Bài tập giải tích đạo hàm, tích phân có ứng dụng gì trong cuộc sống

BÀI TẬP GIẢI TÍCH NHÓM 2 (bản cứng) LỜI NÓI ĐẦU Trước kia, tôi nghĩ tích phân, đạo hàm là cái gì đó ghê gớm mà chỉ các bộ óc thiên tài mới nghĩ ra được, nhưng sau khi biết được lịch sử hình thành của[.]

BÀI TẬP GIẢI TÍCH NHÓM 2

(bản cứng)

LỜI NÓI ĐẦU

Trước kia, tôi nghĩ tích phân, đạo hàm là cái gì đó ghê gớm mà chỉ các bộ óc thiên tài mới nghĩ ra được, nhưng sau khi biết

được lịch sử hình thành của chúng, tôi đã nghĩ sai Sự thật thì ý tưởng hình thành khái niệm tích phân, đạo hàm rất đơn giản và tôi tin ngay cả những học sinh lớp 6, lớp 7 cũng có thể hiểu

được ý tưởng này Đặc biệt hơn, những điều mà tôi nói ở trên hiếm khi được đề cập trong những tiết toán trên lớp Còn việc tính tích phân ư? Trong lúc tôi còn không biết nên tính tích phân từng phần hay đặt ẩn như thế nào thì người ta đã nghiên cứu ra phương pháp lập trình trên máy tính và giải ra đáp số cho bất kỳ bài tích phân nào với độ chính xác đến kinh ngạc "Người ta" ở đây chính là những người đã sống cách đây gần cả thế kỷ Qua

đó, tôi thấy rằng trình độ toán của mình đã tụt hậu xa so với Thế giới.

Tôi đã nghe nhiều bạn hỏi rằng “Đạo hàm, tích phân có ứng dụng gì trong cuộc sống?" Đảng tiếc đây là phần thu vị và hấp dẫn nhất lại được để cặp quá ít trong sách giáo khoa Hi vọng rằng qua một số ví dụ này, bạn sẽ có câu trả lời.

I ứng dụng thực tế của tích phân hàm

một biến

1 Ứng dụng của tích phân trong việc đo chiều dài

Để đo chiều dài của một cung đường, ta có thể dùng tích phân đơn hặc tích phân đường loại một bằng các công thức sau:

Trong lĩnh vực may mặc, việc đo đạc chính xác chiều dài của một đườngcong như đường cổ áo, nách áo, đường đũng quần là rất quan trọng để

có thể lắp ghép các chi tiết như viền cổ, tra tay áo vào thân áo, ghép đũng trước và đũng sau một cách ăn khớp, đảm bảo tính thẩm mỹ, tiết kiệm nguyên phụ liệu nhất là khi may trên dây chuyền với số lượng lớn

Để giải quyết vấn đề này, chúng ta có thể tính toán chính xác chiều dài của các đường cong trên mẫu ban đầu bằng ứng dụng của tích phân, rồi tiến hành cắt, ráp mẫu với số lượng lớn

Ví dụ 1: Để viền cổ áo đẹp, không bị bai dão hay dúm, chúng ta

cần phải tính chính xác được chiều dài đường cổ áo

Mẫu cổ áo hình tim có hình dạng của parabol Ví dụ khi hạ cổ áohình tim với chiều cao là 16cm, chiều rộng là 4cm thì đường cổ áo chính

là parabol với đơn vị hệ Oxy trục là cm

Để viền cổ chiếc áo này, ta sẽ tính chiều dài cung đường cổ áo từđiểm A tới điểm B

Vậy chiều dài cổ áo xấp xỉ bằng 27,8 cm.

Tương tự, ta có thể tính được chiều dài cổ áo các dạng khác bằng các bước sau:

Bước 1: Xác định đường cổ áo Với áo cổ tim đường cổ là Parabol, cổ tròn là nửa dưới đường tròn, cổ elip là nửa dưới đường elip,…

Bước 2: Dùng một trong hai công thức ở trên để tính chiều dài đường

cổ áo

2 Ứng dụng của tích phân trong việc tính diện tích

Trong thực tiễn cuộc sống cũng như trong khoa học kĩ thuật, người ta cần phải tính diện tích của những hình phẳng cũng như diện tích xung quanh của những vật thể phức tạp Chẳng hạn khi xây dựng một nhà máy thủy điện, để tính lưu lượng của dòng sông ta phải tính diện tích thiết diện ngang của dòng sông Thiết diện đó thường là một hình khá

phức tạp Trong may mặc cũng vậy, việc tính chính xác được diện tích một sản phẩm hay một chi tiết giúp chúng ta ước lượng được số mét vải cần sử dụng, từ đó tiết kiệm được chi phí sảnxuất.

Trước khi phép tính tích phân ra đời, với mỗi hình và mỗi vật thể như vậy người ta lại phải nghĩ ra một cách để tính Sự ra đời của tích phân cho chúng ta một phương pháp tổng quát để giải hàng loạt những bài toán tính diện tích và thể tích nói trên

Để tính diện tích hình phẳng, ta sử dụng tích phân đơn hoặc tích phân bội 2

Ví dụ 2: Chiếc dù lớn cho hội nghị ngoài trời có dạng mái tròn vòm

cong với bán kính là 4m và chiều cao từ mặt phẳng chứa bán kính tới đỉnh dù là 2m

Ta có thể coi chiếc dù là vật thể tròn xoay được tạo bởi hình phẳng giới

hạn bởi các đường và y=0 quay quanh trục Oy với đơn vị hệ trục Oxy là mét

a) Tính diện tích hình phẳng trên

b) Tính diện tích vải cần thiết để may một chiếc dù

b) Diện tích xung quanh của chiếc dù khi quay nửa phải hình phẳng quanh trục Oy là:

Vậy diện tích vải cần thiết để may chiếc dù là 61,3m2

Như vậy, để tính được diện tích hình phẳng hay diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay ta cần tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: Đối với hình phẳng, ta cần phân tích hình dạng của nó, 2 cận trái phải, đường trên, đường dưới giới hạn hình phẳng Đối với vật thể,

ta cần xác định nó được tạo bởi hình phẳng nào, cận trên, cận dưới, đường cong giới hạn khi quay quanh trục Oy

Bước 2: Sử dụng các công thức ở trên để tính

II.Ứng dụng thực tế của đạo hàm một biến

Vận động viên chạy và bơi phối hợp:

Có một cái hồ rộng 50m, dài 200m Một vận động viên chạy phối hợp với bơi (bắt buộc cả hai) cần đi từ góc này qua góc đối diện bằng cách cảchạy và bơi (đường màu đỏ) như hình vẽ Hỏi rằng sau khi chạy được bao xa (quãng đường x) thì nên nhảy xuống bơi để đến đích nhanh nhất

? Biết rằng vân tốc bơi là 1.5 m/s , vận tốc chạy là 4.5m/s

Gọi quãng đường vận động viên chạy trên bờ là x (m).

Khi đó quãng đường vận động viên bơi dưới nước sẽ

là

Thời gian cho cả quãng đường đi (cả trên bờ và dưới nước) là

Yêu cầu bài toán tương đương với: tìm x để đạt giá trị nhỏ nhất.

Lập bảng biến thiên ta được x≈182,3 mx≈182,3 m thì T(x) đạt giá trị nhỏ nhất.

III.Ứng dụng tìm cực trị tự do của hàm 2 biến

Ví dụ 1 Một công ty sản xuất 2 loại sản phẩm Gọi Qi là số lượng sản phẩm của mặt hàng thứ i ( ); Pi là đơn giá của mặt hàng thứ i ()

Yêu cầu: Tìm Q1 và Q2 để đạt giá trị max?

Bài giải Ta có hàm lợi nhuận

IV.Bài toán tìm cực trị có điều kiện của hàm hai biến

1 Tìm cực trị của hàm z = 3x + 4y với điều kiện

Vậy hàm số có cực tiểu có điều kiện tại và giá trị cực tiểu

*Tích phân suy rộng:

TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI 1

a dx x−3¿

¿

= a→ 3−lim¿

ln |x−3| ¿ ¿ a1 =a→ 3−lim¿

ln |x−3| ¿ ¿ – ln2 = -∞

ADCT : ∫√x2x −a2dx =√x2−a2

END.