Skkn chứng minh bất đẳng thức đối xứng bằng phương pháp hàm số

1 MỞ ĐẦU 1 1 Lý do chọn đề tài Trong chương trình toán THPT, phần khó khăn nhất khi giáo viên giảng dạy là phần bất đẳng thức các bài toán ở phần này đa dạng và rất khó, đa số học sinh khi được hỏi về[.]

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình toán THPT, phần khó khăn nhất khi giáo viên giảng dạy là phần bất đẳng thức các bài toán ở phần này đa dạng và rất khó, đa số học sinh khi được hỏi về phần này khi thi thì đều trả lời là khó không định hướng được cách làm, mặt khác tâm lý chung của các em đặc biệt là học sinh khi thi đại học thì đều bỏ câu này vì quan niệm của các em đó là một trong những câu khó nên các em có học lực khá không mặn mà cho lắm Đứng trước một bất đẳng thức, học sinh thường lúng túng khi lựa chọn phương pháp Nguyên nhân

là vì bất đẳng thức là bài toán khó, đòi hỏi phải tư duy sâu sắc và thường dùng

để phân loại học sinh mặt khác cách giải khá đa dạng, một số tài liệu đưa ra cách giải mang tính thủ thuật, không tự nhiên làm cho học sinh không có cách nhìn bao quát về nó Sáng kiến kinh nghiệm của tôi đưa ra một kĩ thuật đơn giản (đó

là khai thác tính đối xứng của các biến) nhưng có hiệu quả khi giải quyết một lớp bài toán về chứng minh bất đẳng thức (BĐT) hay tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức Điều quan trọng là học sinh có thể được định hướng cách giải ngay từ đầu

Qua nghiên cứu đề thi vào đại học, các đề thi học sinh giỏi, tôi thấy phần lớn đều có bài về bất đẳng thức, hơn nữa nó còn có dạng đối xứng đối với các biến nên vấn đề khai thác triệt để tính đối xứng có vai trò quyết định đến lời giải của bài toán

1.2 Mục đích nghiên cứu

Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy ở trường THPT, cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy Tôi đã tổng hợp, khai thác và hệ

thống hoá lại các kiến thức thành một chuyên đề: “ Chứng minh bất đẳng thức đối xứng bằng phương pháp hàm số’’

Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh phương pháp cơ bản chứng minh các bất đẳng thức đối xứng 2 biến, 3 biến và

một số kỹ năng cơ bản và phát hiện được các tính chất của bất đẳng thức đối xứng Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi biến đổi Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp chứng minh bất đẳng thức

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Sử dụng phương pháp hàm số trong các bài toán bất đẳng thức đối xứng hai ẩn và ba ẩn

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp:

- Nghiên cứu lý luận chung

- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học

- Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm

Cách thực hiện:

- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn

- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy

- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối và luyện thi tốt nghiệp THPT trong năm học từ 2006 đến 2022

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.

2.1 Cơ sở lý luận

Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và

hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo

nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ

thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người Môn toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này

Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng

dạng bài tập Điều đó thể hiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải

có tư duy logic và cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán học một cách có hệ thống trong chương trình học phổ thông, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp các cách giải

Do vậy tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán chứng minh bất đẳng thức Trong giới hạn của SKKN tôi chỉ hướng dẫn học sinh cách định hướng chứng minh bất đẳng thức đối xứng hai ẩn, ba ẩn bằng phương pháp hàm số Đề tài của tôi chỉ nghiên cứu một khía cạch rất nhỏ đó là khai thác sử dụng các tính chất đối xứng để đưa về phương pháp hàm số Điều quan trọng là phương pháp này có tính tổng quát rất cao và có thể áp dụng cho hầu hết các bài toán có dạng: “Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn

Chứng minh rằng , trong đó là một biểu thức đối xứng đối với ba biến x, y và z”

1) Đa thức được gọi là đối xứng đối với x và y nếu

Mọi đa thức đối xứng đều biểu diễn được qua cách đặt và

2) Đa thức được gọi là đối xứng với x,y,z nếu

[4] 3) Biểu thức thuần nhất bậc n nếu

Do đó đối với những bất đẳng thức thuần nhất ta có thể giả thiết thêm

(hoặc nếu chọn ) Việc làm trên gọi là

2.2 Thực trạng của vấn đề

Có thể nói phần bất đẳng thức là phần khó nhất trong chương trình sách giáo khoa ở THPT, đây là phần mà yêu cầu học sinh phải có tư duy nhạy bén, có

tố chất mới có thể làm được, mặt khác ngay cả trong đội ngũ các thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy cho học sinh thì cũng rất lúng túng khi phân loại và dạy cho các em dạng này, điều này cũng dễ hiểu đối với các thầy cô giáo dạy vì trong chương trình sách giáo khoa lượng bài tập cho phần BĐT không nhiều mặt khác

bản thân học sinh không “ mặn mà” với phần này do để chứng minh được một

bài toán cần phải rất khéo léo trong các khâu để đưa bài toán chứng minh bất đẳng thức thành quen thuộc Qua nghiên cứu đề thi THPT Quốc Gia, các đề thi học sinh giỏi, tôi thấy phần lớn đều có bài về bất đẳng thức, hơn nữa nó còn có dạng đối xứng đối với các biến nên vấn đề khai thác triệt để tính đối xứng có vai trò quyết định đến lời giải của bài toán Xuất phát từ những lí do nêu trên tôi viết

đề tài sáng kiến kinh nghiệm này với hy vọng cung cấp cho học sinh một phương pháp có hiệu lực để chứng minh bất đẳng thức

2.3 Một số biện pháp

Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến của đồng nghiệp tôi mạnh dạn đưa ra hướng gải quyết các vấn đề trên của học sinh với những giải pháp: Đưa ra một số giải pháp giúp học sinh hình thành kỹ năng giải quyết với một số các bất đẳng thức có tính chất đối xứng đối với 2 biến, 3 biến

Bài toán 1: Cho hai số thực x; y thay đổi thõa mãn điều kiện Gọi

M, n lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Khi đó giá trị M+ n bằng

A: B C D 1

Phân tích: Do tính chất đối xứng của x,y nên ta có thể đặt

Hướng dẫn

Ta có

Đặt Từ giả thiết ta có Ta có Khi đó biểu thức

Xét hàm số

Khi đó GTLN ; GTNN vậy M+n = , chọn C

Gọi M, n lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Khi đó M.n bằng

Hướng dẫn

Đặt từ giải thiết ta có

Khi đó

Lập bảng biến thiên ta có

t -2/3 0 2

f’(t) - 0 +

f(t) 1/3 1/3

-1

Từ bảng biến thiên

GTNN P = M = -1 đạt được khi

GTLN P = n = 1/3 đạt được khi

Vậy M.n = , vậy ta chọn B

Bài Toán 3

Cho là hai số thực khác không thỏa mãn:

Tìm GTLN của biểu thức: (KA: 2006)

Phân tích:

Do bất đẳng thức trên thỏa mãn đ/k bất đẳng thức đối xứng hai biến, nên ta đặt

sau đó biểu thị xy qua t để đưa bài toán tới xét hàm số theo t

Hướng dẫn

x y xy   x2  y2 xy

x y xy   x2  y2 xy

nên ta có .Ta xét hàm số hàm số này nghịch biến với nên vậy giá trị lớn nhất của A là 16

khi t=1 hay

Bài toán 4

Cho x; y là các số thực không âm thõa mãn Giá trị

Hướng dẫn

Khi đó

nên ta có

Dấu bằng sảy ra khi ; vậy P= , chọn A

Bài toán 5 Cho CMR

Hướng dẫn

Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:

Suy ra: Dấu bằng xảy ra: x = y = z và Hay

Mở rộng 1( Tổng quát)

Hướng dẫn: Áp dụng bất đẳng thức bunhacopxki ta có:

Tương tự sau đó cộng vế theo vế:

Áp dụng (*) với Suy ra điều phải chứng minh

Bài toán 7 ( Khối A-2004)

Hướng dẫn: Bài toán TQ1 : Với a= -1; b=1 ; n=2 ; k= ta có:

Mở rộng 2( Tổng quát)

2

Chứng minh rằng: (**)

Bài toán 8: : Cho x, y thỏa mãn Tìm GTNN của biểu thức

( KB- 2009) Hướng dẫn

Ta biến đổi biểu thức A như sau

Áp dụng bất đẳng thức

ta có Lúc này ta đặt Xuất phát từ giả thiết ta có

Ta lại có

GTLN A = khi x= y= 1/2

Bài toán 9 : Cho là các số thực không âm thỏa mãn GTNN

Hướng dẫn

Mặt khác Vậy

Ta lại có

Đặt t = Xét hàm số

bằng xảy ra khi a=1; b = c = 0 và các hoán vị

Bài 10 (IMO 1964).

Cho x, y, z là các số thực không âm Chứng minh rằng

(1)

Giải.

Do BĐT là thuần nhất nên nhờ chuẩn hóa ta có thể giả thiết thêm

Ta có

Đẳng thức xảy ra hoặc và các hoán vị của nó

Bài toán 11: Cho x; y; z là các số thực dương Tìm GTNN của

A B C D 1

Phân tích:

Bài toán đối xứng với điểm rơi x=y=z Ta có Tử

số là ; mẫu số là xyz nên ta đưa về đại lượng trung gian x+y+z và

ta sử dụng dụng bất đẳng thức Bunhiacopxiki và

Hướng dẫn

Ta có

Xét hàm số

Lập bảng biến thiên ta có GTLN của P = khi

Bài toán 12

Cho các số thực dương thỏa mãn GTLN của biểu

Do nên ta có hệ

và

Lấy (2) trừ (1) ta có Ta lại có

Đặt t = ab+bc+ca ta có

Ta xét hàm số

Vậy chọn C( dấu bằng xảy ra khi a=1;b=2; c= 3 và các hoán vị của nó)

Bài toán 13: Cho a,b,c là các số thực dương và Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức

Phấn tích :

Ta có

Lúc này đặt

Hướng dẫn

Ta có

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có

vậy

Xét hàm số

Bài toán 14 Cho thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức

Hướng dẫn

Đặt

.Hàm số

đồng biến trên vậy GTNN P = f(3) = Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=2

CÁC BÀI TẬP TỰ LUẬN

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức

Bài 3: Cho thõa mãn điều kiện

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 4: cho và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 5: Cho thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 6: Cho thỏa mãn .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Bài 7: Cho là các số dương thỏa mãn Chứng minh rằng

(ĐH A.2005)

Bài 8: Cho thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của P=

( ĐH A.2011) Bài 9: Cho là các số dương thõa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất của

14

a + b + c  ab bc ca 

Bài 10: Cho là các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

CÁC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Bài 1: Cho Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

là

A GTLN P = 4; GTNN P = B GTLN P = 1; GTNN P =

C GTLN P = ; GTNN P = 4 D GTLN P = 1; GTNN FP= 4

Bài 2: Cho là các số thực thỏa mãn và GTLN, GTNN của

A GTLN F = ; GTNN F = B GTLN F = ; GTNN F =

C GTLN F = ; GTNN F = D GTLN F = 1; GTNN F =

Bài 3: Cho các số thực không âm thoả mãn x2+y2+z2=3 Giá trị lớn nhất

Bài 4: Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn: x2+y2+z2≤xyz

Giá trị lớn nhất của biểu thức: P=

x

x2+yz+

y

y2+zx+

z

z2+xy

A

1

Bài 5: Cho x, y, z > 0 thoả mãn Khi đó giá trị lớn nhất của biểu

Bài 6 Cho a, b, c > 0 thoả mãn a+ b+ c= 1 Khi đó

Giá trị của m là

Bài 7 Cho Gọi M, n lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Khi đó giá trị M+ n bằng

Bài 8 Cho thỏa mãn

Bài 9: Cho Gọi M, n lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức Khi đó M+ n bằng

Bài 10 Cho Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Trong quá trình giảng dạy phần bất đẳng thức cho học sinh, khi vận dụng

sáng kiến này để giải quyết các bài toán chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt là cách sử dụng hàm số khi giải quyết các bài toán chứng minh bất đẳng thức Học sinh đã có thêm phương pháp tiếp cận các bài toán bất đẳng thức với một số các bài toán đối xứng Qua đó các em có hứng thú hơn trong học tập

Với sáng kiến này thì việc dạy và học phần bất đẳng thức cũng có thêm một phương pháp mới, cách tiếp cận đơn giản hơn cho các em học sinh mới làm

quen với phần bất đẳng thức, qua đó nâng cao hơn nữa đến chất lượng chuyên môn của nhà trường

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.

3.1.Kết luận:

Bất đẳng thức là một nội dung quan trọng trong chương trình môn toán Nhưng đối với học sinh lại là một mảng rất khó, đây cũng là phần nhiều thầy cô giáo quan tâm

Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 12 và đặc biệt là luyện thi tốt nghiệp THPT được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng sử dụng để giải quyết các bài toán CM bất đẳng thức được các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình khá trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể ở các lớp khối 12 sau khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy thì số HS hiểu và có kỹ năng chứng minh tốt hơn tôi lấy kết quả của Học sinh Khối 12 trong 2 năm gần đây

Năm

Tổng số

Điểm 8 trở lên Điểm từ 5 đến

Số lượng Tỷ lệ

Số lượng Tỷ lệ

Số lượn g

Tỷ lệ

2018

2019

Như vậy tôi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối Theo tôi khi dạy phần chứng minh BĐT giáo viên cần chỉ rõ các dạng toán và cách giải tương ứng để học sinh nắm được bài tốt hơn

Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và hạn chế Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và góp ý cho tôi Tôi xin chân thành cảm ơn

3.2 Kiến nghị :

Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ

Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề

XÁC NHẬN CỦA

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Nghi Sơn, ngày 05 tháng 6 năm 2022 Tôi xin cam đoan toàn bộ nội dung đề tài trên

là do bản thân tôi nghiên cứu và thực hiện, không sao chép nội dung của bất kỳ ai.

NGƯỜI VIẾT SKKN

Nguyễn Hữu Hòa

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Phạm Kim Hùng, Sách sáng tạo bất đẳng thức, Nxb Hà Nội

[2] Nguyễn Phú Khánh- Kiến thức ôn tập kinh nghiệm làm bài thi đạt điểm 10,

NXB Đại học sư phạm

[3] Võ Bá Cẩn- Trần Quốc Anh Bất đẳng thức và những lời giải hay, Nxb Hà

Nội

[4] Nguyễn Hữu Điển, Giải toán bằng phương pháp đại lượng bất biến, Nxb

Giáo Dục

[5] Tạp chí toán học tuổi trẻ số 356 năm 2013, Nxb Giáo Dục

[6] Đề thi đại học các năm

 