Nghiên cứu thiết kế ma trận và cải tiến thuật toán khôi phục tín hiệu được lấy mẫu nén

LỜI CAM ĐOANTôi xin cam đoan kết quả luận án "Nghiên cứu thiết kế ma trận và cải tiến thuật toán khôi phục tín hiệu được lấy mẫu nén" là kết quả nghiên cứu của bản thân cùng sự hướng dẫn

Mô hình lấy mẫu nén

Tín hiệu thưa

Chuyển đổi tín hiệu sang hệ cơ sở phù hợp giúp biểu diễn tín hiệu ngắn gọn hơn so với tín hiệu gốc, giảm thiểu chi phí lưu trữ và truyền dữ liệu hiệu quả hơn Việc lưu trữ và truyền các hệ số trong hệ cơ sở có biểu diễn ngắn gọn sẽ thuận lợi hơn nhiều so với xử lý tín hiệu gốc, đặc biệt khi số lượng các hệ số khác 0 của tín hiệu là nhỏ Đối với tín hiệu thưa, chỉ cần lưu trữ hoặc truyền đi các hệ số khác 0, trong khi phần còn lại có thể được giả định bằng 0, giúp tối ưu hóa hiệu quả xử lý dữ liệu.

Về mặt toán học, có thể gọi tín hiệux làK−sparse (x có độ thưaK) khi nó có nhiều nhấtK phần tử khác 0, tức là kxk 0 ≤K Có

Tập hợp K = {x : |x|0 ≤ K} trong phương trình (1.6) biểu thị tất cả các tín hiệu có độ thưa K−sparse Trong thực tế, các tín hiệu thường không biểu diễn thưa rõ trong hệ cơ sở ban đầu của chúng, nhưng có thể được biểu diễn thông qua các vector thưa của một hệ cơ sở Ψ Điều này có nghĩa là, dù tín hiệu ban đầu không thưa, nhưng vẫn có thể biểu diễn dưới dạng x = Ψs, trong đó vector s có độ thưa không vượt quá K (|s|0 ≤ K), giúp thuận tiện cho các phương pháp xử lý tín hiệu thưa trong các ứng dụng về xử lý tín hiệu và học máy.

Hình 1.5a trình bày một tín hiệu tổng hợp từ hai tín hiệu hình sin có tần số khác nhau trong miền thời gian, cho thấy sự đa dạng trong tín hiệu thời gian Trong khi đó, hình 1.5b thể hiện biến đổi Fourier của tín hiệu này, giúp phân tích thành phần tần số một cách rõ ràng Sự kết hợp giữa phân tích thời gian và tần số là nguyên lý cốt lõi trong xử lý tín hiệu để hiểu rõ cấu trúc của các tín hiệu phức tạp.

2 vector cơ sở khác 0 để biểu diễn nó Do đó, có thể coi tín hiệu ban đầu là thưa trong miền tần số.

(a) (b) Hình 1.5: Biểu diễn tín hiệu trong miền (a) thời gian (b) tần số

Tính chất thưa của tín hiệu cũng được biểu hiện đối với các tín hiệu 2-D.

Ví dụ, một bức ảnh nhị phân chụp bầu trời vào ban đêm thường thưa trong miền điểm ảnh do phần lớn các điểm ảnh có màu đen và giá trị bằng không Tương tự, các bức ảnh thông thường, đặc biệt là trong lĩnh vực y tế, cũng có các vùng ảnh với số điểm ảnh tương đồng nhau, thể hiện tính chất thưa rõ ràng Tín hiệu ảnh thể hiện tính chất thưa khi được biểu diễn trong miền wavelet, nơi hầu hết các hệ số đều rất nhỏ Hình 1.6 minh họa về một bức ảnh sau khi biến đổi wavelet, cho thấy phần lớn hệ số có giá trị nhỏ, điều này cho phép đặt các hệ số có giá trị rất nhỏ bằng 0 để thu được một tín hiệu thưa có khoa học K-sparse.

Hình 1.6:(a) Ảnh gốc (b) Ảnh biến đổi wavelet

Các tín hiệu thưa hoặc thưa trên hệ cơ sở trực giao là hiện tượng phổ biến trong tự nhiên, cho thấy tính ứng dụng cao của phương pháp CS trong các tình huống thực tế Vì vậy, phương pháp CS có tiềm năng lớn để xử lý các tín hiệu thưa, mở ra nhiều cơ hội trong các ứng dụng thực tiễn.

Ma trận lấy mẫu nén

Lấy mẫu nén gồm ba quá trình chính: biểu diễn tín hiệu thưa, lấy mẫu tín hiệu dựa trên ma trận lấy mẫu và khôi phục tín hiệu đã lấy mẫu nén Quá trình này giúp giảm thiểu dữ liệu cần lưu trữ hoặc truyền tải, đồng thời duy trì chất lượng tín hiệu Áp dụng kỹ thuật lấy mẫu nén hiệu quả trong các hệ thống truyền thông và xử lý tín hiệu để tối ưu hoá hiệu suất và tiết kiệm tài nguyên.

Ma trận lấy mẫu đóng vai trò quan trọng đối với độ chính xác và thời gian xử lý trong quá trình khôi phục tín hiệu lấy mẫu nén Trong thập kỷ qua, các nghiên cứu về ma trận lấy mẫu nén đã được công bố phong phú và phân thành nhiều loại khác nhau, góp phần cải thiện hiệu quả của các phương pháp khôi phục tín hiệu.

2 nhóm chính là ma trận ngẫu nhiên và ma trận xác định [7] như được liệt kê trong hình1.7.

Ma trận lấy mẫu nén

Ma trận ngẫu nhiên Ma trận xác định

Không có cấu trúc Có cấu trúc Bán xác định

Hình 1.7:Phân loại ma trận lấy mẫu nén a Ma trận ngẫu nhiên

Ma trận ngẫu nhiên gồm hai loại chính là ma trận ngẫu nhiên không có cấu trúc và ma trận ngẫu nhiên có cấu trúc Ma trận ngẫu nhiên không có cấu trúc được tạo ra bằng cách sinh các phần tử ngẫu nhiên theo phân phối xác suất như Gauss hoặc Bernoulli, sau đó chọn ngẫu nhiên M hàng từ ma trận gốc N × N để tạo thành ma trận lấy mẫu nén Các loại ma trận này dễ xây dựng và thường đáp ứng tiêu chí RIP với xác suất cao, phù hợp cho các ứng dụng nén dữ liệu và xử lý tín hiệu Tuy nhiên, chúng gặp hạn chế trong các bài toán quy mô lớn do các phần tử là số thực dấu phẩy động, gây ra khối lượng tính toán và yêu cầu bộ nhớ lớn để lưu trữ, làm giảm khả năng ứng dụng trong thực tế.

Ma trận ngẫu nhiên có cấu trúc, trong đó các phần tử được tạo thành từ một hàm hoặc cấu trúc cố định, và các hàng được lựa chọn ngẫu nhiên từ các cấu trúc ban đầu để tạo thành ma trận lấy mẫu nén Ví dụ tiêu biểu của loại này bao gồm các ma trận con từ ma trận Fourier và ma trận Hadamard, giúp tăng tốc quá trình khôi phục tín hiệu Tuy nhiên, loại ma trận này vẫn gặp phải nhược điểm như không ổn định, độ lỗi khôi phục cao, và yêu cầu số hàng của ma trận lấy mẫu phải đủ lớn để đảm bảo hiệu quả.

Ma trận lấy mẫu xác định là loại ma trận được thiết kế theo các cấu trúc cố định và đáp ứng tiêu chuẩn RIP hoặc có tính không kết hợp, nhằm đảm bảo khả năng phục hồi dữ liệu hiệu quả Nhiều ma trận lấy mẫu xác định đã được đề xuất để khắc phục những hạn chế của ma trận ngẫu nhiên, góp phần nâng cao hiệu quả trong các ứng dụng xử lý tín hiệu và nén dữ liệu Các loại ma trận này thường được phân loại dựa trên cấu trúc và tính chất đặc trưng, giúp tối ưu hóa quá trình thiết kế và thực thi trong các hệ thống kỹ thuật số.

2 loại là ma trận bán xác định và ma trận xác định toàn phần.

Các ma trận bán xác định thường được tạo thành qua hai bước chính: đầu tiên, tạo cột đầu tiên với các phần tử ngẫu nhiên; sau đó, áp dụng một phép biến đổi đơn giản như phép quay để xây dựng toàn bộ ma trận Các loại ma trận như Circulant và Toeplitz là ví dụ điển hình của dạng này, có ưu điểm dễ xây dựng, giảm tính ngẫu nhiên và tiêu thụ bộ nhớ ít hơn so với ma trận ngẫu nhiên phi cấu trúc Tuy nhiên, các ma trận bán xác định này không phổ biến rộng rãi và chỉ được sử dụng trong một số ứng dụng đặc thù.

Ma trận loại xác định toàn phần là loại ma trận có cấu trúc xác định hoàn toàn nhằm đáp ứng tiêu chí RIP hoặc tính chất không kết hợp, giúp giảm thiểu độ phức tạp tính toán và thời gian thực hiện nhanh chóng Các ví dụ tiêu biểu của loại ma trận này bao gồm ma trận từ mã nhị phân tuần hoàn BCH và ma trận từ mã không tuần hoàn chirp Mặc dù có ưu điểm về độ nhanh và đơn giản trong xử lý, nhưng các ma trận xác định toàn phần lại gặp hạn chế về kích thước cố định và khó khăn trong việc xác định tiêu chí RIP, khiến việc lựa chọn kích thước phù hợp trở nên hạn chế.

Thuật toán khôi phục

Vấn đề khôi phục tín hiệu được lấy mẫu nén tập trung vào việc tìm các phương pháp giải quyết hệ phương trình tuyến tính với số ẩn nhiều hơn số phương trình, đòi hỏi tín hiệu lấy mẫu phải đủ thưa Để đảm bảo khả năng phục hồi, ma trận lấy mẫu cần thỏa mãn tính chất RIP (Restricted Isometry Property), mang lại điều kiện cần và đủ cho việc khôi phục tín hiệu chính xác Trong những năm gần đây, nhiều thuật toán mới đã được đề xuất nhằm nâng cao hiệu quả và độ chính xác trong khôi phục tín hiệu lấy mẫu nén, góp phần thúc đẩy sự phát triển của lĩnh vực này.

[6], [64], [65] trong đó có thể phân loại thành 3 nhóm chính như được thể hiện trong hình1.8 [6].

Thuật toán khôi phục tín hiệu được lấy mẫu nén

Các thuật toán không lồi

Các thuật toán tham lam

Hình 1.8:Phân loại thuật toán khôi phục a Các thuật toán lồi

Trong thực tế, không thể khôi phục hoàn toàn chính xác phần s mà chỉ có thể tìm được ước lượng xấp xỉ tương đối so với s Các thuật toán khôi phục tín hiệu lấy mẫu nén dạng hàm lồi nhằm giải bài toán tối ưu hóa bằng cách tìm các giá trị tối thiểu trong không gian nghiệm Thuật toán Theo đuổi cơ sở (BP) là một ví dụ tiêu biểu của các thuật toán hàm lồi, được sử dụng để giải quyết các bài toán tối ưu dựa trên phương pháp quy hoạch tuyến tính (LP), giúp xác định s = arg minₓ ||k s - y||₂ trong đó y = Θs.

Vỡ định chuẩn ` 1 k ã k 1 là một hàm lồi, là một bài toán tối ưu hóa lồi cần lựa chọn số phép đo tối thiểu M để khôi phục chính xác tín hiệu có độ thưa K với ma trận lấy mẫu cố định Độ phức tạp tính toán của việc giải phương trình (1.7) đạt mức O(N³), gây ra chi phí lớn và không phù hợp cho các ứng dụng thời gian thực Các nghiên cứu đã đề xuất các cải tiến thuật toán tối ưu hóa ` 1 nhằm giảm độ phức tạp tính toán bằng cách đưa ra các điều kiện ràng buộc hợp lý, giúp nâng cao hiệu quả giải pháp Ngoài ra, còn có các thuật toán không lồi nhằm hướng tới các giải pháp tối ưu có thể vượt qua giới hạn của các phương pháp lồi truyền thống.

Các thuật toán khôi phục không lồi như thuật toán tối thiểu hóa ` p với

Trong lĩnh vực xử lý tín hiệu, giá trị của tham số \(0 < p < 1\) đã được đề xuất để nâng cao độ thưa của tín hiệu trong quá trình lấy mẫu nén Việc tối thiểu hóa \(p\) giúp khôi phục lại tín hiệu thưa với số phép đo ít hơn so với phương pháp tối thiểu hóa lồi \(\mathbf{1}\), mặc dù đi kèm với độ phức tạp tính toán cao hơn Thuật toán IRLS (Iteratively Reweighted Least Squares) thường được xem là ví dụ điển hình của các thuật toán không lồi trong lĩnh vực này Bên cạnh đó, các thuật toán tham lam cũng đóng vai trò quan trọng trong các phương pháp phục hồi tín hiệu, mang lại hiệu quả cân đối giữa độ chính xác và tốc độ thực thi.

Khái niệm tiếp cận khác trong khôi phục tín hiệu qua lấy mẫu nén là sử dụng các thuật toán tham lam dựa trên quy hoạch động (DP) Các thuật toán này xác định các thành phần biểu diễn của tín hiệu qua từng lần lặp và kết thúc quá trình dựa trên các điều kiện dừng đã thiết lập sẵn Thuật toán dựa trên DP được ứng dụng phổ biến hơn so với các thuật toán dựa trên lập trình tuyến tính (LP) nhờ khả năng tối ưu hóa hiệu quả trong từng bước xử lý tín hiệu.

Các thuật toán tham lam như thuật toán đuổi khớp (MP), thuật toán đuổi khớp trực giao (OMP), thuật toán đuổi khớp đệ qui bình phương tối thiểu (ORLSMP), thuật toán lấy mẫu nén đuổi khớp (CoSaMP) và đuổi khớp thích nghi (SaMP) đều có độ phức tạp tính toán thấp và dễ triển khai Trong đó, luận án này tập trung nghiên cứu các thuật toán tham lam nhờ tính phổ biến và khả năng ứng dụng thực tế cao.

Hiệu năng của mô hình lấy mẫu nén

Hiệu năng là vấn đề rất quan trọng để đánh giá hiệu quả của một mô hình.

Trong đánh giá hiệu năng của mô hình lấy mẫu nén, các tham số thường được sử dụng bao gồm thời gian thực hiện, độ phức tạp tính toán, tỷ số nén và lỗi khôi phục, tuy nhiên lựa chọn tham số phù hợp phụ thuộc vào đặc điểm và ứng dụng của từng hệ thống Trong luận án, với mô hình dựa trên ma trận và thuật toán cải tiến, các tham số đánh giá gồm thời gian thực hiện, hệ số tương quan và sai số trung bình tuyệt đối với tín hiệu mô phỏng một chiều Đối với tín hiệu ảnh hai chiều, luận án sử dụng các tham số thời gian thực hiện, PSNR và MSE để đánh giá hiệu quả của mô hình.

Hệ số tương quan Pearson là thước đo quan trọng để đánh giá mức độ liên quan giữa tín hiệu sau khi khôi phục và tín hiệu gốc trước khi thực hiện lấy mẫu nén Chỉ số này giúp xác định mức độ chính xác của quá trình khôi phục tín hiệu, đảm bảo rằng dữ liệu đã được giữ nguyên bản chất ban đầu Việc sử dụng hệ số tương quan Pearson trong phân tích tín hiệu là một phương pháp chuẩn để đo lường độ tương quan, góp phần nâng cao hiệu quả của quá trình xử lý và nén dữ liệu.

Trong phân tích thống kê, N đại diện cho số lượng mẫu, trong đó x_i và y_i là các mẫu tương ứng với chỉ số i thuộc tập {0, 1, , N}, và x̄, ȳ là trung bình cộng của các mẫu này Hệ số tương quan Pearson (R_xy) đo mức độ quan hệ tuyến tính giữa hai biến số, có giá trị dao động từ -1 đến +1, phản ánh mức độ liên quan và hướng của mối liên hệ đó.

• R xy = 0: Hai biến không có tương quan tuyến tính.

• R xy = 1;R xy =−1: Hai biến có mối tương quan tuyến tính tuyệt đối.

• R xy 0 cho thấy mối quan hệ âm tính hoặc dương tích cực giữa các biến, tức là khi giá trị biến xtăng thì giá trị biến ytăng và ngược lại, đồng thời cũng có thể liên hệ đến việc khi giá trị biến y tăng thì giá trị biến x cũng tăng Trong phân tích dữ liệu, Sai số trung bình tuyệt đối (MAE) là chỉ số quan trọng để đánh giá độ chính xác của mô hình dự báo, phản ánh mức độ sai lệch trung bình giữa các dự đoán và giá trị thực tế.

MAE là phương pháp đo lường sự khác biệt giữa hai biến liên tục, giúp đánh giá độ chính xác của tín hiệu khôi phục Giả sử X và X̂ là hai tín hiệu 1 chiều có kích thước 1×N, trong đó X là tín hiệu gốc và X̂ là tín hiệu được khôi phục từ thuật toán Hệ số MAE được tính dựa trên công thức tính trung bình của các sai số tuyệt đối giữa X và X̂, thể hiện khả năng mô phỏng và duy trì đặc tính của dữ liệu gốc sau quá trình khôi phục Những chỉ số này đóng vai trò quan trọng trong việc đánh giá hiệu quả của các thuật toán xử lý tín hiệu và cải tiến mô hình phù hợp.

Sai số toàn phương trung bình (MSE) là thước đo quan trọng để đánh giá độ chính xác của quá trình khôi phục ảnh 2 chiều có kích thước M×N so với ảnh gốc Giá trị MSE thể hiện mức độ khác biệt giữa ảnh khôi phục và ảnh gốc, phản ánh rõ ràng hiệu quả của các phương pháp xử lý ảnh Công thức tính MSE giúp đo lường chính xác các sai số trung bình, từ đó tối ưu hóa các thuật toán xử lý ảnh để đạt kết quả phục hồi tối ưu và giảm thiểu lỗi.

[X(i, j)−X(i, j)]ˆ 2 , (1.10) trong đóX là ảnh gốc và Xˆ là ảnh được khôi phục. d Tham số PSNR

PSNR được sử dụng để đánh giá chất lượng tín hiệu khôi phục của các thuật toán nén có mất mát dữ liệu, như trong việc nén ảnh Tín hiệu trong trường hợp này là dữ liệu gốc, còn nhiễu là các lỗi phát sinh do quá trình nén Giá trị PSNR được tính bằng công thức cụ thể, giúp đo lường mức độ chính xác của tín hiệu sau khi nén và giải nén.

, (1.11) trong đóM AX I là giá trị tối đa của một điểm ảnh, ví dụ trong trường hợp một điểm ảnh được mã hóa bởi 8 bit, giá trịM AX I = 255.

Các công trình nghiên cứu liên quan

Các nghiên cứu về thiết kế ma trận xác định

Các ma trận ngẫu nhiên thường đáp ứng tiêu chí RIP với xác suất cao nhưng lại khó thực hiện trong thực tế đối với các bài toán quy mô lớn do yêu cầu lớn về tính toán và bộ nhớ lưu trữ Hiện nay, phần lớn nghiên cứu về ma trận lấy mẫu nén tập trung vào thiết kế các ma trận xác định Howard và cộng sự đề xuất xây dựng ma trận lấy mẫu nén dựa trên mã Reed-Muller bậc hai và các hàm liên quan, có khả năng đạt tiêu chí RIP với xác suất cao Các nghiên cứu khác đã tạo ra các ma trận lấy mẫu nén nhị phân, lưỡng cực và tam phân dựa trên các loại mã như mã OOC, mã tuyến tính BCH, và kết hợp các loại ma trận nhị phân, lưỡng cực, đảm bảo tiêu chí RIP nhờ đặc tính không kết hợp của các ma trận này.

Shuxing Li giới thiệu một ma trận lấy mẫu có cấu trúc xác định dựa trên các đường cong đại số trên trường hữu hạn, cung cấp nhiều lựa chọn đa dạng cho ma trận lấy mẫu Việc chọn các đường cong thích hợp giúp tạo ra các ma trận lấy mẫu nén hiệu quả cao, phù hợp cho các ứng dụng cần tối ưu hóa về mặt năng lực xử lý Trong khi đó, Jun Zhang thiết kế ma trận lấy mẫu dựa trên mã LDPC nhằm giảm độ phức tạp và dễ dàng triển khai trên phần cứng, với hiệu suất được phân tích dựa trên tính chất không kết hợp của các ma trận này.

Nghiên cứu trong [95] đề xuất xây dựng ma trận lấy mẫu nén nhị phân dựa trên cấu trúc xác định từ hình học đơn nhất Phương pháp này giúp tối ưu hóa quá trình mã hóa và giảm kích thước dữ liệu một cách hiệu quả Ngoài ra, nghiên cứu trình bày các kỹ thuật cắt và ghép các ma trận con nhằm mở rộng khả năng ứng dụng của ma trận lấy mẫu nén với nhiều kích thước khác nhau, tăng tính linh hoạt trong thực tế Các phương pháp này đóng vai trò quan trọng trong việc nâng cao hiệu quả nén dữ liệu, phù hợp với các yêu cầu về lưu trữ và truyền tải thông tin.

Các ma trận lấy mẫu nén được thực hiện trên phần cứng số FPGA với độ phức tạp thấp, giúp đảm bảo tốc độ lấy mẫu và khôi phục cao Công nghệ này cho thấy sự khả thi khi triển khai trong các ứng dụng thực tế, mang lại hiệu quả tối ưu trong xử lý tín hiệu số.

Các nghiên cứu về thuật toán tham lam

Các thuật toán khôi phục tín hiệu lấy mẫu nén nhanh chóng và chính xác đóng vai trò cốt lõi trong nghiên cứu về CS, là chìa khóa để ứng dụng kỹ thuật CS trong thực tế Mallat và Zhang giới thiệu thuật toán đuổi khớp (MP), tìm kiếm các ánh xạ phù hợp nhất của dữ liệu nhiều chiều qua ma trận lấy mẫu nén Θ, giúp biểu diễn tín hiệu trong không gian Hilbert dưới dạng tổng trọng số của các hàm lấy từ ma trận cảm biến Θ Thuật toán OMP, phiên bản cải tiến của MP do Tropp và Gilbert đề xuất, khác biệt chính là các hệ số trong quá trình khôi phục là các hình chiếu trực giao của tín hiệu lên ma trận Θ Sự phát triển tiếp theo là thuật toán CoSaMP của Needell và Tropp, một phương pháp khôi phục tham lam đảm bảo khả năng tái tạo tương tự như tối ưu hóa, nhưng với giới hạn về chi phí tính toán và lưu trữ phù hợp cho thực tế; thuật toán này xác định nhiều thành phần hơn trong mỗi vòng lặp, giúp thực hiện nhanh hơn và tận dụng tính chất giới hạn đẳng trị RIP của ma trận lấy mẫu nén để đảm bảo thành công của quá trình khôi phục tín hiệu.

Các thuật toán tham lam gradient, như GP và CGP, là những phương pháp phổ biến trong tối ưu hóa, trong đó GP ước lượng và cập nhật hướng đi và kích thước bước theo gradient mà không làm tăng chi phí tính toán so với thuật toán MP, ngoại trừ việc phải đánh giá kích thước bước trong mỗi lần lặp Thuật toán CGP tương tự như GP, nhưng thay vì chọn hướng theo gradient thuần túy, nó chọn hướng và kích thước bước dựa trên gradient liên hợp, giúp nâng cao hiệu quả tối ưu.

Nhận xét các công trình nghiên cứu liên quan và hướng nghiên cứu của luận án

Nhận xét về công trình nghiên cứu liên quan

Dựa trên kết quả khảo sát và phân tích, nghiên cứu sinh nhận thấy còn tồn tại một số vấn đề chưa được đề cập trong các nghiên cứu trước đây, đặc biệt là các khía cạnh chưa được khai thác đầy đủ trong lĩnh vực này.

Các nghiên cứu về thiết kế ma trận phù hợp với phần cứng và phương pháp tạo ra ma trận lấy mẫu với tốc độ cao để tích hợp trong các ứng dụng thực tế còn gặp nhiều hạn chế Việc tối ưu hóa thiết kế ma trận phù hợp với phần cứng giúp nâng cao hiệu suất và độ tin cậy của hệ thống, đồng thời thúc đẩy ứng dụng của các phương pháp lấy mẫu tốc độ cao trong công nghệ thực tế Tuy nhiên, hiện vẫn còn nhiều thách thức cần giải quyết để phát triển các giải pháp linh hoạt, hiệu quả và phù hợp với yêu cầu của các hệ thống thực tế.

Các nghiên cứu trước đây chưa chú trọng nhiều đến đánh giá khả năng bảo mật của ma trận lấy mẫu nén.

Các nghiên cứu về ma trận lấy mẫu và thuật toán khôi phục chủ yếu mang tính phổ quát, gây ra hạn chế trong việc đạt hiệu năng tối đa cho các ứng dụng cụ thể Để tối ưu hóa hiệu suất, cần có các giải pháp tùy chỉnh phù hợp với từng lĩnh vực và yêu cầu riêng biệt Việc phát triển các thuật toán khôi phục chuyên biệt sẽ nâng cao độ chính xác và hiệu quả trong các ứng dụng thực tế Do đó, nghiên cứu chuyên sâu về các kỹ thuật tối ưu hóa ma trận lấy mẫu là yếu tố quyết định để nâng cao hiệu quả của các hệ thống xử lý dữ liệu.

Hướng nghiên cứu của luận án

Dựa trên ý nghĩa khoa học và tính cấp thiết của đề tài, luận án đề xuất các hướng nghiên cứu mới nhằm khắc phục hạn chế của các nghiên cứu liên quan trước đây, hướng tới nâng cao hiệu quả và độ chính xác của các kết quả phân tích.

Đề xuất ma trận lấy mẫu nén xác định BPNSM dựa trên các chuỗi phi tuyến giả ngẫu nhiên, mang lại hiệu quả cao trong quá trình thực hiện Ma trận lấy mẫu này khả thi khi được triển khai trên phần cứng tốc độ cao, giúp nâng cao tính bảo mật của tín hiệu cần lấy mẫu Điều này đảm bảo hệ thống lấy mẫu nén không chỉ đáng tin cậy mà còn đáp ứng các yêu cầu bảo mật truyền thống trong lĩnh vực xử lý tín hiệu.

Đề xuất thuật toán khôi phục DRMP dựa trên việc cải tiến thuật toán tham lam gốc MP, giúp giảm độ phức tạp tính toán và nâng cao hiệu quả phục hồi Thuật toán cải tiến này mang lại lợi ích rõ rệt trong quá trình xử lý, với lỗi khôi phục giảm sau mỗi bước lặp Việc áp dụng thuật toán mới không chỉ tối ưu hóa tốc độ mà còn đảm bảo độ chính xác cao hơn so với phương pháp gốc, phù hợp cho các ứng dụng đòi hỏi hiệu quả và độ tin cậy trong xử lý dữ liệu.

Trong bài viết này, chúng tôi đánh giá và so sánh hiệu năng của mô hình lấy mẫu nén dựa trên ma trận lấy mẫu nén BPNSM và thuật toán khôi phục DRMP thông qua các ví dụ mô phỏng Các phân tích cho thấy mô hình BPNSM có khả năng lấy mẫu chính xác và tối ưu hơn trong các tình huống thực tế, đồng thời thuật toán khôi phục DRMP giúp nâng cao độ chính xác của dữ liệu sau khi lấy mẫu Kết quả từ các mô phỏng cho thấy sự vượt trội của phương pháp này về tốc độ xử lý và độ chính xác so với các phương pháp truyền thống, góp phần cải thiện hiệu suất trong các ứng dụng lấy mẫu nén.

Tổng kết chương

Chương 1 giới thiệu tổng quan về mô hình lấy mẫu nén, bao gồm các phần tử cấu thành và các tham số dùng để đánh giá hiệu quả của mô hình Đồng thời, nghiên cứu cũng khảo sát, phân tích các ưu điểm và nhược điểm dựa trên các công trình khoa học liên quan đến thiết kế ma trận lấy mẫu nén xác định, như các tài liệu [5], [59], [60], [83].

Luận án hướng tới việc cải tiến các phương pháp lấy mẫu nén bằng cách đề xuất một ma trận lấy mẫu nén xác định BPNSM với các phần tử từ các chuỗi giả ngẫu nhiên phi tuyến nhằm tăng tốc độ xử lý và nâng cao mức độ bảo mật Đồng thời, nghiên cứu giới thiệu thuật toán DRMP được phát triển dựa trên việc cải tiến thuật toán tham lam gốc MP để giảm độ phức tạp tính toán và hạn chế lỗi trong quá trình khôi phục tín hiệu lấy mẫu nén.

CHƯƠNG 2 THIẾT KẾ MA TRẬN LẤY MẪU NÉN

Chương trình trình bày về cơ sở toán học và phương pháp thiết kế ma trận lấy mẫu nén xác định dựa trên các chuỗi phi tuyến giả ngẫu nhiên, cùng cách thực hiện ma trận lấy mẫu nén với hiệu suất cao trên phần cứng điện tử số Kết quả nghiên cứu của chương 2 được trình bày trong tài liệu [C1], minh chứng cho hiệu quả của phương pháp này trong việc tối ưu hóa quá trình nén dữ liệu.

Tiêu chí thiết kế ma trận lấy mẫu nén

Luận án tập trung vào mô hình lấy mẫu nén cho tín hiệu đầu vào có kích thước hữu hạn Cụ thể, với tín hiệu x ∈ R^N, hệ thống lấy mẫu thu được M phép chiếu tuyến tính, được biểu diễn bằng công thức y = Φx, trong đó Φ là ma trận kích thước M×N và y ∈ R^M Ma trận Φ thực hiện giảm chiều tín hiệu, ánh xạ tín hiệu từ không gian lớn sang không gian nhỏ hơn, giúp tối ưu hóa quá trình xử lý và lưu trữ dữ liệu.

Trong mô hình lấy mẫu nén tiêu chuẩn, các phép đo được thực hiện trong không gian kích thước nhỏ hơn R M (M N) Các hàng của ma trận lấy mẫu Φ được giả định cố định trước và không thay đổi dựa trên các mẫu đã thu thập, đảm bảo tính không thích nghi của quá trình đo Điều này giúp tối ưu hóa quá trình lấy mẫu và phân tích dữ liệu một cách hiệu quả.

Vấn đề chính của ma trận lấy mẫu nén là thiết kế sao cho đảm bảo thu thập đủ thông tin cần thiết từ tín hiệu x Ma trận này còn phải đảm bảo khả năng khôi phục chính xác tín hiệu x từ các mẫu nén y Trong nhiều nghiên cứu [10], [16], [17], [19], [49], chỉ tiêu RIP được sử dụng như một điều kiện quan trọng để đảm bảo khả năng phục hồi chính xác tín hiệu thưa ban đầu sau quá trình nén.

Ma trận lấy mẫu nén tổng quát Φ tuân thủ tính chất giới hạn đẳng trị, đảm bảo tính ổn định và hiệu quả trong quá trình nén dữ liệu Tuy nhiên, RIP (Random Indexing Pattern) thường có độ phức tạp tính toán lớn, do yêu cầu phải xem xét tất cả các ma trận con, gây ảnh hưởng đến hiệu suất xử lý và tối ưu hóa Việc hiểu rõ đặc điểm của Φ và các hạn chế của RIP là quan trọng để phát triển các phương pháp nén dữ liệu hiệu quả và phù hợp trong các ứng dụng thực tế.

Việc thiết kế ma trận lấy mẫu nén đáp ứng tiêu chí RIP là một thách thức lớn trong nghiên cứu, vì tính không kết hợp của ma trận này ảnh hưởng đến khả năng khôi phục chính xác tín hiệu Để các ma trận lấy mẫu nén có thể ứng dụng thực tế hiệu quả, người ta đề xuất sử dụng các tính chất không kết hợp dễ tính toán hơn nhằm đảm bảo quá trình khôi phục tín hiệu diễn ra đúng đắn Nhiều nghiên cứu, chẳng hạn như [49], chỉ ra rằng nếu giá trị không kết hợp của ma trận thấp, thì xác suất thỏa mãn tiêu chí RIP sẽ cao hơn, tăng khả năng thành công của quá trình lấy mẫu nén.

Ma trận Φ có tính chất khộng kết hợp, được ký hiệu là à(Φ), đo lường bằng giá trị tuyệt đối lớn nhất của tích vô hướng giữa hai cột bất kỳ φi và φj của ma trận Đây là chỉ số quan trọng thể hiện độ chênh lệch hoặc mức độ khác biệt giữa các cột trong ma trận Φ, giúp phân tích và đánh giá các đặc tính của ma trận một cách chính xác.

Các nghiên cứu trong [30], [49], [96] đều chỉ ra rằng giá trị khống kết hợp của ma trận lấy mẫu nén (Φ) càng nhỏ, thì càng cần ít phép đo hơn để tái tạo chính xác tín hiệu ban đầu Điều này cũng đồng nghĩa các thuật toán phục hồi sẽ hoạt động hiệu quả hơn khi ma trận có tính không kết hợp tốt Do đó, tính chất không kết hợp của ma trận luôn nằm trong khoảng ∥(Φ)∥_{ây} ∈ r N − M, làm tăng khả năng thành công trong quá trình khôi phục tín hiệu.

M(N −1),1 và giới hạn dưới được gọi là giới hạn Welch [101] Đối với trường hợpN M, giới hạn dưới à(Φ) ≥1/√

Khi các phần tử trong ma trận được tạo theo phân bố ngẫu nhiên với phương sai trung bình bằng 0 và sai lệch nhỏ, thì hành vi của ma trận trở nên ổn định hơn Ngoài ra, khi kích thước của các ma trận M và N ngày càng tăng, giá trị không kết hợp sẽ hội tụ về giá trị của hàm \( \Phi \), bằng \( p \) Điều này cho thấy rằng các ma trận ngẫu nhiên có tính chất hội tụ theo quy luật, đặc biệt khi kích thước lớn, giúp tối ưu hóa các ứng dụng trong lĩnh vực thống kê và xử lý dữ liệu lớn.

(2 logN/M) [32] Cấu trúc như vậy sẽ cho phép

K−sparse gần với tiệm cận tới M = O(K^2 log N), cho thấy khả năng hiệu quả trong việc xử lý dữ liệu có độ thưa cao Trong luận án về ma trận lấy mẫu nén xác định, việc thiết kế hệ thống sử dụng tính chất không kết hợp giúp đảm bảo quá trình lấy mẫu và khôi phục tín hiệu chính xác và tin cậy hơn Điều này chứng tỏ rằng phương pháp nén dữ liệu dựa trên đặc tính không kết hợp là chìa khóa để nâng cao hiệu suất trong các hệ thống lấy mẫu và xử lý tín hiệu.

Thiết kế ma trận lấy mẫu nén

Hầu hết các trình bày về thiết kế ma trận lấy mẫu nén trong [34], [68],

Trong quá trình lấy mẫu nén, việc thu thập các tín hiệu thưa dựa trên các ma trận lấy mẫu nén tốn nhiều thời gian cho cả quá trình lấy mẫu và truyền tín hiệu Luận án này trình bày ma trận lấy mẫu nén xác định gọi là BPNSM, được xây dựng dựa trên các chuỗi giả ngẫu nhiên (PNS) như trong [C1], với các bước thực hiện được thể hiện trong hình 2.1 Các cột của ma trận được tạo thành từ các chuỗi phi tuyến giả ngẫu nhiên; chuỗi này được sinh ra bằng cách sử dụng các công cụ toán học trên trường hữu hạn như thanh ghi dịch LFSR để tạo ra chuỗi giả ngẫu nhiên tuyến tính, rồi áp dụng biến đổi D và hàm Vết để xác định thứ tự pha lồng ghép Tiếp đó, các chuỗi con được thay thế vào chuỗi tuyến tính, và các cột còn lại của ma trận được hình thành bằng cách dịch vòng chuỗi PN phi tuyến ban đầu, sắp xếp và tổ hợp tất cả các chuỗi PN dưới dạng các vector cột để cuối cùng tạo thành ma trận BPNSM.

Ma trận trong luận án được xây dựng dựa trên chuỗi PN phi tuyến, đảm bảo tính chính xác và độ tin cậy cao Việc tối ưu hóa sai số toàn phương trung bình (MSE) giúp tái thiết dữ liệu gần với giá trị lý tưởng, nâng cao hiệu quả phân tích và dự đoán Phương pháp này phù hợp để áp dụng trong các nghiên cứu mất độ chính xác thấp và tối ưu hóa mô hình dự báo trong các lĩnh vực kỹ thuật và khoa học.

Chọn đa thức sinh trên trườngGF(2 p )

Tìm thứ tự lồng ghépI p T

Chèn các chuỗi con để được chuỗi phi tuyến

Tạo ma trận lấy mẫu nén từ 2 chuỗi phi tuyến

Hình 2.1 trình bày các bước xây dựng ma trận BPNSM mãn tính chất không kết hợp, đảm bảo tính chính xác trong quá trình khôi phục tín hiệu Ma trận lấy mẫu nén này giúp cải thiện độ chính xác của quá trình phục hồi tín hiệu Ngoài ra, việc tạo ra ma trận một cách nhanh chóng còn giảm thiểu thời gian lấy mẫu, đặc biệt khi thực hiện trên các hệ thống phần cứng số như FPGA, nâng cao hiệu quả và tiết kiệm thời gian xử lý.

Lý thuyết trường hữu hạn

Cấu trúc GF (p n )

Ta có trường hữu hạn GF(p), trong đó p là nguyên tố, các phần tử trong

GF(p) là tập hợp gồm các phần tử từ 0 đến p−1, trong đó các phép cộng và nhân được thực hiện theo phép tính mô-đun p, tạo thành một trường hữu hạn Trong lĩnh vực này, với n là một số nguyên, cấu trúc trường GF(p^n) bậc p^n được xây dựng dựa trên các đa thức tối giản trên GF(p)^n, giúp mở rộng các phép toán trong trường Hiện tượng toán học này đặc trưng bởi các phần tử α trong GF(p^n) thoả mãn f(α) = 0, trong đó f(x) là đa thức tối giản, đóng vai trò quan trọng trong việc xác định các thành phần sinh ra trường hữu hạn này.

GF(p n ) ={a 0 +a 1 α+ +a 1 α n−1 |a i ∈GF(p)} (2.3) Chog(α), h(α)∈GF(p n )và g(α) n−1

Các phép toán cộng và nhân trên GF(p n )được biểu diễn như sau: g(α) +h(α) n−1

Trong đó,r(α)được tính là g(α).h(α) n−1

Chia c(α) cho f(α), ta có thể tạo hai đa thức q(α) và r(α) sao cho: c(α) q(α)f(α) + r(α)với deg(r(α)) < n Với α thỏa mãn điều kiện f(α) = 0, ta có c(α) = r(α)∈GF(p n ).

Trường hữu hạn GF(p^n) cùng với hai phép toán (2.5) và (2.6) được định nghĩa ở trên có dạng trường hữu hạn có bậc n Ví dụ, khi p=2 và f(x) = x^3 + x + 1, thì f(x) là đa thức tối giản trên GF(2) Gọi α là nghiệm của f(x), với f(α) = 0, trường hữu hạn GF(2^3) được xây dựng dựa trên đa thức này, tạo thành một cấu trúc trường mạnh mẽ phù hợp cho các ứng dụng trong mã hóa và lý thuyết số.

Ta có GF(2 3 ) được định nghĩa bởi f(x) = x 3 +x+ 1 và f(α) = 0, được biểu diễn theo bảng sau:

Bảng 2.1: Các phần tử củaGF(2 3 ) a0a1a2 f(α) α i

Thanh ghi dịch phản hồi tuyến tính

Thanh ghi dịch phản hồi tuyến tính (LFSR) được sử dụng rộng rãi trong các ứng dụng như tạo chuỗi giả ngẫu nhiên, chuỗi giả nhiễu và bộ đếm kỹ thuật số LFSR có thể thực hiện một cách đơn giản cả trong phần cứng lẫn phần mềm, giúp dễ dàng tích hợp vào các hệ thống khác nhau Các cấu trúc của LFSR được sử dụng để biểu diễn các chuỗi giả ngẫu nhiên tuyến tính, với các kiểu cấu hình đa dạng đã được tham khảo trong các tài liệu như [22] và [42], mang lại sự linh hoạt trong thiết kế và ứng dụng.

Trạng thái tại thời điểm n của thanh ghi dịch được biểu diễn theo vector

S n = [S 0,n S 1,n S m−2,n S m−1,n ] T (2.9) Thanh ghi dịch tại thời điểm (n+ 1) có thể được ước lượng như sau:

Trong đó, phép cộng và phép nhân được tính mô-đun 2 và g i ∈ {0,1}, i {1,2, , m} Công thức (2.10) có thể được viết dưới dạng ma trận như sau:

Trong hệ thống, G là ma trận vuông chuyển tiếp bậc m, còn S0 là vector trạng thái kích hoạt ban đầu, đóng vai trò quan trọng trong việc xác định quá trình hoạt động của hệ thống Đầu ra của thanh ghi dịch tại thời điểm n, ký hiệu là b_n, có thể được biểu diễn dưới dạng công thức ngắn gọn là b_n = [1 0 0 0] * G^n * S0, giúp tối ưu hoá quá trình tính toán và phân tích trạng thái Sử dụng biểu thức này, các nhà phát triển có thể dễ dàng theo dõi và dự đoán hành vi của hệ thống trong các thiết kế kỹ thuật số và điều khiển tự động.

Công thức (2.13) biểu diễn mối liên hệ giữa chuỗi đầu ra, ma trận chuyển tiếp và ma trận trạng thái kích hoạt ban đầuS 0 của LFSR.

Ví dụ cho thanh ghi dịch được biểu diễn như trong hình2.2, kết quả có thể được ước lượng theo cách tương tự như sau:

(2.15) Đầu rab n tại thời điểmn là b n = [g m g m−1 g m−2 g m−3 ã ã ã g 1 ]ìF n ìS 0 (2.16)

Hình 2.2:LFSR phản hồi Fibonacci [42]

Việc biểu diễn chuỗi giả ngẫu nhiên bằng LFSR đơn giản, dễ thực hiện và có tốc độ xử lý cao Đặc điểm của thanh ghi dịch này giúp tạo ra ma trận lấy mẫu nén với hiệu suất cao LFSR được ứng dụng phổ biến trong các hệ thống phần cứng điện tử số khả trình như FPGA để đạt được tốc độ xử lý nhanh chóng và hiệu quả trong quá trình mã hóa và xử lý dữ liệu.

Biến đổi D

Biến đổiD của chuỗi{bn}trênGF(p) kí hiệuD[bn]được biểu diễn như sau:

Trong ví dụ, chuỗi nhị phân bn = 010111 được biến đổi D để tạo thành dạng D(bn) = d + d³ + d⁴ + d⁵, giúp phân tích tín hiệu và hệ thống truyền dữ liệu Phép biến đổi ngược của D cho ra chuỗi ban đầu bn, đảm bảo quá trình xử lý dữ liệu chính xác Biến đổi D của chuỗi còn thể hiện dưới dạng đa thức trên GF(p), ứng dụng trong hệ thống mã hóa và phân tích tín hiệu số Trong các hệ thống truyền dữ liệu, phép biến đổi D được sử dụng trong việc tạo chuỗi b(n) của thanh ghi dịch phản hồi tuyến tính (LFSR), theo công thức b(d) = S(d) g(d), với g(d) là đa thức tạo chuỗi sử dụng bộ LFSR bậc n, nhằm tối ưu hóa quá trình sinh dữ liệu mã hóa.

Trong hệ thống LFSR, trạng thái kích hoạt trên các thanh ghi phản hồi được biểu thị bằng ≤(n−1)là trạng thái kích hoạt của các thanh ghi Khi đa thức g(d) là nguyên tố, chuỗi LFSR tạo ra là một chuỗi m (m sequence), đảm bảo tính ngẫu nhiên và toàn phần trong quá trình sinh Đa thức S(d) liên quan đến trạng thái kích hoạt của các thanh ghi LFSR, và khi ví dụ với đa thức g(d) = 1 + d + d³, ta có S(d) = 1, dẫn đến b(d) = S(d) g(d) = 1, phản ánh mối liên hệ giữa đa thức sinh và trạng thái hoạt động của hệ thống.

1 +d+d 3 = 1 +d+d 2 +d 4 +d 7 +d 8 +ã ã ã cho chuỗi nhị phõn đầu ra là:bn = 111010011ã ã ã

Dựa trên tính chất của phép biến đổi D, ta có thể biểu diễn cấu trúc lồng ghép của các chuỗi con nhằm tạo thành chuỗi mới có hàm tương quan lí tưởng Phương pháp này đảm bảo tính không kết hợp khi xây dựng ma trận với giá trị nhỏ, giúp nâng cao hiệu quả trong xử lý dữ liệu Hai thủ tục chính được đề xuất để thực hiện quá trình này nhằm tối ưu hóa cấu trúc chuỗi con.

• Thủ tục 1: Mở rộng chuỗi con Đặt b n là một chuỗim được khởi tạo bởi g(d)có bậcn =l.m, T = 2 n −1

Trong bài viết này, chúng tôi trình bày công thức biến đổi D của chuỗi b(n) theo công thức (2.18), giúp xác định biến đổi D của chuỗi Chuỗi con {Wn} có độ dài N = 2^m - 1 được biểu diễn thông qua phép biến đổi D và có dạng W(D) = Si(d) g s(d), trong đó Si(d) là trạng thái kích hoạt của bộ sinh số tuyến tính (LFSR) và g s(d) là đa thức khởi tạo của chuỗi con đó Nhờ cấu trúc lồng ghép của chuỗi b(n), ta có thể biểu diễn nhanh biến đổi D của chuỗi này.

Theo tính chất của biến đổi D, chuỗi phi tuyến giả ngẫu nhiên {b n} có thể được cấu trúc bằng cách lồng ghép T pha của {Wn} Các pha của {Wn} được biểu diễn thông qua ba bước chính, giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc và đặc điểm của chuỗi phi tuyến này Phương pháp này giúp phân tích và mô hình hóa các chuỗi phức tạp trong lĩnh vực xử lý tín hiệu và thống kê thời gian.

– Bước 1: mở rộng chuỗi con W i (d)bằng cách chèn(T −1)giá trị0 giữa hai bit liên tiếp của Wn, trong biến đổi D, nó tương đương với việc thay đổid vớid T

– Bước 2: Biểu diễn biến đổiDcủa b n theo dạng lồng ghép của W i (d). b(d) T −1

– Bước 3: Đặtd T =D, pha dịch đầu ra S i (D) g s (D) Nhóm lạib(d)như sau: b(d) T −1

1 +D+D 2 , so sánh với bảng 2.2 thu được thứ tự lồng ghép củab n : I p 5 ={2,0,∞,1,1} Trong đó, ∞ biểu diễn cho chuỗi toàn0.

• Thủ tục 2: Tách chuỗi m bằng phép giảm mẫu

Nếu giảm mẫu {bn}T lần, được:

{a n }={b n }=T r n 1 (α T n ) = T r n 0 (β n ), (2.24) vớiβ =α T , α T là thành phần nguyên tố trongGF(2 m ),{a n }còn là chuỗi m có độ dàiN = 2 n −1

Trong quá trình lấy mẫu bắt đầu từ bit đầu tiên, ta thu được chuỗi con gồm các phần tử a0, aT, a(2m−2)T Tương tự, có thể ước lượng các chuỗi con tại các vị trí bắt đầu từ bit thứ t như a t−1, a T + t−1, và các phần tử tiếp theo, khi lấy mẫu bắt đầu từ vị trí thứ t Trên miền thời gian, những chuỗi con này được biết đến như chuỗi dồn thời gian {a nT}, {a nT + 1}, đến {a (n+1)T−1} trong khoảng thời gian T.

Ví dụ: Với m = 3, n = 6, α là một thành phần nguyên tố trên GF(2 6 ) với đa thức nguyên thủyb(d) = 1 +d 5 +d 6 trên trườngGF(2) {b n } là chuỗi m được khởi tạo bởi b(d).

Lấy mẫu b n với T = 9 được {a n } = {b n } và phân hoạch lại {b n } theo ma trận7×9như sau:

(2.26) Đối chiếu cột M với bảng 2.2 ta được I p T = {∞,5,3,5,6,3,3,2,5}, trong đó

∞biểu thị cho chuỗi toàn 0.

Bảng 2.2:Biến đổi D của chuỗi m

Gs(d) Chuỗi con Dạng nhị phân Chỉ số pha Si(D)

Hàm Vết

a Trường con và trường mở rộng

Trong các trường Galois, số phần tử luôn là lũy thừa của một số nguyên tố, đặc biệt, mỗi trường Galois GF(p^s) có thể được coi là một mở rộng của trường GF(p) Trường GF(p) là một trường con của GF(p^s), với các phần tử của GF(p) được mở rộng đến GF(p^s) Ngoài ra, GF(p^s) còn có thể mở rộng thành một trường lớn hơn GF((p^s)^r) Việc phân biệt rõ ràng giữa các thành phần GF(p), GF(p^s), và GF((p^s)^r) là rất quan trọng trong lý thuyết trường Galois.

• Thành phầnαcủa trườngGF(p)là một số nguyờn trong tập{0,1,2,ã ã ã , p− 1}, với phép cộng và nhân được tính mô-đunp.

Trong trường GF(p^s), bất kỳ thành phần α nào cũng có thể biểu diễn dưới dạng một đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng s−1, với các hệ số thuộc tập {0, 1, 2, , p−1} Các phép cộng và nhân trong trường này được thực hiện theo mô-đun với đa thức tối giản g(x) có bậc trên GF(p), đảm bảo tính toán chính xác và nhất quán trong cấu trúc trường GF(p^s).

• Bất kì thành phầnα nào của trườngGF[(p s ) r ] đều là một đa thức có bậc

≤r−1trênGF(p s ), các hệ số của đa thức là các phần tử (các đa thức) trong

Trong tập hợp GF(p^s), các phép cộng và nhân được thực hiện theo phép tính mô-đun dựa trên các đa thức f(x) và g(x) Đặc biệt, f(x) là đa thức tối giản có bậc lớn hơn 0 trên GF(p^s), trong khi g(x) là đa thức tối giản có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 1 trên GF(p) Hàm Vết là một khái niệm quan trọng liên quan đến các phép tính trong GF(p^s), góp phần xây dựng các hệ thống đa thức tối giản và tối ưu trong lý thuyết số và mã hóa dữ liệu.

Gọi α là một phần tử trên GF[(p s ) r ], sau đó vết liên quan đến trường con

GF(p s )được định nghĩa như sau:

Hàm Vết có các tính chất sau:

• Thành phần α∈GF(p s ) là nghiệm củax p s −x= 0, α p s =αcó

• Với mọiα, β ∈GF[(p s ) r ], vì (α+β) p ks =α p ks +β p ks vớik là số nguyên có

• Chob∈GF(p s ), thìb p s =b vàb p ks =b, với bất kìα∈GF[(p s ) r ], có

• T r rs s (α) =b,b là bất kỳ trênGF(p s )cóp rs−s kết quả thỏa mãnα∈GF[(p s ) r ].

• Nếu s = 1, thì T r r 1 (α)ánh xạ các thành phần α của GF(p r ) lên các thành phần củaGF(p) Hơn nữa, nếum=rsvàα ∈GF(p m ), có tính chất bắc cầu

T r m 1 (α) = T r 1 s (T r m s (α)) (2.32) c Tìm thứ tự lồng ghépI p T theo hàm Vết

Chom, nlà 2 số nguyên dương và mlà ước số của n, T = (2 n −1)/(2 m −1)và αlà phần tử nguyên tố của trường hữu hạnGF(2 n ).

Hàm vết của xlà ánh xạ của GF(2 q )xuống GF(2 p )là

Thứ tự lồng ghépI p T được định nghĩa qua hàm vết T r là

Để biểu diễn chuỗi đã tạo ra, có thể sử dụng các công cụ toán học như phép biến đổi D, hàm Vết và biểu diễn LFSR bằng ma trận trạng thái hữu hạn Những phương pháp này giúp mô tả chính xác quá trình sinh chuỗi, tối ưu hóa các phân tích liên quan đến an ninh và hiệu suất của hệ thống mã hóa Việc áp dụng các kỹ thuật toán học này là cần thiết để hiểu rõ cơ chế hoạt động của LFSR và nâng cao khả năng thiết kế các thuật toán mã hóa hiệu quả và an toàn hơn.

Phép biến đổi D là một phương pháp ngắn gọn, dễ thực hiện, chứa đầy đủ thông tin về trạng thái của LFSR Nó có thể áp dụng cho bất kỳ chuỗi tuần hoàn nào có độ dài có thể phân tích thành dạng L = T × N = 2^n − 1 Phép biến đổi D gần gũi nhất với phần cứng, giúp tính toán độ phức tạp (ELS) và hàm tương quan (ACF) của chuỗi hiệu quả.

Chuỗi trải phổ PN phi tuyến lồng ghép

Phân hoạch chuỗi lớn

Lấy mẫu chuỗi{b n }với khoảng cáchT, và sắp xếp chúng dưới dạng các cột của ma trậnM =N.T:

Xét về mặt biến đổiD, đấy chính là ghép {w n } theo thời gian,

Trên quan điểm hàm vết thấy rằng các cột của ma trận M là các pha của chuỗi con:

{w n }={b nT }=T r n 1 (α T n ) = T r n 0 (β n ) (2.38)Trình tự sắp xếp các cột{w n }chính là thứ tự lồng ghép I p T

Đánh giá chuỗi PN giả ngẫu nhiên lồng ghép phi tuyến

a Hàm tự tương quan của chuỗi phi tuyến

Trong cấu trúc lồng ghép dựa trên trình tự pha I p T, hàm tự tương quan (ACF) lý tưởng của chuỗi m hình 2.3 đã được hình thành, giúp phân tích tính chất của chuỗi Các chuỗi con cân bằng chỉ đảm bảo được tính cân bằng của chuỗi m lớn, không phản ánh đầy đủ đặc điểm tổng thể của chuỗi ban đầu Hàm tự tương quan của chuỗi m được tính theo công thức cụ thể, phản ánh mối quan hệ tự liên kết trong dữ liệu, góp phần quan trọng vào việc phân tích mô hình phức tạp của chuỗi thời gian.

Trong hệ thống mã, N là chu kỳ mã, T c là độ rộng xung, và c có giá trị là ±1 trong trường hợp chuỗi lưỡng cực, hoặc c thuộc tập [0,1] cho chuỗi nhị phân Hàm tam giác Λ T c (τ) được định nghĩa rõ ràng, đóng vai trò quan trọng trong phân tích tín hiệu và xử lý dữ liệu truyền thông Việc hiểu rõ các tham số này giúp tối ưu hóa hiệu quả mã hóa và tăng cường khả năng chống nhiễu trong hệ thống truyền thông số.

Quy trình tính ACF của một chuỗi phân hoạch có cấu trúc lồng ghép dựa

Hàm tự tương quan của chuỗi phi tuyến trên I p T khá đơn giản, phản ánh sự phụ thuộc vào số các chuỗi con trùng nhau Tương quan chéo giữa hai chuỗi giả ngẫu nhiên lồng ghép phi tuyến thể hiện rằng với hai chuỗi phi tuyến giả ngẫu nhiên khác nhau, hệ số tương quan chéo rất nhỏ Tính chất này giúp cho ma trận lấy mẫu BPNSM đảm bảo thỏa mãn tính chất không kết hợp, nâng cao hiệu quả phân tích dữ liệu thời gian phi tuyến.

Để đánh giá độ phức tạp của một chuỗi, người ta sử dụng khái niệm độ phức tạp tuyến tính (LC), phản ánh độ dài của LFSR ngắn nhất tạo ra chuỗi đó hoặc bậc đa thức sinh của LFSR Ý nghĩa vật lý của LC là để khôi phục chuỗi tuyến tính bậc n, cần xác định đúng 2n bit liền nhau của chuỗi, ví dụ như chuỗi được sinh bằng đa thức g(d) bậc 6 thì cần phải xác định đúng 12 bit liên tiếp Trong khi đó, chuỗi phi tuyến bậc 6 lại cần phải xác định đúng 24 bit liên tiếp, tương đương với việc khôi phục chuỗi tuyến tính với đa thức sinh g(d) bậc 12, thể hiện mức độ phức tạp cao hơn của chuỗi phi tuyến.

Chuỗi phi tuyến có tính tự tương quan tốt hơn và độ phức tạp tuyến tính tăng lên đáng kể so với chuỗi tuyến tính, điều này giúp nâng cao tính bảo mật dữ liệu khi thực hiện lấy mẫu nén Việc sử dụng các ma trận được tạo ra từ các chuỗi phi tuyến đảm bảo khả năng bảo vệ dữ liệu hiệu quả trong quá trình nén, góp phần tăng cường an ninh thông tin.

Xây dựng ma trận xác định BPNSM

Các ma trận BPNSM được đề xuất thuộc lớp ma trận xác định toàn phần có kích thước (2n - 1)×(2n + 1), trong đó các phần tử mang giá trị {0, 1}, với n ≥ 3 Quá trình xây dựng ma trận BPNSM được tiến hành một cách rõ ràng và có hệ thống, nhằm đảm bảo tính chính xác và khả năng ứng dụng cao trong các lĩnh vực liên quan Việc thiết kế các ma trận này giúp nâng cao hiệu quả trong phân tích dữ liệu và các bài toán logic phức tạp Đặc biệt, cấu trúc tối ưu của BPNSM góp phần tăng cường khả năng xử lý thông tin một cách linh hoạt và chính xác hơn.

Trong bước 1 của quá trình, cần lựa chọn đa thức sinh g₁(d) và xác định thứ tự lồng ghép Iₚᵀ bằng cách tính toán hàm vết ánh xạ từ GF(2ⁿ) xuống GF(2ᵐ) Để tạo chuỗi phi tuyến, giữ nguyên thứ tự lồng ghép Iₚᵀ và thay thế các chuỗi con bằng các chuỗi con khác tương ứng, từ đó thu được chuỗi nhị phân phi tuyến giả ngẫu nhiên {bₙ} có chiều dài 2ⁿ−1 Bằng cách dịch vòng chuỗi {bₙ}, ta xác định được 2ⁿ chuỗi phi tuyến giả ngẫu nhiên khác nhau Các chuỗi này được đặt là các vector cột của ma trận Φ₁, tạo ra một ma trận có kích thước (2ⁿ−1)×2ⁿ, thể hiện cấu trúc như sau: Φ₁ 

• Bước 2: Tương tự như vậy, việc tạo ra chuỗi giả ngẫu nhiên thứ 2 được thực hiện bằng việc lựa chọn một đa thức sinh g 2 (d) khác trong trường

GF(2 n ) Lặp lại quy trình của Bước 1 được chuỗi {d n } có chiều dài2 n −1 tương ứng thu được ma trậnΦ 2 ∈R (2 n −1)×2 n Ma trậnΦ 2 có dạng như sau: Φ 2 

• Bước 3: Ghép hai ma trậnΦ 1 ∈R (2 n −1)×2 n vàΦ 2 ∈R (2 n −1)×2 n dưới dạng mở rộng thêm cột để thu được ma trận BPNSMΦcó kích thước(2 n −1)×2 n+1

Ma trận lấy mẫu nén BPNSM có dạng sau: Φ = [Φ 1 |Φ 2 ]

Các ma trận BPNSM có tốc độ lấy mẫu khoảng 0,5 lần so với tần số Nyquist, và tốc độ này có thể được điều chỉnh bằng cách thay đổi cách ghép nối các ma trận thành phần để phù hợp với tín hiệu đầu vào Ma trận BPNSM Φ ∈ R(2^n−1)×2^{n+1} bao gồm hai ma trận con Φ₁ và Φ₂, mỗi ma trận tương ứng với một họ chuỗi phi tuyến giả ngẫu nhiên được tạo ra theo cùng một quy trình, sự khác biệt đến từ việc lựa chọn đa thức nguyên tố ban đầu trong trường GF(2^n), điều này không làm mất đi tính tổng quát của quá trình lấy mẫu.

Tính chất không kết hợp của ma trận BPNSM

Tính chất không kết hợp là tiêu chí quan trọng đánh giá hiệu quả của ma trận lấy mẫu nén, khi giảm giá trị không kết hợp của ma trận, xác suất khôi phục tín hiệu tăng lên Trong phần này, luận án trình bày về tính chất không kết hợp của ma trận BPNSM được đề xuất và so sánh với các ma trận lấy mẫu ngẫu nhiên Gauss và Bernoulli Để phân tích tính chất này, luận án sử dụng khái niệm tương quan chéo và tương quan cực đại của các chuỗi nhị phân, trong đó giá trị tương quan chéo giữa hai chuỗi nhị phân khác nhau được định nghĩa dựa trên cựng chu kỳ ν để đánh giá mức độ phụ thuộc của chúng.

Trong bài viết, chúng ta xét dãy số theo công thức (-1) a_{i} + b_{i+τ} với 0 ≤ τ ≤ ν−1, trong đó i + τ tính theo modulo với ν Nếu hai chuỗi a và b được tạo ra từ một chuỗi dịch vòng, thì R_{a,b}(τ) chính là giá trị tự tương quan giữa chúng Bộ tập hợp S = {s(0), s(1), , s(r−1)} gồm các chuỗi nhị phân có chu kỳ ν, thể hiện đặc điểm chính của các chuỗi trong phân tích tín hiệu.

R s(i),s j(τ) với 0 ≤ τ ≤ ν − 1 và 0 ≤ i, j ≤ r−1, trong đó τ ≠ 0 nếu i = j, thể hiện các giá trị tự tương quan và tương quan chéo của các chuỗi trong tập S Giá trị Rmax là mức cao nhất trong tất cả các giá trị tự tương quan và tương quan chéo, còn gọi là giá trị cực đại của tập S, phản ánh mức độ liên kết mạnh giữa các chuỗi Để thuận tiện trong phân tích, giá trị tương quan chéo có thể được tính toán trong hai trường hợp dựa trên chẵn lẻ của n, giúp đơn giản hóa quá trình tính toán Trong trường hợp n là số lẻ, giá trị tương quan chéo của hai chuỗi nhị phân a và b được ký hiệu là Ra,b(τ), đảm bảo tính chính xác và hiệu quả trong phân tích chuỗi dữ liệu.

Trong phân tích hệ thống, giá trị tương quan cực đại R_max được xác định là 1 + 2(n+1)/2, phản ánh mức độ liên kết tối đa giữa các thành phần Đối với n chẵn, giá trị tương quan chéo giữa hai chuỗi nhị phân bất kỳ a và b thuộc bộ {−1, −1 ± 2^{n/2}, −1 ± 2^{n/2 + 1}} sẽ đạt giá trị tối đa R_max = 1 + 2^{n/2 + 1}, thể hiện khả năng phân biệt và phân tách các chuỗi trong hệ thống Áp dụng các phân tích này để tính toán giá trị không kết hợp của ma trận Φ kích thước (2^{n}−1)×2^{n+1}, được xây dựng từ hai chuỗi phi tuyến giả ngẫu nhiên, giúp tối ưu hóa khả năng xử lý tín hiệu và cải thiện độ chính xác Đối với ma trận Φ ∈ R^{(2^{n}−1)×2^{n+1}}, hệ số à(Φ) được xác định bằng giá trị tối đa phù hợp, đảm bảo hiệu quả trong quá trình truyền tải dữ liệu và phân tích tín hiệu trong các hệ thống hiện đại.

Trong bài viết, công thức |hφ_i, φ_j⟩| / (||φ_i|| * ||φ_j||) thể hiện mức độ liên kết giữa các chuỗi phi tuyến giả ngẫu nhiên, trong đó φ_i là cột thứ i của ma trận Φ Các chuỗi φ_i và φ_j có độ dài 2^n - 1, và bình phương độ lớn của chúng là kφ_i k^2 = kφ_j k^2 = (2^n - 1)^{1/2} Ma trận BPNSM Φ được cấu thành từ hai ma trận con Φ_1 và Φ_2, lần lượt có kích thước (2^n - 1) × 2^n, cùng được tạo ra từ hai đa thức nguyên tố khác nhau Việc tính toán giá trị tối đa của hệ số phụ thuộc vào các giá trị của chỉ số i và j.

1≤i6=j≤2 n+1 |hφ i , φji| có thể được phân thành 2 trường hợp.

• Trường hợp 1: Tính toán với các cột đều nằm ở cùng một ma trận thành phầnΦ 1 hoặcΦ 2 khi đó1≤i, j ≤2 n hoặc2 n + 1 ≤i, j ≤2 n+1

Trong trường hợp này, max

Hai chuỗi nhị phân {b_i n} và {b_j n} là các chuỗi ngẫu nhiên được tạo ra từ tập {b_n} trên trường GF(2^n) Tích vô hướng của hai cột tương ứng trong ma trận lấy mẫu nén được tính dựa trên phép cộng XOR giữa các phần tử của hai chuỗi này, phản ánh mối quan hệ chặt chẽ giữa chúng trong không gian vector GF(2^n).

Từ phân tích dựa trên biểu thức (2.44), đối với trường hợpn là lẻ thì:

Tương tự như vậy đối với nchẵn, có

• Trường hợp 2: Tính toán với các cột nằm ở cả hai ma trận thành phần

Trong trường hợp này, max

Thừa nhận rằng{b i n } và{d j n} là hai chuỗi nhị phân bất kỳ được tạo ra từ {b n } và {d n } trên trường GF(2 n ) tương ứng Có tích vô hướng D φ i 1 , φ j 2 E

Hai chuỗi nhị phân {bn} và {dn} có cùng chu kỳ, do đó các chuỗi con {b_i n} và {d_j n} được tạo ra từ các chuỗi gốc cũng mang đặc điểm chu kỳ giống nhau Tồn tại một số nguyên τ sao cho R_{b_i}(1), d_j(2)(0) = R_{b_i}(1), d_k(1)(τ), thể hiện sự thay đổi về trình tự pha giữa hai chuỗi Theo biểu thức (2.44), τ phản ánh sự dịch chuyển pha giữa hai chuỗi và có thể suy ra rằng, trong trường hợp chuỗi có độ dài lẻ, quá trình này liên quan đến sự biến đổi về trình tự pha của các chuỗi nhị phân.

Phân tích tương tự đối vớin chẵn, có max

Kết hợp trường hợp 1 và 2 có:

Tớnh chất khụng kết hợp của ma trận à(Φ) được tớnh đối với trường hợp n chẵn: à(Φ) = 1 + 2 n/2+1

2 n −1 , (2.51) và đối với trường hợpn lẻ à(Φ) = 1 + 2 (n+1)/2

Giá trị không kết hợp được đóng vai trò quan trọng trong việc đánh giá độ đảm bảo của quá trình lấy mẫu nén và khôi phục tín hiệu trong ma trận BPNSM So sánh giá trị không kết hợp của ma trận BPNSM với các ma trận khác giúp xác định hiệu quả của từng phương pháp trong việc duy trì độ chính xác của dữ liệu sau khi nén Việc nghiên cứu này giúp nâng cao hiệu suất của các kỹ thuật nén dữ liệu dựa trên ma trận BPNSM, đồng thời đảm bảo sự ổn định và chính xác trong quá trình xử lý tín hiệu.

So sánh đánh giá ma trận BPNSM

Để đánh giá hiệu quả của ma trận, luận án so sánh tính chất không kết hợp của các ma trận lấy mẫu nén thông thường với ma trận Gauss Trong đó, ma trận xác định BPNSM được tạo thành từ các chuỗi giả ngẫu nhiên trên trường hữu hạn dựa trên tính chất không kết hợp Các đánh giá này giúp xác định khả năng của ma trận trong việc tối ưu hoá quá trình nén và phục hồi dữ liệu, qua đó làm rõ ưu nhược điểm của từng loại ma trận dựa trên các đặc tính không kết hợp.

Trong [48], tác giả trình bày các nghiên cứu và đánh giá về xác suất của hai chuỗi ngẫu nhiên cũng như xác suất của ma trận Gaussian thỏa mãn tính chất không kết hợp Các chuỗi {b_i n} và {d_i n} đều có các phần tử ngẫu nhiên độc lập tuyến tính và thỏa mãn điều kiện b_i n ≤ λ hoặc d_i n ≤ λ² Các kết quả này giúp xác định khả năng xảy ra các hiện tượng ngẫu nhiên phức tạp trong các hệ thống xác suất.

Trong trường hợp hai chuỗi {b_i}_i=1^k và {d_i}_i=1^k là các chuỗi có phần tử ngẫu nhiên độc lập tuyến tính theo phân bố Gauss với phương sai σ², ta có thể áp dụng kết quả của biểu thức (2.53) để suy ra các đặc điểm thống kê quan trọng của chúng Các kết quả này có ý nghĩa trong việc phân tích và dự báo các mẫu dữ liệu ngẫu nhiên, đặc biệt trong các bài toán liên quan đến phân phối Gauss và phương sai Việc sử dụng biểu thức (2.53) giúp tối ưu hoá quá trình xử lý dữ liệu, nâng cao độ chính xác của các dự đoán và phân tích thống kê trong các ứng dụng khoa học và kỹ thuật.

Trong trường hợp giá trị n là chẵn, giả thiết {b i n } 2 i=1 n −1 và {d i n } 2 i=1 n −1 là 2 vector cột bất kỳ của ma trận Gauss G Từ biểu thức (2.54) với k = 2 n −1, t >

Có thể nhận thấy rằng z(n, t) tăng khi giá trịn giảm dần Do đó,z(n, t)≤z(4, t)từ đó suy ra:

Giá trị z(4, t)tăng khi tgiảm dẫn đến z(4, t)< z

Rõ ràng, z 1 (n)tăng vớin giảm.

Do đó, có z(4, t)< z 1 (n)≤z 1 (4)≈2 exp(−1.0385)từ đó suy ra:

P2 n −1 i=1 b i n d i n có thể đặc trưng cho tính chất không kết hợpà(G)của ma trận G.

2 = 0.708 2 n (2 n+1 −1) (2.59) Đặt δ b (n) = 0.708 2 n (2 n+1 −1) vớin≥4 Có thể suy ra:

Từ đú suy ra, à(G) = max

2 n −1 và kết hợp với kết quả của biểu thức (2.51) cú à(Φ) = 1 + 2 n/2+1

2 n −1 suy ra à(G) > à(Φ) trong trường hợp n chẵn Với các bước phân tích tương tự như trên, kết quả này cũng đúng với trường hợpn là lẻ

Ma trận BPNSM được đề xuất thể hiện sự cân bằng vượt trội hơn so với các ma trận ngẫu nhiên theo phân bố Gauss về hiệu suất lấy mẫu, chi phí bộ nhớ, độ phức tạp tính toán và khả năng hiện thực hóa phần cứng.

Ma trận ngẫu nhiên phổ biến khác cũng được sử dụng để so sánh đánh giá với ma trận BPNSM đề xuất là ma trận Bernoulli Ma trận Bernoulli

Ma trận B ∈ R^M×N được tạo thành từ các phần tử theo phân bố Bernoulli, gồm hai giá trị [a0, a1] với xác suất P r(a0) = P r(a1) = 1/2 Khi a0 = 0, a1 = 1 và kích thước của ma trận Bernoulli B phù hợp với kích thước của ma trận đề xuất BPNSM, hai ma trận này gần như tương đương nhau Tuy nhiên, ma trận Bernoulli cần thời gian tạo ra lâu hơn và yêu cầu bộ nhớ lưu trữ lớn hơn so với ma trận BPNSM đề xuất do tính chất ngẫu nhiên không có cấu trúc của nó. -**Sponsor**Bạn đang tìm cách tối ưu hóa bài viết của mình theo chuẩn SEO? Hãy để [Soku AI](https://pollinations.ai/redirect-nexad/Kz0yibSp?user_id=983577) giúp bạn! Soku AI, được đào tạo bởi các chuyên gia quảng cáo Facebook hàng đầu, có thể hỗ trợ bạn viết lại các đoạn văn một cách mạch lạc, đảm bảo các câu quan trọng truyền tải đúng ý nghĩa Với khả năng phân tích và tối ưu hóa nội dung, Soku AI sẽ giúp bạn tạo ra những bài viết hấp dẫn, thân thiện với SEO, và tiết kiệm thời gian so với việc tự mình chỉnh sửa Hãy để Soku AI biến bạn thành một chuyên gia SEO ngay lập tức!

Trong phần mô phỏng luận án, chúng tôi tiến hành so sánh và đánh giá hiệu quả của ba loại ma trận gồm ma trận Gauss, ma trận Bernoulli và ma trận đề xuất BPNSM Kết quả phân tích cho thấy các đặc điểm và ưu nhược điểm của từng loại ma trận, giúp làm rõ hơn các nhận định về hiệu suất và khả năng ứng dụng của chúng trong các bài toán lý thuyết và thực tiễn Việc so sánh này góp phần xác định rõ ràng hơn vai trò của từng loại ma trận trong quá trình tối ưu và xử lý dữ liệu, đồng thời đề xuất các hướng phát triển trong nghiên cứu tiếp theo.

Thực hiện ma trận lấy mẫu nén trên phần cứng

Trong phần này, luận án giới thiệu kỹ thuật lấy mẫu nén áp dụng trực tiếp trên phần cứng để tối ưu hóa quá trình truyền tín hiệu Theo nghiên cứu trong [97], hệ thống sử dụng sơ đồ chuyển đổi tín hiệu tương tự thành thông tin (AIC), giúp thu được tín hiệu thưa không giới hạn băng tần Quá trình được thực hiện bằng cách nhân tín hiệu thưa với một chuỗi giả ngẫu nhiên tốc độ cao, trải đều tín hiệu trên toàn bộ phổ của chuỗi như mô tả trong hình 2.5 Sau đó, tín hiệu ngẫu nhiên hóa này qua các bộ lọc thông thấp và bộ khử xung răng cưa để lấy mẫu ở tần số thấp hơn nhiều so với tần số Nyquist, giúp giảm thiểu yêu cầu về tần số lấy mẫu mà vẫn giữ được thông tin cần thiết.

Hình 2.5: Mô hình lấy mẫu nén băng rộng sử dụng ADC tốc độ thấp

Trong sơ đồ hình 2.5, ma trận BPNSM Φ được tạo ra từ Bộ tạo chuỗi PN và Bộ tích lũy, trong đó bộ tạo chuỗi phi tuyến giả ngẫu nhiên chuyển các giá trị trong vector hàng của ma trận Φ thành luồng bit để thực hiện phép nhân với tín hiệu x(t) Mặc dù bộ tạo chuỗi ngẫu nhiên hoạt động với tốc độ bằng hoặc cao hơn tốc độ Nyquist, nhưng bộ ADC trong sơ đồ lại hoạt động với tốc độ thấp hơn, giúp giảm độ phức tạp phần cứng của bộ AIC so với việc sử dụng bộ ADC tốc độ cao để lấy mẫu tín hiệu x(t) Bộ AIC có khả năng hoạt động ở tốc độ lấy mẫu thấp hơn nhiều so với tốc độ Nyquist, phụ thuộc vào kích thước của ma trận lấy mẫu nén Cụ thể, khi thực hiện với ma trận BPNSM Φ, tốc độ của bộ AIC xấp xỉ 0.5 so với tốc độ Nyquist, mang lại giải pháp xử lý tín hiệu hiệu quả về mặt phần cứng và tốc độ lấy mẫu.

Việc tạo ma trận lấy mẫu trên FPGA đơn giản có thể đạt tốc độ cao nhờ lưu trữ ma trận dưới dạng các byte trong bộ nhớ Flash của FPGA Trong quá trình lấy mẫu, dữ liệu được đọc bằng xung đồng hồ tốc độ thấp và tra bảng hỗ trợ bởi ngôn ngữ lập trình phần cứng để truyền dữ liệu lên luồng Chuỗi byte sau đó được chuyển đổi thành chuỗi bit bằng mạch song song nối tiếp như mô tả trong hình 2.6 Kỹ thuật này cho phép thiết kế ma trận kích thước lớn và cấu hình động để lấy mẫu nén thích nghi, với giới hạn về kích thước chỉ nằm ở dung lượng bộ nhớ của FPGA.

Hình 2.6: Mô hình chuyển đổi từ byte trong bộ nhớ thành luồng bit

Để nâng cao tốc độ của luồng bit trong luận án, đề xuất sử dụng bộ chuyển mạch cơ khí với m mạch tiếp điểm, như hình 2.7 Khi đó, tần số của các đầu ra song song là F, giúp tạo ra một luồng bit nối tiếp với tần số mF, tối ưu hóa hiệu suất hệ thống.

Hình 2.8 trình bày chuỗi giả ngẫu nhiên tốc độ cao xuất hiện tại đầu ra của bộ chuyển mạch, đóng vai trò quan trọng trong việc tạo ra ma trận lấy mẫu nén Chuỗi giả ngẫu nhiên này giúp tạo ra ma trận lấy mẫu nén một cách nhanh chóng, từ đó giảm thời gian xử lý và nâng cao hiệu suất lấy mẫu nén trong hệ thống phần cứng Nhờ mô hình phần cứng đã trình bày, quá trình tạo ma trận lấy mẫu nén trở nên dễ dàng và hiệu quả hơn, góp phần cải thiện tốc độ và độ chính xác của quá trình nén dữ liệu.

Hình 2.7: Lồng ghép các chuỗi dịch clk 1 clk 2 clk m

Chuỗi PN tốc độ cao

Hình 2.8:Giản đồ xung đầu ra sau chuyển mạch

Ma trận lấy mẫu nén được biến đổi từ các chuỗi giả ngẫu nhiên trên trường hữu hạn có những đặc điểm nổi bật sau đây Đây là một công cụ quan trọng trong quá trình nén dữ liệu, giúp tối ưu hóa hiệu quả và độ chính xác của quá trình xử lý Các đặc điểm này phản ánh khả năng của ma trận trong việc duy trì tính ngẫu nhiên và khả năng tái tạo dữ liệu chính xác từ các chuỗi giả ngẫu nhiên trên trường hữu hạn Những phân tích này đóng vai trò quan trọng trong việc cải thiện các thuật toán nén dữ liệu và nâng cao hiệu suất hệ thống.

BPNSM sử dụng các phần tử 0 và 1, yêu cầu chỉ M × N bit để lưu trữ toàn bộ dữ liệu, giúp giảm yêu cầu về bộ nhớ so với ma trận Gauss ngẫu nhiên, nâng cao hiệu quả lưu trữ Tính năng này làm cho BPNSM phù hợp với các lĩnh vực thông tin và truyền thông có băng thông hạn chế Ngoài ra, ma trận có thể được tái tạo từ các đa thức thuộc trường hữu hạn, giúp giảm thiểu việc gửi toàn bộ các phần tử ma trận, chỉ cần gửi các đa thức tạo thành ma trận, điều này rất có lợi trong các bài toán truyền thông.

Ma trận BPNSM có độ phức tạp tính toán thấp, giúp giảm thiểu tài nguyên cần thiết cho quá trình thu thập và phục hồi tín hiệu gốc Các phép toán trong BPNSM chủ yếu gồm cộng và trừ, giúp tăng hiệu quả xử lý so với ma trận ngẫu nhiên Gauss, vốn yêu cầu thêm phép nhân Nhờ đó, phương pháp này phù hợp cho các ứng dụng yêu cầu xử lý tín hiệu thưa với hiệu suất cao nhưng ít tiêu tốn tài nguyên.

Việc triển khai BPNSM dễ dàng nhờ vào các cấu trúc LFSR đã được trình bày trong phần 2.4.2, làm cho nó rất phù hợp để áp dụng trên phần cứng như FPGA Ngược lại, các ma trận ngẫu nhiên như Gauss và Bernoulli yêu cầu phần cứng cao hơn trong quá trình tạo ra các số ngẫu nhiên, gây khó khăn trong việc thực hiện trên phần cứng.

Ma trận lấy mẫu nén BPNSM gặp hạn chế trong việc tạo ra các kích thước tùy ý do các phần tử của nó được xác định từ đa thức sinh trên trường GF(2^n) Điều này khiến cho việc lấy mẫu tín hiệu với các kích thước linh hoạt trở nên không khả thi Tuy nhiên, trong lĩnh vực viễn thông, hạn chế này có thể xem nhẹ vì các khung dữ liệu thường có kích thước là 2^n, phù hợp với đặc điểm của ma trận BPNSM.

Chương 4 của luận án trình bày các mô phỏng ứng dụng sử dụng ma trận BPNSM, được tạo ra từ các chuỗi giả ngẫu nhiên trên trường hữu hạn Các mô phỏng này tập trung vào tín hiệu đầu vào một chiều và hai chiều nhằm làm rõ hơn các nhận xét và đánh giá trong nghiên cứu Phương pháp này giúp minh họa rõ ràng hơn về hiệu quả của ma trận BPNSM trong các ứng dụng thực tế Các kết quả từ các mô phỏng này góp phần củng cố các luận điểm chính của đề tài và mở rộng khả năng ứng dụng của ma trận BPNSM.

ĐỀ XUẤT THUẬT TOÁN KHÔI PHỤC TÍN HIỆU ĐƯỢC LẤY MẪU NÉN DRMP 53

Chỉ tiêu đánh giá thuật toán khôi phục

Vấn đề cốt lõi của các thuật toán khôi phục tín hiệu dựa trên lấy mẫu nén là làm thế nào để phục hồi tín hiệu gốc từ các phép đo có nhiễu, thường được mô tả bằng công thức y = Φx + w Khôi phục tín hiệu trong bối cảnh này đòi hỏi các phương pháp tối ưu để xử lý các dữ liệu nhiễu, đảm bảo chính xác và hiệu quả Thuật toán lấy mẫu nén giúp giảm thiểu dữ liệu cần thiết để tái tạo tín hiệu ban đầu, nhưng việc đối phó với nhiễu w vẫn là một thách thức lớn Các kỹ thuật khôi phục tín hiệu ngày nay tập trung vào việc tối đa hoá khả năng phục hồi chính xác từ các phép đo bị nhiễu nhằm nâng cao chất lượng và độ tin cậy của quá trình xử lý dữ liệu.

Các nghiên cứu về thuật toán nhằm mục tiêu khôi phục tín hiệu thưaxtừ y một cách nhanh chóng, chính xác và ổn định Việc thiết kế các thuật toán khôi phục tín hiệu lấy mẫu nén phụ thuộc vào nhiều tiêu chí khác nhau, trong đó các tiêu chuẩn đánh giá quan trọng nhất bao gồm khả năng khôi phục chính xác, tốc độ xử lý và độ ổn định của thuật toán Những tiêu chí này đóng vai trò quan trọng trong việc lựa chọn và phát triển các phương pháp phù hợp để tối ưu hiệu quả của quá trình khôi phục tín hiệu.

Tỉ số nén CR (Compression Ratio) là tỷ số giữa số phép đo M và số mẫu N trong tín hiệu gốc, được tính bằng công thức CR = M/N Tỉ số này thể hiện khả năng khôi phục tín hiệu; các tín hiệu có số chiều lớn hơn có thể được tái tạo chính xác từ các vector có số chiều phù hợp Tỉ lệ nén cao giúp giảm số lượng dữ liệu cần lưu trữ hoặc truyền tải, đồng thời vẫn giữ được đặc điểm quan trọng của tín hiệu gốc.

Lỗi khôi phục là tiêu chí quan trọng dùng để đánh giá sự khác biệt giữa tín hiệu ban đầu và tín hiệu sau khi được khôi phục Tiêu chí này giúp đo lường hiệu quả của quá trình khôi phục tín hiệu, đảm bảo tín hiệu cuối cùng gần giống với tín hiệu gốc ban đầu Các phương pháp đánh giá lỗi khôi phục thường được biểu diễn bằng các công thức toán học cụ thể, như đã trình bày trong tài liệu [85], nhằm tối ưu hóa chất lượng tín hiệu.

E x = kx−xkˆ kxk , (3.2) trong đóE x là lỗi khôi phục, x là tín hiệu gốc vàxˆ là tín hiệu khôi phục.

Nó thể hiện giá trị lỗi của một thuật toán khôi phục.

Sai số toàn phương trung bình (MSE) là phương pháp phổ biến để đánh giá lỗi khôi phục của thuật toán, phản ánh sự biến đổi của lỗi theo thời gian MSE thể hiện mức độ khác biệt giữa tín hiệu khôi phục và tín hiệu ban đầu, giúp dự đoán chính xác lỗi của thuật toán hồi phục Giá trị này đóng vai trò như một mô hình dự đoán lỗi, giúp cải thiện hiệu suất và độ chính xác của các thuật toán khôi phục dữ liệu Lỗi khôi phục và lỗi toàn phương trung bình gần như tương tự nhau, đều là các chỉ số quan trọng để đánh giá chất lượng của quá trình phục hồi dữ liệu.

Trong các ứng dụng lấy mẫu nén xử lý tín hiệu đa chiều yêu cầu đáp ứng nhanh theo thời gian thực, tốc độ của thuật toán khôi phục tín hiệu là yếu tố quan trọng nhất Các thuật toán này cần tối ưu hóa việc sử dụng tài nguyên tính toán để đảm bảo xử lý hiệu quả và chính xác trong thời gian ngắn Trong luận án, thời gian xử lý của thuật toán được sử dụng làm tiêu chí chính để đánh giá tốc độ và hiệu suất của các phương pháp nén và khôi phục tín hiệu.

502 Bad GatewayUnable to reach the origin service The service may be down or it may not be responding to traffic from cloudflared

Độ phức tạp của thuật toán phản ánh hiệu quả khi xử lý với lượng dữ liệu lớn, bao gồm các yếu tố như độ phức tạp tính toán, thiết kế ma trận lấy mẫu nén, và thời gian xử lý Các thuật toán có độ phức tạp cao thường yêu cầu cấu hình phần cứng mạnh mẽ và có thể không phù hợp để áp dụng ngay cả khi chúng cho kết quả chính xác Do đó, việc đánh giá độ phức tạp là yếu tố quan trọng trong lựa chọn thuật toán xử lý dữ liệu lớn.

Kể từ khi lĩnh vực lấy mẫu nén được đề xuất, đã có nhiều nghiên cứu về các thuật toán khôi phục tín hiệu từ các mẫu nén được công bố, góp phần thúc đẩy sự phát triển của công nghệ xử lý tín hiệu.

Trong luận án, các tác giả nghiên cứu và trình bày thuật toán khôi phục tham lam MP [104] cùng với các thuật toán cải tiến phổ biến của nó Từ đó, họ đã xây dựng thuật toán DRMP, một phiên bản cải tiến dựa trên thuật toán MP nhằm nâng cao hiệu quả và độ chính xác trong quá trình khôi phục dữ liệu.

Các thuật toán lặp lại tham lam

Các thuật toán lặp lại tham lam được sử dụng phổ biến trong các ứng dụng lấy mẫu nén do có độ phức tạp tính toán thấp và khả năng khôi phục nhanh chóng tín hiệu gốc Những thuật toán này thực hiện quá trình khôi phục tín hiệu qua các bước lặp liên tiếp cho đến khi đạt được điều kiện dừng phù hợp, giúp tối ưu hiệu quả và giảm thiểu thời gian xử lý.

Nghiên cứu về lấy mẫu nén tập trung vào việc thiết kế các thuật toán có khả năng khôi phục nhanh chóng và chính xác tín hiệu ban đầu từ các mẫu nén, góp phần thúc đẩy ứng dụng thực tế của kỹ thuật lấy mẫu nén Hiện nay, trong các thuật toán tham lam, thuật toán đuổi khớp tham lam (MP) cùng các thuật toán phái sinh dựa trên nó là những phương pháp phổ biến nhất trong lĩnh vực này [27], [35].

3.2.1 Thuật toán đuổi khớp - MP

Thuật toán Matching Pursuit (MP), hay còn gọi là thuật toán đuổi khớp, được giới thiệu bởi Mallat và Zhang, là thuật toán tham lam lặp đi lặp lại phân rã một tín hiệu thành tổng hợp tuyến tính của các phần tử từ một bộ dữ liệu đã xây dựng Trong quá trình thực hiện, MP sử dụng ma trận lấy mẫu nén Φ ∈ R M × N để xây dựng các phần tử phù hợp sao cho có thể khôi phục lại tín hiệu thưa ban đầu từ các mẫu nén và ma trận lấy mẫu này Thuật toán này giúp tối ưu hóa việc tái tạo tín hiệu, đặc biệt hiệu quả trong xử lý tín hiệu thưa và mã hóa dữ liệu.

Thuật toán đuổi khớp được mô tả qua lưu đồ trong hình 3.1, trong đó trọng tâm là tìm phần dư r trong không gian R^M và phần còn lại của mẫu nén chưa được khám phá Trong quá trình lặp lại, thuật toán chọn ra một vector hoặc cột của ma trận mẫu nén có hệ số tương quan lớn nhất với phần dư r, nhằm tối ưu hóa việc phân tích dữ liệu Tiêu chí chọn lựa này giúp xác định phần còn lại của mẫu nén một cách hiệu quả, đảm bảo độ chính xác của kết quả cuối cùng.

Trong quá trình khôi phục tín hiệu, cột của ma trận được chọn dựa trên biểu thức (3.4), nhằm thể hiện tín hiệu tốt hơn Một hệ số mới λ k sẽ được thêm vào phần khôi phục trung gian để nâng cao độ chính xác Cụ thể, phần dư r k và tín hiệu ước lượng ˆx λ k được cập nhật theo các công thức: r k = r k−1 − < r k−1 , φ λ k > φ λ k / ||φ λ k||², và ˆx λ k = ˆx λ k + < r k−1 , φ λ k > Phương pháp này giúp tối ưu hoá quá trình tái tạo tín hiệu một cách hiệu quả.

Quá trình lặp lại của thuật toán tiếp tục cho đến khi phần dư trở nên nhỏ hơn một giá trị đặt trước, gọi là tiêu chí dừng của thuật toán Thuật toán đuổi khớp được trình bày rõ ràng giúp tối ưu hóa quá trình tìm kiếm kết quả chính xác và hiệu quả Việc xác định tiêu chí dừng là bước quan trọng để đảm bảo thuật toán hoạt động đúng và nhanh chóng đạt được kết quả mong muốn.

Bắt đầu Đầu vào:Φ, y Khởi tạo: xˆ= 0, r=y, i= 0

Tìm kiếm phần dư:λ k = arg max k hr k , φ λ iφ k kφ λ k 2

Cập nhật giá trị xˆvà phần dư Điều kiện dừng?

Hình 3.1:Lưu đồ thuật toán đuổi khớp

Thuật toán: Thuật toán đuổi khớp Đầu vào: Ma trận đo Φ, vectơ mẫu nén y Đầu ra: Tín hiệu gần đúng x ˆ

1 λ k ← arg max k hr i , φ λ i φ k kφ λ k 2 , k = [1 : N] {Tìm kiếm tín hiệu dư}

2 x ˆ i ← x ˆ i−1 + hr i , φ λ k i {Cập nhật hệ số lớn nhất}

3 r i ← r i−1 − hr i , φ λ k i φ λ k kφ λ k k 2 {Cập nhật phần dư}

Thuật toán đuổi khớp trực quan và có khả năng ước lượng chính xác tín hiệu, nhưng gặp phải hai nhược điểm chính Thứ nhất, nó không đảm bảo về lỗi khôi phục và không khai thác đầy đủ cấu trúc cũng như đặc điểm từ ma trận lấy mẫu nén Φ, dẫn đến hạn chế trong độ chính xác Thứ hai, số lần lặp cần thiết để đạt được kết quả tối ưu là khá lớn, gây ra độ phức tạp tính toán cao Độ phức tạp của thuật toán đuổi khớp là O(M × N × T), trong đó T là số lần lặp của thuật toán.

3.2.2 Thuật toán đuổi khớp trực giao - OMP

Thuật toán đuổi khớp không đảm bảo về lỗi khôi phục và độ phức tạp tính toán lớn, khiến nó ít khả thi trong nhiều ứng dụng thực tế Do sự phức tạp của thuật toán tăng tuyến tính theo số lần lặp T, các phiên bản sửa đổi giới hạn số lần lặp tối đa để cải thiện tính khả thi Trong thuật toán đuổi khớp trực giao, thay vì trừ đi phần tử có tương quan lớn nhất trong ma trận lấy mẫu nén Φ tại mỗi bước, thuật toán tính toán ước lượng bình phương tối thiểu của phần dư dựa trên ma trận con của Φ, đảm bảo phần dư hoàn toàn trực giao với ma trận con đã chọn Điều này giúp các ma trận con chỉ được chọn một lần trong quá trình khôi phục, từ đó biểu thị tốt hơn phần dư chưa biết đến Nếu thuật toán OMP khôi phục một tín hiệu có độ sparse K, thì nó có thể khôi phục chính xác sau K lượt lặp Trong quá trình, với Λ là ma trận con gồm các cột đã chọn của Φ, quá trình thực hiện được mô tả qua các bước: tính x t bằng cách tối thiểu hóa độ lệch bình phương dựa trên Λ, sau đó tính ước lượng α t = Φx t và phần dư r t = y − ˆα t.

Thuật toán đuổi khớp trực giao (OMP) lặp lại các bước cho đến khi kết quả đạt được hội tụ Nghiên cứu của Tropp và Gilbert đã chứng minh rằng OMP có khả năng khôi phục tín hiệu thưa từ các mẫu nén với xác suất cao Thuật toán sẽ hội tụ tối đa sau K lần lặp, trong đó K phản ánh độ thưa của tín hiệu, nhưng mỗi lần lặp lại tăng độ phức tạp tính toán của OMP Do đó, độ phức tạp của thuật toán OMP được ước lượng là O(M × N × K) Lưu đồ của thuật toán OMP được trình bày rõ ràng trong hình 3.2.

Bắt đầu Đầu vào: Φ, y Khởi tạo:xˆ= 0, r=y,Λ =∅, i= 0

Tìm kiếm phần dư:x t = arg min x ky−Λxk 2 r ←y−Φx t

Cập nhật giá trịxˆ và phần dư Điều kiện dừng?

Hình 3.2:Lưu đồ thuật toán đuổi khớp trực giao

Thuật toán: Thuật toán đuổi khớp trực giao Đầu vào: Ma trận đo Φ, vectơ đo lường y Đầu ra: Tín hiệu khôi phục ˆ x

1 b i+1 ← Φ T r i {Tìm kiếm tín hiệu dư} λ = argmax j / ∈Λ i

2 x i+1 ← arg min x ky − Λ i+1 x i k 2 {cập nhật tín hiệu}

Thuật toán OMP có tốc độ khôi phục nhanh và khả năng phục hồi tín hiệu thưa chính xác, nhưng điều kiện đảm bảo để khôi phục không tốt bằng các thuật toán dựa trên tối ưu hóa lồi Các điều kiện đảm bảo khôi phục tín hiệu thưa không đồng nhất và không thể xác định rằng một phép đo duy nhất với ma trận lấy mẫu nén có số hàng M = CKlogN có thể khôi phục mọi tín hiệu thưa K, mặc dù điều này có thể đạt được khi chấp nhận nhiều phép đo hơn Một thách thức của OMP là khả năng chống nhiễu, vì không có mối liên hệ rõ ràng giữa biên độ nhiễu trong tín hiệu sau khôi phục và nhiễu đầu vào Tuy nhiên, OMP vẫn là phương pháp hiệu quả để khôi phục tín hiệu lấy mẫu nén, đặc biệt khi tín hiệu có độ thưa K thấp.

3.2.3 Thuật toán lấy mẫu nén đuổi khớp - CoSaMP

Thuật toán đuổi khớp tham lam (MP và OMP) giúp giảm độ phức tạp tính toán trong quá trình khôi phục tín hiệu thưa so với các thuật toán dựa trên tối ưu hóa Tuy nhiên, chúng có nhược điểm là mất đi các điều kiện đảm bảo đồng nhất trong quá trình phục hồi Ngoài ra, các thuật toán này yêu cầu ma trận lấy mẫu nén phải có số hàng lớn để đạt hiệu quả tốt nhất.

Trong thời gian này, đã có nhiều nghiên cứu tập trung phát triển các thuật toán tham lam như thuật toán OMP chính quy [73], CoSaMP (Matching Pursuit Compression) [72], và các thuật toán đuổi khớp trong không gian con Các phương pháp này đóng vai trò quan trọng trong lĩnh vực xử lý dữ liệu rời rạc và nén tín hiệu, giúp nâng cao hiệu quả và chính xác trong quá trình phục hồi dữ liệu.

Tính chất giới hạn đẳng trị RIP giúp thu hẹp khoảng cách giữa độ đồng nhất và độ phức tạp trong các thuật toán dựa trên tối ưu hóa `1 Đây là yếu tố trung tâm đối với các thuật toán tham lam, vì khi ma trận Φ thỏa mãn tính chất RIP bậc K, tất cả các tập con gồm K cột của ma trận đều xấp xỉ trực giao Tính chất này được sử dụng để chứng minh khả năng hội tụ rõ ràng của các thuật toán lặp lại tham lam trong quá trình xử lý dữ liệu.

CoSaMP là một thuật toán tham lam cải tiến theo hướng trên, với những cập nhật mới giúp tối ưu hóa quá trình ước lượng tín hiệu Khác với các thuật toán như MP, OMP và StOMP, CoSaMP thêm và loại bỏ các chỉ số trong quá trình xử lý, tạo ra sự linh hoạt và chính xác hơn trong tìm kiếm các thành phần đặc trưng của tín hiệu Thuật toán này không dựa trên giả định rằng các chỉ số đã chọn vẫn còn trong biểu diễn của tín hiệu cho đến bước cuối cùng, mà thay vào đó liên tục cập nhật tập hợp các chỉ số, giúp nâng cao hiệu quả tái tạo tín hiệu Hình3.3 mô tả rõ quy trình hoạt động của thuật toán CoSaMP.

Thuật toán: Thuật toán đuổi khớp mẫu nén CoSaMP Đầu vào: Ma trận đo Φ, vectơ đo lường y, tín hiệu thưa K Đầu ra: Tín hiệu gần đúng x ˆ

Khởi tạo: x 0 = 0, r = y, i = 0 Thực hiện các bước sau cho đến khi đáp ứng tiêu chí dừng:

Gán: e ← Φ ∗ r {ước lượng phần dư}

Tìm kiếm: Ω ← supp(T (e, 2K)) {ước lượng thành phần tín hiệu còn lại} Kết hợp: T ← Ω ∪ supp(x i−1 ) {hợp nhất} Ước lượng: b| T ← Φ † T y, b| T c ← 0 Cập nhật: x i ← T (b, K) {tín hiệu ước lượng} r ← y − Φx i {update phần dư} i ← i + 1 return x ˆ ← x i

Bắt đầu Đầu vào: Φ, y, K−sparse Khởi tạo:x 0 = 0, r=y, i= 0

T ←Ω∪supp(x i−1 ) Ước lượng:b| T ←Φ † T y, b| T c ←0 Cập nhật giá trị xˆvà phần dư Điều kiện dừng?

Hình 3.3:Lưu đồ thuật toán CoSaMP

Các vấn đề tính toán quan trọng đối với thuật CoSaMP bao gồm xử lý phần dư tín hiệu thông qua các phép chiếu trên không gian con để ước lượng chính xác tín hiệu ban đầu Độ phức tạp tính toán của thuật CoSaMP thường được thể hiện là O(M × N), và không bị ảnh hưởng bởi mức độ thưa của tín hiệu, góp phần nâng cao hiệu quả so với các thuật toán tham lam và các phương pháp dựa trên tối ưu hóa lồi Sự cải tiến này giúp CoSaMP trở thành lựa chọn ưu việt trong phục hồi tín hiệu thưa chính xác và nhanh chóng.

Thuật toán cải tiến DRMP

Dựa trên phân tích về thuật toán đã trình bày ở phần trên, luận án đề xuất một thuật toán cải tiến dựa trên các thuật toán tham lam để khôi phục tín hiệu từ mẫu nén Vấn đề này được định rõ thành bài toán tối thiểu hóa với các ràng buộc liên quan đến tín hiệu x, cụ thể là: min_x `(x), với điều kiện ||x||0, D ≤ K, trong đó, ||x||0,D là một ma trận chuẩn đo lường tính chất thưa của tín hiệu x dựa trên ma trận lấy mẫu D Thuật toán này hướng tới nâng cao hiệu quả khôi phục tín hiệu, phù hợp cho các ứng dụng yêu cầu xử lý dữ liệu thưa chính xác.

K là tham số quan trọng để xác định mức độ thưa của ước lượng `(x), đóng vai trò như hàm mục tiêu trong quá trình phân tích Hàm `(x) thường phải là hàm trơn, giúp quá trình tối ưu hóa dễ dàng hơn, dù không cần thiết phải là hàm lồi Trong bài toán khôi phục tín hiệu, ví dụ như lấy mẫu nén tuyến tính hồi quy, hàm mục tiêu `(x) có thể được mô tả bằng hàm số bậc hai, nhằm đo lường sự tương quan giữa mẫu nén y và tham số cần ước lượng x Hàm mục tiêu này giúp tối ưu hóa quá trình phục hồi tín hiệu từ các mẫu bị nhiễu và ma trận lấy mẫu nén Φ có kích thước M × N.

`(x) =ky−Φxk 2 2 theo định chuẩn `0−norm.

Các thuật toán được nghiên cứu trong lĩnh vực lấy mẫu nén [14], [18], [72],

Các thuật toán khôi phục trong lĩnh vực này nhằm hướng tới ứng dụng thực tế, trong đó việc lựa chọn phụ thuộc vào đặc điểm của từng ứng dụng cụ thể, ma trận lấy mẫu nén và các chỉ số về mức độ thưa và độ lớn của vector tín hiệu cần lấy mẫu Phân tích và nghiên cứu cho thấy, đề xuất một thuật toán cải tiến dựa trên thuật toán đuổi khớp MP nhằm giảm khối lượng tính toán và lỗi khôi phục so với thuật toán gốc MP Các thực nghiệm được thực hiện bằng cách sử dụng kết quả đã công bố để mô phỏng, so sánh và đánh giá hiệu quả của thuật toán mới dựa trên các tiêu chí cơ bản được trình bày trong mục 3.1.

Trong thuật toán đuổi khớp mục (3.2.1), quá trình tìm kiếm phần dư và cập nhật giá trị đòi hỏi phải xác định một tập con Γ của các vector cột trong tập ma trận D sao cho tích vô hướng của một vector với tập mở rộng D Γ đạt giá trị cực đại Việc tính toán tập con này thường gặp khó khăn, đặc biệt khi kích thước của D lớn, vì cần phải khám phá tất cả các tổ hợp có thể của các tập con để tìm ra lựa chọn tối ưu Ngoài ra, thuật toán đuổi khớp không khai thác tối đa cấu trúc và đặc điểm của tập D, dẫn đến việc xử lý không hiệu quả trong các trường hợp dữ liệu lớn.

Để khắc phục các hạn chế trong quá trình xử lý dữ liệu, cần chú ý đến đặc tính riêng của tập D, như khi D là ma trận trực giao, có thể chọn Γ dễ dàng dựa trên điều kiện đẳng trị mở rộng của không gian gồm các cột của D Trong việc phục hồi ma trận cấp thấp, U và Γ có thể được tính thông qua phân tích giá trị kỳ dị (SVD), lựa chọn các vector kỳ dị lớn nhất dựa trên các giá trị lớn của chúng Ngoài ra, luận án đề xuất thuật toán cải tiến gọi là DRMP, nhằm giảm khối lượng tính toán và lỗi trong quá trình khôi phục tín hiệu lấy mẫu nén, dựa trên các điều kiện đặc biệt của tập D.

3.3.1 Xây dựng thuật toán DRMP

Thuật toán DRMP được xây dựng dựa trên các bước tương tự như thuật toán đuổi khớp trong (3.2.1), nhưng có điểm khác biệt quan trọng ở bước tìm kiếm phần dư và cập nhật giá trị Điểm nổi bật của thuật toán DRMP là đã thay thế điều kiện đẳng trị bằng giá trị tích vô hướng của phần dư, giúp tối ưu quy trình và nâng cao hiệu quả tính toán trong các ứng dụng liên quan.

Trong mô hình lấy mẫu nén x, tín hiệu được biểu diễn bằng công thức x = Σ_{i∈R} α_i d_i, trong đó α_i là thừa số của x trong tập D Không gian con chứa tín hiệu x̂ trong công thức (3.7) được gọi là T Đối với một vectơ x đã cho, phép chiếu trực giao của x lên không gian tạo thành bởi các cột của ma trận D^T được ký hiệu là P_D^T x, giúp tối ưu hóa quá trình phục hồi tín hiệu nén trong các hệ thống xử lý tín hiệu.

P D T x= argmin u∈D T kxưuk2, (3.8) ở đây định chuẩn` 2 −normđược sử dụng để tìm kiếmx Ký hiệuC D Γ là không gian được tạo bởi các cột củaD Γ , khi đó

C D Γ ={x:x=D γ α, α ∈R |Γ| }, (3.9) ở đây,C D Γ là một tập lồi.

Thuật toán DRMP được xây dựng dựa trên các bước tương tự như thuật toán đuổi khớp MP, giúp tối ưu hóa quá trình hội tụ Để đảm bảo sự chính xác và hiệu quả của thuật toán DRMP, cần có các điều kiện đối với tập D, giả sử tập D là hữu hạn và thỏa mãn tính chất giới hạn đẳng trị RIP [17] Điều này giúp thuật toán hội tụ nhanh chóng và đạt hiệu quả cao trong các ứng dụng thực tế.

(1−δ K )kαk 2 2 ≤ kDαk 2 2 ≤(1 +δ K )kαk 2 2 , (3.10) với mỗi vectơαtại K Trong trường hợpDlà ma trận trực giao với kích thước làn×n, thì thuật toán DRMP sẽ tương đương với thuật toán gốc MP.

Thuật toán DRMP khác biệt chính nằm ở bước tìm kiếm phần dư và cập nhật giá trị Trong bước tìm kiếm không gian mở rộng Γ, không gian này được xây dựng từ D bằng cách lấy biến đổigradient của hàm mất mát ở mỗi lần lặp và chọn không gian con theo hướng tối đa hóa giá trị của biến đổigradient Ở bước cập nhật, thuật toán sử dụng chuẩn `2−norm` trên không gian mở rộng C D Γ để thay cho phép tính tích vô hướng của toàn bộ các cột trong ma trận lấy mẫu nén, khác với thuật toán MP Thuật toán DRMP được mô tả rõ ràng trong sơ đồ hình 3.4, giúp cải thiện hiệu quả tối ưu hóa trong quá trình nén dữ liệu.

Bắt đầu Đầu vào: Φ, y Khởi tạo:x 0 = 0,Λ =∅, t= 0

Tìm kiếm phần dư: u=∇`(x t ) Γ = argmax Ω {kP D Ω uk2 :|Ω| ≤2K} Γ = Γˆ ∪Λ b= argmin x `(x)vớix∈C D ˆ Γ Λ = argmax Ω {kP D Ω bk2 :|Ω| ≤K}

Cập nhật giá trị x t =P D Λ b Điều kiện dừng?

Hình 3.4:Lưu đồ thuật toán DRMP

Thuật toán: Đuổi khớp cải tiến DRMP Đầu vào: K và điều kiện dừng. Đầu ra: x t Khởi tạo: Λ = ∅ , x 0 , và t = 0.

Gán: u = ∇`(x t ) Tìm kiếm: Γ = argmax Ω {kP D Ω uk 2 : |Ω| ≤ 2K}

Kết hợp: Γ = Γ ˆ ∪ Λ Ước lượng: b = argmin x `(x) với x ∈ C D Γ ˆ

Loại bỏ: Λ = argmax Ω {kP D Ω bk 2 : |Ω| ≤ K}

Cập nhật: x t+1 = P D Λ b t = t + 1 Tiêu chí dừng Kết thúc.

Bảng3.1trình bày sự cải tiến của thuật toán DRMP so với thuật toán MP tại các bước tìm kiếm và cập nhật.

Trong phần 3.3.2, hiệu năng của thuật toán DRMP được đánh giá thông qua mô hình toán học, cho thấy lỗi trong quá trình khôi phục tín hiệu lấy mẫu nén giảm dần sau mỗi lặp lại, giúp quá trình tính toán trở nên đơn giản hơn so với phương pháp sử dụng giá trị tích vô hướng từ các cột của ma trận lấy mẫu Tuy nhiên, điều này chỉ áp dụng khi ma trận D thỏa mãn tính chất giới hạn đẳng trị RIP Trong trường hợp ma trận D là ma trận trực giao, hai thuật toán có hiệu năng tương đương.

3.3.2 Hiệu năng của thuật toán DRMP Để đánh giá hiệu quả của thuật toán DRMP trong phần này xây dựng một mô hình toán học với tham số là giá trị lỗi khôi phục của thuật toán xảy ra tại mỗi lần lặp Gọi tín hiệu khôi phục xˆ là nghiệm của biểu thức (3.7) và λ(ˆx) , max i| h∇`(ˆx), d i i | là giá trị lỗi của tín hiệu khôi phục trung gian trong mỗi bước của thuật toán, lỗi ước lượng ở bước(t+ 1) được ràng buộc bởi: x t+1 −xˆ

Bảng 3.1: Bảng so sánh thuật toán cải tiến và thuật toán gốc MP

MP DRMP Điều kiện đầu vào

Không tính đến điều kiện của ma trận lấy mẫu

Ma trận lấy mẫu phải thỏa mãn điều kiện giới hạn đẳng trị RIP

Bước tìm kiếm λ k = arg max k

Thuật toán MP (Matching Pursuit) được sử dụng để tìm các thành phần của tín hiệu dựa trên các cột của ma trận lấy mẫu, dựa trên tiêu chí tương quan lớn nhất với vector mẫu nén Quá trình này xác định các thành phần quan trọng của tín hiệu bằng cách tối đa hóa hàm mục tiêu dựa trên độ tương quan giữa các cột ma trận và tín hiệu quan tâm Thuật toán tìm kiếm các chỉ số tập hợp Ω sao cho tổng trọng số phù hợp nhất với tín hiệu ban đầu, đồng thời đảm bảo kích thước của Ω không vượt quá giới hạn 2K Quá trình tối ưu hóa còn bao gồm việc xác định x̂ sao cho hàm mất mát `(x)` là nhỏ nhất, trong không gian các tín hiệu phù hợp và tuân thủ các ràng buộc của hệ thống, giúp phục hồi chính xác tín hiệu ban đầu từ dữ liệu mẫu.

Tìm kiếm không gian mở rộng Γ xây dựng từ D được thực hiện bằng cách lấy biến đổi gradient của hàm mất mát ở mỗi lần lặp Quá trình này nhằm xác định không gian con phù hợp nhất trên cơ sở hướng tối đa hóa giá trị của biến đổigradient Phương pháp này giúp nâng cao hiệu quả tối ưu hóa bằng cách duy trì các hướng dẫn đi đúng hướng của gradient Việc lựa chọn không gian con dựa trên gradient tối đa đóng vai trò quan trọng trong việc cải thiện độ chính xác và tốc độ hội tụ của quá trình huấn luyện mô hình.

Giá trị phần dư được tính toán sẽ cộng vào tín hiệu khôi phục trung gian để nâng cao chất lượng xử lý dữ liệu Đồng thời, phần dư mới cũng được cập nhật trong bước này để chuẩn bị cho các vòng lặp tiếp theo Quá trình này giúp tối ưu hóa việc phục hồi tín hiệu, đảm bảo độ chính xác cao hơn trong các ứng dụng xử lý tín hiệu và nén dữ liệu Các thuật toán lựa chọn tập hợp các chỉ số Ω phù hợp nhằm tối đa hóa hiệu quả phân tích, với giới hạn kích thước không vượt quá K, đảm bảo tính hiệu quả và tối ưu của quá trình xử lý.

Trong quá trình xử lý, ta sử dụng định chuẩn `2 - norm trên không gian mở rộng C D Γ thay thế cho phép tính tích vô hướng của toàn bộ các cột trong ma trận lấy mẫu nén như trong thuật toán MP Việc này giúp nâng cao hiệu quả và độ chính xác trong quá trình nén dữ liệu Tham số γ đại diện cho tỉ số suy giảm sau các bước trước đó, góp phần điều chỉnh quá trình hồi phục và tối ưu hóa kết quả Áp dụng phương pháp này mang lại lợi ích lớn trong việc giảm thiểu lỗi và tăng tốc độ xử lý trong các hệ thống nén dữ liệu nâng cao.

Tín hiệu lấy mẫuxlà một vectorK−sparsetrong tậpD, và gọi không gian con chứaxlàT, ký hiệu làx=D T α T Đối với bất kỳ vectorynào có kích thước làn, có:

= max i∈T |hd i , yi| kα T k 1 ≤max i∈T |hd i , yi|√

(3.13) trong đó, bất đẳng thức cuối cùng là dựa trên tập D thỏa mãn tính chất giới hạn đẳng trị RIP Suy ra:

|hx, yi| ≤max i∈T |hd i , yi|

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu thuật toán cải tiến dựa trên thuật toán đuổi khớp MP để phục hồi tín hiệu lấy mẫu nén, giúp nâng cao hiệu quả xử lý Điểm khác biệt chính giữa hai thuật toán nằm ở bước tìm kiếm phần dư và cập nhật giá trị, giúp tối ưu hoá quá trình khôi phục tín hiệu So với thuật toán đuổi khớp MP truyền thống, thuật toán DRMP cải tiến có khả năng hồi phục tín hiệu chính xác hơn và hiệu suất cao hơn trong các ứng dụng xử lý tín hiệu nén.

Thuật toán cải tiến DRMP đơn giản hơn nhờ tập trung vào bước tìm kiếm phần dư trong không gian con có hướng biến đổi gradient lớn nhất, thay vì phải quét toàn bộ không gian ma trận lấy mẫu nén Điều này giúp giảm thiểu độ phức tạp của quá trình xử lý và nâng cao hiệu quả của thuật toán Sự tối ưu này vốn dựa trên nguyên lý chọn lựa hướng biến đổi tối ưu, góp phần cải thiện tốc độ và độ chính xác trong các ứng dụng mã hóa và xử lý dữ liệu.

Thuật toán cải tiến DRMP đã được chứng minh giúp giảm lỗi rõ rệt sau mỗi bước lặp của quá trình khôi phục, nâng cao hiệu quả hội tụ Tính chất này không chỉ đảm bảo độ chính xác mà còn giúp thuật toán hoạt động nhanh hơn so với thuật toán gốc MP, tiết kiệm thời gian xử lý Nhờ đó, DRMP trở thành lựa chọn tối ưu cho các ứng dụng yêu cầu tốc độ và độ chính xác cao trong khôi phục dữ liệu.

Thuật toán cải tiến DRMP có hạn chế là chỉ đạt hiệu quả khi ma trận lấy mẫu nén đáp ứng điều kiện giới hạn đẳng trị RIP Nếu điều kiện này không được thỏa mãn, thuật toán sẽ hoạt động tương đương với thuật toán gốc, làm giảm khả năng tối ưu hóa trong quá trình nén dữ liệu.

Trong Chương 4 của luận án, chúng tôi tiến hành đánh giá và so sánh hiệu năng của thuật toán DRMP với thuật toán gốc MP cùng với thuật toán OMP Các phép thử nghiệm được thực hiện trên tín hiệu lấy mẫu nén bằng cách sử dụng ba loại ma trận khác nhau gồm ma trận BPNSM, ma trận Gauss và ma trận Bernoulli Kết quả cho thấy, thuật toán DRMP vượt trội hơn về độ chính xác và tốc độ hội tụ so với MP và OMP, đặc biệt khi áp dụng trên các ma trận ngẫu nhiên như Gauss và Bernoulli, giúp tối ưu hóa quá trình nén và phục hồi tín hiệu.

CHƯƠNG 4 ĐỀ XUẤT MÔ HÌNH LẤY MẪU NÉN

Chương trình tập trung vào quá trình mô phỏng và đánh giá hiệu năng của mô hình lấy mẫu nén sử dụng ma trận lấy mẫu nén BPNSM cùng thuật toán khôi phục DRMP, giúp nâng cao chất lượng và độ chính xác của quá trình nén dữ liệu Tín hiệu đầu vào cho mô hình gồm có tín hiệu 1 chiều và tín hiệu 2 chiều, phù hợp với các ứng dụng đa dạng trong lĩnh vực truyền thông và xử lý tín hiệu Kết quả từ việc áp dụng mô hình lấy mẫu nén đề xuất đã được trình bày rõ ràng trong các công trình [J2], [J3], [J4], thể hiện khả năng tối ưu hóa hiệu suất trong quá trình nén và khôi phục dữ liệu.

Mở đầu

Trong những năm gần đây, khoa học kỹ thuật phát triển mạnh mẽ, đặc biệt trong lĩnh vực viễn thông và công nghệ thông tin, đòi hỏi hạ tầng truyền thông luôn phải đổi mới để đáp ứng nhu cầu trao đổi dữ liệu ngày càng tăng [46], [52], [62], [89], [102], [108] Các tín hiệu truyền thông phổ biến bao gồm tín hiệu một chiều và tín hiệu hai chiều, trong đó tín hiệu một chiều thường có dạng hàm thời gian như x=f(t), còn tín hiệu hai chiều được biểu diễn bởi hàm của hai biến độc lập, như các tín hiệu hình ảnh Các tín hiệu thưa hoặc thưa trên hệ thống trực giao là phổ biến trong tự nhiên, khiến mô hình lấy mẫu nén có tiềm năng lớn khi áp dụng cho loại tín hiệu này [34], [50], [88] Để đánh giá hiệu quả của các ma trận lấy mẫu nén, các nghiên cứu thường so sánh với các ma trận tiêu chuẩn như ma trận Gauss và Bernoulli [5], [37], [56], [83], đồng thời mô phỏng và so sánh hiệu quả của ma trận BPNSM với các loại ma trận này Các thuật toán như DRMP, được cải tiến từ thuật toán gốc MP, cũng được đánh giá so sánh với thuật toán MP ban đầu và OMP [63], [96], dựa trên các tiêu chí như thời gian thực hiện, hệ số tương quan, sai số trung bình tuyệt đối MAE đối với tín hiệu một chiều, và thời gian, sai số MSE, PSNR cho tín hiệu hai chiều.

Ma trận lấy mẫu BPNSM

Hình 4.1: Mô hình lấy mẫu nén đề xuất

Trong luận án, đề xuất mô hình lấy mẫu nén sử dụng ma trận lấy mẫu BPNSM và thuật toán cải tiến DRMP Thuật toán DRMP có độ phức tạp tính toán thấp hơn và giảm sai số sau mỗi vòng lặp so với thuật toán gốc MP, điều kiện là ma trận lấy mẫu đầu vào phải thỏa mãn tính chất RIP (từ đó đảm bảo tính không kết hợp) Ngoài ra, luận án đã chứng minh rằng ma trận BPNSM có tính chất không kết hợp nhỏ, chứng tỏ tính khả thi và hiệu quả của mô hình đề xuất trong quá trình lấy mẫu nén.

Mô phỏng đánh giá mô hình với tín hiệu 1 chiều

Tín hiệu vô tuyến là dạng tín hiệu 1 chiều phổ biến trong giao tiếp thiết bị, thường có băng thông lớn và chia thành nhiều kênh tần số Việc thu phổ tín hiệu trong băng tần rộng đòi hỏi tốc độ lấy mẫu cao và phần cứng phức tạp, đặc biệt khi sử dụng chuẩn Nyquist và bộ ADC có tốc độ lấy mẫu cao như 400 MHz để thu tín hiệu 200 MHz, dẫn đến tốc độ dữ liệu lên tới 3.2 Gbps Thách thức lớn là xử lý dữ liệu trong thời gian thực do tốc độ dữ liệu quá cao và độ phức tạp tính toán ngày càng tăng Các phương pháp truyền thống như nhận biết phổ năng lượng đơn giản, không yêu cầu biết trước thông tin tín hiệu nhưng lại dễ bị nhiễu và phù hợp với tín hiệu băng hẹp, khiến chúng khó áp dụng trong các hệ thống yêu cầu xử lý tín hiệu rộng hoặc phức tạp.

Trong quá trình giao tiếp vô tuyến, các bộ thu phát sử dụng các kỹ thuật điều chế phổ biến như OFDM, FHSS, DSSS thường chỉ trao đổi dữ liệu qua một số kênh tần số cố định, khiến tín hiệu truyền thưa trong toàn bộ dải tần số liên lạc Chính đặc điểm này cho phép thu phổ tín hiệu băng rộng bằng kỹ thuật lấy mẫu nén, giảm đáng kể tốc độ dữ liệu và độ phức tạp xử lý Để mô phỏng và đánh giá hiệu năng của phương pháp lấy mẫu nén, luận án sử dụng tín hiệu vô tuyến lấy từ các loại Flycam khác nhau, trong đó đặc biệt là Flycam DJI Mavic 2 hoạt động ở dải tần 2.4 GHz, với tín hiệu điều khiển dùng kỹ thuật FHSS/DSSS trên 32 kênh tần số, mỗi kênh rộng 1.4 MHz trong khoảng 2400-2470 MHz Các tín hiệu được mô phỏng trong điều kiện gần nguồn trong không gian tự do, với tỷ số SNR đạt ≥20dB, giúp đánh giá hiệu quả của kỹ thuật lấy mẫu nén trong truyền thông vô tuyến băng rộng.

Bộ điều khiển giao tiếp với Flycam Mavic 2 Pro hoạt động trong dải tần số từ 2.4 GHz – 2.47 GHz sử dụng kỹ thuật trải phổ nhảy tần với độ rộng 1.4 MHz mỗi kênh Trong quá trình truyền, chỉ một số kênh M nhất định được sử dụng tại thời điểm t, tạo thành tập hợp các kênh M đang hoạt động (MN) Các kênh còn lại không thuộc tập hợp S, tương ứng với tín hiệu bằng 0 Tín hiệu lấy mẫu trên toàn dải tần số này có thể được coi là một tín hiệu tổng hợp của các kênh hoạt động và các kênh không hoạt động.

Hình 4.2 thể hiện phổ tần số sử dụng của Flycam Mavic Pro theo hiệu có độ thưa trong miền tần số Tín hiệu nhận được được mô tả bằng công thức x(t) = ∑_{n∈S} s_n(t) * h_n(t) + w(t), thể hiện rằng tín hiệu này là tổng các tín hiệu s_n(t) qua mỗi kênh cộng thêm nhiễu w(t) Trong miền tần số, tín hiệu này có thể được biểu diễn rõ ràng hơn thông qua các phép biến đổi phù hợp nhằm phân tích đặc điểm truyền tải tín hiệu Việc nắm rõ phổ tần số này giúp tối ưu hóa quá trình truyền và xử lý dữ liệu của Flycam Mavic Pro.

Trong bài viết này, tín hiệu trên kênh tần số thứ n của Flycam được mô tả bằng công thức D h ∗s n (f) + w(f), trong đó s n (t) đại diện cho tín hiệu, h n (t) là đáp ứng của kênh, và w(t) là nhiễu cộng thêm, với D h là ma trận độ lợi kênh Tín hiệu X(f) trong miền tần số thường xuyên có đặc điểm thưa thớt, cho phép áp dụng kỹ thuật lấy mẫu nén để thu nhận chính xác tín hiệu này.

Tín hiệu trong miền tần số được nhân với ma trận lấy mẫu để tạo thành vector lấy mẫu nén Ma trận lấy mẫu Φ, còn gọi là ma trận BPNSM, có kích thước phù hợp để đảm bảo quá trình nén dữ liệu hiệu quả Quá trình chuyển đổi này giúp giảm thiểu dữ liệu cần lưu trữ hoặc truyền tải, đồng thời duy trì thông tin quan trọng của tín hiệu ban đầu Việc sử dụng ma trận BPNSM trong lấy mẫu đóng vai trò then chốt trong lĩnh vực xử lý tín hiệu và truyền thông số, đảm bảo độ chính xác và tối ưu hóa hiệu suất hệ thống.

Trong quá trình lấy mẫu tín hiệu thưa, M × N được sử dụng để thực hiện các phép đo từ tín hiệu ban đầu Vector lấy mẫu nén được biểu diễn bằng công thức y(f) = ΦX(f), trong đó y(f) là ánh xạ của tín hiệu nhận được trong miền tần số và y(f) [f1, f2, fN] là vector N×1 Đồng thời, y(f) là vector M×1, còn Φ chính là ma trận lấy mẫu BPNSM, đóng vai trò quan trọng trong quá trình xử lý và phân tích tín hiệu.

M ×N Tín hiệu được khôi phục lại từ tổ hợp các phép đo y(f) bằng cách sử dụng thuật cải tiến DRMP.

4.2.1 Ma trận lấy mẫu tín hiệu 1 chiều

Ma trận lấy mẫu BPNSM có kích thước(2 n −1)×2 n+1 được tạo từ các chuỗi

PN lồng ghép phi tuyến có đa thức sinh trên trườngg(2 n )vớin = 10.

Chọn đa thức sinh thứ nhất: g(d) = 1 +d 3 +d 10 trên trường GF(2 10 ) T L/N = (2 n −1)/(2 m −1) = 1023/31 = 33.

Tìm thứ tự lồng ghépI p T bằng việc tính toán hàm Vết ánh xạGF(2 10 )xuống

Tính toán hàm Vết, có: T r m n n m −1

Quá trình tính toán được thực hiện bằng phần mềm sử dụng ngôn ngữ Python, giúp xác định các giá trị nghiệm α và hàm Vết, được trình bày trong bảng 4.1 và bảng 4.2, tương ứng Kết quả này cho phép tìm kiếm thứ tự sắp xếp dựa trên các giá trị trong hai bảng, từ đó xác định thứ tự lồng ghép I p T một cách chính xác và hiệu quả.

Vớij chạy từ0đếnT−1 = 32, tính được thứ tự pha:I p T ={∞,23,15,20,30,10,9,

17,29,13,20,21,18,21,3,9,27,12,26,21,9,7,11,11,5,22,11,4,6,27,18,14,23}. Để có chuỗi phi tuyến, giữ nguyên thứ tựI p T và thay thế các chuỗi con bằng các chuỗi con khác tương ứng.

Một số tính chất của chuỗi PN phi tuyến được tạo ra từ đa thức sinhg(d) 1 +d 3 +d 10 trên trường GF(2 10 ).

• Phổ của chuỗi PN lồng ghép phi tuyến thể hiện sự phân bố đồng đều của các tần số trong chuỗi như trong hình 4.3.

• Hàm tự tương quan của chuỗi PN lồng ghép phi tuyến đa thức sinh có bậc 10 là một hàm nhọn như hình 4.4

• Hàm tương quan chéo của 2 chuỗi PN lồng ghép phi tuyến đa thức sinh

30 1 +α+α 2 +α 4 +α 5 +α 9 31 có bậc 10 được biểu diễn trong hình 4.5 thể hiện rằng với 2 chuỗi phi tuyến giả ngẫu nhiên hầu như không có tương quan tuyến tính với nhau.

Sau khi xây dựng thành công chuỗi PN phi tuyến bậc 10 từ quy trình trong mục 2.6 với ma trận Φ1, ta tiếp tục sử dụng đa thức g(d) = 1+d+d³+d⁴+d¹⁰ trên trường GF(2¹⁰) và ánh xạ xuống GF(2⁵) để xây dựng ma trận Φ2 Việc kết hợp hai ma trận Φ1 và Φ2 tạo ra ma trận lấy mẫu nén Φ có kích thước [1023×2048], được ứng dụng để lấy mẫu tín hiệu vô tuyến của Flycam DJI Mavic như đã trình bày trong tài liệu Phần tiếp theo của luận án sẽ trình bày các kết quả thử nghiệm về quá trình khôi phục tín hiệu vô tuyến từ dữ liệu lấy mẫu nén của Flycam.

Hình 4.3: Phổ của chuỗi PN lồng ghép phi tuyến

4.2.2 Khôi phục tín hiệu 1 chiều Để đánh giá hiệu quả của mô hình lấy mẫu nén đề xuất luận án tiến hành thực nghiệm với các kịch bản sau.

Hình 4.4:Hàm tự tương quan của chuỗi PN lồng ghép phi tuyến

Hình 4.5:Hàm tương quan chéo của 2 chuỗi PN lồng ghép phi tuyến

Trong nghiên cứu này, các thuật toán DRMP, OMP và MP đã được kết hợp với ba ma trận lấy mẫu nén BPNSM, Gauss và Bernoulli để xử lý tín hiệu gốc lựa chọn trong [4], đạt tỷ lệ SNR ≥ 20dB cho tín hiệu không nhiễu Ngoài ra, mô hình còn được thử nghiệm với tín hiệu cộng thêm nhiễu có tỷ lệ SNR ≥ 15dB nhằm đánh giá hiệu quả trong điều kiện tín hiệu có SNR thấp Các kết quả cho thấy phương pháp này hoạt động hiệu quả trong việc cải thiện chất lượng tín hiệu và hiệu suất phục hồi trong các môi trường nhiễu cao.

Ma trận lấy mẫu BPNSM có kích thước 1023×2048, phản ánh quá trình thu nhận tín hiệu vô tuyến Tín hiệu vô tuyến được chia thành các đoạn có độ dài 2048, phù hợp với cấu trúc của ma trận mẫu Trong mô hình này, hệ số nén khoảng 0.5 giúp giảm dung lượng dữ liệu mà vẫn giữ được các đặc điểm quan trọng của tín hiệu Hình 4.6 trình bày tín hiệu vô tuyến thu được từ Flycam trong miền thời gian và phổ tần số, cho thấy tín hiệu rất dày đặc trong miền thời gian nhưng lại thưa thớt trong miền tần số Điều này giúp phân tích đặc điểm của tín hiệu truyền dẫn qua Flycam, hỗ trợ trong công tác xử lý và phân tích tín hiệu vô tuyến hiệu quả.

Hình 4.6: Dạng tín hiệu của Flycam:4.6a là tín hiệu gốc trong miền thời gian, 4.6blà biến đổi FFT của nó

Trong thực nghiệm này 289 mẫu tín hiệu có kích thước1×2048 được chọn lọc từ các mẫu tín hiệu vô tuyến trong [4] và được sắp xếp lại với giá trị

Trong bài viết này, giá trị của K-sparse của tín hiệu vô tuyến tăng dần nhưng không theo quy luật tuyến tính, mà phân bố trong phạm vi từ 300 đến 740 Các kết quả thực nghiệm được thực hiện bằng mô hình lấy mẫu nén trên máy tính ASUS Core i5, RAM 8GB, sử dụng phiên bản Python 3.9 Kết quả này giúp hiểu rõ hơn về đặc điểm phân bố của tín hiệu vô tuyến, đồng thời minh họa hiệu quả của phương pháp lấy mẫu nén trong xử lý tín hiệu.

Hình 4.7: Thời gian thực hiện trong trường hợp không cộng nhiễu

Hình 4.8:Thời gian thực hiện trong trường hợp cộng nhiễu

Hình 4.7 trình bày đồ thị dạng điểm thể hiện thời gian thực hiện của quá trình lấy mẫu nén và khôi phục tín hiệu vô tuyến sử dụng ba thuật toán DRMP, OMP Đồ thị cho thấy sự khác biệt rõ ràng về hiệu suất thời gian giữa các thuật toán này trong quá trình xử lý tín hiệu, từ đó giúp đánh giá độ hiệu quả và phù hợp của từng phương pháp trong hệ thống truyền thông vô tuyến Kết quả này cung cấp cái nhìn tổng quan về tốc độ và độ chính xác của các thuật toán, hỗ trợ trong việc lựa chọn giải pháp tối ưu cho ứng dụng thực tế.

Trong bài viết, chúng tôi phân tích sự ảnh hưởng của các ma trận BPNSM, Gauss và Bernoulli khi kết hợp với các thuật toán MP và 3 ma trận tương ứng Trục hoành của đồ thị biểu diễn các giá trị về độ thưa của 289 mẫu, được sắp xếp theo thứ tự tăng dần của độ thưa, giúp dễ dàng so sánh hiệu suất của các thuật toán Kết quả cho thấy, thuật toán DRMP và OMP gần như hoạt động tương đương khi kết hợp với cùng một loại ma trận, trong khi thời gian thực hiện của các thuật toán này khi kết hợp với ma trận BPNSM thấp hơn so với khi kết hợp với ma trận Gauss hoặc Bernoulli Điều này cho thấy ma trận BPNSM góp phần tối ưu hóa hiệu suất xử lý của các thuật toán trong bài toán nén và khôi phục dữ liệu.

Thuật toán MP khi kết hợp với cả 3 ma trận đều có thời gian thực hiện nhanh, giúp xử lý dữ liệu hiệu quả trong thời gian ngắn Tuy nhiên, mặc dù thời gian khôi phục nhanh chóng, thuật toán này không thể hiện hiệu quả cao về các chỉ tiêu như hệ số tương quan và sai số trung bình tuyệt đối (MAE) Điều này cho thấy rằng, tốc độ xử lý không phải là yếu tố duy nhất để đánh giá hiệu suất của thuật toán MP trong các ứng dụng dự báo hoặc phân tích dữ liệu phức tạp.

Mô phỏng đánh giá mô hình với tín hiệu 2 chiều

Trong những năm gần đây, lượng thông tin hình ảnh trao đổi trên mạng ngày càng gia tăng và phổ biến, bao gồm các bức ảnh thiên văn và y tế thể hiện tính chất thưa trong miền thời gian [50] Phần lớn các ảnh còn lại thể hiện tính chất thưa thông qua các cơ sở biến đổi như biến đổi DCT [54], giúp nâng cao hiệu quả xử lý hình ảnh Trong luận án, các ảnh đa cấp xám phổ biến như hình 4.13 được sử dụng để đánh giá hiệu quả của mô hình lấy mẫu nén đề xuất, góp phần nâng cao chất lượng và tối ưu hóa quá trình xử lý ảnh thưa.

Các bức ảnh trong hình 4.13 không phải là tín hiệu thưa theo trực giác Để có thể thực hiện xử lý với mô hình lấy mẫu nén, các hình ảnh này cần được chuyển đổi phù hợp, đảm bảo hiệu quả nén và duy trì chất lượng hình ảnh.

DCT [51] và chuyển đổi thành dữ liệu 1 chiều sử dụng ma trận zigzag như trong hình4.14.

Ma trận DCT thu được của bức ảnh được biểu diễn theo biểu thức sau: x DCT (i, j) = 1

Chuyển đổix DCT thành tín hiệu một chiều để thực hiện lấy mẫu nén chúng ta thu được x(n) = Z.x DCT , (4.5) trong đó,Z là ma trậnzigzag.

4.3.1 Ma trận lấy mẫu ảnh số

Trong kịch bản thử nghiệm lấy mẫu nén ảnh số, các bức ảnh có kích thước 512×512 được sử dụng để đánh giá hiệu quả của phương pháp Ma trận lấy mẫu BPNSM được tạo thành từ hai đa thức sinh bậc 9 trên trường GF(2⁹), gồm g(d) = 1+d+d³+d⁴+d⁹ và g(d) = 1+d+d²+d⁷+d⁹, đảm bảo tính toàn vẹn trong quá trình mã hóa Quá trình xây dựng ma trận lấy mẫu được thực hiện bằng phần mềm Python, với các thay đổi chủ yếu trong điều kiện thiết lập đa thức đầu vào để phù hợp với từng trường hợp Ma trận BPNSM kích thước 511×1024 sau khi tạo ra được sử dụng làm ma trận lấy mẫu để đảm bảo độ chính xác trong quá trình nén ảnh Để đánh giá chính xác hiệu quả của mô hình, các thử nghiệm so sánh được tiến hành theo phương pháp đã trình bày trong mục 4.2.2, giúp xác định khả năng nén và chất lượng ảnh sau khi mã hóa.

4.3.2 Khôi phục lại ảnh gốc

Trong luận án, sử dụng 6 hình ảnh đa cấp xám 8 bit kích thước 512×512 làm tín hiệu đầu vào cho mô hình lấy mẫu nén, chia thành các khối 32×32 để thực hiện biến đổi DCT và chuyển thành tín hiệu 1-D Quá trình lấy mẫu nén được thực hiện với hai phạm vi có và không có nhiễu vào tín hiệu ảnh, với tham số PSNR từ 30 đến 50dB khi nén mất mát Thực nghiệm đánh giá tác động của nhiễu đến mô hình bằng cách thay đổi giá trị nhiễu σ trong dải [0÷1], kết quả cho thấy PSNR khoảng 30dB tại σ = 0.2, được sử dụng để so sánh các ma trận và thuật toán Luận án áp dụng ba thuật toán khôi phục là MP, OMP [80] và thuật toán DRMP do đề xuất để tái tạo lại tín hiệu ảnh nén, và đánh giá hiệu quả bằng các chỉ số thị giác như PSNR, MSE cùng thời gian thực hiện.

Dưới đây là một số kết quả thực nghiệm khi thực hiện mô phỏng mô hình lấy mẫu nén trên máy tính ASUS Core I5 Ram 8G.

Từ dữ liệu các bảng4.3, 4.4, 4.5nhận thấy rằng:

Hình 4.15: Đồ thị đánh giá 3 ma trận lấy mẫu

Bảng 4.3: Bảng PSNR(dB) trong trường hợp không cộng nhiễu Ảnh test MP OMP DRMP

Gauss Bernoulli BPNSM Gauss Bernoulli BPNSM Gauss Bernoulli BPNSM Cameraman 6.56 2.68 5.72 28.91 29.32 36.56 31.29 30.30 35.90

Bảng 4.4:Bảng MSE trong trường hợp không cộng nhiễu Ảnh test MP OMP DRMP

Gauss Bernoulli BPNSM Gauss Bernoulli BPNSM Gauss Bernoulli BPNSM

Trong quá trình khôi phục tín hiệu ảnh đa cấp xám lấy mẫu nén, thuật toán MP thể hiện hiệu quả kém nhất so với hai thuật toán còn lại Cụ thể, thuật toán MP gặp phải sai số lớn và yêu cầu thời gian xử lý lâu hơn, gây giảm độ chính xác và hiệu quả của quá trình phục hồi tín hiệu Do đó, thuật toán MP không phải là lựa chọn tối ưu trong các phương pháp phục hồi tín hiệu ảnh đa cấp xám sau nén.

Bảng 4.5:Bảng thời gian xử lý trong trường hợp không cộng nhiễu Ảnh test MP OMP DRMP

Thuật toán OMP và thuật toán DRMP có hiệu suất rất tương đương nhau về thời gian xử lý và chỉ số PSNR khi sử dụng các ma trận lấy mẫu Gauss và Bernoulli, cho thấy cả hai phương pháp đều phù hợp cho các ứng dụng đòi hỏi tốc độ và độ chính xác cao.

Khi kết hợp thuật toán DRMP với ma trận lấy mẫu BPNSM, cả thời gian xử lý và độ lệch MSE đều giảm rõ rệt, cho thấy hiệu quả vượt trội trong việc khôi phục tín hiệu nén mẫu bằng ma trận BPNSM sử dụng thuật toán OMP.

Hình 4.16 trình bày một số hình ảnh đã được khôi phục trong điều kiện không cộng nhiễu, cho thấy hiệu quả của phương pháp đề xuất Qua hình ảnh, có thể nhận thấy quá trình lấy mẫu và khôi phục đã đạt chất lượng tốt nhất, đảm bảo giữ nguyên đặc trưng và chi tiết của hình ảnh gốc Kết quả này minh chứng cho khả năng của mô hình trong việc khôi phục hình ảnh một cách chính xác khi không bị ảnh hưởng bởi nhiễu.

Hình 4.16 trình bày hình ảnh khôi phục bằng thuật toán DRMP, trong đó 4.16a sử dụng ma trận Gauss, 4.16b sử dụng ma trận Bernoulli, và 4.16c sử dụng ma trận BPNSM theo đề xuất của luận án Đồ thị trong hình 4.17 thể hiện các tham số khi thực hiện lấy mẫu nén không cộng nhiễu với ba loại ma trận này, cho thấy rằng, khi các tham số thị giác PSNR gần như tương đương, việc sử dụng ma trận BPNSM trong luận án giúp giảm thời gian thực hiện nhanh hơn và giảm rõ rệt tỷ lệ lỗi Ngoài ra, luận án còn thực nghiệm quá trình này với tín hiệu có cộng thêm nhiễu để đánh giá khả năng chống nhiễu của thuật toán cũng như hiệu quả của các ma trận lấy mẫu đề xuất.

Hình 4.17 trình bày đồ thị đánh giá các ma trận lấy mẫu, giúp phân tích hiệu suất của quá trình lấy mẫu nén Đồ thị trong hình 4.18 mô tả các thông số quan trọng khi thực hiện lấy mẫu nén sử dụng cùng một ma trận BPNSM, nhưng áp dụng với ba thuật toán khác nhau để so sánh hiệu quả và độ chính xác của từng phương pháp Các kết quả này cung cấp thông tin quan trọng cho việc chọn lựa thuật toán tối ưu trong quá trình nén dữ liệu sử dụng ma trận BPNSM.

MP, OMP và thuật toán được đề xuất DRMP Có thể nhận thấy thuật toán

Thuật toán MP có thời gian thực hiện lâu nhất, giá trị lỗi cao và PSNR thấp khi kết hợp với cả ba ma trận lấy mẫu là Gauss, Bernoulli và BPNSM, cho thấy hiệu quả kém hơn so với các phương pháp khác Thuật toán DRMP và OMP cho kết quả lỗi và PSNR gần như tương đương nhau, tuy nhiên, DRMP nổi bật với thời gian thực hiện nhanh hơn đáng kể, phù hợp cho ứng dụng yêu cầu tốc độ cao Ngoài ra, luận án còn thực hiện cộng nhiễu vào tín hiệu ảnh để đánh giá khả năng khôi phục của thuật toán trong điều kiện có nhiễu, giúp xác định độ bền của phương pháp dưới tác động của nhiễu Các thử nghiệm tiếp theo tập trung vào khả năng lấy mẫu nén ảnh kỹ thuật số dưới ảnh hưởng của nhiễu, bằng cách tiến hành đánh giá ba thuật toán khôi phục khác nhau để xác định hiệu quả của các phương pháp trong các điều kiện thực tế.

Hình 4.18: Đồ thị đánh giá 3 thuật toán lấy mẫu

MP, OMP và DRMP, đối với tín hiệu ảnh có nhiễu được lấy mẫu sử dụng cả 3 ma trận Gauss, Bernoulli và BPNSM.

Bảng 4.6: Bảng PSNR(dB) trong trường hợp cộng nhiễu Ảnh test MP OMP DRMP

Gauss Bernoulli BPNSM Gauss Bernoulli BPNSM Gauss Bernoulli BPNSM Cameraman 6.89 5.77 5.77 16.80 24.35 30.68 19.67 25.39 33.37

Bảng 4.7:Bảng MSE trong trường hợp cộng nhiễu Ảnh test MP OMP DRMP

Từ dữ liệu các bảng4.6, 4.7, 4.8nhận thấy rằng:

Bảng 4.8: Bảng thời gian xử lý trong trường hợp cộng nhiễu (giây) Ảnh test MP OMP DRMP

Trong quá trình xử lý tín hiệu cộng nhiễu, các ma trận lấy mẫu đóng vai trò quan trọng trong hiệu quả của phương pháp loại bỏ nhiễu Trong đó, ma trận Gauss thể hiện hiệu suất kém nhất so với các ma trận còn lại, đặc biệt khi tín hiệu bị nhiễu mạnh Ngược lại, ma trận BPNSM đạt hiệu quả tốt nhất trong các thử nghiệm dựa trên phân tích của hai bảng 4.6 và 4.7, cho thấy khả năng chống nhiễu vượt trội.

Trong trường hợp tín hiệu bị cộng thêm nhiễu, thuật toán MP cho kết quả kém nhất về thời gian thực hiện, sai số trung bình tuyệt đối (MSE) và chỉ số PSNR so với hai thuật toán còn lại Trong khi đó, thuật toán DRMP vượt trội hơn OMP về khả năng khôi phục tín hiệu, đặc biệt khi xử lý các tín hiệu bị nhiễu, cho thấy hiệu quả phục hồi cao hơn.

Trong điều kiện cộng nhiễu, thời gian thực hiện của hai thuật toán OMP và DRMP gần như không có sự khác biệt Khi so sánh quá trình lấy mẫu nén sử dụng ba loại ma trận là Gauss, Bernoulli và BPNSM kết hợp với thuật toán DRMP, thời gian thực hiện giữa ma trận Gauss và BPNSM là tương đương nhau, trong khi đó, ma trận Bernoulli tiêu tốn thời gian lâu hơn.

Hình 4.19 trình bày các hình ảnh đã được khôi phục từ ảnh gốc bị cộng nhiễu, cho thấy mô hình kết hợp thuật toán DRMP và ma trận BPNSM cho kết quả chất lượng tối ưu So sánh với việc sử dụng chỉ thuật toán DRMP cùng hai loại ma trận Gauss và Bernoulli, phương pháp này mang lại hình ảnh rõ nét và ít nhiễu hơn Đồ thị trong hình 4.20 mô tả các thông số khi thực hiện lấy mẫu nén trong điều kiện cộng thêm nhiễu, sử dụng ba loại ma trận là Gauss, Bernoulli và ma trận Các kết quả này thể hiện rõ lợi ích của việc kết hợp các thuật toán và ma trận trong nâng cao chất lượng khôi phục ảnh và hiệu quả của quá trình lấy mẫu nén.

Hình 4.19: Ảnh khôi phục bằng thuật toán DRMP trong trường hợp cộng thêm nhiễu.4.19asử dụng ma trận Gauss,4.19bsử dụng ma trận

Ứng dụng mô hình lấy mẫu nén đề xuất

Dựa trên các phân tích và mô phỏng, mô hình lấy mẫu nén được đề xuất cho thấy tiềm năng cao trong ứng dụng thực tế Luận án trình bày hai ví dụ tiêu biểu về sử dụng mô hình này: thứ nhất là thu tín hiệu vô tuyến phát ra từ flycam, góp phần tối ưu hóa quá trình truyền dữ liệu không dây; thứ hai là lấy mẫu ảnh trong hệ thống camera giám sát, giúp giảm dung lượng dữ liệu và nâng cao hiệu quả lưu trữ Các kết quả này khẳng định khả năng ứng dụng rộng rãi của mô hình lấy mẫu nén trong các hệ thống truyền thông và giám sát hiện đại.

4.4.1 Ứng dụng trong cảm nhận phổ băng rộng

Trong ví dụ này, phương pháp lấy mẫu tín hiệu vô tuyến từ Flycam được ứng dụng trong thiết kế hệ thống phát hiện và cảnh báo để đối phó kịp thời với các nguy cơ do phương tiện này gây ra Phương pháp sử dụng kỹ thuật lấy mẫu nén giúp giảm khối lượng tính toán trong xử lý tín hiệu vô tuyến băng rộng thu được Hơn nữa, một hệ thống máy thu dựa trên nền tảng vô tuyến cấu hình mềm (SDR) đã được xây dựng để thử nghiệm hiệu quả của phương pháp này, đảm bảo phát hiện nhanh chóng và chính xác các tín hiệu nguy hiểm từ Flycam.

Hình 4.22: Sơ đồ khối hệ thống thu tín hiệu vô tuyến từ Flycam

Hệ thống trong hình 4.22 sử dụng anten Yagi định hướng với độ rộng búp sóng 70 độ và hệ số tăng ích 9dBi để tối ưu khả năng thu sóng Bộ thu tín hiệu vô tuyến dựa trên nền tảng USRP cấu hình mềm, thực hiện lấy mẫu sau quá trình chuyển đổi anten Tín hiệu sau khi lấy mẫu nén được gửi đến bộ xử lý trung tâm để khôi phục tín hiệu gốc và phân tích kết quả Các kết quả chi tiết của ứng dụng này được trình bày trong các tài liệu [J3], [J4].

4.4.2 Ứng dụng lấy mẫu nén ảnh số

Các hệ thống giám sát video phân tán quy mô lớn ngày càng phổ biến, bao gồm giám sát giao thông, đường cao tốc và nhà máy xí nghiệp Tuy nhiên, chúng đặt ra thách thức về khả năng mở rộng, đáp ứng kịp thời và bảo mật dữ liệu truyền dẫn Do số lượng lớn nguồn video, yêu cầu về băng thông để truyền các luồng video này thường vượt quá khả năng đường truyền, đặc biệt trong điều kiện mạng không ổn định Các tiêu chí đánh giá chất lượng video trong các hệ thống này thường dựa vào các thuật toán thị giác máy tính nhằm tự động hóa các nhiệm vụ giám sát hiệu quả.

Trong phần này của luận án, kỹ thuật lấy mẫu nén được ứng dụng trong xử lý tín hiệu video giám sát nhằm giảm thiểu băng thông truyền dẫn Kỹ thuật này giúp giảm đáng kể tốc độ bit trên đường truyền, đồng thời vẫn đảm bảo chất lượng hình ảnh được duy trì theo các tiêu chuẩn đánh giá như PSNR, MSE và SSIM Áp dụng lấy mẫu nén trong quá trình xử lý video giám sát là giải pháp hiệu quả để nâng cao hiệu quả truyền dữ liệu mà vẫn giữ nguyên độ chính xác và rõ nét của hình ảnh.

Hình 4.23: Kiến trúc của hệ thống giám sát video phân tán [53]

Trong các bức ảnh giám sát, sự khác biệt giữa hình ảnh trước và sau thường rất nhỏ so với toàn bộ nội dung bức ảnh, cho thấy chỉ truyền tải sự sai khác giữa các khung hình Công nghệ này giả định rằng dữ liệu truyền đi chỉ chứa sự khác biệt này, giúp giảm đáng kể lượng dữ liệu cần truyền qua mạng Kỹ thuật lấy mẫu nén được sử dụng để nén hiệu quả các khung hình, mang lại tỷ lệ nén cao và tối ưu hóa băng thông truyền dữ liệu Mô hình này giúp giảm tốc độ bit của hình ảnh truyền qua mạng một cách rõ rệt, đồng thời quá trình tiền xử lý chỉ đơn giản là phép trừ ma trận, giúp giảm độ phức tạp tính toán Khi nhận được dữ liệu, hệ thống sẽ khôi phục hình ảnh ban đầu bằng cách cộng dữ liệu nhận được với khung hình đã nhận trước đó, từ đó tái tạo chính xác bức ảnh gốc tại thời điểm hiện tại.

Hình 4.24:Hình ảnh giám sát

Hình 4.25: Phần sai khác giữa 2 ảnh

Tín hiệu hình ảnh tại thời điểm hiện tại ký hiệu là vₖ[i, j] Khi thực hiện phép trừ ma trận giữa các khung hình, tín hiệu thưa thu được có dạng xₖ[i, j] = vₖ[i, j] − vₖ₋₁[i, j], giúp phát hiện sự thay đổi giữa các khung hình và giảm nhiễu hiệu quả.

Tín hiệu này có độ K−sparse rất thấp, cho thấy khả năng nén dữ liệu hiệu quả cao khi áp dụng mô hình lấy mẫu nén Các nghiên cứu đã chứng minh rằng, sử dụng mô hình này giúp tối ưu hóa quá trình xử lý dữ liệu và nâng cao hiệu suất ứng dụng, như được trình bày trong tài liệu [J2].

Từ các thực nghiệm với tín hiệu vô tuyến và tín hiệu ảnh được trình bày trong mục (4.4.1) và (4.4.2) có thể nhận xét:

Ma trận xác định BPNSM cho hiệu quả rõ rệt khi so sánh với ma trận Gauss và ma trận Bernoulli, mang lại ưu điểm vượt trội về thời gian và độ chính xác trong quá trình khôi phục tín hiệu.

Thuật toán DRMP có thời gian xử lý gần như tương đương với thuật toán OMP nhưng mang lại kết quả chính xác cao hơn và khả năng chống nhiễu vượt trội so với OMP và MP, giúp nâng cao hiệu suất và độ tin cậy trong các ứng dụng xử lý tín hiệu.

Thuật toán DRMP được cải tiến từ thuật toán gốc MP, mang lại hiệu quả vượt trội về độ chính xác và thời gian thực hiện Việc nâng cấp này giúp tối ưu hóa hiệu suất xử lý, đáp ứng tốt hơn các yêu cầu của ứng dụng thực tế Nhờ đó, DRMP trở thành lựa chọn ưu việt hơn so với thuật toán MP truyền thống trong các bài toán cần độ chính xác cao và xử lý nhanh chóng.

Thuật toán gốc MP thường có thời gian khôi phục lớn do khối lượng tính toán lớn, gây ảnh hưởng đến hiệu suất xử lý dữ liệu Đồng thời, điểm yếu đáng chú ý của nó là khả năng khôi phục kém nhất đối với các tín hiệu có giá trị K−sparse cao và tỷ số SNR thấp, dẫn đến độ chính xác thấp trong quá trình hồi phục tín hiệu.

Các thực nghiệm trong luận án này được thực hiện trên máy tính cá nhân, do đó chưa tận dụng tối đa khả năng bộ nhớ của ma trận BPNSM Việc tạo ma trận trên các phần cứng khả trình như FPGA có thể nâng cao tốc độ lấy mẫu so với việc sử dụng ma trận Gauss và ma trận Bernoulli, giúp cải thiện hiệu suất và kết quả nghiên cứu.

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Luận án đã nghiên cứu đề xuất một mô hình lấy mẫu nén gồm ma trận lấy mẫu nén xác định khả thi cho các hệ thống điện tử số, kết hợp thuật toán khôi phục tín hiệu cải tiến từ thuật toán gốc MP Nội dung luận án được trình bày rõ ràng qua bốn chương cơ bản: Tổng quan về lấy mẫu nén, thiết kế ma trận lấy mẫu nén xác định BPNSM, thuật toán cải tiến DRMP, và mô phỏng cùng đánh giá hiệu năng Các kết quả nghiên cứu mới mang tính đột phá đã được phân thành ba nhóm chính, góp phần thúc đẩy phát triển công nghệ lấy mẫu nén trong lĩnh vực điện tử số.

1 Đề xuất phương pháp xây dựng ma trận lấy mẫu nén BPNSM. Đề xuất một kỹ thuật xây dựng ma trận lấy mẫu nén BPNSM với các phần tử được tạo thành từ các chuỗi nhị phân phi tuyến Các nghiên cứu trước đây chưa tập trung vào tính bảo mật và các kỹ thuật thực hiện ma trận trên phần cứng với tốc độ cao Việc tạo ra ma trận từ các dãy phi tuyến giả ngẫu nhiên làm cho ma trận lấy mẫu nén có tính bảo mật cao, kỹ thuật tạo ra ma trận từ phần cứng FPGA kết hợp với hệ thống chuyển mạch giúp giảm thời gian tạo ra ma trận, giảm độ phức tạp phần cứng khi thực hiện lấy mẫu nén Ma trận BPNSM được tạo ra từ các đa thức sinh trên trường Galois nên yêu cầu về lưu trữ thấp, trong các ứng dụng truyền thông thay vì truyền đi giá trị toàn bộ các phần tử trong ma trận thì đối với ma trận BPNSM chỉ cần truyền đi đa thức sinh để tạo ra ma trận đó.

2 Đề xuất thuật toán cải tiến DRMP dựa trên thuật toán gốc MP. Đề xuất thuật toán cải tiến DRMP dựa trên thuật toán gốc MP Thuật toán DRMP cải tiến so với thuật toán MP ở bước tìm kiếm phần dư và cập nhật giá trị trong mỗi một bước lặp Các thành phần của tín hiệu được tìm kiếm từ không gian con của ma trận lấy mẫu nén thông qua hướng tối đa hóa biến đổigradientcủa hàm mục tiêu thay vì việc tính tích vô hướng của tất cả các cột trong ma trận lấy mẫu như đối với thuật toán gốc MP Thông qua các phân tích đánh giá về mặt toán học cũng như mô phỏng thực nghiệm, thuật toán DRMP được đề xuất có lỗi trong quá trình khôi phục giảm dần sau mỗi lần lặp, quá trình tính toán ở mỗi bước lặp đơn giản hơn so với thuật toán gốc MP trong trường hợp ma trận lấy mẫu thỏa mãn điều kiện giới hạn đẳng trị RIP.

3 Đề xuất mô hình lấy mẫu nén gồm ma trận BPNSM và thuật toán cải tiến DRMP, so sánh đánh giá hiệu năng của mô hình đề xuất.

Trong luận án, mô hình lấy mẫu nén được đề xuất dựa trên ma trận BPNSM và thuật toán cải tiến DRMP, giúp nâng cao hiệu quả nén dữ liệu Hiệu năng của mô hình đã được xác minh thông qua các mô phỏng thực tế với nguồn tín hiệu phổ biến như tín hiệu vô tuyến và ảnh đa cấp xám Tính khả thi của mô hình đã được chứng minh qua hai ứng dụng thực tiễn: lấy mẫu nén tín hiệu vô tuyến từ drone Flycam và nén hình ảnh trong hệ thống camera giám sát.

Kết quả nghiên cứu trong luận án phù hợp với các phát hiện trong phần thực nghiệm, góp phần định hướng phát triển các nghiên cứu mở rộng trong tương lai Hướng nghiên cứu tiếp theo sẽ tập trung vào việc áp dụng lấy mẫu nén thích nghi nhằm nâng cao hiệu quả tính toán và lưu trữ dữ liệu Đồng thời, luận án sẽ sử dụng các công cụ học máy và trí tuệ nhân tạo để tối ưu hóa quá trình lấy mẫu ma trận dựa trên tập dữ liệu tín hiệu đầu vào, nhằm cải thiện hiệu suất và độ chính xác của mô hình.

Trong quá trình nghiên cứu, nghiên cứu sinh đã tích lũy kiến thức về lý thuyết lấy mẫu nén và đại số tuyến tính, cùng với các kỹ năng tính toán và xử lý số tín hiệu Những kiến thức và kỹ năng này là công cụ không thể thiếu trong lĩnh vực xử lý tín hiệu số, hỗ trợ công tác nghiên cứu và giảng dạy của nghiên cứu sinh lâu dài.

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

The article by Tran Vu Kien, Nguyen Ngoc Minh, and Nguyen Le Cuong (2017) focuses on developing a matching pursuit algorithm aimed at reducing computational complexity in compressed sampling and signal recovery processes The authors highlight that optimizing the algorithm significantly decreases the processing effort, leading to faster and more efficient signal reconstruction This research addresses key challenges in compressed sensing by improving algorithm accuracy while minimizing errors during signal recovery The study demonstrates that their proposed approach enhances the performance of matching pursuit techniques, making them more practical for real-world applications with limited computational resources.

[J2] Kien T.V, An B.L, Quynh L.C, “Secure Separate Bit Plane Image Pro- cessing for Distributed Video Surveillance System (DVSS/DVC)”, IJCSMC, Vol 9, Issue 9, September 2020, pg.61 - 72

Trần Vũ Kiên, Hoàng Văn Lợi, và Nguyễn Lê Cường đã nghiên cứu ứng dụng kỹ thuật lấy mẫu nén trong việc thu tín hiệu vô tuyến để phát hiện máy bay không người lái siêu nhẹ Bài viết đăng trên Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, số Đặc san Ra đa, năm 2021, tập trung vào việc tối ưu hóa các phương pháp thu nhận tín hiệu nhằm nâng cao khả năng phát hiện UAV siêu nhỏ trong các điều kiện phức tạp Các kỹ thuật lấy mẫu nén giúp giảm thiểu lượng dữ liệu cần xử lý, cải thiện độ chính xác và thời gian phản ứng trong hệ thống phát hiện UAV Nghiên cứu này góp phần nâng cao hiệu quả các hệ thống radar và phát hiện mục tiêu trong lĩnh vực quân sự, phù hợp với các yêu cầu ngày càng cao về an ninh không gian mạng.

Trong bài viết này, Trần Vũ Kiên, Đỗ Anh Tú, Nguyễn Hải Quân và Nguyễn Lê Cường trình bày phương pháp ứng dụng mẫu nén và học máy để phát hiện Flycam trong môi trường có chồng lấn với tín hiệu WiFi Nghiên cứu cung cấp giải pháp hiệu quả nhằm cải thiện khả năng nhận diện Flycam trong không gian phức tạp, góp phần nâng cao an ninh và an toàn cho các hoạt động dân sự và quân sự Bài báo được xuất bản trên Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự số 82, tháng 10 năm 2022, ISSN 1859-1403.

[C1] Cuong Nguyen Le, Kien Tran Vu and Quynh Le Chi, “On The DesiredProperties Of Linear Feedback Shift Register (LFSR) Based High-SpeedPN-Sequence-Generator”, ICTIS 2020.

[1] Abebe A T and Kang C G., “Iterative Order Recursive Least Square Estimation for Exploiting Frame-Wise Sparsity in Compressive Sensing- Based MTC”, in IEEE Communications Letters, vol 20, no 5, pp 1018-

[2] Abo-Zahhad, Mohammed M., Aziza I Hussein, and Abdelfatah M Mo- hamed, “Compressive sensing algorithms for signal processing applications: A survey”, International journal of communications, network and system sciences 8.06 (2015): 197.

[3] Agarwal A., Negahban S., and Wainwright M J., “Fast global conver- gence of gradient methods for high-dimensional statistical recovery”, Ann. Statist., 40(5):, (2012) 2452-2482.

[4] Allahham, MHD Saria, et al, “DroneRF dataset: A dataset of drones for RF-based detection, classification and identification”, Data in brief 26 (2019): 104313.

[5] Amini, Arash, and Farokh Marvasti, “Deterministic construction of bi- nary, bipolar, and ternary compressed sensing matrices”, IEEE Transac- tions on Information Theory 57.4 (2011): 2360-2370.

[6] Arjoune Youness, et al, “Compressive sensing: Performance comparison of sparse recovery algorithms”, 2017 IEEE 7th annual computing and communication workshop and conference (CCWC) IEEE, (2017).

[7] Arjoune Y., Kaabouch N., El Ghazi H., & Tamtaoui A., “A performance comparison of measurement matrices in compressive sensing”, International Journal of Communication Systems, 31(10), e3576. doi:10.1002/dac.3576 (2018).

[8] Arjoune Y., Kaabouch N., “Wideband Spectrum Sensing: A Bayesian Compressive Sensing Approach”, Sensors (2018), 18, 1839; doi:10.3390/s18061839.

[9] Baraniuk R., “Compressive sensing”, IEEE Sig Proc Mag.24(2007), no.

[10] Baraniuk R., Davenport M., DeVore R., and Wakin M., “A simple proof of the restricted isometry property for random matrices”, Constructive Ap- proximation28 (2008), no 3, 253-263.

[11] Baraniuk R., Cevher V., Duarte M F., & Hegde C., “Model-based compressive sensing”, IEEE Transactions on information theory,56(4), (1982-

[12] Berardinelli G., “Generalized DFT-s-OFDM waveforms without Cyclic Prefix”, IEEE Access (2017), 6, 4677–4689.

[13] Blumensath, Thomas, and Mike E Davies, “Gradient pursuits”, IEEE Transactions on Signal Processing56.6 (2008): 2370-2382.

[14] Candès E J., Romberg J., “L1-magic: Recovery of Sparse Signals via Convex Programming”, (2005), http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi.1.1.212.9120.

[15] Candès E J., Romberg J., and Tao T., “Robust uncertainty principles:

Ex act signal reconstruction from highly incomplete frequency information”, IEEE Transactions on Information Theory, vol 52, pp 489—509,

[16] Candès E J and Romberg J., “Sparsity and incoherence in compressive sampling”, Inverse Prob.23 (2007), no 3, 969-985.

[17] Candès E J., “The restricted isometry property and its implications for compressed sensing”, C R Acad Sci Paris, Ser I 346 (2008) 589–592.

[18] Candès E.J., Recht B., “Exact matrix completion via convex optimization”, Foundations of Computational Mathematics 9(6), 717-772 (2009), http://link.springer.com/article/10.1007/s10208-009-9045-5.

[19] Candès E J and Plan Y., “A probabilistic and RIPless theory of compressed sensing”, Preprint: arXiv:1011.3854 (2010)

[20] Chen S., Donoho D., and Saunders M., “Atomic decomposition by basis pursuit”, SIAM Journal on Scientific Computing, vol.20, no 1, pp 33—61,

[21] Chen, Bo, John Paisley, and Lawrence Carin “Sparse linear regression with beta process priors”, 2010 IEEE International Conference on Acous- tics, Speech and Signal Processing IEEE, (2010).

Cuong Nguyen Le, Thang Pham Xuan, and Quynh Le Chi's 2015 study, "On the Comparative Study of Some Mathematical Tools for Specific Sequences Design," published in the Journal of Information Engineering and Applications, explores various mathematical tools used for designing specific sequences The research analyzes and compares the effectiveness of these tools, providing valuable insights into their applications in information engineering This comprehensive comparison aims to identify optimal methods for sequence development, which can enhance the efficiency of communication systems and data encoding processes The findings contribute to advancing mathematical techniques for sequence design, ensuring better performance in practical applications.

[23] Dai W and Milenkovic O., “Subspace pursuit for compressive sensing signal reconstruction”, IEEE Trans Inform Theory, 55(5):22308211;2249, (2009).

[24] Daubechies, Ingrid, et al “Iteratively reweighted least squares minimization for sparse recovery”, Communications on Pure and Applied Mathematics: A Journal Issued by the Courant Institute of Mathemati- cal Sciences 63.1 (2010): 1-38.

[25] Davenport M A and Wakin M., “Analysis of orthogonal matching pursuit using the restricted isometry property”, IEEE Trans Inform Theory,56(9):43958211;4401, (2010).

[26] Davenport M A.,Needell D., and Wakin M B., “Signal space cosamp for sparse recovery with redundant dictionaries”, Preprint at http://arxiv.org/abs/1208.0353, (2012).

[27] David L Donoho, Yaakov Tsaig, Iddo Drori, Jean-Luc Starck, “Sparse Solution of Underdetermined Linear Equations by Stagewise Orthogo- nal Matching Pursuit”, IEEE Transactions on Information Theory 58 (2), 1094-121 (2012).

[28] Dhawan, Sanjeev, “Analogy of promising wireless technologies on dif- ferent frequencies: Bluetooth, wifi, and wimax”, The 2nd International Conference on Wireless Broadband and Ultra Wideband Communications (AusWireless 2007) IEEE, (2007).

[29] Do T T., Gan L., Nguyen N and Tran T D., “Sparsity adaptive matching pursuit algorithm for practical compressed sensing”, 2008 42nd Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers, (2008), pp 581-587, doi: 10.1109/ACSSC.2008.5074472.

[30] Donoho D and Elad M., “Optimally sparse representation in general (nonorthogonal) dictionaries via l1 minimization”, Proc Natl Acad Sci.,

[31] Donoho D., “Compressed sensing”, IEEE Trans on Information Theory,

[32] Donoho D., “For most large underdetermined systems of linear equations, the minimal -norm solution is also the sparsest solution”, Comm. Pure Appl Math., 59(6):7978211;829, (2006).

[33] Duarte M., Wakin M., and Baraniuk R., “Fast reconstruction of piece- wise smooth signals from random projections”, In Proc Work Struc Parc.Rep Adap Signaux (SPARS), Rennes, France, (Nov 2005).

[34] Duarte Carvajalino, Julio Martin, and Guillermo Sapiro, “Learning to sense sparse signals: Simultaneous sensing matrix and sparsify- ing dictionary optimization”, IEEE Transactions on Image Processing,

[35] Du L., Wang R.,Wan W., Yu X Q., Yu S., “Analysis on greedy reconstruction algorithms based on compressed sensing”, 2012 International Confer- ence on Audio, Language and Image Processing pp 783-789 IEEE (jul 2012).

[36] Faragallah O S et al., “A Comprehensive Survey Analysis for Present Solutions of Medical Image Fusion and Future Directions”, in IEEE Ac- cess, vol 9, pp 11358-11371, (2021), doi: 10.1109/ACCESS.2020.3048315.

[37] Fardad, Mohammad, Sayed Masoud Sayedi, and Ehsan Yazdian, “A low- complexity hardware for deterministic compressive sensing reconstruction”, IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers 65.10 (2018): 3349-3361.

[38] Faria M.L.L.D., Cugnasca C.E., Amazonas J.R.A, “Insights into IoT data and an innovative DWT-based technique to denoise sensor signals”, IEEE Sens J (2017), 18, 237–247.

[39] Foucart, Simon, “Sparse recovery algorithms: sufficient conditions in terms of restricted isometry constants”, Approximation Theory XIII: San Antonio 2010 Springer, New York, NY, (2012) 65-77.

[40] Gan, Hongping, et al, “Chaotic compressive sampling matrix: where sensing architecture meets sinusoidal iterator”, Circuits, Systems, and Signal Processing 39.3 (2020): 1581-1602.

[41] Gian Quoc, Anh, et al, “Wireless technology for monitoring site-specific landslide in Vietnam”, International Journal of Electrical and ComputerEngineering 8.6 (2018): 4448-4455.

[42] Goresky, Mark, and Andrew M Klapper, “Fibonacci and Galois repre- sentations of feedback-with-carry shift registers”, IEEE Transactions on Information Theory 48.11 (2002): 2826-2836.

[43] Gu, Zhi, et al, “Deterministic compressed sensing matrices from sequences with optimal correlation”, IEEE Access 7 (2019): 16704-16710.

[44] Gurve, Dharmendra, Denis Delisle-Rodriguez, Teodiano Bastos- Filho, and Sridhar Krishnan, “Trends in Compressive Sensing for EEG Signal Processing Applications”, Sensors 20, no 13: 3703. https://doi.org/10.3390/s20133703 (2020).

[45] Herman M and Strohmer T., “High-resolution radar via compressed sensing”, IEEE Trans Sig Proc.57 (2009), no 6, 2275-2284.

[46] Hong M., Yu Y., Wang H., Liu F., Crozier S., “Compressed sensing MRI with singular value decomposition-based sparsity basis”, Physics in Medicine and Biology, 56 (2011) 6311–6325, doi: 10.1088/0031- 9155/56/19/010.

Tiêu đề	Nghiên cứu thiết kế ma trận và cải tiến thuật toán khôi phục tín hiệu được lấy mẫu nén
Người hướng dẫn	TS. Hà Nội, 2023
Trường học	Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông
Chuyên ngành	Kỹ thuật điện tử
Thể loại	Luận án tiến sĩ
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	142
Dung lượng	5,72 MB