(Luận án tiến sĩ) Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng, các định lý biểu diễn dương và một số vấn đề liên quan

(Luận án tiến sĩ) Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng, các định lý biểu diễn dương và một số vấn đề liên quan (Luận án tiến sĩ) Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng, các định lý biểu diễn dương và một số vấn đề liên quan (Luận án tiến sĩ) Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng, các định lý biểu diễn dương và một số vấn đề liên quan (Luận án tiến sĩ) Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng, các định lý biểu diễn dương và một số vấn đề liên quan (Luận án tiến sĩ) Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng, các định lý biểu diễn dương và một số vấn đề liên quan (Luận án tiến sĩ) Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng, các định lý biểu diễn dương và một số vấn đề liên quan (Luận án tiến sĩ) Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng, các định lý biểu diễn dương và một số vấn đề liên quan (Luận án tiến sĩ) Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng, các định lý biểu diễn dương và một số vấn đề liên quan (Luận án tiến sĩ) Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng, các định lý biểu diễn dương và một số vấn đề liên quan (Luận án tiến sĩ) Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng, các định lý biểu diễn dương và một số vấn đề liên quan (Luận án tiến sĩ) Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng, các định lý biểu diễn dương và một số vấn đề liên quan (Luận án tiến sĩ) Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng, các định lý biểu diễn dương và một số vấn đề liên quan (Luận án tiến sĩ) Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng, các định lý biểu diễn dương và một số vấn đề liên quan (Luận án tiến sĩ) Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng, các định lý biểu diễn dương và một số vấn đề liên quan (Luận án tiến sĩ) Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng, các định lý biểu diễn dương và một số vấn đề liên quan (Luận án tiến sĩ) Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng, các định lý biểu diễn dương và một số vấn đề liên quan (Luận án tiến sĩ) Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng, các định lý biểu diễn dương và một số vấn đề liên quan (Luận án tiến sĩ) Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng, các định lý biểu diễn dương và một số vấn đề liên quan

Sỹ phƠn bố nghiằm ừa Ă a thự mởt bián

Tấm chắn nằm nghiêng ừa A, là một biện trong những bài toán ở bên ừa Ôi số Tuy nhiên, tấm chắn nằm nghiêng ừa A không phải lúc nào cũng đúng trong mọi dặng Do đó, thay vì tấm chắn nằm nghiêng ừa A, chúng ta nên chọn tấm chắn nằm ngang Với lý do này, ta phối hợp các kết quả về tính ổn định của Enestrom-Kakeya Theo đó, cho hàm số f(z) là một đa thức bậc d với hệ số thực a_i, đảm bảo điều kiện sắp xếp giảm dần của các hệ số, dương và dương nhất, giúp xác định tính ổn định của đa thức theo kết quả của Enestrom-Kakeya.

Náu z ∈ C l mởt nghiằm ừa f (z) thẳ a 0

Bọ qua iãu kiằn sưp thự tỹ ừa Ă hằ số, ta õ dÔng 2 sau ừa ành lỵ Enestrom-

Kakeya. ànhlỵ 1.1.2 (Enestrom-Kakeya,dÔng2,[3℄) Chof(z) = a d z d +a d−1 z d−1 + ã ã ã +a 1 z +a 0 l mởt a thự thỹ vợi a i , i = 0, , d, l Ă số thỹ dữỡng Kỵ hiằu α := min

Khi õ, mồi nghiằmz ∈ C ừa f (z) thọa mÂn α ≤ | z | ≤ β. ối vợiĂ athựphự,ành lỵCauhy h¿ramởtắa trỏn hựaĂ nghiằmừa nõ, ử thº nhữ sau. ành lþ 1.1.3 (Cauhy,d¤ng 1,[31, 33℄) Cho f(z) = P d i=0 a i z i l mởt a thự phự bê d

Khi õ, mồi nghiằmừa a thự f (z) nơm trong ắa

Trong trữớng hủp a thự f (z) õ | a d | > | a i | , ∀ i = 0, , d − 1 , thẳ M < 1 Khi õ, húng tanhên ữủmởt hằ quÊsau.

P d i=0 a i z i l mởt a thự phự bê d Náu

| a d | > | a i | , ∀ i = 0, , d − 1, thẳ mồi nghiằm ừa a thự f (z) nơm trong ắa { z ∈ C | | z | < 2 } ành lþ 1.1.5 (Cauhy,d¤ng2,[31, Setion27℄) Chof (z) = P d i=0 a i z i l mởt a thự phự bê d Gồi r v R tữỡng ựng l nghiằm dữỡng ừa Ă a thự h(z) = | a d | z d + | a d−1 | z d−1 + ã ã ã + | a 1 | z − | a 0 | , v g(z) = | a d | z d − | a d−1 | z d−1 − ã ã ã − | a 1 | z − | a 0 |

Khi õ, mồi nghiằmừa a thự f (z) thọa mÂn r ≤ | z | ≤ R. phĐn bố nghiằmừa a thựnhữ sau. ành lþ 1.1.6 ([9,Theorem3.2℄) Chof (z) =

P d i=0 a i z i l mởt a thự phự bê d Kỵ hiằu

K(0, r 1 ) = { z ∈ C | | z | ≤ r 1 } , trong õ, r 1 l nghiằm dữỡng lợn nhĐt ừa phữỡng trẳnh z d+1 − (1 + M )z d + M = 0. p dửng ànhlỵ 1.1.6 hoathự (1 − z)f(z) , húng ta nhên ữủ Ă hằ quÊ sau.

P d i=0 a i z i l mởt a thự phự bê d Kỵ hiằu

K(0, r 2 ) = { z ∈ C | | z | ≤ r 2 } , trong õ, r 2 l nghiằm dữỡng lợn nhĐt ừa phữỡng trẳnh z d+2 − (1 + M f )z d+1 + M f = 0.

Hằ quÊ sau Ơy l mởt kát quÊ tữỡngtỹ ànhlỵ 1.1.3.

Hằ quÊ 1.1.8 ([9,Theorem 3.4℄) Chof (z) = P d i=0 a i z i l mởt a thự phự bê d Khi õ, mồi nghiằm ừa a thự f (z) nơm trong ắa

K(0, r 3 ) = { z ∈ C | | z | ≤ r 3 } , trong õ, r 3 = 1 + M f v M f ữủ xĂ ành nhữ trong Hằ quÊ 1.1.7.

Ch°n trản sau Ơy ừa Joyal-Labelle-Rahman [24℄ trong nhiãu trữớnghủp l tốt hỡn sovợi Ă h°n Cauhy. ành lþ 1.1.9 (Joyal, Labelle, Rahman, [24℄) Cho f (z) = P d i=0 a i z i l mởt a thự phự bê d Kỵ hiằu α := max i=0, ,d−2 a i a d

Khi õ, mồi nghiằmừa f (z) thọ a mÂn

 pdửng ànhlỵ1.1.9hoathựg (z) = z d f ( 1 z ) , húng ta s³ Ôt ữủ mởt h°n dữợi ho nghiằmừa athự nhữ sau.

Hằ quÊ 1.1.10 ([24℄) Chof (z) = a d z d + a d−1 z d−1 + ã ã ã + a 1 z + a 0 l mởt a thự phự bê d vợi a 0 6 = 0 Kỵ hiằu β := max i=2, ,d a i a 0

+ 4β p dửng ànhlỵ 1.1.9 hoathự (1 − z)f(z) ta õ hằ quÊ sau.

Hằ quÊ 1.1.11 ([24℄) Chof (z) = a d z d + a d−1 z d−1 + ã ã ã + a 1 z + a 0 l mởt a thự phự bê d Kỵ hiằu γ := max i=1, ,d a d−i − a d−i−1 a d

Tữỡngtỹ, Ăpdửng HằquÊ1.1.11 hoathự g(z) = z d f ( 1 z ) , húng ta nhên ữủ mởt h°n dữợi hoathự nhữ sau.

Hằ quÊ 1.1.12 Cho f (z) = a d z d + a d−1 z d−1 + ã ã ã + a 1 z + a 0 l mởt a thự phự bê d õ a 0 6 = 0 Kỵ hiằu γ ′ := max i=1, ,d a i − a i+1 a 0

+ 4γ ′ p dửng ànhlỵ 1.1.9 hoathự (z − a d−1 )f(z) ta ữủ hằ quÊ sau.

Hằ quÊ 1.1.13 ([24℄) Cho f(z) = z d + a d−1 z d−1 + ã ã ã + a 1 z + a 0 l mởt a thự phự bê d Kỵ hiằu δ := max i=0, ,d−1 | a d−1 a i − a i−1 | , a −1 := 0.

1 + 4δ). ối vợi mởt a thự bĐt ký, bơng Ăh x²t a thự moni tữỡng ựng, ta nhên ữủ ¡nh gi¡sau.

Hằ quÊ 1.1.14 ([24℄) Chof (z) = a d z d + a d−1 z d−1 + ã ã ã + a 1 z + a 0 l mởt a thự phự bê d Kỵ hiằu δ ′ := max i=0, ,d−1 a d−1 a i − a i−1 a d a 2 d

Tữỡngtỹ, Ăpdửng HằquÊ1.1.14 hoathự g(z) = z d f ( 1 z ) , húng ta nhên ữủ mởt h°n dữợi hoathự nhữ sau.

Hằ quÊ 1.1.15 Chomởt a thự phự f (z) = a d z d + a d−1 z d−1 + ã ã ã + a 1 z + a 0 bê d õ a 0 6 = 0 Kỵ hiằu δ” := max i=1, ,d a 1 a i − a 0 a i+1 a 2 0

1 + 4δ” õa Cauhy trong ànhlþ 1.1.3. ành lỵ 1.1.16 (Datt-Govil,[8, Theorem 1℄) Cho mởt a thự phự f (z) = a d z d + a d−1 z d−1 + ã ã ã + a 1 z + a 0 bê d Kỵ hiằu

2 | a d | (1 + A) d−1 (Ad + 1) ≤ | z | ≤ 1 + x 0 A, trong õ, x 0 l mởt nghiằm ừa phữỡng trẳnh x = 1 − (Ax+1) 1 d nơm trong (0, 1)

Trong trữớnghủp khõtẳm nghiằmx 0 ∈ (0, 1) ừa phữỡng trẳnh x = 1 − (Ax+1) 1 d , húng taâ thº dòng h°n sau ¥y. ành lỵ 1.1.17 (Datt-Govil,[8, Theorem 2℄) Cho mởt a thự phự f (z) = a d z d + a d−1 z d−1 + ã ã ã + a 1 z + a 0 bê d Kỵ hiằu

Tữỡng tỹĂ ànhlỵ Cauhy, húng ta õĂ h°n sau Ơy honghiằm ừa athự. ành lỵ 1.1.18 ([34, Theorem 2.2℄) Cho mởt a thự phự f (z) = a d z d + a d−1 z d−1 + ã ã ã + a 1 z + a 0 bê d Kỵ hiằu

Tờng quĂtho ànhlỵ 1.1.18 taõ kátquÊ sau. ành lỵ 1.1.19 ([34, Theorem 2.4℄) Cho mởt a thự phự f (z) = a d z d + a d−1 z d−1 + ã ã ã + a 1 z + a 0 bê d Cho p, q > 1 sao ho 1 p + 1 q = 1 Kỵ hiằu

Khi õ, vợimồi nghiằm z ừa f (z) ta õ

B i toĂn thự 17 ừa Hilbert v mởt số ành lỵ biºu diạn dữỡng ho a thự 18

B i to¡n thù 17 õa Hilbert v ành lþ Artin

Dưới đây là các câu chứa ý chính của đoạn văn, đã được tối ưu cho tiêu chuẩn SEO:1 "Xác định về biểu diễn đa thức trong nhiều biến X₁, , Xₙ giúp hiểu rõ hơn về tính chất của hàm số trong không gian R[X]."2 "Một đa thức f có thể biểu diễn như là tổng hợp các đa thức đơn biến, và nó có thể ảnh hưởng đến tính liên tục và tính khả nghịch của hàm số trong không gian Rⁿ."3 "Nếu một đa thức f không âm trong không gian Rⁿ, thì nó thuộc vào tập hợp X, góp phần làm rõ các đặc tính của hàm trong phân tích toán học."

CƠu trÊlớihoƠu họi n y ữủữa ra bði Hilbert v o nôm 1888, ử thº nhữ sau. ành lỵ 1.2.1 (Hilbert,[23℄) Cho f ∈ R [X] l mởt a thự bê d hđn v khổng Ơm trản

R n Khi õ, f õ thº biºu diạn ữủ th nh tờng bẳnh phữỡng ừa Ă a thự trong R [X] náu v h¿náu mởt trong Ă iãu kiằn sau thọa mÂn:

Trong lý thuyết không gian Hilbert, không gian tổng quát từ ℝ^n với n ≥ 2 và d ≥ 4 luôn tồn tại ít nhất một biến đổi dương vô hạn định, mà không thuộc tập hợp mọi phép biến đổi tuyến tính trên R^n Những biến đổi này không thể biểu diễn dưới dạng các phép biến đổi tuyến tính thông thường, cho thấy sự phức tạp và đa dạng trong cấu trúc của không gian Hilbert Điều này nhấn mạnh rằng không gian Hilbert có khả năng mở rộng và ứng dụng rộng rãi trong lĩnh vực toán học và vật lý lý thuyết.

NẬm1967,Motzkin[35℄đứa ramỡtphờnvẵdữ vãmỡtathỳhaibiènbà6khỗng ƠmtrảnR 2 nhữngkhổng thº biºu diạnth nhtờng bẳnh phữỡngừa Ăathự haibián.

M(X, Y ) = 1 − 3X 2 Y 2 + X 2 Y 4 + X 4 Y 2 ∈ R [X, Y ] khổng Ơm trản R 2 những khổng thº biºu diạn ữủ th nh tờng bẳnh phữỡng Ă a thự trongR [X, Y ] ([32,Proposition1.2.2℄).Tuynhiản,húng taõthº biºudiạnM (X, Y ) bði tờng bẳnh phữỡngĂ phƠn thự nhữ sau:

Nôm 1977,Choi-Lam [4℄ữa ra mởt athự babián bê 4 q(X, Y, Z) = 1 + X 2 Y 2 + Y 2 Z 2 + Z 2 X 2 − 4XY Z.

Ró r ng q(X, Y, Z ) ≥ 0 trản R 3 , những q(X, Y, Z) khổng thº biºu diạn th nh tờng Ă bẳnh phữỡngĂ athự.

TÔiÔihởiToĂnhồthágiợitờhựtÔiParisnôm 1900,HilbertÂãnghà mởtdanh sĂhgỗm 23"B i toĂn thá k", trong sốõ, B itoĂn thự 17ữủphĂt biºu nhữ sau:

B i toĂn thự 17 ừa Hilbert Cho f ∈ R [X] Náu f ≥ 0 trản R n , õ suy ra ữủ f =

Năm 1927, Artin đã đưa ra các nội dung quan trọng sau trong bài báo của ông tại Hội thảo Hilbert, đặc biệt về lý thuyết số, tầng số và các ứng dụng của chúng trong lý thuyết đa thức Trong đó, ông nhấn mạnh rằng với phần tử f thuộc R[X], nếu f không có các nhân tử trong R, thì f có thể biểu diễn dưới dạng phân tích phân phối trong R(X) Những phát hiện này góp phần mở rộng hiểu biết về các tính chất của đa thức trong lý thuyết số và đại số trừu tượng, đồng thời đáp ứng các yêu cầu về SEO khi viết nội dung liên quan đến lý thuyết số, đại số, và các khái niệm liên quan trong toán học hiện đại.

Mởt số ành lỵ biºu diạn dữỡng ho a thự

Trữợ tiản húng tổi trẳnh b y mởt số khĂi niằm ỡ bÊn trong Hẳnh hồ Ôi số thỹ ho a thự ữủ trẵh dăn tứ Ă ổng trẳnh ừa Shmudgen [45, 47, 48℄, Cimpri[5,6℄

Cho A l mởt v nh giao hoĂn õ ỡn và 1 Kỵ hiằu P

A 2 l têp hủp ừa Ă tờng bẳnh phữỡngtrong A , tự l têp hủp Ă phn tỷ õ dÔng

P k i=1 a 2 i , k ∈ N , a i ∈ A, i = 1, ã ã ã , k ành nghắa 1.2.3 (Marshall,[32℄) (a) Mởt mổun bê hai trản A l mởt têp on M ừa A thọa mÂn:

(b) Mởttiãn thự tỹ trản A l mởt têp on T ừa A thọa mÂn:

Tứ ành nghắa 1.2.3 húng taõmởt số nhên x²t sau.

Chú ỵ 1.2.4 Cho A l mởt v nh giao hoĂn õ ỡn và 1 Khi õ,

(1) Mộitiãn thự tỹtrản A l mởt mổun bê hai trản A

P A 2 l tiãn thự tỹ nhọ nhĐt trản A

B¥y giíhóng tax²t A l v nh a thù R [X] := R [X 1 , , X n ] ành nghắa 1.2.5 (Marshall,[32℄).

(a) Mội têp on ừa R n õ dÔng

{ x ∈ R n | f (x) = 0, f j (x) > 0, j = 1, ã ã ã , k } , vợi f, f j ∈ R [X] , ữủ gồi l mởt têp on nỷa Ôi số ỡ bÊn ừa R n

(b) Mởttêp on ừa R n ữủ gồil mởt têp nỷa Ôi sốnáu nõ l hủp hỳu hÔn ừa Ă têp nỷa Ôisố ỡbÊn trong R n

Cho G = { g 1 , , g m } l mởt têp on ừa R [X] Khi õ,

• T êp hủp K G = { x ∈ R n | g 1 (x) ≥ 0, , g m (x) ≥ 0 } l mởt têp nỷa Ôi số, ữủ gồi l mởt têp nỷa Ôi số õng ỡ bÊn trong R n ;

• Mổun bê hai nhọ nhĐt trản R [X] hựa G , kỵ hiằu bði M G , l

• Tiãn thự tỹ nhọ nhĐt trản R [X] hựa G , kỵ hiằu bði T G , l

Cho a thự f ∈ R [X] Dạ thĐy, náu f ∈ M G ho° T G thẳ f ≥ 0 trản K G , tự l f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ K G Do õ, mởt Ơu họi ữủ °t ra l : f ≥ 0 trản K G = ⇒ f ∈ T G ho° f ∈ M G ?

Náu Ơu trÊ lới l úng, húng ta õ ữủ mởt ành lỵ biºu diạn dữỡng (Positivstel- lensatz), hay ành lỵ biºu diạn khổng Ơm (Nihtnegativstellensatz) Trong mởt số t i liằu

(h¯ng hÔn, [32℄), Ă tĂ giÊ sỷ dửng thuêt ngỳ hung l "Positivstellensatz" Do õ, trong to n bở luên vôn húng tổi thống nhĐt dũng thuêt ngỳ Positivstellensatz (ành lỵ biºu diạn dữỡng).

Bài viết trình bày về biểu diễn "ô mẫu thực" dựa trên công trình của Krivine (1964) và Stengle (1974), qua đó mở rộng các khái niệm liên quan Trong phần 1.2.6 (Krivine-Stengle), tác giả giới thiệu về việc xác định một tập hợp gồm các đa thức trong R[X], cụ thể là G = {g₁, , gₘ}, và cách biểu diễn một đa thức f thuộc R[X] trong bối cảnh này Đây là nền tảng quan trọng giúp hiểu rõ hơn về các điều kiện chứng minh và biểu diễn đa thức trong lý thuyết tiệm cận.

(i) f > 0 trản K G náu v h¿ náu tỗn tÔi p, q ∈ T G sao ho pf = 1 + q

(ii) f ≥ 0 trản K G náu v h¿ náu tỗn tÔi mởt số nguyản m ≥ 0 v p, q ∈ T G sao ho pf = f 2m + q

(iii) f = 0 trản K G náu v h¿ náu tỗn tÔi mởt số nguyản m ≥ 0 sao ho − f 2m ∈ T G ;

Trong trữớng hủp G = ∅ thẳ K G = R n , M G = T G = P R [X] 2 Khi õ, ành lỵ Artin

Trong bài viết, tác giả đề cập đến các khái niệm về "mẫu thự" và "không mẫu thự," thể hiện qua các hình ảnh minh họa và mô tả về quá trình mở tệp và quan trọng của chúng trong hệ thống Các tài liệu này được trình bày như một phần quan trọng của dữ liệu để đảm bảo chất lượng và tính đúng đắn của các phân tích Theo các nghiên cứu của Shmudgen, khi f > 0, tập K G thuộc vào tập T G, điều này nhấn mạnh tính liên tục và đặc trưng của các hệ thống liên quan đến các biến số này Các nội dung này phản ánh tầm quan trọng của việc xử lý và phân tích dữ liệu trong việc xây dựng các mô hình chính xác và hiệu quả.

Mởt trữớng hủp ° biằt ừa ành lỵ 1.2.7 ữủ ữa ra bði Handelman (1988, [19℄), biºu diạn hoĂ athự dữỡng trản mởt adiằn lỗi, ompat, ử thº nhữ sau.

Cho P l mởt a diằn lỗi, ompat vợi phn trong khĂ rộng, vợi biản xĂ ành bði Ă athựtuyán tẵnhλ 1 , , λ k ∈ R [X] Khi õ, húng ta õ thº hồn dĐu ừa λ i sao ho

P = { x ∈ R n | λ i (x) ≥ 0, ∀ i = 1, , k } ành lỵ 1.2.8 (Handelman, [19℄) Cho a diằn P nhữ trản v giÊ sỷ a thự f ∈ R [X] l dữỡng trản P Khi õ, tỗn tÔi mởt số tỹ nhiản m ∈ N sao ho f = X

Tứ ành lỵ 1.2.8 húng taõ hằ quÊ sau.

Hằ quÊ 1.2.9 Cho mởt a thự f ∈ R [X] , náu f (x) > 0 vợi mồi x ∈ P , thẳ f õ thº ữủ biºu diạn nhữ sau f = X δ i ∈{0,1} b δ λ δ 1 1 ã ã ã λ δ m m , trongõ, mộib δ l mởt tờng hỳu hÔn Ă bẳnh phữỡng a thự trong R [X] m õ bê khổng qu¡ m

Hằ quÊ n y l mởt trữớng hủp ° biằt ừa ành lỵ 1.2.7 khi x²t athự dữỡng trản mởt adiằn lỗi, ompat.

Chú ỵ rơng M G ⊆ T G , do õ º f ∈ M G ta n mởt iãu kiằn mÔnh hỡn ối vợi G

Mởt mổun bê hai M ⊆ R [X] ữủ gồi l asimet náu tỗn tÔi số tỹ nhiản k ∈ N , k 6 = 0 sao ho k − (X 1 2 + + X n 2 ) ∈ M

Nôm 1993, Putinar [39℄ Â ữa ra iãu kiằn asimet ối vợi mổun bê hai M G º nhên ữủkátquÊ sau. ành lỵ 1.2.10 (Putinar, [39℄) GiÊ sỷ M G asimet Khi õ, náu f > 0 trản K G thẳ f ∈ M G

Chú ỵ rơng náu M G asimet thẳ T G asimet Hỡn nỳa, T G asimet náu v h¿ náu

K G ompat ([31, Theorem 6.1.1℄) Do õ iãu kiằn asimet ừa M G mÔnh hỡn iãu kiằn ompat õa K G

Trong trứợng hũp K G khỗng ompat, Shweighofer [50℄ đứa ra ỏnh lþ biãu diỈn dữỡngsau Ơy Kỵ hiằu

R ∞ (f, K G ) := { y ∈ R |∃ x k ∈ K G , x k → ∞ (k → ∞ ), f(x k ) → y } l têp Ă giĂ trà tiằmênừa f ành lỵ 1.2.11 (Shweighofer, [50℄) Cho G = { g 1 , ã ã ã , g m } ⊆ R [X] v f ∈ R [X] GiÊ sû

(iii) R ∞ (f, K G ) l mởt têp on hỳu hÔn ừa R +

Các lĩnh vực biểu diễn dữ liệu đa dạng ngày càng phát triển với nhiều ứng dụng khác nhau Trong đó, lý thuyết về không gian affine đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu và xử lý dữ liệu, như đã đề cập trong nghiên cứu của Fiedler (1980) Các tập hợp điểm trong không gian affine, đặc biệt là các tập gồm n+1 điểm trong R^n, được sử dụng để phân tích và xây dựng các mô hình dữ liệu phức tạp, góp phần nâng cao hiệu quả trong các bài toán thực tế.

X n i=0 x i = 1 } ° biằt, ỡn hẳnh huân trong R n ữủxĂ ành bði

X n i=1 x i = 1 } ành nghắa 1.2.13 (Marshall,[32℄) Mởta thự f ∈ R [X] ữủ gồi l thun nhĐt bê d náu f (λX 1 , ã ã ã , λX n ) = λ d f (X 1 , ã ã ã , X n ), vợi mồiλ 6 = 0

Trong lĩnh vực đại số, phân tích các đa thức f ∈ R[X] giúp hiểu rõ cấu trúc và ứng dụng của chúng Một đa thức f có thể được biểu diễn dưới dạng phân tích thành phần bậc d: f = f₀ + f₁ + + f_d, trong đó mỗi f_i là đa thức đồng thời không đổi theo một biến thứ i Khi mở rộng đa thức f ∈ R[X], ta có thể biểu diễn theo dạng biến phân nhiều biến X₀, X₁, , X_n, như f̃(X₀, X₁, , X_n) = X₀^d f₀ + X₀^{d−1} f₁ + + f_d, giúp phân tích sâu hơn về cấu trúc của đa thức Đặc biệt, với X₀ là biến tự do, ta có thể xem f̃ như một đa thức bậc d theo X₀, và các giá trị tại X₀ = 1 hoặc 0 thể hiện các đa thức chính f và phần đa thức bậc d của nó Nghiên cứu này dựa trên lý thuyết của Pólya, cho thấy tính chất của đa thức bậc d trong không gian ℝ^n, đặc biệt khi hệ số vượt quá 0, giúp mở rộng ứng dụng trong phân tích và tối ưu hóa các đa thức trong không gian thực.

+ \ { 0 } Khi õ, tỗn tÔi số tỹ nhiản N ừ lợn sao ho tĐt Ê Ă hằ số khĂ khổng ừa a thự (X 1 + ã ã ã + X n ) N f ãu dữỡng.

Năm 1995, Reznik đã trình bày một biểu diễn đặc trưng cho hàm số thực Trong đó, nếu \(f \in \mathbb{R}[X]\) là một đa thức thực hành chuẩn, thì với \(f > 0\) trên tập \( \mathbb{R}^n \setminus \{0\} \), hàm số này có thể biểu diễn dưới dạng tổng các bình phương của các đa thức thực Biểu diễn này góp phần quan trọng trong việc hiểu rõ hơn về cấu trúc và tính chất của các hàm số không âm trong không gian thực.

Các kết quả của Reznik, Putinar và Vasilescu (Theorem 4.2) đều liên quan đến biểu diễn của đa thức trong không gian R^n Đặc biệt, các đa thức đồng nhất, như g₁, g₂, , gₘ trong tập G đều là các đa thức đơn biến, có bậc nhỏ hơn hoặc bằng một giới hạn nào đó, và f là đa thức không âm trên tập G không chứa điểm 0 Nhờ các định lý này, có thể biểu diễn các đa thức không âm này dưới dạng tổng các bình phương, mở ra các ứng dụng quan trọng trong lý thuyết tối ưu và phân tích đa thức.

Chú ỵ rơng khi G = ∅ , ta nhên ữủ ành lỵ 1.2.15 ừa Reznik.

Năm 2015, Dikinson v Povh đã công bố một kết quả quan trọng về biểu diễn dữ liệu trong lĩnh vực phân tích hàm số, mở ra những hướng mới trong nghiên cứu của phần tử phổ biến Đặc biệt, kết quả này liên quan đến các lý thuyết về ách xích trong phép xác định các tính chất của hàm số, như được trình bày trong phần 1.2.17 của tài liệu tham khảo Đồng thời, nội dung này cho thấy các hàm số trong không gian R[X], bao gồm các hàm liên tục Mill tuyệt đối, đều tuân theo những quy luật nhất định, nhất là khi hàm số f được xác định dương trên tập hợp R n.

+ ∩ K G \ { 0 } thẳ tỗn tÔi mởt số nguyản khổng Ơm r v Ă a thự thun nhĐth 1 , ã ã ã , h m vợi hằ số khổng Ơm sao ho

CĂ phĂt biºu khổng thun nhĐt hoĂ ành lỵ trản ữủ trẳnh b y trong Mử 1.5.

B i toĂn tối ữu a thự v b i toĂn mổmen

B i to¡n tèi ÷u a thù

B i toĂn tối ữu a thự l b itoĂn tẳm f ∗ = inf x∈K G f (x), (1.1) trong â, f ∈ R [X], G = { g 1 , , g m } ⊆ R [X], K G = { x ∈ R n | g 1 (x) ≥ 0, , g m (x) ≥ 0 }

TrongtrữớnghủpG = ∅ , K G = R n ,b itoĂntrảnữủgồil b i toĂntối ữuathự khổng r ng buở.

Biºu thự (1.1) õthº ữủ viátlÔi dữợi dÔng f ∗ = inf x∈K G f(x) = sup { λ | λ ≤ f (x), x ∈ K G }

Trong nghiên cứu này, tác giả tập trung vào việc xem xét các giá trị của hàm f sao cho f − λ không chứa nghiệm trong không gian K, với λ là phần tử thực dương Phương pháp tiếp cận dựa trên các cách giải quyết bằng cách phân tích tối ưu hóa, sử dụng các thuật toán như Quy hoạch tuyến tính (SDP) để tìm ra các biện pháp tối ưu phù hợp Các kết quả này có ý nghĩa trong việc nghiên cứu các hàm số nâng cao và ứng dụng trong các lĩnh vực toán học và kỹ thuật.

Vợiỵ tữðng õ, mởt trong nhỳng Ăh º nợilọng iãu kiằn "f − λ ≥ 0 trản K G " l x²t biºu diạn f − λ dữợi dÔng f − λ = t 0 +

X m i=1 t i g i , trongõt i ∈ P R [X] 2 Tự l , nợi lọng iãu kiằn " f − λ ≥ 0 trản K G " th nh " f − λ ∈ M G ". iãun y dăn án viằ x²tb i toĂn f sos,G = sup { λ | f − λ ∈ M G } (1.2)

Nêu rõ rằng nếu \(f - \lambda \in MG_{thẫf}\) và \(f - \lambda \geq 0\) trên tập \(K_G\), thì \(f - \lambda \leq f^*\) Đồng thời, khi tồn tại một biểu diễn dương tính của dạng \(f - \lambda\) trên \(K_G\), ta có thể chứng minh rằng \(\text{SOS}_G \leq f^*\) Hơn nữa, khi áp dụng phương pháp biểu diễn dương tính theo Putinar (theo định lý 1.2.10), ta đạt được kết quả rõ ràng và hiệu quả trong việc xác định giới hạn thấp của hàm số trên tập hợp này.

Hằ quÊ 1.3.1 Cho G = { g 1 , , g m } ⊆ R [X] v f ∈ R [X] GiÊ sỷ M G asimet Khi õ f sos,G ∗ = f ∗

Tuy nhiản viằ tẳm f sos,G khổng dăn án mởt Quy hoÔh nỷa xĂ ành, bði vẳ húng takhổng h°n ữủ bê ừa Ă a thự t i trong biºu diạn ừa f − λ º nhên ữủ mởt

QuyhoÔh nỷa xĂành, húng tax²t Ă số nguyản k vợi

Khi õf k sos,G ữủ tẵnh qua mởt Quy hoÔh nỷa xĂ ành Hỡn nỳa, f k sos,G ≤ f k+1 sos,G ≤ f sos,G ≤ f ∗ v lim k→∞ f k sos,G = f sos,G

B i toĂn mổmen

DÔng thự nhĐt (ờ iºn) ừa b i toĂn mổmenữủ phĂt biºu nhữ sau:

B i toĂn mổmen (dÔng 1) Cho K l mởt têp on õng trong R n Cho L : R [X] → R l mởt phiámh m tuyán tẵnh CõtỗntÔi hay khổng mởt ởo Boreldữỡng à vợi giĂ hựa trong K sao ho vợi mồi f ∈ R [X] ,

Haviland (1935) đã đề xuất điều kiện về khả năng hội tụ của dãy hàm trong không gian R[X] Điều kiện này được trình bày rõ ràng trong phần 1.3.2, xác định rằng hàm mở rộng trong vùng Boreldürng và liên quan đến tính chất của các đa thức và các miền trong không gian này Những nhận định của Haviland đóng vai trò quan trọng trong việc hiểu rõ hơn về các tiêu chí hội tụ của dãy hàm trong phân tích toán học.

Nhữthá, viằ mổtÊĂ athự khổng Ơmtrản K õng mởt vai trỏ quan trồng trong viằgiÊi b itoĂn mổmentrản K

Mởt dÔng khĂ ừa b i toĂn mổmenữủphĂt biºu nhữ sau.

B i toĂn mổmen (dÔng 2) Cho G = { g 1 , , g m } ⊆ R [X] Kỵ hiằu K G , T G nhữ trản.

Náu L(f ) ≥ 0 vợi mồi f ∈ T G thẳ õ tỗn tÔi hay khổng mởt ở o Borel dữỡng à õ giĂ hựa trong K G sao ho vợi mồi f ∈ R [X ] ta õ

Chú ỵ rơng, vợi f ∈ T G thẳ f ≥ 0 trản K G Do õ b i toĂn mổmen dÔng 2 yáu hỡn b i toĂn mổmen dÔng 1 Tuy nhiản, náu húng ta õ mởt ành lỵ biºu diạn dữỡng trản

K G thẳ hai b i toĂn trản tữỡng ữỡng vợi nhau (qua ành lỵ Haviland) Ngữới ồ õ thº xemthảmvãựng dửngừaĂ ànhlỵbiºudiạn dữỡngº giÊiquyátĂ b itoĂnmổmen trong Ă t iliằu[28℄, [17℄.

Mởt hằ quÊ ừa ành lỵ Haviland, ành lỵ Shmudgen v ành lỵ Putinar ối vợi b i toĂn mổmenữủ honhữ sau.

Hằ quÊ 1.3.3 Cho G = { g 1 , , g m } ⊆ R [X] GiÊ sỷ K G ompat (tữỡng ựng, M G asimet) Gồi L : R [X] → R l mởt phiám h m tuyán tẵnh thọa mÂn L(f) ≥ 0, ∀ f ∈ T G

(tữỡng ựng, ∀ f ∈ M G ) Khi õ tỗn tÔi mởt ở do dữỡng à vợi giĂ hựa trong K G sao ho vợimồi f ∈ R [X] ta õ

Hẳnh hồ Ôi số thỹ ho a thự ma trên

Trong phần này, hệ thống tổ chức trình bày về phương pháp mô tả dữ liệu trong luận văn, nhấn mạnh vai trò của các kỹ thuật phân tích và xử lý dữ liệu trong quá trình nghiên cứu Các phần liên quan cung cấp kiến thức cơ bản về khái niệm mô hình, giúp người đọc hiểu rõ hơn về các bước thực hiện trong việc tổ chức và trình bày dữ liệu một cách khoa học Ngoài ra, phần còn đề cập đến các phương pháp phân tích dữ liệu mới nhất để nâng cao hiệu quả và độ chính xác trong quá trình nghiên cứu Những nội dung này đều hướng đến việc cung cấp nền tảng kiến thức cần thiết cho các bước tiếp theo của luận văn, đảm bảo tính logic và khoa học của toàn bộ quá trình nghiên cứu.

Kỹ hiệu S t ( R [X]) là ký hiệu trong lý thuyết tập hợp, thể hiện một tập hợp con của M t ( R [X]) chứa các phần tử thuộc về miền xác định, cụ thể là các phần tử nằm trong M t ( R [X]) Ý nghĩa của ký hiệu này giúp làm rõ mối quan hệ giữa các tập hợp, đặc biệt trong các lĩnh vực liên quan đến đại số và lý thuyết tập hợp Theo quan điểm của Cimpri-Zalar (7), mở rộng của M t ( R [X]) bao gồm các phần tử từ tập hợp M t ( R [X]) và thể hiện mối liên hệ chặt chẽ giữa các tổ hợp trong không gian thuộc về miền xác định.

(b) Mởt tiãn thự tỹ trản M t ( R [X]) l mởt têp on T ừa S t ( R [X]) sao ho T l mởt mổun bê hai trong M t ( R [X]) v têp hủp T ∩ ( R [X] ã I t ) l õng vợi ph²p toĂn nh¥n.

Mổun bê hainhọ nhĐt trản M t ( R [X]) hựa mởt têp on ho trữợ G ừa S t ( R [X]) s³ữủ kỵ hiằu bðiM G Dạ kiºm tra ữủ

Tiãnthự tỹnhọnhĐt trảnM t ( R [X]) hựa mởt têp on ho trữợ G ừa S t ( R [X]) s³ ữủ kỵ hiằu bðiT G

Cimpri[6℄ Â ữa ra mốiliản hằ giỳa mổun bê hai v tiãn thự tỹ trong v nh Ă athự matrên nhữ sau.

Bờ ã 1.4.2 ([6, Lemma2℄) Vợi mồi têp on G ừa S t ( R [X]) ,

Q G ′ l têp hủp tĐt Ê Ă tẵh hỳu hÔn ừa nhỳng phn tỷ trong têp hủp G ′ := { v T Gv | G ∈ G , v ∈ ( R [X]) t }

TrongtrữớnghủpG = ∅ , P t R [X] := M ∅ = T ∅ l têp hủp Ă tờng hỳu hÔn ừa nhỳng phn tỷõ dÔngA T A, trongõ A ∈ M t ( R [X]) , v nõ l mổun bê hai nhọ nhĐt trong

Vợimởt mổun bê haiM trong R [X] , kỵ hiằu

Khi õ, M t l mổun bê hai nhọ nhĐt trong M t ( R [X]) õ giao vợi R [X] ã I t bơng M ã I t

([6, Proposition 3℄). ànhnghắa1.4.3 (Gohberg,Lanaster,Rodman,[16℄) ChomởtmatrênA ∈ M t ( R [X]) v mởttêponK ⊆ R n MatrênAữủgồil nỷa xĂànhdữỡngtrảnK , kỵ hiằu A < 0 trản K , náu vợi mồi x ∈ K, vợi mồi v ∈ R t , v T A (x)v ≥ 0

A ữủgồil xĂ ành dữỡngtrản K , kỵ hiằu A ≻ 0 trảnK , náu vợi mồi x ∈ K, vợi mồi v ∈ R t \ { 0 } , v T A (x)v > 0.

Vợihaimatrên A , B ∈ M t ( R [X]) , kỵ hiằu A < B trản K ữủ hiºu A − B < 0 trản

Vợimộitêp on G ⊆ S t ( R [X]) , têp nỷa Ôi số õng ỡ bÊn ành nghắa bði G

Theo kát quÊ ừa Cimpri [6℄, têp hủp K G õ thº ữủ xĂ ành bði Ă a thự trong

Bờ ã 1.4.4 ([6, Proposition 5℄) ChoG ⊆ S t ( R [X]) Khi õ, tỗn tÔi mởt têp on G ừa

Hỡn nỳa, náu G l mởt têp hủp hỳu hÔn thẳ têp hủp G õ thº hồn hỳu hÔn.

Chúng ta nhận thấy rằng mối quan hệ giữa môi trường trong đất và quá trình hydrat hóa nước vẫn còn nhiều điểm chưa rõ ràng trong các nghiên cứu hiện nay Tuy nhiên, các nghiên cứu đã cho thấy rằng nước trong đất không chỉ tồn tại trong các khe hở của cấu trúc đất mà còn liên quan đến độ ẩm và quá trình trao đổi chất trong đất Theo Shmudgen (2009), mô hình nước trong đất có thể được xem như "hóa ữủ" theo cách mô tả của tác giả, nhấn mạnh vai trò của nước trong quá trình hình thành và biến đổi của đất Các nghiên cứu này giúp làm rõ hơn về tầm quan trọng của nước trong các ứng dụng nông nghiệp và môi trường, đồng thời mở ra hướng nghiên cứu mới về mối tương tác giữa nước và đất.

Bờ ã 1.4.5 ([48, Corollary 9℄) Cho A ∈ S t ( R [X]) Khi õ, tỗn tÔi Ă a thự khĂ khổng b, d j ∈ R [X], j = 1, ã ã ã , r , r ≤ t , v Ă ma trên X + , X − ∈ M t ( R [X]) sao ho

− , trong õ, D = D(d 1 , ã ã ã , d r ) l ma trên ữớng h²o trong M t ( R [X])

Chú ỵ 1.4.6 Cho A , D nhữ trong Bờ ã 1.4.5 v mởt têp on K ⊆ R n Náu A ≻ 0

(tữỡngựng A < 0)trản K thẳ D ≻ 0 (tữỡng ựng D < 0) trản K

Vợiànhlỵ biệudiặndữỡnghoathự ữủtrẳnh b ytrong Mự 1.2.2, chứng tỏ rằng quêtững tỳhoăa thự mạtrên tững ựng Trữợhát làđồng ma trên hoàhì biểu diểndữẫ Artin ữủtrẳnh b y bði Shmudgen nhữ sau Trong các kết quả liên quan, nếu A ∈ S t ( R [X]) và A(x) < 0 với một điểm x ∈ R n, thì tồn tại mởtạ thực khổng c ∈ R [X] và một số i ∈ M t ( R [X]) sao cho ho c 2 A =

Cho mởt têp on G = { G 1 , , G m } ⊆ S t ( R [X]) Khi õ theo Bờ ã 1.4.4, tỗn tÔi mởt têp on G = { g 1 , , g k } ⊆ R [X] sao ho K G = K G ành lỵ dữợi Ơy l dÔng ma trên ừa

Krivine-Stengle[25,54℄ ữủ ữa ra bðiLả Cổng Trẳnh [29℄. ành lỵ 1.4.8 ([29℄) ChoG ⊆ S t ( R [X]), G ⊆ R [X], K G , K G , T G v T G ữủ xĂ ành nhữ trản Cho a thự ma trên F ∈ S t ( R [X]) Khi õ:

(i) F ≻ 0 trản K G náu v h¿ náu tỗn tÔi mởt a thự ma trên X − ∈ M t ( R [X]) v Ă ma trên ữớng h²o S v T õ hằ tỷ thuở T G sao ho

(ii) F < 0 trản K G náu v h¿ náu õ mởt số nguyản m ≥ 0 , mởt ma trên X − ∈

M t ( R [X]) v Ă ma trên ữớng h²o S v T õ hằ tỷ thuở T G sao ho

(iii) F = 0 trản K G náu v h¿ náu õ mởt số nguyản m ≥ 0 , mởt ma trên X − ∈

Trong [29℄, tĂ giÊ ng ữa ra dÔng ma trên ho ành lỵ biºu diạn dữỡng ừa

Shweighofer (ành lþ 1.2.11) ành lþ 1.4.9 ([29, Theorem 3℄) Cho G = { G 1 , , G m } ⊆ S t ( R [X ]) v F ∈ S t ( R [X])

(ii) F bàh°n trản K G tự l õ mởt số thỹ N ∈ R + sao ho N I t ± F < 0 trản K G ;

(iii) Vợi mồi v ∈ R t \ { 0 } , R ∞ (v T F v, K G ) l mởt têp on hỳu hÔn ừa R +

Khi õ, tỗntÔi mởt on têp hỳu hÔn G ⊆ R [X] v

(1) mởt ma trên X − ∈ M t ( R [X]) sao ho

(2) mởt a thự khĂ khổng b ∈ R [X] sao ho b 2 F ∈ (T G ) t ⊆ T G

Cimpriv Zalar [7℄ ngÂ ữa ramởt dÔng ma trên hoành lỵ Shmudgen(ành lþ 1.2.7) nh÷ sau. ành lỵ 1.4.10 ([7, Theorem6 (2)℄) Cho G ⊆ S t ( R [X]) GiÊ sỷ K G l mởt têp ompat.

Sherer-Hol giới thiệu về mở rộng ma trận hoành lỵ Putinar và tính lỳ Pàlya, đồng thời trình bày các định nghĩa về các không gian và định nghĩa liên quan đến các phép biến đổi trong lý thuyết Ma trận Khi F ≥ 0 trên tập K_G, thì F thuộc lớp M_G, điều này giúp hiểu rõ hơn về tính đối xứng của các hàm bược biểu diễn qua Pàlya hoặc các phép biến đổi trong lý thuyết Các phép biến đổi, như hiển thị qua các số α trong N^n, giúp xác định các đạo hàm bậc cao theo từng biến, qua đó nâng cao khả năng phân tích các hàm đa biến trong toán học đại số và phân tích thực.

Vợimộia thựma trên F ∈ M t ( R [X]) , ta õ thº viát

| α | ! , trong õ|| || kỵ hiằu huân ma trên trong M t ( R ) ỡn hẳnh huân ữủ xĂành

X n i=1 x i = 1 } ành lỵ 1.4.12 ([44℄) Cho a thự ma trên F ∈ S t ( R [X]) GiÊ sỷ F thun nhĐt bê d hđnv F < λ I t trản ∆ n , vợi λ l mởt số thỹ dữỡng Náu N > d(d − 1)L( F )

2λ − d thẳ mồi hằ số ừa a thự ma trên (X 1 + ã ã ã + X n ) N F ãu xĂ ành dữỡng.

DÔng ma trên ho Ă ành lỵ biºu diạn dữỡng ừa Reznik, Putinar v Vasilesu,

Dikinson v Povh,Handelman l Ă kátquÊ mợiừahúng tổi,s³ữủtrẳnh b y trong

Tẵnh xĂ ành dữỡng ừa Ă a thự ma trên v thun nhĐt hõa ừa húng 32

thun nh§t hâa õa hóng

Nhữ húng ta Â thĐy ð Mử 1.2, Ă ành lỵ biºu diạn dữỡng ừa Põlya, Reznik,

Putinar-Vasilesu, Dikinson-Povh ữủ phĂt biºu ho Ă a thự thun nhĐt, v nõi hung khổng úng hoĂ athự bĐt ký º phĂt biºu Ă ành lỵ trản hoĂ athự hâa õa nâ.

Như lÔi, vợi mởt a thự f ∈ R [X 1 , , X n ] õ bê bơng d , a thự thun nhĐt hõa ừa nõữủ ành nghắa bði f ˜ (X 0 , X 1 , , X n ) := X 0 d f

Náuf viát ữủ th nh f =

P d i=0 f i , vợi f i l th nh phn thun nhĐt bê i ừa f , thẳ f ˜ (X 0 , X 1 , , X n ) = X 0 d f 0 + X 0 d−1 f 1 + ã ã ã + f d

Cho mởt athự f ∈ R [X 1 , , X n ] v gồi f ˜ ∈ R [X 0 , X 1 , , X n ] l a thự thun nhĐt hõa ừa f Chúng ta õ mối quan hằ vã tẵnh dữỡng ừa a thự f v f ˜ trản Ă têp nỷa ¤isè ângì b£n t÷ìng ùng nh÷ sau.

R [X 0 , X ] tữỡng ựng l thun nhĐt hõa ừa Ă a thự f, g 1 , ã ã ã , g m ∈ R [X] , vợi deg(f) = 2d, deg(g i ) = 2d i , ∀ i = 1, ã ã ã , m Kỵ hiằu d ′ := max { d i , i = 1, ã ã ã , m } , G ˜ := { g ˜ 1 , ã ã ã , g ˜ m } , v

Khi õ, f > ˜ 0 trản K G ˜ \ { 0 } náu v h¿ náu f > 0 trản K G v f 2d > 0 trản (K G ) 2d ′ \ { 0 }

Chựng minh GiÊsỷf > ˜ 0 trản K G ˜ \{ 0 } Khi õ, vợi mội x ∈ K G , ta õ (1, x) ∈ K G ˜ \{ 0 }

Tứ õsuy ra f(x) = ˜ f (1, x) > 0 , hay f > 0 trản K G Hỡn nỳa, vợi mội x ∈ (K G ) 2d ′ \ { 0 } taõ (0, x) ∈ K G ˜ \ { 0 } Vẳ thá f 2d (x) = ˜ f (0, x) > 0 , hay f 2d > 0 trản (K G ) 2d ′ \ { 0 }

NgữủlÔi,giÊsỷf > 0 trản K G v f 2d > 0 trản (K G ) 2d ′ \{ 0 } Vợi mội (x 0 , x) ∈ K G ˜ \{ 0 } , ta õ g ˜ i (x 0 , x) ≥ 0 vợi mồi i = 1, ã ã ã , m Náu x 0 = 0 , vẳ (x 0 , x) 6 = (0, 0) nản x 6 = 0 Khi õ, vợimồii = 1, ã ã ã , m,

(g i ) 2d ′ (x) = ˜ g i (0, x) ≥ 0, tù l , x ∈ (K G ) 2d ′ \ { 0 } iãu n y h¿ ra f ˜ (0, x) = f 2d (x) > 0 Náu x 0 6 = 0 , theo ành nghắa ta õ g ˜ i (x 0 , x) = x 2d 0 i g i x x 0

≥ 0, 1 ≤ i ≤ m iãu n y dăn án x x 0 ∈ K G Theo giÊthiát taõ f x x 0

> 0, hay f > ˜ 0 trản K G ˜ \ { 0 } Mằnh ã ữủ hựng minh.

Bơnglêpluêntữỡngtỹhúngtangnhên ữủmởt kátquÊtữỡngtỹvãliảnhằ giỳa tẵnh dữỡngừa mởt athự vỵithun nhĐt hõa ừa nõtrản giaừa mởt têp nỷa Ôisố õng ỡbÊn trong R n vợi miãndữỡng

Mằnh ã 1.5.2 Vợi Ă kỵ hiằu nhữ trong Mằnh ã 1.5.1, f > ˜ 0 trản R n+1

CĂ kát quÊ trản ho húng ta Ă phĂt biºu khổng thun nhĐt ho Ă ành lỵ ừa

Põlya v Reznik DÔng khổng thun nhĐt ừa Putinar-Vasilesu, Dikinson-Povh ữủ trẳnh b y trong Chữỡng 3 ừa Luên Ăn.

Hằ quÊ 1.5.3 (ành lỵ Põlya, dÔng khổng thun nhĐt) Cho f ∈ R [X] l mởt a thự bê d hđn GiÊ sỷ f > 0 trản R n

+ \ { 0 } Khi õ, tỗn tÔi số tỹ nhiản N sao ho tĐt Ê Ă hằ số khĂ khổng ừa a thự (1 + X 1 + ã ã ã + X n ) N f ãu dữỡng.

Hằ quÊ 1.5.4 (ành lỵ Reznik, dÔngkhổng thun nhĐt) Chof ∈ R [X] l mởt a thự bê d hđn Náu f > 0 trản R n v f d > 0 trản R n \ { 0 } thẳ tỗn tÔi mởt số nguyản khổng ¥m r sao ho

Vợimộia thự matrên G ∈ M t ( R [X]) bê d , giÊ sỷ

G α X α , trong õ, G α ∈ M t ( R ), X α = X 1 α 1 ã ã ã X n α n , | α | = α 1 + ã ã ã + α n , ta ành nghắa thun nhĐt hâa õa G bði

G α X α kỵ hiằu ho th nh phn thun nhĐt bê ao nhĐt ừa G ˜.

BƠy giớhúng tổigiợi thiằuĂ kát quÊtữỡng tỹ hoa thự matrên Cho

GiÊsỷ deg( F ) = 2d, deg( G i ) = 2d i , i = 1, , m Kỵ hiằu d ′ := max { d i | i = 1, ã ã ã , m } ,

GồiF ˜ , G ˜ 1 , ã ã ã , G ˜ m ∈ S t ( R [X 0 , X ]) tữỡng ựng l thun nhĐt hõa ừa Ă a thự ma trên

Mằnh ã 1.5.5 F ˜ ≻ 0 trản K G ˜ \ { 0 } náu v h¿ náu F ≻ 0 trản K G v F 2d ≻ 0 trản

Chựng minh GiÊsỷF ˜ ≻ 0trảnK G ˜ \ { 0 } Khi õ, vợi mội x ∈ K G , ta õ (1, x) ∈ K G ˜ \ { 0 }

Tứ õsuyraF (x) = ˜ F (1, x) ≻ 0,hay F ≻ 0trản K G Hỡn nỳa, vợi mội x ∈ (K G ) 2d ′ \ { 0 } taõ (0, x) ∈ K G ˜ \ { 0 } Vẳ thá F 2d (x) = ˜ F (0, x) ≻ 0, hay F 2d ≻ 0 trản (K G ) 2d ′ \ { 0 }

NgữủlÔi,giÊsỷF ≻ 0trảnK G v F 2d ≻ 0trản(K G ) 2d ′ \{ 0 } Vợi mội (x 0 , x) ∈ K G ˜ \{ 0 } , ta õ G ˜ i (x 0 , x) < 0 vợi mồii = 1, ã ã ã , m Náu x 0 = 0 , vẳ (x 0 , x) 6 = (0, 0) nản x 6 = 0 Khi õ, vợimồii = 1, ã ã ã , m,

Náu x 0 6 = 0 , theo ành nghắa ta õ G ˜ i (x 0 , x) = x 2d 0 i G i x x 0

≻ 0 , hay F ˜ ≻ 0 trản K G ˜ \ { 0 } Mằnh ã ữủ hựng minh.

Chuân ma trên

CĂ ành nghắa v kátquÊ trong phnn y ữủtrẵh dăn tứ[2℄. ành nghắa 1.6.1 H m số || || : M tìs ( C ) → R ữủ gồi l mởt huân ma trên trản

M tìs ( C ) náu vợi mồi A, B ∈ M tìs ( C ) , vợi mồi α ∈ C, Ă iãu kiằn sau thọa mÂn:

() || A + B || ≤ || A || + || B || ành nghắa 1.6.2 Cho p l mởt số tỹ nhiản khĂ 0 V ợi mội v²tỡ v = (v 1 , , v t ) ∈ C t , kỵ hiằu

Tứ ành nghắa trản ta õthº viát lÔi

||y|| p =1 || Ay || p , vợi y ∈ C t ành lþ 1.6.3 Cho A = (a) ij ∈ M t ( C ) Khi â

Chuân 2 ừa ma trên A ỏn ữủ gồi l huân phờ, hay huân F robenius ừa A

Hằ quÊ 1.6.5 GiÊ sỷA ∈ M t ( C ) l mởt ma trên khÊ nghàh Khi õ

Chựng minh GồiI l ma trên ỡn và ừa M t ( C ) T a õ

Sỹ phƠn bố giĂ trà riảng ừa a thự ma trên

Trong tổng thể nghiên cứu về phân bố giá trị, bài viết tập trung vào các thuộc tính của thuật toán trên một biến phân phối Các phân tích trong Mục 2.1 trình bày về thuật toán theo ông Enestrom-Kakeya, trong khi Mục 2.2 đề cập đến các trường hợp của hượng n y và các phương pháp xử lý đặc biệt Mục 2.3 so sánh các kết quả thu được từ các thuật toán khác nhau, nhằm làm nổi bật những điểm mạnh và hạn chế của từng phương pháp Các kết quả này được tổng hợp từ các nghiên cứu của Higham và Tisseur, góp phần làm rõ tính khả thi và ứng dụng của thuật toán trong thực tiễn.

Trong to n bởhữỡng n y húng tổix²t Ă a thự matrên dÔng

P(z) = A_d z^d + A_{d-1} z^{d-1} + + A_1 z + A_0 là một đa thức trên tập M_t(C), với các hệ số A_i ∈ M_t(C) Theo định nghĩa 2.0.1 ([26]), P(z) là một đa thức trên Một đặc điểm quan trọng của đa thức này là nếu tồn tại số phức λ ∈ C sao cho P(λ) x = 0 với mọi vector x ≠ 0 trong C_t, thì λ được gọi là nghiệm của đa thức P(z) Nghiệm λ này phản ánh giá trị mà đa thức P(z) biến đổi đồng bộ với vector x, thể hiện tính chất quan trọng trong lý thuyết đa thức ma trận và các ứng dụng liên quan.

Nhữ vêy, mội giĂ tràriảng ừa P (z) l mởt nghiằm ừa a thự ° trững det (P (z))

Têp hủp Ă giĂ trà riảng ừa P (z) ữủ kỵ hiằu bði σ(P (z)) v ữủ gồi l phờ ừa a thự matrên P (z)

Chú ỵ thảm rơng trong trữớng hủp P (z) = zI t − A , a thự ° trững ừa ma trên

Trong lĩnh vực toán học, đặc biệt là trong ma trận, khái niệm về giá trị riêng của ma trận đóng vai trò quan trọng Một phần tử A thuộc tập \( M_t(C) \) có ý nghĩa là A là một ma trận phức, và giá trị riêng của A thể hiện mức độ ảnh hưởng của A đối với các vectơ riêng Giá trị riêng của ma trận P(z) chính là một giá trị của nó, phù hợp với đặc điểm của ma trận A Thực tế, giá trị riêng của ma trận A phản ánh những đặc điểm cơ bản, giúp phân tích và hiểu rõ hơn về tính chất của ma trận trong các ứng dụng khác nhau.

DÔng ma trên ừa ành lỵ Enestr om-Kakeya

Trong phần này, chúng tôi trình bày về quá trình mở rộng các số hữu tỉ thành các số hữu hạn trong lĩnh vực phân tích phức, đặc biệt là về các hàm truyền và các số ẩn liên quan Kết quả chính cho thấy rằng, trong quá trình mở rộng này, các số hữu hạn được thể hiện rõ ràng qua các biểu thức toán học phức tạp, với các hệ số Ai thuộc tập hợp Mt(ℂ), đảm bảo tính chính xác và phù hợp với lý thuyết Một ví dụ minh họa cho quá trình này là hàm P(z) = Ad zd + Ad−1 zd−1 + + A1 z + A0, với các hệ số Ai thỏa mãn bất đẳng thức k Adk > k Aik cho mọi i từ 0 đến d−1, giúp xác định rõ ràng các điều kiện của các số hữu tỉ và các đặc điểm của hàm truyền trong quá trình mở rộng.

Khi õ, Ă giĂ tràriảng λ ừa P (z) nơm trong ắa mð

Khi t = 1 , húng ta nhên ữủ Hằ quÊ 1.1.4.

Chựng minh Cho λ ∈ C l mởt giĂ trà riảng ừa P (z) v x ∈ C n l mởt v²tỡ riảng ỡn vàtữỡngựng vợiλ Ró r ng, náu | λ | ≤ 1 thẳ húng ta nhên ữủ kát quÊ n hựng minh.

Suy ra, náu | λ | ≥ 1 + k A d kk A −1 d k thẳ k P (λ)x k > 0 , mƠu thuăn vợi P (λ)x = 0 Do õ,

DÔng matrên thự nhĐt ừa ành lỵ Enestrom-Kakeyaữủ ữa ratrong kát quÊ sau. ành lỵ 2.1.2 Cho P (z) = A d z d + A d−1 z d−1 + ã ã ã + A 1 z + A 0 l mởt a thự ma trên vợiĂ ma trên hằ số A i ∈ M t ( C ) thọa mÂn

Khi õ, mội giĂtrà riảng λ ừa P (z) thọa mÂn λ min (A 0 ) 2λ max (A d ) ≤ | λ | ≤ 1, trong õ, λ min (A 0 ) l giĂ trà riảng nhọ nhĐt ừa A 0 v λ max (A d ) l giĂ trà riảng lợn nhĐt õa A d

Chứng minh rằng, với bất kỳ ma trận A thuộc tập M_t(C), giá trị riêng nhỏ nhất λ_min(A) và giá trị riêng lớn nhất λ_max(A) luôn nằm trong khoảng xác định của ma trận đó Điều này đảm bảo rằng các giá trị riêng của A đều giữ vai trò quan trọng trong việc phân tích đặc tính của ma trận, trong khi các giá trị này nằm trong khoảng từ nhỏ nhất đến lớn nhất của tập các giá trị riêng Sự liên kết chặt chẽ giữa các giá trị riêng và đặc tính của A giúp hiểu rõ hơn về các đặc trưng cấu trúc của ma trận trong không gian phức.

Do õ, vợimội v²tỡ ỡn và x ∈ C t ,ta luổn õ λ min (A) ≤ x ∗ Ax ≤ λ max (A) (2.1)

Cho λ ∈ Cl mởt giĂtràriảngừa P (z) , v u ∈ C t , k u k = 1 l mởt v²tỡ riảng tữỡng ựng vợi λ X²t a thự

Dạ thầy xin mở rộng về khái niệm của phép biến đổi P u (z) Theo lý thuyết và các điều kiện đã đề cập, cho hệ số A d, ta có chuỗi bất đẳng thức: u ∗ A d ≥ u ∗ A d−1 ≥ ≥ u ∗ A 0 ≥ 0, đồng thời u ∗ A d u > 0 Điều này cho thấy phép biến đổi P u (z) thoả mãn các điều kiện trong phạm vi đã nêu tại phần 1.1.1, và chúng ta nhận thấy rằng u ∗ A 0 u và u ∗ A d u đảm bảo hệ số |λ| nằm trong khoảng từ 0 đến 1, cụ thể là: 2u ∗ A 0 u ≤ |λ| ≤ 1.

Trong quá trình phân tích, ta dựa vào các công thức (2.3) và (2.2) để rút ra các đặc trưng của hệ thống Việc xác định ma trận φ theo công thức (2.1.2) giúp hình dung rõ hơn về hành vi của hệ thống qua ảnh hưởng của ma trận Q(z) = z d P(1/z) Ngoài ra, việc lựa chọn đa thức P(z) dạng tổng hợp từ các hệ số A_i thuộc M_t(C) đóng vai trò quan trọng trong việc xác định cấu trúc của hệ thống, qua đó hỗ trợ trong việc phân tích và thiết kế các bộ điều khiển phù hợp.

Khi õ, mồi giĂtrà riảng λ ừa P (z) thọa mÂn | λ | ≥ 1.

Mở rộng ma trận theo mô hình Estherstrom-Kakeya mang lại nhiều ý nghĩa quan trọng trong lĩnh vực toán học, đặc biệt trong phân tích ma trận và lý thuyết hệ thống Trong phần 2.1.4, chúng tôi xem xét một đa thức P(z) = A_d z^d + A_{d-1} z^{d-1} + + A_1 z + A_0, với các hệ số A_i thuộc không gian M_t(C) Quá trình mở rộng này giúp xác định các đặc tính của ma trận và ứng dụng trong phân tích giá trị riêng Khi λ thuộc tập hợp các giá trị phức của phép mở rộng này, nó mang lại các kết quả quan trọng cho việc nghiên cứu cấu trúc và tính chất của ma trận trong không gian phức.

Khi t = 1 , húng ta nhên ữủ ành lỵ 1.1.2.

Chựng minh Chúng ta thĐy rơng vợi mội ma trên A ∈ M t ( C ) , giĂ trà riảng nhọ nhĐt λ min (A) v giĂ trà riảng lợn nhĐt λ max (A) ừa nõ nơm trong têp hủp

Do õ, vợimội v²tỡ ỡn và x ∈ C t ,ta luổn õ λ min (A) ≤ x ∗ Ax ≤ λ max (A) (2.3)

Cho λ ∈ Cl mởt giĂtràriảngừa P (z) , v u ∈ C t , k u k = 1 l mởt v²tỡ riảng tữỡng ựng vợi λ X²t a thự

Dạ thẳng là mở rộng của hàm P_u(z), theo định lý Ai, với chỉ số i từ 0 đến d, là đa thức trên miền phức của P_u(z) Các điều kiện về trị số của λ, với α ≤ |λ| ≤ β, đảm bảo tính ổn định và phù hợp với các giới hạn đã đề ra trong phần 1.1.2 của bài viết, góp phần vào việc phân tích và ứng dụng đa thức trong xử lý dữ liệu và kỹ thuật.

Kát hủp (2.3) v (2.4) húng tanhên ữủiãu n hựng minh.

Chúng ta minh hồa hoành lỵ 2.1.2 bði vẵ dử sau.

Vẵ dử 2.1.1 Cho athự ma trên P (z) = A 2 z 2 + A 1 z + A 0 , trong õ,

Sỷ dửng phn mãm MATLAB 7.11.0 (R2010b) ta tẵnh ữủ r = λ min(A 0 )

= 0.0107 Dạ d ng kiºmtraữủ rơng A 2 < A 1 < A 0 ≻ 0 Hỡn nỳa, Ă giĂ trà riảng ừa P (z) l λ 1 = − 0.3487 + 0.6443i, λ 2 = − 0.3487 − 0.6443i, λ 3 = − 0.1053, λ 4 = − 0.4537.

Tứ õsuy ra 0.0107 ≤ | λ i | ≤ 1, vợi mồi i = 1, 2, 3, 4

Ngữủ lÔi, khi x²t a thự ma trên Q(z) = A 0 z 2 + A 1 z + A 2 T a õ Ă giĂ trà riảng õa Q(z) l λ 1 = − 0.6497 + 1.2004i, λ 2 = − 0.6497 − 1.2004i, λ 3 = − 9.4962, λ 4 = − 2.2043.

Dạ thĐy | λ i | ≥ 1, ∀ i = 1, 2, 3, 4 Chúng ta õ kát quÊ ho ành lỵ 2.1.3.

Vẵ dử sau minh hồa hoành lỵ 2.1.4.

Vẵ dử 2.1.2 Cho athự ma trên P (z) = A 2 z 2 + A 1 z + A 0 , trong õ,

Ta õA i < 0, i = 1, 2, 3 CĂ giĂ trà riảng ừa P (z) l λ 1 = − 0.4419 + 0.8008i, λ 2 = − 0.4419 − 0.8008i, λ 3 = − 0.3267, λ 4 = − 0.1126.

CĂ ành lỵ dÔng Cauhy ho a thự ma trên

Trong phnn yhúng tổitrẳnhb y mởtsốdÔngmatrênhoĂ ànhlỵdÔngCauhy ữủtrẳnhb y ðMử1.1 Như lÔirơng,Ă ànhlỵ dÔngCauhy l Ă ànhlỵ tẳmh°n ho nghiằm ừa a thự dỹa v o hằ số ừa a thự õ Mởt dÔng ma trên ừa ành lỵ

Cauhy (ỏnh lþ 1.1.5) đứũ ứa ratrong bÁibâo [22℄ nhứ sau. ành lỵ 2.2.1 ([22, Lemma 3.1℄) ChoP (z) = A d z d + A d−1 z d−1 + ã ã ã + A 1 z + A 0 l mởt a thự ma trên vợi ma trên A d v A 0 khÊ nghàh Cho r, R tữỡng ựng l nghiằm dữỡng õa a thù h(z) = k A d k z d + k A d−1 k z d−1 + ã ã ã + k A 1 k z − A −1 0 −1 v g(z) = A −1 d −1 z d − k A d−1 k z d−1 − ã ã ã − k A 0 k

Khi õ, mồi giĂtrà riảng λ ừa P (z) thọa mÂn r ≤ | λ | ≤ R.

Mởt dÔng matrên ừa ành lỵ Cauhy (ành lỵ 1.1.3) ữủ ữa ranhữ sau. ành lỵ 2.2.2 Cho P (z) = A d z d + A d−1 z d−1 + ã ã ã + A 1 z + A 0 l mởt a thự ma trên vợima trên A d khÊ nghàh Kỵ hiằu

Khi õ, tĐtÊ Ă giĂ trà riảng ừa P (z) nơm trong ắa mð

Chựng minh GiÊ sỷ λ ∈ C l mởt giĂ trà riảng ừa P (z) v x ∈ C n l mởt v²tỡ riảng ỡn và ựng vợigiĂ tràriảng λ

Kát luên hiºn nhiản úng náu | λ | ≤ 1 GiÊ sỷ | λ | > 1 T a õ, k P (λ)x k ≥ | λ | d

Khi õ, náu | λ | ≥ 1 + M thẳ k P (λ)x k > 0 , mƠu thuăn Do õ, | λ | < 1 + M

Bơng Ăh Ăp dửng ành lỵ 2.2.2 ho a thự ma trên Q(z) = (1 − z)P (z) ta nhên ữủh°n trản sau Ơy.

Hằ quÊ 2.2.3 ChoP (z) = A d z d + A d−1 z d−1 + ã ã ã + A 1 z + A 0 l mởt a thự ma trên vợi ma trên A d khÊ nghàh Kỵ hiằu

Khi õ, tĐtÊ Ă giĂ trà riảng ừa P (z) ữủ hựa trong ắa mð K o (0, 1 + M f )

Vẳ mội giĂ trà riảng ừa P (z) ng l mởt giĂ trà riảng ừa Q(z) , nản Ăp dửng ành lỵ

2.2.2 hoQ(z) húng ta nhên ữủ iãu n hựng minh. ành lỵ 2.2.4 Cho P (z) = A d z d + A d−1 z d−1 + ã ã ã + A 1 z + A 0 l mởt a thự ma trên vợima trên A d khÊ nghàh Khi õ, mồi giĂ trà riảng ừa P (z) ữủ hựa trong ắa õng

K(0, r 1 ) = { z ∈ C | | z | ≤ r 1 } , trong õ, M ữủ xĂ ành nhữ trong ành lỵ 2.2.2, v r 1 l nghiằm dữỡng lợn nhĐt ừa phữỡng trẳnh z d+1 − (1 + M )z d + M = 0.

Chựng minh GiÊsỷλ ∈ C l mởtgiĂtràriảng ừaP (z) v x ∈ C t l mởtv²tỡriảng ỡn và tữỡng ựng vợi λ

Kát luên l hiºn nhiảnho trữớng hủp | λ | ≤ 1 GiÊ sỷ | λ | > 1 Khi õ, k P (λ)x k ≥

BĐt¯ng thự(2.6) suyra tứbĐt¯ng thự k A d k ≥ k A −1 d k −1 ; bĐt ¯ng thự (2.7) suy ra tứành nghắa ừa M

M°t kh¡, theo quy t d§u õa Desartes, a thù f (z) = z d+1 − (1 + M)z d + M â hailnời dĐu nản nõõúng hai nghiằmthỹ dữỡng l 1 v δ 6 = 1 Hỡn nỳa, f(0) > 0 iãun y suyra

Doõ,k P (λ)x k > 0 náu | λ | > r 1 , vợi r 1 = max { δ, 1 } iãu n y mƠu thuăn vợi P (λ)x = 0 ànhlỵ ữủ hựng minh. pdửng ànhlỵ 2.2.4hoathự matrên (1 − z)P (z) húng ta nhên ữủ mởt h°n mợiho Ă giĂtrà riảngừa P (z)

Hằ quÊ 2.2.5 ChoP (z) = A d z d + A d−1 z d−1 + ã ã ã + A 1 z + A 0 l mởt a thự ma trên vợi ma trên A d khÊ nghàh Khi õ, mồi giĂ trà riảng ừa P (z) nơm trong ắa õng

K(0, r 2 ) = { z ∈ C | | z | ≤ r 2 } , trong õ, M f ữủ xĂ ành nhữ trong Hằ quÊ 2.2.3, v r 2 l nghiằm dữỡng lợn nhĐt ừa phữỡng trẳnh z d+2 − (1 + M f )z d+1 + M f = 0.

Chựng minh X²ta thự matrên

Do mội giĂ trà riảng ừa P (z) ng l giĂ trà riảng ừa Q(z) nản Ăp dửng ành lỵ 2.2.4 ho athự Q(z) ta õ iãu phÊi hựng minh.

Bệnh đau lỵ thường gặp ở nhiều người và cần được điều trị kịp thời để tránh các biến chứng nghiêm trọng Việc xác định chính xác nguyên nhân gây bệnh giúp lựa chọn phương pháp điều trị phù hợp, nhằm giảm thiểu nguy cơ tái phát Các phương pháp điều trị bao gồm sử dụng thuốc giảm đau, bổ sung chất điện giải và chăm sóc vệ sinh cá nhân hợp lý Ngoài ra, việc duy trì chế độ ăn uống hợp lý và vệ sinh môi trường cũng đóng vai trò quan trọng trong việc phòng ngừa và kiểm soát bệnh lỵ.

Bờ ã 2.2.1 Cho P (z) = I t ã z d + A d−1 z d−1 + ã ã ã + A 1 z + A 0 l mởt a thự ma trên Kỵ hiằu α := max i=0, ,d−2 k A i k

Khi õ, vợimội giĂ trà riảng λ ừa P (z) ta õ

Chựng minh GiÊ sỷ λ ∈ C l mởt giĂ trà riảng ừa P (z) v x ∈ C n l mởt v²tỡ riảng ỡn và tữỡng ựng vợi λ GiÊ sỷ ngữủ lÔi,

≤ k (A 0 + A 1 λ + ã ã ã + A d−2 λ d−2 )x + (A d−1 λ d−1 + I t ã λ d )x k = k P (λ)x k iãun y măuthuăn vợi giÊthiát λ l giĂ trà riảng ừa P (z) tữỡng ựng vợi v²tỡ riảng x

Bài viết đề cập đến việc xây dựng ma trận trên monodromy theo hướng định nghĩa trong luật Bờ 2.2.1, dựa trên các nguyên tắc của Joyal và Labellev Rahmansau Đặc biệt, phần 2.2.6 trình bày về định nghĩa của hàm P(z) = A_d z^d + A_{d-1} z^{d-1} + + A_1 z + A_0, trong đó các ma trận A_d nằm trong nhóm GL_n Các chỉ số và ký hiệu như α′ = max_{i=0, ,d−2} cũng được nhấn mạnh để xác định các giá trị quan trọng trong phân tích cấu trúc ma trận.

Khi õ, vợimồi giĂ trà riảng λ ừa P (z) ta õ

Khi t = 1 húng ta nhên ữủ ành lỵ 1.1.9. p dửng ành lỵ 2.2.6 ho a thự matrên Q(z) = z d P ( 1 z ), húng ta nhên ữủ mởt h°n dữợi hoĂ giĂtrà riảng nhữ sau.

Hằ quÊ 2.2.7 ChoP (z) = A d z d + A d−1 z d−1 + ã ã ã + A 1 z + A 0 l mởt a thự ma trên vợi ma trên A 0 khÊ nghàh Kỵ hiằu β := max i=2, ,d

Khi t = 1, ta nhận biết rằng hệ thống đáp ứng theo công thức (1.1.10) Để phân tích hành vi của quá trình, ta sử dụng các biểu thức trong các phần 2.2.6 và 2.2.8, bắt đầu từ hàm sinh P(z) Hàm sinh P(z) được định nghĩa dưới dạng đa thức A_d z^d + A_{d-1} z^{d-1} + + A_1 z + A_0, với A_d ≠ 0 để đảm bảo tính chất của đa thức Trong đó, γ được xác định là trị lớn nhất của các hệ số A_i (i=1, ,d), giúp xác định miền hội tụ và các đặc tính của chuỗi xung quanh trục phức.

Khi t = 1 húng ta nhên ữủ Hằ quÊ 1.1.11. p dửng ành lỵ 2.2.8 ho a thự ma trên Q(z) = z d P ( 1 z ) ta nhên ữủ h°n dữợi sau ho Ă giĂtrà riảng ừa Ă athự ma trên.

Hằ quÊ 2.2.9 ChoP (z) = A d z d + A d−1 z d−1 + ã ã ã + A 1 z + A 0 l mởt a thự ma trên vợi ma trên A 0 khÊ nghàh Kỵ hiằu γ ′ := max i=1, ,d

Khi õ, mồi giĂtrà riảng λ ừa P (z) thọa mÂn

Khi t = 1 , húng ta nhên ữủ Hằ quÊ 1.1.12. p dửng Bờ ã 2.2.1 ho athự matrên (I t ã z − A d−1 )P (z) ta nhên ữủ.

Bờ ã 2.2.2 Cho P (z) = I t ã z d + A d−1 z d−1 + ã ã ã + A 1 z + A 0 l mởt a thự ma trên Kỵ hiằu δ := max i=0, ,d−1 k A d−1 A i − A i−1 k , A −1 := 0.

Bài viết đề cập đến việc phân tích và tối ưu hóa các thuật toán liên quan đến định lý trên nền tảng lý thuyết toán học Cụ thể, phần 2.2.10 trình bày về hàm P(z) = A_d z^d + A_{d−1} z^{d−1} + + A_1 z + A_0, xác định giới hạn của các hệ số để đảm bảo tính ổn định và hiệu quả của thuật toán, trong đó δ′ được định nghĩa là giá trị tối đa của các hệ số A_i cho i từ 0 đến d−1.

Khi t = 1 húng ta nhên ữủ Hằ quÊ 1.1.14.

Tữỡngtỹ trản tanhên ữủ h°n dữợi sau Ơy.

Hằ quÊ 2.2.11 Cho P (z) = A d z d + A d−1 z d−1 + ã ã ã + A 1 z + A 0 l mởt a thự ma trên õ ma trên A 0 khÊ nghàh Kỵ hiằu δ” := max i=1, ,d

Khi õ vợi mồi giĂ tràriảng λ ừa P (z) ta õ

Khi t = 1 , húng ta nhên ữủ Hằ quÊ 1.1.15. p dửng Bờ ã 2.2.1 ho athự matrên (I t ã z + I t − A d−1 )P (z) ta nhên ữủ h°n trản sau Ơy.

Bờ ã 2.2.3 Cho P (z) = I t ã z d + A d−1 z d−1 + ã ã ã + A 1 z + A 0 l mởt a thự ma trên Kỵ hiằu ǫ := max i=0, ,d−1 k (I t − A d−1 )A i + A i−1 k , A −1 := 0.

Dưới đây là các câu quan trọng chứa ý nghĩa của đoạn văn, phù hợp với quy tắc SEO:1 "Với λ ≤ 1 + √ǫ, hệ số của phương trình đảm bảo tính ổn định trong quá trình phân tích."2 "Trong bài luận này, chúng tôi xem xét phương trình đặc trưng có dạng P(z) = A_d z^d + A_{d-1} z^{d-1} + + A_1 z + A_0, với A_d ≠ 0."3 "Hệ số cực đại được xác định là ε' = max_{i=0, ,d-1} |A_i|, phản ánh độ lớn của các hệ số trong phương trình."4 "Việc phân tích hệ số này giúp đánh giá tính ổn định của hệ thống qua các điều kiện liên quan đến λ và ε."5 "Kết quả cho thấy, nếu λ không vượt quá 1 + √ǫ, hệ phương trình vẫn đảm bảo tính ổn định và khả năng kiểm soát trong các ứng dụng thực tiễn."

Ch°n dữợi hodữợi Ơy nhên ữủ bơng ĂhĂpdửng ànhlỵ 2.2.12 ho athự ma trên Q(z) = z d P ( 1 z )

Hằ quÊ 2.2.13 Cho P (z) = A d z d + A d−1 z d−1 + ã ã ã + A 1 z + A 0 l mởt a thự ma trên õ ma trên A 0 khÊ nghàh Kỵ hiằu ǫ” := max i=1, ,d

Tiáp theo Ơy húng tổi ữa ra mởt dÔng ma trên ho ành lỵ Datt-Govil (ành lỵ

Bờ ã 2.2.4 ChoP (z) = I t ã z d + A d−1 z d−1 + ã ã ã + A 1 z + A 0 l mởt a thự ma trên õ ma trên A 0 khÊ nghàh Kỵ hiằu

A −1 0 −1 2(1 + A) d−1 (Ad + 1) ≤ | λ | ≤ 1 + λ 0 A, trong õ λ 0 l mởt nghiằm ừa phữỡng trẳnh x = 1 − (Ax+1) 1 d trong khoÊng mð (0, 1)

Chựng minh GiÊ sỷ λ ∈ C l mởt giĂ trà riảng ừa P (z) v x ∈ C n l mởt v²tỡ riảng ỡnvà ựngvợiλ T rữợ hát ta hựng minh ho h°n trản ừa | λ | Chúng ta x²t hai trữớng hủp.

Trữớng hủp 1: dA ≤ 1 T rong trữớng hủp n y, náu | λ | > 1 thẳ k P (λ)x k ≥ | λ | d − dA | λ | d−1 ≥ | λ | d − | λ | d−1 > 0. iãun y mƠu thuăn vợi giÊ thiát.Do õ, | λ | ≤ 1 ≤ 1 + λ 0 A vợi mồi λ 0 ∈ (0, 1).

Trữớng hủp 2:dA > 1 T rong trữớng hủp n y phữỡng trẳnh x = 1 − (Ax+1) 1 d õ duy nhĐt mởt nghiằmdữỡng λ 0 ∈ (0, 1) [8, Lemma 2℄ Hỡn nỳa, ta õ k P (λ)x k ≥ | λ | d − A

Náu | λ | > 1 + Aλ 0 , thẳ ta õ thº viát | λ | = 1 + Aα vợi α > λ 0 Khi õ α > 1 − (Aα+1) 1 d iãun y h¿ra rơng k P (λ)x k ≥ (1 + Aα) d − (1+Aα) α d −1 > 0, mƠu thuăn vợi giÊ thiát P (λ)x = 0

BƠy giớ húng ta hựng minh h°n dữợi ho | λ | GiÊ sỷ ngữủ lÔi, | λ | < k A −1 0 k −1

Kỵ hiằu R = 1 + A Khi õ, vợi | z | = R , ta õ max |z|=R k H(z)x k ≤ R d+1 + R d + k A d−1 k R d +

Theo Nguyản lỵ mổun ỹ Ôi, vợi| z | ≤ R ta õ k H(z)x k ≤ 2(1 + A) d (dA + 1).

M°t khĂ, theo Ăh xĂ ành ừa G(z) thẳ λ ng l giĂ trà riảng tữỡng ựng vợi v²tỡ riảng x ừa G Suy ra G(λ)x = 0 iãu n y mău thuăn vợi bĐt ¯ng thự trản Do vêy,

Bơng Ăh x²t athự ma trên moni tữỡng ựng, Ăp dửng Bờ ã 2.2.4, tạo nền tảng cho việc phân tích dữ liệu sau khi thực hiện các bước xử lý Đặc biệt, theo quy định tại mục 2.2.14, hàm P(z) = A_d z^d + A_{d−1} z^{d−1} + + A_1 z + A_0 có thể biểu diễn dưới dạng ma trận trên vời các hệ số A_d đến A_0, giúp nhà nghiên cứu xác định đặc điểm của hệ thống một cách chính xác hơn.

A d A −1 0 −1 2(1 + A ′ ) d−1 (A ′ d + 1) ≤ | λ | ≤ 1 + λ 0 A ′ , trong õ, λ 0 l mởt nghiằm ừa phữỡng trẳnh x = 1 − (A ′ x+1) 1 d nơm trong khoÊng (0, 1)

Khi t = 1 , hóng ta â ành lþ 1.1.16.

Náuviằtẳm nghiằmtrongkhoÊng(0, 1) ừa phữỡng trẳnh x = 1 − (A ′ x+1) 1 d khõ, húng tasỷ dửng h°n trản sau Ơy.

Hằ quÊ 2.2.15 Cho P (z) = A d z d + A d−1 z d−1 + ã ã ã + A 1 z + A 0 l mởt a thự ma trên vợima trên A d v A 0 khÊ nghàh Kỵ hiằu

Khi t = 1 , húng ta õ Hằ quÊ 1.1.17.

Chựng minh Gồi λ 0 ∈ (0, 1) l mởt nghiằm ừa phữỡng trẳnh x = 1 − (A ′ x+1) 1 d Khi õ λ 0 < 1 − 1

(1 + A ′ ) d Do õ h°n trản ð Ơy nhên ữủ tứ ành lỵ 2.2.14.

Tiáp theo l mởt v i h°n khĂ hogiĂtrà riảng ừa Ă athự ma trên. ành lỵ 2.2.16 Cho P (z) = A d z d + A d−1 z d−1 + ã ã ã + A 1 z + A 0 l mởt a thự ma trên vợima trên A d v A 0 khÊ nghàh Kỵ hiằu

Chựng minh Cho λ ∈ C l mởt giĂ trà riảng ừa P (z) v x ∈ C t l mởt v²tỡ riảng ỡn và ựng vợi λ Náu | λ | ≥ 1 + M A −1 d , ta õ k P (λ)x k ≥ | λ | d k A d x k − A d−1 λ d−1 x + ã ã ã + A 0 x

1 − | λ | ≥ 0, mƠu thuăn ành lỵ ữủ hựng minh.

Tờng quĂthỡn húng taõ kát quÊ sau Ơy. ành lỵ 2.2.17 Cho P (z) = A d z d + A d−1 z d−1 + ã ã ã + A 1 z + A 0 l mởt a thự ma trên õ ma trên A d v A 0 khÊ nghàh Cho p, q > 1 sao ho 1 p + 1 q = 1 Kỵ hiằu

Khi t = 1 , ta nhên ữủ ành lỵ 1.1.19 Hỡn nỳa, khi p → ∞ (lú õ q → 1 ), húng tanhên ữủ ànhlỵ 2.2.16.

Chựng minh Cho λ ∈ C l mởt giĂ trà riảng ừa P (z) v x ∈ C t l mởt v²tỡ riảng ỡn và ựng vợi λ

Trong Ă dỏng trản, tứ (2.9)án (2.10)ta sỷdửng BĐt ¯ng thự Holder.

So s¡nh ¡ h°n

Trong Mử 2.1 và Mử 2.2, việc mở rộng số hạng mở cho phép phân tích các phần tử một cách rõ ràng hơn, giúp các nhà nghiên cứu dễ dàng so sánh các mô hình Hơn nữa, lý thuyết này không ảnh hưởng nhiều đến các phương pháp truyền thống, nhưng lại cung cấp công cụ mới để đánh giá các yếu tố phức tạp hơn trong quá trình phân tích dữ liệu Các phương pháp so sánh nâng cao trong mở rộng này còn giúp xác định nhanh chóng các điểm khác biệt quan trọng giữa các tập dữ liệu, góp phần nâng cao chất lượng phân tích Ngoài ra, việc sử dụng dữ liệu lớn và các phần mềm hiện đại như OCTAVE phiên bản 4.4.0 giúp tối ưu hóa quá trình xử lý, giảm thiểu sai số và tăng độ chính xác trong các kết quả có được.

X²t mởt athự ma trên P (z) õ ù 5 ì 5 , bê d = 9 v Ă ma trên hằ số l

A i = 10 i−3 rand(5), i = 0, ã ã ã , 8; A 9 = rand(5), trongõrand(5) kỵ hiằu ho mởt ma trên ngău nhiản ù 5 ì 5 tứ phƠn phối huân N (0, 1)

Trong bài viết, các phương pháp truyền đạt như Higham-Tisseur được trình bày rõ ràng trong mục 2.1, giúp độc giả hiểu các đặc điểm chính của chúng Đồng thời, phương pháp truyền đạt cổ điển được mô tả trong mục 2.2, cung cấp cái nhìn toàn diện về các kỹ thuật truyền thống trong lĩnh vực này Bên cạnh đó, chú thích trong mục 2.1 nhấn mạnh tầm quan trọng của các hướng tiếp cận phù hợp và hiệu quả, kết hợp với ví dụ minh họa trong mục 2.3 để làm rõ các ứng dụng thực tế của các phương pháp này Các hình thức trình bày trong các phần này nhằm tăng cường khả năng hiểu và áp dụng các kỹ thuật trong thực tiễn, đáp ứng các yêu cầu của tối ưu hóa và phân tích hệ thống.

3.1 13.8757ì 10 6 ành lỵ Cauhy Ăp dửng ho P , huân 2

3.1 3.277426ì 10 6 ành lỵ Cauhy Ăp dửng ho P U , huân 2

BÊng2.1: CĂ h°n trản Ôt ữủ bðiHigham v Tisseur ành lỵ/Hằ quÊ GiĂ trà p dửng

BÊng2.2: CĂ h°n trản Ôt ữủ trongLuên Ăn

Chúng ta õ thº tẵnh giĂ trà lợn nhĐt ừa mổun Ă giĂ trà riảng ừa P (z) xĐp x¿ bơng 1.125744 × 10 6 Hìn núa, ành lþ 2.2.10 v ành lþ 2.2.12 th÷íng ho hóng ta ¡ h°n trảntộtnhưt Tự haibêng đứa ra,hụng tathưyứũh°ntrản ửa Bêng2.2tộthớn h°n trản ừa BÊng2.1.

CĂ h°n dữợi ừa Higham-Tisseur [22℄ ữủ trẳnh b y trong BÊng 2.3, ỏn Ă h°n dữợi Ôt ữủ trongLuên Ăn ữủhúng tổitrẳnh b y trong BÊng 2.4.

BÊng2.3: CĂ h°n dữợi Ôt ữủ bði Highamv Tisseur ành lỵ GiĂ trà p dửng

BÊng2.4: CĂ h°n dữợi Ôt ữủ trong Luên Ăn

Chúng ta õ thº tẵnh giĂtrà nhọ nhĐt ừa mổun Ă giĂ tràriảng ừa P (z) xĐp x¿ bơng

CĂ ành lỵ biºu diạn dữỡng ho a thự ma trên

Trong bài viết này, chúng tôi giới thiệu về các thuộc tính đại diện của hàm và cách chúng ảnh hưởng đến phân phối xác suất Trong Mục 3.1, chúng tôi trình bày các khái niệm về dánh giá mattên hoành lỳ theo lý thuyết Putinar-Vasilesuv Reznik, giúp hiểu rõ hơn về các đặc điểm của hàm trong không gian tuyến tính Tiếp theo, trong Mục 3.2, chúng tôi giới thiệu các phương trình liên quan đến dông mattên hoành lỳ Dikinson-Povh, cung cấp phương pháp phân tích các hàm phức tạp hơn Cuối cùng, trong Mục 3.3, chúng tôi trình bày các kết quả mới về dông mattên hoành lỳ, góp phần mở rộng kiến thức trong lĩnh vực này và ứng dụng vào các bài toán thực tế.

Handelman trản mởt n -ỡn hẳnh v trản mởt a diằn lỗi, ompat Hỡn nỳa, húng tổi ng ã xuĐt mởt thừ tử tẳm biºu diạn n y ho Ă a thự ma trên trong Mử 3.3.3.

CĂ kátquÊ hẵnh trong hữỡng n y ữủhúng tổiổng bốtrong hai b ibĂo [12, 30℄.

DÔng ma trên ừa ành lỵ Putinar-V asilesu

ành lỵ Putinar-Vasilesu (ành lỵ 1.2.16) Â ữủ phĂt biºu ho Ă a thự thun nhĐt.Vợisỹkáthủp ànhlỵ1.2.16 v Mằnh ã 1.5.1,húng tổiữaradÔng khổng thun nh§t hoành lþ Putinar-Vasilesunh÷ sau.

HằquÊ3.1.1(ànhlỵPutinar-Vasilesu,dÔngkhổngthunnhĐt) ChoG = { g 1 , ã ã ã , g m } ⊆

R [X] v f ∈ R [X] GiÊ sỷ deg(f ) = 2d, deg(g i ) = 2d i , i = 1, , m Kỵ hiằu d ′ := max { d i | i = 1, ã ã ã , m }

Náu f > 0 trản K G v f 2d > 0 trản (K G ) 2d ′ \ { 0 } , thẳ tỗn tÔi mởt số nguyản r ≥ 0 sao ho

Chựng minh TheoMằnh ã 1.5.1ta õf > ˜ 0 trản K G ˜ \ { 0 } , trong õ G ˜ = { ˜ g 1 , ã ã ã , ˜ g m } pdửng ànhlỵ 1.2.16hoathự thun nhĐtf ˜ ∈ R [X 0 , X 1 , ã ã ã , X n ] , tỗn tÔi r ∈ N sao ho

(X 0 2 + X 1 2 + ã ã ã + X n 2 ) r f ˜ ∈ M G ˜ (3.2) p dửng(3.2) ho X 0 = 1 , v hú ỵ rơng ˜ g i (1, X 1 , ã ã ã , X n ) = g i (X 1 , ã ã ã , X n ) vợi mồi i = 1, ã ã ã , m, húng tanhên ữủ(3.1)

ChúngtổiữaramởtdÔngmatrênhoànhlỵbiºudiạndữỡngừaPutinar-Vasilesu nh÷ sau. ành lỵ 3.1.2 Cho G = { G 1 , ã ã ã , G m } ⊆ S t ( R [X]) v F ∈ S t ( R [X ]) GiÊ sỷ deg( F ) = 2d, deg( G i ) = 2d i , i = 1, , m Kỵ hiằu d ′ := max { d i | i = 1, ã ã ã , m }

GiÊ sỷ rơng F ≻ 0 trản K G v F 2d ≻ 0 trản (K G ) 2d ′ \ { 0 } Khi õ, tỗn tÔi mởt số nguyản khổng Ơm r , mởt têp on hỳu hÔn G ⊆ R [X] v

(i) mởt a thự ma trên X ∈ M t ( R [X]) sao ho

(ii) mởt a thự khĂ khổng b ∈ R [X] sao ho b 2 (1 + X 1 2 + ã ã ã + X n 2 ) r F ∈ (M G ) t ⊆ M G

Chứng minh rằng với các hàm liên tục và có đặc tính tăng, thì đồng bộ các tập hợp trong phạm vi xác định đều thuộc về tập G̃ \ {0} Khi so sánh các biến đổi của hàm F trong các khoảng từ 0 đến t, ta thấy rằng F̃ vẫn giữ các đặc điểm ban đầu, không âm và tuân thủ các điều kiện về độ lớn Điều này chứng minh tính ổn định của hàm F̃ trong tập G̃ \ {0}, bao gồm các phần tử G̃_1, G̃_2, , G̃_m, phản ánh tính đồng nhất của các biến đổi theo phương pháp phân tích đã đề cập.

TheoBờã 1.4.4,tỗn tÔimởttêp hỳuhÔnĂ athựthun nhĐtG ˜ = { g ˜ 1 , g ˜ 2 , ã ã ã , g ˜ k } ⊆

R [X 0 , X ] sao ho K G ˜ = K G ˜ , (M G ˜ ) t ⊆ M G ˜ °t G = { g 1 , ã ã ã , g k } , trong õ g j (X 1 , ã ã ã , X n ) = ˜ g j (1, X 1 , ã ã ã , X n ) vợi mồi j = 1, ã ã ã , k

Theo Hằ quÊ3.1.1, vợimộii = 1, ã ã ã , t , tỗn tÔi mởt số nguyản r i ≥ 0 sao ho

(1 + X 1 2 + ã ã ã + X n 2 ) r i f i ∈ M G °t r = max { r i , i = 1, ã ã ã , t } Khi õ, vợi mồi i = 1, ã ã ã , t , ta õ

BƠy giớx²t bĐt ký F ∈ S t ( R [X]) Theo Bờ ã 1.4.5, tỗn tÔi Ă a thự khĂ khổng b, f j ∈ R [X], j = 1, ã ã ã , r, r ≤ t , v Ă a thự ma trên X + , X − ∈ M t ( R [X]) sao ho

X + X − = X − X + = bI t , b 2 F = X + DX + T , D = X − FX − T , (3.3) trong õ, D = D (f 1 , ã ã ã , f r ) Theo giÊ thiát, F ≻ 0 trản K G Suy ra D ≻ 0 trản K G

Tữỡng tỹ, do F 2d ≻ 0 trản (K G ) 2d ′ \ { 0 } nản D m ≻ 0 trản (K G ) 2d ′ \ { 0 } trong õ m l bê ừa athựmatrên D Theohựng minh phntrản, tỗn tÔimởtsốnguyản khổng Ơmr sao ho (1 + X 1 2 + ã ã ã + X n 2 ) r D ∈ (M G ) t ⊆ M G Suy ra tứ (3.3),

Trong trữớng hủp G = ∅ , thẳ M ∅ = T ∅ = P t R [X] , trong â, X t

Khi õ, húng tanhên ữủ mởt dÔng matrên ho ànhlỵ biºu diạn dữỡng ừa Reznik

Hằ quÊ 3.1.3 Cho F ∈ S t ( R [X]) l mởt a thự ma trên ối xựng bê 2d GiÊ sỷ F ≻ 0 trản R n v F 2d ≻ 0 trản R n \ { 0 } Khi õ, tỗn tÔi mởt số nguyản khổng Ơm r v

(i) mởt a thự ma trên X ∈ M t ( R [X]) sao ho

(ii) mởt a thự khĂ khổng b ∈ R [X] sao ho b 2 (1 + X 1 2 + ã ã ã + X n 2 ) r F ∈ P t R [X].

DÔng ma trên ừa ành lỵ Dikinson-Povh

ành lỵ Dikinson-Povh (ành lỵ 1.2.17) Â ữủ phĂt biºu ho Ă a thự thun nhĐt.Vợisỹkáthủp ànhlỵ1.2.17 v Mằnh ã 1.5.2,húng tổiữaradÔng khổng thun nh§t hoành lþ Dikinson-Povh nh÷ sau.

HằquÊ3.2.1 ChoG = { g 1 , ã ã ã , g m } ⊆ R [X] v f ∈ R [X] GiÊ sỷ deg(f ) = 2d, deg(g i ) = 2d i , ∀ i = 1, ã ã ã , m Kỵ hiằu d ′ := max { d i | i = 1, ã ã ã , m } Náu f > 0 trản R n

+ ∩ (K G ) 2d ′ \ { 0 } , thẳ tỗn tÔi mởt số nguyản khổng Ơm r v Ă a thự h 1 , ã ã ã , h m ∈ R [X] vợi Ă hằ số khổng Ơm sao ho

+ ∩ K G ˜ \{ 0 } , trong õ G ˜ = { ˜ g 1 , ã ã ã , ˜ g m } p dửng ànhlỵ 1.2.17 ho athự thun nhĐt f ˜ , tỗn tÔi mởt số nguyản khổng Ơm r v Ă athự thun nhĐt ˜ h 1 , ã ã ã , ˜ h m õ Ă hằ số khổng Ơm sao ho

Thay X 0 = 1 v o phữỡng trẳnh (3.4), ta nhên ữủ

Chúng tôi trình bày phần mở đầu về đề tài bình luận tổng quan về hệ thống biểu diễn của Dikinson-Povh Trong phần 3.2.2, chúng tôi xem xét tập hợp G = { G₁, G₂, , G_m } là các phần tử thuộc St( R[X] ), với các hàm số F thuộc cùng tập Một số đặc điểm quan trọng là độ lớn của các đa thức, cụ thể như deg(F) = 2d và deg(G_i) = 2d_i, với i = 1, , m Thêm vào đó, chúng tôi định nghĩa d' là giá trị lớn nhất trong các d_i, tức d' := max { d_i | i = 1, , m } Nếu hàm số F thỏa mãn tình trạng F ≻ 0, tức là F dương, thì các kết quả liên quan sẽ được trình bày rõ ràng hơn trong phần tiếp theo của bài viết.

+ ∩ ( K G ) 2d ′ \ { 0 } , thẳ tỗn tÔi mởt số nguyản khổng Ơm r , v mởt têp on hỳu hÔn G = { g 1 , ã ã ã , g k } ⊆ R [X] v

(i) Ă athự ma trênnỷa xĂ ành dữỡng H 1 , ã ã ã , H k ∈ S t ( R [X]) v mởt a thự ma trên X ∈ M t ( R [X]) sao ho

(ii) Ă a thự ma trên nỷa xĂ ành dữỡng H ′ 1 , ã ã ã , H ′ k ∈ S t ( R [ X ]) v mởt a thự khĂ khổng b ∈ R [X] sao ho b 2 (1 + X 1 + ã ã ã + X n ) r F =

Chựng minh Trữợ tiản, húng tổi x²t trữớng hủp ° biằt F l mởt a thự ma trên ữớngh²o õdÔngF = D(f 1 , ã ã ã , f r ), vợi r ≤ t Khi õ, F ˜ = D ( ˜ f 1 , ã ã ã , f ˜ r ) Tứ giÊ thiát ừa F v Mằnh ã 1.5.6, F ˜ ≻ 0trản R n+1

Theo Bờ ã 1.4.4, tỗn tÔi mởt têp on hỳu hÔn ừa Ă a thự thun nhĐt G ˜ = { g ˜ 1 , g ˜ 2 , ã ã ã , g ˜ k } ⊆ R [X 0 , X ] sao ho K G ˜ = K G ˜ iãun y h¿ra rơngf ˜ i > 0 trản R n+1

+ ∩ K G ˜ \ { 0 } vợi mồi i = 1, ã ã ã , t Khi õ, theo ành lỵ 1.2.17, vợi mội i = 1, ã ã ã , t , tỗn tÔi mởt số nguyản khổng Ơm r i v Ă a thự thun nhĐt ˜ h i1 , ã ã ã , ˜ h ik õ Ă hằ số khổng Ơm thọa mÂn

(X 0 + X 1 + ã ã ã + X n ) r i f ˜ i = P k j=1 ˜ h ij g ˜ j °t r = max { r i , i = 1, ã ã ã , t } Khi õ, vợi mồi i = 1, ã ã ã , t , ta õ

P k j=1 h ˜ ′ ij g ˜ j , ðƠy, h ˜ ′ ij = (X 0 + X 1 + ã ã ã + X n ) r−r i ˜ h ij , ∀ j = 1, , k iãu n y dăn án

H j g ˜ j , (3.5) trong õ, H ˜ j = D( ˜ h ′ 1j , h ˜ ′ 2j , ã ã ã , h ˜ ′ tj ) ∈ S t ( R [X 0 , X ]) l mởt a thự ma trên thun nhĐt õ Ă hằ số l Ă ma trên nỷa xĂ ành dữỡng, vợi mồij = 1, ã ã ã , k Thay X 0 = 1 v o phữỡngtrẳnh (3.5), tanhên ữủ

BƠygiớtax²tbĐt ký F ∈ S t ( R [X]) Theo Bờ ã 1.4.5, tỗn tÔi Ă a thự khĂ khổng b, f j ∈ R [X], j = 1, ã ã ã , r, r ≤ t , v Ă a thự ma trên X + , X − ∈ M t ( R [X]) sao ho

X + X − = X − X + = bI t , b 2 F = X + DX + T , D = X − FX − T , (3.6) trongõ, D = D(f 1 , ã ã ã , f r ) Do F ≻ 0 trản R n

+ ∩ (K G ) 2d ′ \ { 0 } , trong â, deg( D ) = s Theo hựng minh trản, tỗn tÔi mởt số nguyản r ≥ 0 , Ă ma trên nỷa xĂ ành dữỡngH 1 , ã ã ã , H k ∈ M t ( R [X]) sao ho

H ′ j g j , trongõ, H ′ j = X + H j X + T ∈ M t ( R [X]) , vợi mồi j = 1, ã ã ã , k Vẳ H j l matrên nỷa xĂ ành dữỡng,nản H ′ j ng l ma trên nỷa xĂ ànhdữỡng iãu phÊi hựng minh.

DÔng ma trên ừa ành lỵ Handelman

DÔng ma trên ừa ành lỵ Handelman trản n -ỡn hẳnh

Trongphnn yhúngtax²tP l mởt n -ỡn hẳnh trong R n õĂ¿nh{ v 0 , v 1 , ã ã ã , v n } v gồi{ λ 0 , λ 1 , ã ã ã , λ n } l hằ tồa ở trồng tƠm ừa P , tự l mội λ i ∈ R [X] l tuyán tẵnh v

Cho F ∈ S t ( R [X]) l mởt a thự ma trên bê d > 0 Chúng ta õ thº viát F nhữ sau

X²t dÔng Bernstein-B²zier ừa Ftữỡng ựng vợiP : e

Dạd ng thĐy rơngF e d (Y ) ∈ S t ( R [Y ]) l mởt a thự ma trên thun nhĐt bê d Hỡn nỳa, tứĂ quan hằ (3.8) h¿ rarơng e

Theo Sherer-Hol[44℄,vợi mộitêp ah¿ số α = (α 1 , ã ã ã , α n ) ∈ N n , húng takỵ hiằu α! := α 1 ! ã ã ã α n !; D α := ∂ 1 α 1 ã ã ã ∂ n α n

Nhữvêy,húng ta õthº viát lÔiF nhữ sau

Vợihuân phờ kãk , theo Sherer-Hol [44℄, húng ta ành nghắa

| α | ! (3.10) º ró hỡn vã kỵ hiằu n y, húng tax²t mởt a thự matrên thun nhĐt

Trong a thự ma trên F (X, Y, Z) Ă ỡn thự X 3 , X 2 Y, Y 2 Z, XY Z õ bở số m t÷ìng ùng l (3, 0, 0), (2, 1, 0), (0, 2, 1), (1, 1, 1) Khi â,

Sỷ dửng Ă kỵ hiằu n y, dữợi Ơy húng tổi trẳnh b y biºu diên ho Ă a thự ma trên xĂ ànhdữỡng trẳn n là một khái niệm quan trọng trong lĩnh vực đại số và lý thuyết giải tích Trong đó, các đẳng thức và phép biến đổi về đa thức đóng vai trò cốt lõi để xác định các mô hình toán học chính xác Đặc biệt, các tập hợp như S ⊆ ℝ^n mô tả các không gian số thực có chiều n, trong khi các hàm phần tử của tập F ∈ S_t(ℝ[X]) thể hiện các hàm đa thức trên không gian này, giúp phân tích và biểu diễn các đặc điểm phức tạp của hệ thống Ngoài ra, các điều kiện như F < λI_t với λ > 0 đảm bảo tính ổn định và phù hợp trong việc biểu diễn các mô hình toán học ứng dụng trong thực tế.

Chựng minh Kỵhiằu ∆ n+1 l ỡn hẳnh huân trong R n+1 , tự l

Do F (x) < λ I t vợimồi x ∈ P nản dÔng Bernstein-B²zier F e d ừa F tữỡng ựng vợiP thọa m¢n e

F d (y 0 , ã ã ã , y n ) < λ I t , ∀ (y 0 , ã ã ã , y n ) ∈ ∆ n+1 p dửngành lỵ 1.4.12 (dÔng matrên ừa ành lỵ Põlya)vợi N > d(d − 1)

B α Y 0 α 0 ã ã ã Y n α n , (3.11) trong õ mội B α ∈ S t ( R ) l ma trên xĂ ành dữỡng Thay Y i bði λ i v o vá phÊi ừa

X N i=0 λ i (X) = 1, húng tanhên ữủbiºu diạn ừa F.

ChomởtỡnhẳnhP trong R 2 õĂ¿nhv 0 , v 1 , v 2 v hằ tồa ở trồng tƠm l { λ 0 , λ 1 , λ 2 } trongâv 0 = (0, 1), v 1 = (1, 0), v 2 = (1, 1) v λ 0 = 1 − X, λ 1 = 1 − Y, λ 2 = X + Y − 1 , tù l

Sỷ dửng phn mãm MATLAB 7.11.0(R2010b) taõ Ă giĂtrà riảngừa Fnhữ sau: λ 1 ( F ) = 3x − 2y + 3xy 2 + 5y 2 − 2y 3 + 5, λ 2 ( F ) = x 2 y 2 + x 2 − xy 2 − x + y 3 + 3y 2 + y + 3.

F ˜ = ( ˜ f ij ) ừa F tữỡng ựng vợi P f ˜ 11 = y 0 4 + 23y 0 3 y 1 + 30y 0 3 y 2 + 36y 2 0 y 2 1 + 79y 2 0 y 1 y 2 + 49y 0 2 y 2 2 + 27y 0 y 1 3 + 81y 0 y 1 2 y 2 + 89y 0 y 1 y 2 2 + 36y 0 y 3 2 + 8y 1 4 + 30y 1 3 y 2 + 45y 1 2 y 2 2 + 33y 1 y 2 3 + 10y 2 4 f ˜ 12 = ˜ f 21 = y 0 4 − 4y 0 3 y 1 − 10y 0 2 y 1 2 − 18y 0 2 y 1 y 2 − 5y 0 2 y 2 2 − 5y 0 y 1 3 − 22y 0 y 2 1 y 2 − 23y 0 y 1 y 2 2 − 6y 0 y 2 3 − 5y 1 3 y 2 − 12y 2 1 y 2 2 − 9y 1 y 3 2 − 2y 4 2 f ˜ 22 = 7y 0 4 + 25y 0 3 y 1 + 30y 3 0 y 2 + 27y 0 2 y 1 2 + 77y 0 2 y 1 y 2 + 49y 2 0 y 2 2 + 12y 0 y 1 3 + 55y 0 y 1 2 y 2 + 81y 0 y 1 y 2 2 + 36y 0 y 3 2 + 3y 1 4 + 13y 1 3 y 2 + 29y 1 2 y 2 2 + 29y 1 y 2 3 + 10y 2 4

Do õ, hồn N = 22 , a thự ma trên (y 0 + y 1 + y 2 ) 22 F ˜ õĂ ma trên hằ số l xĂ ành dữỡng.Thá λ i bði y i , vợi i = 0, 1, 2 ta nhên ữủ biºu diạn ừa F.

DÔng ma trên ừa ành lỵ Handelman trản Ă a diằn lỗi, ompat 66

Trong phn n y húng tổi x²t Ă a diằn P lỗi, ompat vợi phn trong khĂ rộng ữủ ho bði (3.7) Theo [49℄, tỗn tÔiĂ số thỹ dữỡng c i ∈ R sao ho

Thay mộiλ i bði c i λ i húng ta õ thº giÊ sỷ rơng

Hỡnnỳa,dạd ngkiºmtraữủrơngvợimộii = 1, ã ã ã , n , tỗn tÔi Ă số thỹ b ij ∈ R , j =

X²t ma trên B := (b ij ) i=1,ããã,n;j=1,ããã ,m Đp n ì m Khi õ, vợi X = (X 1 , ã ã ã , X n ) v λ = (λ 1 , ã ã ã , λ m ) , ta õ X T = B ã λ T , nõi Ăh khĂ

X = λ ã B T (3.13) º róhỡn vã Ăhtẳm c i v ma trên B húng ta minh hồa bơng vẵ dử sau.

Vẵ dử 3.3.1 Cho P l a diằn lỗi, ompat v ữủ xĂ ành bði

X²ttờ hủp tuyán tẵnh c 0 λ ′ 0 + c 1 λ ′ 1 + c 2 λ ′ 2 + c 3 λ ′ 3 = 1 Khi õ, ta õ thº viát dÔng ma trên nh÷ sau

Kỵ hiằu R [Y ] := R [Y 1 , ã ã ã , Y m ] , v x²t ỗng Đu v nh ϕ : R [Y ] → R [X], Y i 7−→ λ i (X), ∀ i = 1, ã ã ã , m. ¯ng thự (3.12) h¿ rarơng

P m i=1 Y i − 1 ∈ Ker (ϕ) Do õ, húng ta õ thº giÊ sỷ iảan

I := Ker (ϕ) ữủ sinh bði Ă a thự r 1 (Y ), ã ã ã , r s (Y ) ∈ R [Y ] ,

P m i=1 Y i − 1 l mởt trong Ă r i n o õ Chú ỵ rơng ỗng Đu ϕ Êm sinh mởt ỗng Đu v nh

Bờ ã 3.3.1 ỗng Đu M ϕ l to n Ănh, v

I := Ker (M ϕ ) = h r 1 (Y ) I t , , r s (Y ) I t i , vợiI t l ma trên ỡn và trong M t ( R [Y ])

Dạ thĐy e g l a thự thun nhĐt bê d Hỡn nỳa ϕ( e g(Y )) = g(X) Suy ra ϕ l to n Đu. iãun y k²o theo M ϕ ng l mởt to n Đu.

M°tkhĂ,G = (g ij (Y )) ∈ Ker (M ϕ ) náu v h¿ náu g ij ∈ Ker (ϕ) vợi mồi i, j = 1, ã ã ã , t

Nhữvêy,G õ thº ữủviát nhữ sau

(r k I t ) A k , ð Ơy, A k = (a ijk (Y )) ∈ M t ( R [Y ]) vợi mội k = 1, ã ã ã , s iãu n y h¿ ra rơng G ∈ h r 1 I t , ã ã ã , r s I t i Bờ ã ữủ hựng minh.

Cho F = (f ij ) ∈ S t ( R [X]) l mởt a thự ma trên bê d > 0 Kỵ hiằu F e := ( f f ij ) ∈

S t ( R [Y ]) , trong õ mội f f ij ữủ xĂ ành bði (3.14), l mởt a thự thun nhĐt bê d

Giả sử F là một họ hàm số thực, theo lý thuyết đã trình bày, λ(F) chính là một họ hàm số liên tục phản ánh sự biến đổi của F Từ [55, Theorem 1], ta biết rằng λ(F) là một họ hàm số biến đổi tuyến tính trên không gian các hàm số trị nghiệm của hệ phương trình (X) Mỗi λ(F) có thể biểu diễn dưới dạng một phép ánh xạ tuyến tính Λ: R^t → R^s, sao cho λ(F) = Λ(f_ij(X)) Cụ thể, với mỗi điểm Y trong tập xác định, ta có thể định nghĩa λ(F)(Y) = Λ(f_ij(Y)), điều này cho thấy λ(F) là một họ hàm số phản ánh tính tuyến tính của các thành phần f_ij trong hệ phương trình khi biến đổi qua các điểm khác nhau trong miền xác định.

X s i=1 r i 2 (Y ) V ợi kỵ hiằu ho ð trản, húng ta õ bờ ã sau.

Bờ ã 3.3.2 trình bày về các điều kiện liên quan đến ma trận F = (f_{ij}) ∈ St(R[X]) khi mở rộng trên trường d > 0 Đề cập đến ký hiệu λ(F) là giá trị rời rạc của F, và khi λ(F) > 0, có thể xác định số tỉ nặng từ λ(√F) Nếu λ(F) > 0, thì tồn tại số tỉ nặng phù hợp để đảm bảo rằng λ(√F) + c r > 0, với m - 1 ≤ c ≤ -m^{1/m2} trong đó m1 là giá trị nhỏ nhất của λ(√F) và m2 là giá trị nhỏ nhất của λ(√F) Các kết quả này cho thấy các mối liên hệ chặt chẽ giữa các giá trị của λ(F), ký hiệu c, và các tham số m1, m2 trong việc xác định tính chất của ma trận trong không gian này.

Chùng minh Chùngminhdüa v o[38, Lemma4℄.°tU = ∆ m ∩ { y ∈ R m | ] λ( F )(y) ≤ 0 }

Trong phân tích này, chúng ta xem xét một tập U có thể tích nhỏ hơn hoặc bằng nửa diện tích M, và giả thiết rằng U là tập có thể chứa trong đó một phần không thể tách rời khỏi U, đảm bảo rằng m2 > 0 Đồng thời, theo giả thiết về giá trị của λ( F ), ta có λ( F ) + cr ≥ m1 + cm2 > 0, điều này phản ánh tính tích cực của các đại lượng liên quan Đối với phần∆ m \ U, ta cũng có λ( ] F ) + cr ≥ λ( F ) > 0, điều này xác nhận tính chất tích cực của λ( F ) trong miền∆ m \ U, góp phần vào các kết luận chính của bài viết về tính chất và đặc điểm của các tập trong miền phân tích.

Bờ ã 3.3.3 Cho F = (f ij ) ∈ S t ( R [X]) l mởt a thự ma trên bê d > 0 Kỵ hiằu e

F := ( f f ij ) ∈ S t ( R [Y ]) GiÊ sỷ F ≻ 0 trản P Khi õ tỗn tÔi mởt số tỹ nhiản ừ lợn c sao ho F e + cr I t ≻ 0 trản m -ỡn hẳnh tiảu huân ∆ m

Chựng minh DoFl xĂànhdữỡngtrảnP , nản Ă h m giĂ trà riảng ừa nõ λ k ( F ), k =

Dưới đây là các câu quan trọng phản ánh nội dung của đoạn văn, đảm bảo tính mạch lạc và chuẩn SEO:Theo Bờ ã 3.3.2, tổng giá trị mở của số lượng tối đa được xác định dựa trên tổng của các giá trị λ^k(F) cộng với c_k r lường trảng ∆ m Giá trị lớn nhất của c_k được chọn cho tất cả các k từ 1 đến t, trong đó mỗi λ^k(F) cùng với c_k r lường trảng ∆ m đều phải thỏa mãn điều kiện nhất định Khi λ^k(F) cộng với c_k r lường trảng ∆ m đạt giá trị tối đa cho một số k, ta có thể xác định chính xác các giá trị này dựa trên phân tích mô hình Do đó, các giá trị λ^k(F) và c_k r lường trảng ∆ m đều liên quan chặt chẽ đến giá trị tối ưu của hệ thống dựa trên dữ liệu thực tế thu thập trên F, giúp xác định chính xác hơn các giới hạn và khả năng của hệ thống.

Chú ỵ rơng F := F e + cr I t khổng phÊi l mởt a thự thun nhĐt Tuy nhiản, thun nh§t hâa Fbði

Y i , húng ta nhên ữủ mởt a thự ma trên thun nhĐt õ ũng bê vợi F Cử thº, náu húng tabiºu diạn F nhữ sau

B β Y β , B β ∈ S t ( R ), thẳ thun nhĐt hõa ừa nõbði

Khi õF h l mởta thựmatrên thun nhĐt bê d Hỡn nỳa, M ϕ ( F h ) = F,v F h l xĂ ànhdữỡng trản ∆ m

BƠygiớhúngtaõthºsỷdửngdÔngmatrênừaànhlỵbiºudiạndữỡngPõlyaữủ ữa ratrong [44℄º õdÔng matrên ừa ànhlỵ biºu diạn dữỡng Handelman nhữ sau. ành lỵ 3.3.2 Cho P , ϕ , M ϕ , r , F, F, F h nhữ ð trản, trong õ, F l xĂ ành dữỡng trản P GiÊ sỷ rơng F h < λ I t trản ∆ m vợi λ > 0 n o õ °t d := deg ( F ) v L := L( F h )

L λ − d , F õ thº ữủ biºu diạn dữợi dÔng

Chựng minh Trữợtiản, húng taĂpdửng ànhlỵ 1.4.12 hoF h ,trong õd = deg( F h )

Sau õ, húng taĂp dửng hoM ϕ , vợi M ϕ ( F h ) = F v ϕ

Tữỡng tỹ honhỳng a thự, húng ta Ôt ữủ dÔng matrên hoành lỵ biºu diạn dữỡngShmudgen hoa diằn lỗi,ompat.

Hằ quÊ 3.3.3 Cho P , F, F, F h ữủ ho ð trản, vợi F xĂ ành dữỡng trản P GiÊ sỷ F h < λ I t trản ∆ m vợi λ > 0 n o õ °t d := deg ( F ) v L := L( F h ) Khi õ vợi

L λ − d , F õ thº biºu diạn dữợi dÔng

C δ λ δ 1 1 ã ã ã λ δ m m , (3.17) trong õ mội C δ ∈ S t ( R [X]) l mởt tờng hỳu hÔn ừa nhỳng a thự ma trên õ dÔng

A T A, A ∈ M t ( R [X]) , v bê ừa mội C α khổng quĂ N + d

Mởt thuêt toĂn tẳm biºu diạn dữỡng ho a thự ma trên dữỡng trản mởt a diằn lỗi ompat

dữỡng trản mởt a diằn lỗi ompat

Cho mởtadiằnlỗiompatP vợi phn trong khổng rộng, bà h°n bði nhỳng a thự tuyán tẵnh λ 1 , ã ã ã , λ m ∈ R [X] , õ dÔng

Cho mởt athự matrên F = (f ij ) ∈ S t ( R [X]) õ bê d > 0 v xĂ ành dữỡng trản P

Theo hựng minh ừa ành lỵ 3.3.2 v [19℄, húng ta ữa ra Ă bữợ º tẳm biºu diạn ho Fnh÷ sau:

(1) Tẳm số tỹ nhiản c i ∈ R sao ho

P m i=1 c i λ i (X) = 1 Viằ tẳm c i dăn án giÊi mởt hằ phữỡngtrẳnh tuyán tẵnh.

(2) GiÊihằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh

X m j=1 b ij λ i (X), i = 1, ã ã ã , n, º tẳm ma trên B = (b ij ) i=1,ããã,n;j=1,ããã,m

(4) Sỷdửng ỡsðGrobnerº tẳm mởtỡsð{ r 1 , ã ã ã , r s } ho hÔt nhƠn Ker (ϕ) ừa ỗng §u v nh ϕ

(5) Tẳm mởt sốc ừ lợn sao ho F e + cr I t ≻ 0 trản ∆ m

(6) Sỷ dửng (3.15) º xƠy dỹng athự matrên thun nhĐtF h ừa F := F e + cr I t

(7) Tẳm mởt sốtỹ nhiản λ sao ho F h (y) < λ I t vợimồi y ∈ ∆ m

Bờ ã 3.3.4 Cho K ⊆ R m l mởt têp ompat khổng rộng, v G ∈ S t ( R [Y ]) Khi õ, tỗn tÔi mởt số thỹ c ∈ R sao ho

G (y) < c I t , vợi mồi y ∈ K. ° biằt, náu G (y) ≻ 0 vợi mồi y ∈ K thẳ húng ta õ thº hồn số c > 0 sao ho

Chựng minh GiÊ sỷ λ 1 ( G ), ã ã ã , λ t ( G ) l nhỳng h m giĂ trà riảng thỹ ừa a thự ma trênG ∈ S t ( R [Y ]) Theo [55, Theorem 1℄, λ i ( G ) l h m liản tử Do K l têp hủp ompat, nản taõ c i := min y∈K λ i ( G )(y), i = 1, ã ã ã , t.

Kỵhiằuc := max i=1,ããã,t c i Vẳ nhỳng h m giĂ trà riảng ừa G − c I t l λ i ( G ) − c , i = 1, ã ã ã , t , nản theo ành nghắa ừa c ta suy ra λ i ( G )(y) − c ≥ λ i ( G )(y) − c i ≥ 0 vợi mồiy ∈ K v vợi mồi i = 1, ã ã ã , t K²o theo G (y) < c I t , vợi mồi y ∈ K.

(10) Tẳm Ă matrên hằ số ừa a thự ma trên ( P m i=1 Y i ) N F h ∈ S t ( R [Y ]) , thay Y i v o λ i (X) , húng ta nhên ữủ mởt biºu diạn ho F.

Chúng ta ữa mởt vẵ dử sau º minh hồa ho nhỳngbữợ thiát lêpð trản.

Cho ϕ : R [y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ] → R [x, y] l mởt ỗng Đu v nh ữủ xĂ ành bði ϕ(y i ) := λ i (x, y) , i = 1, 2, 3, 4 Mởt ỡ sð Gr obner ho hÔt nhƠn Ker (ϕ) ừa ϕ l

Chúng ta x²ta thự matrên

Vợimội(x, y) ∈ P ta õ λ i ( F )(x, y) ≥ 2 , i = 1, 2 Suy ra F (x, y) < 2 I 2 vợimồi(x, y) ∈ P

Vợimatrên B hoð trản, taõ F e = ( f e ij ) , trong õ f f 11 = − 4(2y 1 − 2y 2 ) 2 (2y 3 − 2y 4 )(y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) + 7(2y 1 − 2y 2 ) 2 (y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) 2 + (2y 3 − 2y 4 )(y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) 3 + 3(y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) 4 , f f 12 = f f 21 = (2y 1 − 2y 2 ) 3 (y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) + 5(2y 1 − 2y 2 )(2y 3 − 2y 4 )(y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) 2 − 3(2y 1 − 2y 2 )(y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) 3 , f f 22 = (2y 1 − 2y 2 ) 4 + (2y 1 − 2y 2 ) 2 (2y 3 − 2y 4 )(y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) + 3(2y 1 − 2y 2 ) 2 (y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) 2 − 4(2y 3 − 2y 4 )(y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) 3 + 6(y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) 4

Hỡnnỳa,min ∆ 4 ∩{λ 2 ( F e )≤0} r = 0.125 Do õ húng ta õ thº hồn c > − − 2

P 4 i=1 y i húng ta nhên ữủ mởt a thự ma trên thun nhĐt F h = (f ij h ) , trong â, f 11 h = (3(y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) 2 + (2y 1 − 2y 2 ) 2 + (2y 3 − 2y 4 )(y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ))(y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) 2 +(6(y 1 +y 2 +y 3 +y 4 ) 2 − (4(2y 3 − 2y 4 ))(y 1 + y 2 +y 3 + y 4 ))(2y 1 − 2y 2 ) 2 +17(0.5y 1 +0.5y 2 − 0.5y 3 − 0.5y 4 ) 2 (y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) 2 + 17(0.5y 3 + 0.5y 4 − 0.5y 1 − 0.5y 2 ) 2 (y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) 2 , f 12 h = f 21 h = (y 1 + y 2 + y 3 + y 4 )(3(y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) 2 + (2y 1 − 2y 2 ) 2 + (2y 3 − 2y 4 )(y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ))(2y 1 − 2y 2 ) + (2y 1 − 2y 2 )(6(y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) 2 − (8y 3 − 8y 4 )(y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ))( − y 1 − y 2 − y 3 − y 4 ) , f 22 h = (3(y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) 2 + (2y 1 − 2y 2 ) 2 + (2y 3 − 2y 4 )(y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ))(2y 1 − 2y 2 ) 2 + (6(y 1 +y 2 +y 3 +y 4 ) 2 − (8y 3 − 8y 4 )(y 1 +y 2 +y 3 + y 4 ))( − y 1 − y 2 − y 3 − y 4 ) 2 + 17(0.5y 1 + 0.5y 2 − 0.5y 3 − 0.5y 4 ) 2 (y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) 2 + 17(0.5y 3 + 0.5y 4 − 0.5y 1 − 0.5y 2 ) 2 (y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) 2

Chúng taõ thº tẵnh min ∆ 4 λ 1 ( F h ) = 1.9706, min ∆ 4 λ 2 ( F h ) = 1.5294. iãun y h¿ra rơng F h < 1.5294 I 2 trản ∆ 4 , v λ := 1.5294 p dửngổng thự (3.10), húng taõ thº tẳm số L := L( F h ) = 1044

Do õ, hồn N = 167 , a thự ma trên (y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) 167 F h õ Ă ma trên hằ số l x¡ ànhd÷ìng.

TẳmĂ matrên hằ sốừa athự matrên (y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) 167 F h ∈ S t ( R [y 1 , y 2 , y 3 , y 4 ]) , thá y i bði λ i (x, y ) , húng ta nhên ữủ biºu diạn ho F.

Trong Luàn õn hụng tỗi đụt ứũ õ kètquờ hẵnh sau:

Thiết lập mở rộng hơn trên các dữ liệu hàng dọc, giúp nâng cao hiệu quả phân tích và xử lý thông tin Các phương pháp như thuật toán Enestrom-Kakeya đã được ứng dụng thành công trong việc tối ưu hóa quá trình xử lý dữ liệu lớn, mang lại kết quả chính xác và tin cậy hơn.

(xemĂành lỵ2.1.2,2.1.3,2.1.4).ỗngthới,húngtổiữa ramởt sốdÔngmatrênho ¡ ành lþ d¤ng Cauhy (xem¡ ành lþ 2.2.2, 2.2.4, 2.2.6, 2.2.8, 2.2.10, 2.2.12, 2.2.14,

2.2.16, 2.2.17) Bản Ônh õ, húng tổi so sĂnh Ă h°n Â Ôt ữủ trong Luên Ăn vợi Ă h°n ữủ ữa ra bðiHigham v Tisseur [22℄ (xemMử 2.3).

(2)ữara mốiliảnhằ giỳa tẵnh dữỡng ừamởt athự matrên trản mởttêp nỷa Ôisố õng ỡbÊn vợi thun nhĐt hõa ừa nõ (xemĂ Mằnh ã 1.5.1, 1.5.2,1.5.5, 1.5.6).

Trong lĩnh vực biểu diễn, việc mở rộng mô hình trên hoạt động biểu diễn dữ liệu của Putinar-Vasilesu (xem mục 3.1.2) cho thấy khả năng phát triển các mô hình trên ừa, từ đó mở rộng mô hình trên ừa của Reznik.

(4)ữaramởtdÔngmatrên hoànhlỵbiºu diạndữỡngừaDikinson-Povh(xemành lþ 3.2.2).

(5)ữaramởtdÔng matrênhoành lỵHandelman, biºudiạn mởt athự matrên xĂ ành dữỡng trản mởt ỡn hẳnh (xem ành lỵ 3.3.1) v xĂ ành dữỡng trản mởt a diằn lỗi,ompat(xemànhlỵ 3.3.2).Tứ õ, húng tổiã xuĐtmởt thừtử tẳm biºudiạn n y ho Ă athự matrên (xem Mử 3.3.3).

Cá kỹ quên trong Luên Ăn, ữủ tĂ giÊ ổng bố trong hai bài báo [12, 30℄ và Tạp chí Định phẩm [13℄ Kết quả truyền lời cho thấy, vỗng gõp thể thảm vợ hình dạng dữỡng hoa thực vật qua thự ma trên, góp phần tạo nên hình ảnh biểu diễn thực vật đa dạng và phong phú Những nghiên cứu này còn giúp xác định rõ các đặc điểm của các loại thực vật, góp phần nâng cao hiểu biết về sinh thái và quá trình hình thành của chúng, phù hợp với các lý thuyết về hệ sinh thái và phát triển bền vững.

Mởtsố vĐn ã nghiản ựu tiáp theo:

1 Tẳm Ă iãu kiằn º õ biºu diạn "khổng mău thự" trong Ă dÔng ma trên ữa ra trongLuên Ănhoành lỵbiºudiạn dữỡngừaPutinar-Vasilesuv ừaDikinson-Povh.

Nguyên nhân xuất hiện "màu thực" trong biểu diễn nói rõ là do hoạt Tố Dịng Thử Tử "hòa hoà" của Shmudgen với nghệ thuật ảo trên Do đó, một biểu diễn ảo trên này được phản ánh rõ ràng, không gây nhầm lẫn, và mở ra nhiều khả năng biểu diễn nghệ thuật ảo trên này của Shmudgen cần được nghiên cứu kỹ lưỡng Thuyết tâm lý trong lĩnh vực nghệ thuật đã nhấn mạnh tầm quan trọng của việc hiểu rõ các yếu tố này để nâng cao hiệu quả biểu diễn và phát triển nghệ thuật hiện đại.

(2) C.T Lả,T H.B Dữ(2018)Handelman's PositivstellensatzforPolynomialMatri- es PositiveDefinite onPolyhedra, Positivity,22(2), 449-460.

(3) T H B Dữ, C T Lả, T Nguyạn (2018) On the Loation of Eigenvalues of

Uber die Zerlegung definiter Funktionen in Quadrate, Abh Math.

[2℄ R Bhatia(2001),Matrix Analysis,Springer, New York.

[3℄ P.BorweinandT.Erd±lyi(1995),PolynomialsandPolynomialInequalities,Springer-

[4℄ M.D Choi and T.-Y Lam (1977), Extremal positive semi-definite forms, J Math.

[5℄ J Cimpri (2009), A representation theorem for Arhimedean quadrati modules on

[6℄ J Cimpri(2012), Real algebrai geometry for matries over ommutative rings, J.

[7℄ J.Cimpriand J Zalar(2013),Moment problems for operator polynomials,J Math.

[8℄ B Datt and N K Govil (1978), On the loation of the zeros of a polynomial, J.

[9℄ M.Dehmer(2006), On theloation of zeros of omplex polynomials,J.Inequal Pure

[10℄ P.Dikinson,J.Povh(2015),On anextension of Pâlya's Positivstellensatz,J.Global

[11℄ G.Dirrand H.K.Wimmer(2007),AnEnestrom-Kakeyatheoremforhermitian polynomial matries, IEEE Trans Automat Control 52, 21512153.

[13℄ T.H.B.Dữ,C.T.Lả,T Nguyạn(2018),On theLoationof Eigenvaluesof Matrix

[14℄ M Fiedler (2011), Metries and Graphs in Geometry, Cambridge Univ Press, New

[15℄ R A Frazer, W J Dunan and A R Collar (1955), Elementary matries, 2nd ed.,

CambridgeUniv Press, London and New York.

[16℄ I.Gohberg,P.LanasterandL.Rodman(1982),MatrixPolynomials,AademiPress,

[17℄ H.-V Ha, T.-M Ho (2016), Positive polynomials on nondegenerate basi semi- algebrai sets, Advanes in Geometry, 16(4),497-510.

[18℄ S Hamarling, C J Munro and F Tisseur (2013), An algorithm for the omplete solution of quadrati eigenvalue problems, ACM Trans, Math Softw 39(3), Artile

[19℄ D Handelman (1988),Representing polynomials by positive linear funtions on ompat onvex polyhedra, Paifi J Math 132, 35-62.

[20℄ E.K.Haviland(1935),On the momentumproblem fordistributionfuntions in more than one dimension, Amer J Math 57, 562-572.

[21℄ N J Higham and F Tisseur (2001), Strutured pseudospetra for polynomial eigenvalue problems,with appliations,SIAM J Matrix Anal.Appl 23(1), 187-208.

[22℄ N J Higham and F Tisseur(2003), Bounds for eigenvalues of Matrix Polynomials,

Uber dieDarstellensatz definiter Formen alsSumme von Formen- quadraten,Math Ann 32, 342-350.

[24℄ A.Joyal,G.LabelleandQ.I.Rahman(1967),Ontheloationof zerosofpolynomials,

[25℄ J L.Krivine (1964), Anneaux pr²ordonn²s, J.Analyse Math 12, 307-326.

[27℄ J B Lasserre (2001), Global optimization with polynomials and the problem of mo- ments, SIAM J Optim.11(3), 796-817.

[28℄ M Laurent (2009), Sums of squares moment matries and optimization over polynomials, in:EmergingAppliations of AlgebraiGeometry,New York:Springer, 149,

[29℄ C T Lả (2014), Some Positivstellensatze for polynomial matries, Positivity 19(3),

Positive Definite on Polyhedra, Positivity.22(2), 449460.

[31℄ M Marden (1966), Geometry of polynomials, Mathematial Surveys Amer Math.

[32℄ M Marshall(2010), Positive polynomials and sums of squares, Springer.

Extremal problems,Inequalities, Zeros, World Sientifi,Singapore.

[34℄ G V Milovanovi and Th M Rassias (2000), Inequalities for polynomial zeros, In:

Survey on ClassialInequalities(Th M Rassias, ed.), Mathematisand ItsApplia- tions 517, 165-202,Kluwer, Dordreht.

[35℄ T Motzkin(1967), Thearithmeti-geometriinequalities, In: Inequalities(0.Shisha, ed.), Pro Symp Wright-Patterson AFB,August 19-27, 1965, Aademi Press, 205-

[36℄ Y.Nesterov (2000),Squaredfuntional systems and optimization problems,inJ.B.G.

Frenk, C Roos, T Terlaky, and S Zhang, editors, High Performane Optimization,

Uber positiveDarstellungvonPolynomen,Vierteljshr.Natur-forsh.

[38℄ V Powers, B Reznik (2001), A new bound for Pâlya's theorem with appliations to polynomials positive on polyhedra, J Pure Appl Algebra 164, 221-229.

[40℄ M Putinar and F.H Vasilesu(1999), Solving moment problems by dimensional ex- tension, Ann of Math (2), 149(3), 1087-1107.

[41℄ B Reznik (1995),Uniform denominators in Hilbert's seventeenth problem, Math.Z.

[43℄ C Sheiderer (2005), Distinguished representations of non-negative polynomials, J.

[44℄ C W Sherer,C W.Hol (2006),Matrix sum-of-squares relaxations for robust semi- definite programs, Math Program.107 (1,2), 189-211.

[45℄ K.Shmudgen(1990),Unbounded operator algebras and representation theory Oper- atorTheory,AdvanesandAppliations,37.BirkhauserVerlag,Basel-Boston-Berlin.

[46℄ K.Shmudgen(1991),TheK-moment problem forompatsemialgebraisets, Math.

[47℄ K Shmudgen (2005), A strit Positivstellensatz for the Weyl algebra, Math Ann.

[48℄ K.Shmudgen(2009),Nonommutativerealalgebraigeometry -some basionepts and first ideas In: Emerging Appliations of Algebrai Geometry, IMA Vol Math.

[49℄ M Shweighofer (2002), An algorithmi approah to Shm udgen's Positivstellensatz,

[50℄ M Shweighofer (2006), Global optimization of polynomials using gradient tentales and sums of squares, SIAM J Optim.17(3), 920-942.

[51℄ N Z Shor (1987), Class of global minimum bounds of polynomial funtions, Cyber- netis 23(6),731-734.

[52℄ V Simonini, F Perotti (2006), On the numerialsolution of (λ 2 A + λB + C)x = b and appliation to strutural dynamis,SIAM J.Si Comput 23, 1875-189.

Tiêu đề	Đa thức ma trận sự phân bố giá trị riêng, các định lý biểu diễn dương và một số vấn đề liên quan
Người hướng dẫn	PGS. TS. Phôm Tiến Sỡn Trường, TS. Hỗ Minh Tòn, TS. Lã Cổng Trường, TS. Tĩnh Trung Hòa
Trường học	Trường Đại học Quy Nhơn
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Luận án tiến sĩ
Năm xuất bản	2018
Thành phố	Bình Định

Định dạng
Số trang	90
Dung lượng	628,39 KB