn sâu Nhằm giúpcác em học sinh hứng thú trong học tập, biết cách khai thác, vận dụng các kiếnthức liên quan đến đạo hàm để giải quyết các bài toán đồ thị hàm đạo hàm và

các bài toán liên quan tôi đã chọn viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Đồ thị của hàm đạo hàm với sự biến thiên và cực trị của hàm số” trình bày một số kinh

nghiệm của bản thân đã tích luỹ khi giảng dạy nhằm phục vụ công tác dạy vàhọc trong nhà trường

Trong quá trình giảng dạy tôi cố gắng làm sáng tỏ mối quan hệ giữa hàm

số và hàm số thông qua một số bài toán liên quan Bằng cáchsắp xếp các dạng toán, phương pháp truyền thụ phù hợp với đối tượng học sinh,phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các em, tôi đã giúp họcsinh hiểu đây là phần bài tập có thuật giải rõ ràng, chính xác, có nhiều nội dungứng dụng phong phú và giúp học sinh định hướng được năng lực tư duy và tiếpcận kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2022

1.2 Mục đích nghiên cứu

Sáng kiến kinh nghiệm của tôi nhằm mục đích:

- Đề tài giúp học sinh thấy được mối quan hệ giữa hàm số và hàm

số thông qua một số bài toán liên quan Từ đó, học sinh định hướngđược năng lực tư duy và tiếp cận kỳ thi tốt nghiệp THPT với các bài toán về mốiquan hệ giữa đồ thị hàm số và hàm số thông qua sự biếnthiên và cực trị của hàm số

- Nâng cao năng lực chuyên môn, nghiệp vụ sư phạm của người giáo viên

1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Học sinh khối 12 năm học 2021-2022 tại trường THPT Yên Định 1

- Chương trình toán 12

- Đề tài nghiên cứu các bài toán về đồ thị hàm đạo hàm với sự biến thiên

và cực trị của hàm số nhằm giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về vấn đề khảo sáthàm số như: hình dạng đồ thị, sự biến thiên, cực trị của hàm số Từ đó, giúp họcsinh hoàn thiện kỹ năng và tiếp cận kỳ thi tốt nghiệp THPT

1.4 Phương pháp nghiên cứu

1.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận:

Nghiên cứu các tài liệu:

+ Sách giáo khoa, sách giáo viên, nội dung giảm tải chương trình, hướng dẫn thực hiện chương trình Toán 12

1

+ Sách tham khảo và các tài liệu trên Internet về các vấn đề liên quan đến đềtài.

1.4.2 Phương pháp điều tra, quan sát:

Dự giờ, quan sát, lập phiếu điều tra thực trạng việc giải quyết bài toán đồ thịhàm đạo hàm và các bài toán liên quan

1.4.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm:

Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài

2

skkn

2 NỘI DUNG 2.1 Đồ thị hàm đạo hàm và sự biến thiên của hàm số

b) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Cho hàm số có đạo hàm trên K

+) Nếu với mọi thuộc K thì hàm số đồng biến trên K

+) Nếu với mọi thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.Tóm lại, trên K

Chú ý: Nếu thì không đổi trên K.

2.1.2 Các ví dụ minh họa

Ví dụ 1 (Câu 39 mã đề 123 đề thi THPT Quốc Gia năm 2019)

Cho hàm số , hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên.Bất phương trình ( là tham số thực) nghiệm đúng với mọi

cong trong hình bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng

B Hàm số đồng biến trên khoảng

C Hàm số đồng biến trên khoảng

D Hàm số nghịch biến trên khoảng

 Chìa khóa trong bài toán này, chính là kỹ năng đọc đồ thị hàm số

, từ đó xác định dấu đạo hàm và cuối cùng là đưa ra được bảng xét dấu của biểu thức

 ở cách 2, học sinh cần có kĩ năng xét sự tương giao của đồ thị hàm số

và trục hoành Từ đó, xây dựng được dạng của hàm số

Ví dụ 3 (THPTQG - Minh họa lần 1 - 2020 - Câu 39).

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số , suy ra hàm số

đồng biến trên các khoảng và Chọn phương án C.

gJ(x) − 0 + 0 − 0 +

5

Hàm số đồng biến trên các khoảng và

Nhận xét

 Ở cách 1, học sinh cần có kĩ năng xét dấu của bằng cách chỉ ra được

phần đồ thị nằm phía trên, phía dưới trục hoành, suy ra dấu của

 Ở cách 2, học sinh cần chỉ ra được sự tương giao của đồ thị hàm số

với trục hoành, từ đó xây dựng được dạng hàm số có đồ

thị như hình vẽ, do đó suy ra được dạng của hàm số Việc xét dấu

của là đơn giản chỉ cần dựa vào tích của các nhị thức bậc nhất mà

 Qua ba cách giải trên, các phương án gây nhiễu đều dựa vào những sai lầm

trong cách tư duy của học sinh Chẳng hạn như phương án A, D dựa trên

sai lầm là học sinh chỉ đơn thuần là giải bất phương trình mà

chưa thấy được mối quan hệ giữa và bởi quan hệ ràng buộc

Phương án B chỉ là nhiễu số vì hàm số

đồng biến trên khoảng

Với những phân tích như trên, chúng ta hoàn toàn có thể xây dựng được hàng

loạt các bài tập tương tự để học sinh rèn luyện kĩ năng cũng như tư duy một

cách trực quan qua đồ thị hàm số như sau:

Bài toán tổng quát 1.

Cho hàm số và a là một số thực bất kỳ Hàm số có đồ thị

như hình bên Hàm số đồng biến trên khoảng

6

mOn p

skkn

Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và đồ thị của hàm số

cho ở hình bên Xét hàm số Mệnh đề nào dưới đâysai ?

Từ bảng biến thiên của hàm số , hàm số đồng biến trên

khoảng nên khẳng định hàm số nghịch biến trên khoảng

g(−2) g(2)

Từ (1) suy ra rằng phương án A đúng.

Từ (4) suy ra phương án C đúng.

Từ (2) suy ra phương án B sai.

Từ (3) suy ra phương án D đúng vì là một nghiệm của

Nhận xét

 Như vậy, trong tình huống cụ thể mức độ bài toán sẽ thay đổi Bài toán

có thể tổng quát theo hướng tác động đồ thị của hàm số hoặc tác

A Hàm số đồng biến trên khoảng

B Hàm số đồng biến trên khoảng

C Hàm số nghịch biến trên khoảng

D Hàm số nghịch biến trên khoảng

Lời giải.

tương giao của đồ thị hàm số và đường thẳng , ta có:

9

 Trong các ví dụ 1, ví dụ 2 và ví dụ 3 dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số

và trục hoành để xét dấu biểu thức Để xét dấu của biểu thức trong ví dụ 4 lại dựa trên sự tương giao của đồ thị hàm số và

 Điểm được gọi là điểm cực đại của hàm số nếu tồn tại một

 Điểm được gọi là điểm cực tiểu của hàm số nếu tồn tại

b) Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị

Điều kiện cần

Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm và hàm số có đạo hàm tại , thìTuy nhiên hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạohàm, chẳng hạn với hàm , đại cực trị tại nhưng không có đạo hàm tại đó

+∞

+∞

Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là

Nếu đạo hàm của hàm số đổi dấu từ dương sang âm khi qua

Cho hàm số xác định trên và có đồ thị của

hàm như hình vẽ Hỏi hàm số đã cho có

Cho hàm số liên tục trên , đồ thị

của đạo hàm như hình vẽ bên Trong

các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

Từ bảng biến thiên suy ra:

 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm Phương án A đúng.

 Hàm số đạt cực đại tại điểm Phương án C đúng.

Chọn phương án B.

Ví dụ 3[9]

Cho hàm số đa thức xác định, liên tục trên và có đồ thị của

như hình sau Chọn phát biểu đúng khi nói về hàm số

A Hàm số có 2 điểm cực trị

B Giá trị của lớn hơn giá trị của

C Hàm số nghịch biến trên khoảng

Từ bảng biến thiên, suy ra

 Hàm số có 3 điểm cực trị là Phương án A sai.

 Hàm số đồng biến trên khoảng nên hàm số đồng biến trênkhoảng Phương án C sai.

nghịch biến trên Do đó Phương án B đúng

Cho hàm số xác định, liên tục trên và

có đồ thị của như hình sau Xác định điểm

(xem hình vẽ bên) Dựa vào đồ thị hàm số , ta

thấy đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại

Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số , suy ra

Lập bảng biến thiên của hàm số như sau:

đạt cực đại tại điểm nào sau đây?

Lời giải.

của hàm số có được bằng cách tịnh tiến đồ thị

của hàm số dọc theo trục tung đi xuống 1 đơn

vị

Từ đồ thị hàm số ta thấy đổi dấu từ

dương sang âm khi đi qua điểm Do đó

Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên Đồ thị hàm

số như hình vẽ bên Số điểm cực trị của hàm số

Suy ra

Từ đồ thị hàm số suy ra:Khi đó:

Cho hàm số với có đồ thị như hình vẽ

trong các điểm sau?

Lời giải.

Vẽ parabol dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm

số và parabol ta có bảng biến thiên của hàm số như sau

−

3

− 2

123 4

2 x

2.3 Bài tập cùng dạng

Bài 1

Hàm số có đạo hàm trên là hàm số

Biết đồ thị hàm số được cho

như hình vẽ Hàm số nghịch biến trên

khoảng nào trong; các khoảng sau?

Bài 2

Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên , hàm

số đồ thị như hình vẽ bên Khẳng định nào sau

đồ thị như hình vẽ bên khi đó nhận xét nào sau đây sai?

A Trên khoảng (-2; 1 ) thì hàm số luôn tăng

B Hàm số giảm trên đoạn có độ dài bằng 2

C Hàm số đồng biến trên khoảng

D Hàm số nghịch biến trên khoảng

Bài 4 (THPT Quốc Học Quy Nhơn).

Cho hàm số liên tục trên khoảng (-3; 4) và có đạo hàm

cũng liên tục trên (-3; 4) Đồ thị của hàm số trên

khoảng (-3; 4) được cho bởi hình vẽ bên Trong các mệnh đề sau,

mệnh đề nào đúng?

A Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)

B Hàm số đồng biến trên khoảng (-3; 0)

C Hàm số đồng biến trên khoảng (2; 4)

D Hàm số đồng biến trên khoảng (-2; 1)

16

skkn

II Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.

III Hàm số đạt cực đại tại x = 2

IV Hàm số đồng biến trên khoảng (- 2; 0)

V Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (- 1; 1)

Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên?

Áp dụng đề tài này đối với học sinh lớp 12A4 tôi đã thu được kết quả:

Xếp loại Trước khi thực hiện đề tài Sau khi thực hiện đề tài

Số học sinh Tỉ lệ % Số học sinh Tỉ lệ %

17

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận.

Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy môn toán ở bậc trung học phổ thông và

nghiên cứu đề tài “Đồ thị của hàm đạo hàm với sự biến thiên và cực trị của

18

skkn

hàm số”, tôi đã hiểu một cách sâu sắc hơn về mối quan hệ giữa hàm số

và hàm số thông qua một số bài toán liên quan

Đề tài đã hệ thống kiến thức nền tảng theo từng bài toán liên quan Hìnhthành cách tư duy giải các bài toán Giải quyết được tình huống thực tiễn khinghiên cứu về đồ thị hàm số Xây dựng được hệ thống bài tập phongphú, với chuỗi bài tập sắp xếp từ dễ đến khó theo dạng có phương pháp giải rõràng đã giúp học sinh rèn luyện kỹ năng, gây được hứng thú học tập cho họcsinh, làm cho học sinh không còn thấy sợ lúng túng, bỡ ngỡ khi làm bài tập cácdạng toán này

Do thời gian nghiên cứu và ứng dụng chưa dài nên đề tài của tôi khôngtránh khỏi còn nhiều hạn chế Rất mong được sự đóng góp của các đồng nghiệp

để tôi có thể hoàn thiện hơn đề tài của mình Tôi cũng rất mong sự quan tâm,xem xét và đánh giá động viên của Hội đồng khoa học các cấp để tôi có thêmđộng lực hoành thành tốt mọi công việc được giao và tôi sẽ cố gắng hơn trongcác đề tài sau này

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Yên Định, ngày tháng năm 2022

CAM KẾT KHÔNG COPY

Tác giả

Lê Thị Hằng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

19

1 Sách giáo khoa Giải tích 12 – Bộ GD&ĐT

2 Các dạng toán và phương pháp giải giải tích 12 (Tự luận và trắcnghiệm) - Nguyễn Hữu Ngọc - NXBGD

3 Giải toán và câu hỏi trắc nghiệm giải tích 12 - Trần Thành Minh,Phan Lưu Biên, Trần Quang Nghĩa - NXBGD

4 Rèn luyện giải toán, giải tích 12 - Dương Bửu Lộc, Đặng PhúcThanh, Nguyễn Trọng Tuấn - NXBGD

5 Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn toán: Hàm số - TrầnPhương - NXBHN

6 1000 bài tập trọng tâm và điển hình môn toán Hoàng Văn Minh NXB ĐHSP

-7 Cẩm nang ôn luyện thi Đại học, Cao đẳng môn Toán - Hoàng VănMinh, Lê Đình Tiến - NXB ĐHSP

8 Bài giảng ôn thi tốt nghiệp THPT theo chủ đề: Giải tích 12 - ĐỗViết Tuân (Chủ biên), Trần Tuấn Ngọc, Trần Thị Thủy, Ngô Thị ThuHằng - NXB ĐHQGHN

9 Các đề minh họa và các đề thi THPT Quốc Gia, đề thi tốt nghiệpTHPT môn toán những năm gần đây

DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ

20

skkn

CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Lê Thị Hằng

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THPT Yên Định 1

Tên đề tài SKKN

Năm cấp Xếp loại

Số, ngày, tháng, năm của quyết định công nhận, cơ quan ban hành QĐ

1 Góp phần phát triển tư duy

sáng tạo cho học sinh qua dạy học

đường vuông góc chung của hai

đường thẳng chéo nhau - khoảng

cách giữa hai đường thẳng chéo

nhau

2005 C

Quyết định số 132/QĐKH-GDCN ngày19/4/2005

Cơ quan ban hành quyết định: Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa

2 Phát triển tư duy cho học

sinh lớp 10 ban khoa học tự nhiên

qua dạy học giải phương trình vô

tỷ

2008 C

Quyết định số SGD&ĐT ngày

462/QĐ-19/12/2007

Cơ quan ban hành quyết định: Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa

3 Khai thác và xây dựng các

bài tập hình học không gian có tính

hệ thống để phát triển tư duy sáng

tạo, tính tích cực và năng lực giải

bài tập cho học sinh lớp 11 và học

sinh lớp 12 ôn thi đại học

2016 B Quyết định số

972/QĐ-SGD&ĐT ngày 24/11/2016

Cơ quan ban hành quyết định: Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa

21