Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (3)

MỤC LỤC Chương 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 §1 – HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 1 AA KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 BB PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 2 | Dạng 1 Tìm tập xác định của hàm số lượng giác 2[.]

Trang 2

Chương 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ .1

B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN .2

| Dạng 1 Tìm tập xác định của hàm số lượng giác .2

| Dạng 2 Tính chẵn lẻ của hàm số .6

| Dạng 3 Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất .7

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM .12

§2 – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 19 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ .19

| Dạng 1 Giải các phương trình lượng giác cơ bản .21

| Dạng 2 Giải các phương trình lượng giác dạng mở rộng .23

| Dạng 3 Giải các phương trình lượng giác có điều kiện xác định .25

| Dạng 4 Giải các phương trình lượng giác trên khoảng (a; b) cho trước .27

§3 – MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 37 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ .37

| Dạng 1 Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác .38

| Dạng 2 Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác .41

| Dạng 3 Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx .45

| Dạng 4 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx .48

| Dạng 5 Phương trình chứa sin x ± cos x và sin x · cos x .50

§4 – MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC 59 A PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN .59

| Dạng 1 Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai (ba) đối với một hàm số lượng giác .59

| Dạng 2 Biến đổi asinx + bcosx .62

| Dạng 3 Biến đổi đưa về phương trình tích .64

Trang 3

MỤC LỤC Kết nối tri thức với cuộc sống

Trang 4

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

B ÀI 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

○ Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T = 2π,nghĩa là sin(x + k2π) = sin x, với k ∈ Z

2 Hàm số y = cos x

○ Tập xác định: D = R

○ Tập giác trị: [−1; 1], tức là −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈R

○ Hàm số y = cos x là hàm số chẵn nên đồ thị hàm

số nhận trục Oy làm trục đối xứng

○ Hàm số y = cos x là hàm số tuần hoàn với chu kì

T = 2π, nghĩa là cos(x + k2π) = cos x, với k ∈ Z

○ Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π, nghĩa

là tan(x + kπ) = tan x, với k ∈ Z

π 2

Trang 5

1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Kết nối tri thức với cuộc sống

○ Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π, nghĩa

là cot(x + kπ) = cot x, với k ∈ Z

π 2

3π 2

B – PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

| Dạng 1 Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

Ta chú ý một số điều kiện sau:

a) y = f(x)

g(x) xác định ⇔ g(x) 6= 0

b) y = 2npf(x) xác định ⇔ f(x) > 0, trong đó n ∈ N∗

Trang 6

c) y = tan [u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định và u(x) 6= π2 + kπ, k ∈ Z.

d) y = cot [u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định và u(x) 6= kπ, k ∈ Z

c Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau đây:

y = 2 sin x + 3

cos x

1 − cos x

sin x c)

y = 1 + cos x

1 + sin x

cos x + 1

cos x + 2 f)

y = 2 sin x + 3 sin x − 1

2 sin x + 3

x+ 2 i)

y =√

3 − 2 cos x

√ cos x − 2

1 + cos x

1 − cos x l)

ÊLời giải.

Trang 7

4

c Ví dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau đây:

y= 2 tan x + 3

4

+ 1 c)

ÊLời giải.

c Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số sau có tập xác định R y=√ m− cos x a) y=√ 2 sin x − m b) y= sin x − 1 cos x + m c) ÊLời giải.

Trang 8

.

c Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = pcos2x− (2 + m) cos x + 2m có tập xác định R ÊLời giải.

Trang 9

6

| Dạng 2 Tính chẵn lẻ của hàm số Ta thực hiện các bước sau: a) Tìm tập xác định D của hàm số – Tập D phải đối xứng b) Tính f (−x) (chỗ nào có biến x, ta thay bởi −x) và thu gọn kết quả Khi đó • Nếu f(−x) = f(x): hàm số đã cho là hàm chẵn • Nếu f(−x) = −f(x): hàm số đã cho là hàm lẻ • Nếu không rơi vào 2 trường hợp trên, ta kết luận hàm số không chẵn, không lẻ CHÚ Ý Hàm số y = sin x là hàm số lẻ ① ② Hàm số y = cos x là hàm số chẵn Hàm số y = tan x là hàm số lẻ ③ ④ Hàm số y = cot x là hàm số lẻ c Ví dụ 5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y= f (x) = sin Å 2x + 9π 2 ã ; a) b) y= f (x) = tan x + cot x ÊLời giải.

Trang 10

.

c Ví dụ 6. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = tan7 2x · sin 5x ÊLời giải.

| Dạng 3 Tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất

Ta thường dùng một trong 3 phương pháp sau:

Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản

−1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R;

0 ≤ sin2

x,cos2

x≤ 1, ∀x ∈ R;

Cô – si:

a+ b ≥ 2√ab, với mọi a, b ≥ 0 Dấu bằng xảy ra khi a = b

(ab + cd)2

≤ (a2

+ c2

)(b2

+ d2

) Dấu bằng xảy ra khi a

b = c

d

⑥

Sử dụng điều kiện có nghiệm

① sin x = f (m) có nghiệm khi −1 ≤ f(m) ≤ 1

② cos x = f (m) có nghiệm khi −1 ≤ f(m) ≤ 1

③ sin x + b cos x = c có nghiệm khi a2

+ b2

≥ c2

Sử dụng bảng biến thiên: Lập bảng biến thiên của hàm số, từ đó, kết luận

c Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

y = 2 sin x + 3

x 3

2 + cos x − 1 c)

y = 4 sin x cos x + 1;

2x

y = sin4

x+ cos4

x

x+ cos6

x h)

ÊLời giải.

Trang 11

8

c Ví dụ 8. Tìm x để hàm số y = (sin x + 3)2 − 1 đạt giá trị nhỏ nhất ÊLời giải.

Trang 12

.

c Ví dụ 9. Tìm x để hàm số y = 1 − 3√1 − cos2 xđạt giá trị nhỏ nhất ÊLời giải.

Trang 13

10

c Ví dụ 10. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau y=√ 3 sin x + cos x a) b) y= sin 2x − cos 2x c) y= 3 sin x + 4 cos x ÊLời giải.

c Ví dụ 11. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau

y= 2sin2

x− 3 sin x + 1

x+ 3 cos x − 2

ÊLời giải.

Trang 14

.

c Ví dụ 12. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 cos2 x− 2√3 sin x cos x + 1 ÊLời giải.

Trang 15

12

c Ví dụ 13. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin x + 3 cos x + 1 sin x − cos x + 2 . ÊLời giải.

C – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM c Câu 1 Tìm tập xác định D của hàm số y = − tan x A D = R \nπ2 + kπ, k ∈ Zo B D = R \ {kπ, k ∈ Z} C D = R \ {k2π, k ∈ Z} D D = R \nπ2 + k2π, k ∈ Zo ÊLời giải.

c Câu 2 Tìm tập xác định của hàm số y = cot x A D = R\nkπ 2|k ∈ Zo B D = R\{kπ|k ∈ Z} C D = R\{k2π|k ∈ Z} D D = R\nπ2 + kπ|k ∈ Zo ÊLời giải.

c Câu 3 Điều kiện xác định của hàm số y = 1 − 3 cos x

sin x là

A x6= π2 + kπ, k ∈ Z B x6= k2π, k ∈ Z

ÊLời giải.

Trang 16

.

c Câu 4 Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định của hàm số y = 2 sin x + 1 1 − cos x là A x6= k2π B x6= kπ C x6= π2 + kπ D x6= π2 + k2π ÊLời giải.

c Câu 5 Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định của hàm số y = tan 2x − π3 là A x6= π6 + kπ 2 B x6= 5π12 + kπ C x6= π2 + kπ D x6= 5π12 + kπ 2 ÊLời giải.

c Câu 6 Tập giá trị của hàm số y = cos x là tập hợp nào sau đây? A R B (−∞; 0]. C [0; +∞]. D [−1; 1]. ÊLời giải.

c Câu 7 Tập giá trị của hàm số y = sin 2x là A [−2; 2]. B [0; 2] C [−1; 1]. D [0; 1] ÊLời giải.

c Câu 8 Mệnh đề nào dưới đây đúng? A Hàm số y = sin x là hàm số chẵn B Hàm số y = cos x là hàm số chẵn C Hàm số y = tan x là hàm số chẵn D Hàm số y = cot x là hàm số chẵn ÊLời giải.

c Câu 9 Tìm hàm số lẻ trong các hàm số sau: A y= sin2x B y = x cos 2x C y= x sin x D y= cos x ÊLời giải.

Trang 17

14

c Câu 10 Tìm điều kiện xác định của hàm số y = tan x + cot x

ÊLời giải.

c Câu 11 Tập xác định của hàm số y = 2 cos 3x − 1 cos x + 1 là A D = R \ {π + kπ; k ∈ Z} B D = R \ {k2π; k ∈ Z} C D = R \ {π2 + kπ; k ∈ Z} D D = R \ {π + k2π; k ∈ Z} ÊLời giải.

c Câu 12 Mệnh đề nào dưới đây sai? A Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì π B Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì π C Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì π D Hàm số y = sin 2x tuần hoàn với chu kì π ÊLời giải.

c Câu 13 Hàm số y = sin 2x có chu kỳ là A T = 2π B T = π 2 C T = π D T = 4π ÊLời giải.

c Câu 14 Hàm số nào là hàm số chẵn? A y = sinx+ π 2 B y= cosx+π 2 C y= sin 2x D y= tan x − sin 2x ÊLời giải.

c Câu 15 Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A,B,C,D Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

Trang 18

O x

y

2π 1

−1

A y= 1 + sin x B y = 1 − sin x C y= sin x D y= cos x

ÊLời giải.

c Câu 16 Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D Hỏi đó là hàm số nào? x y −π −π 2 π 2 π 2 O 1 A y= cos x + 1 B y = 2 − sin x C y= 2 cos x D y= cos2 x+ 1 ÊLời giải.

c Câu 17 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = √cos x + 2 A max y = 3 và min y = 1 B max y = 3 và min y = 2 C max y = 3 và min y = −2. D max y = 3 và min y = −1. ÊLời giải.

c Câu 18 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = √2 sin x + 3 A max y =√ 5, min y = 1 B max y =√ 5, min y = 2√ 5 C max y =√ 5, min y = 2 D max y = √ 5, min y = 3 ÊLời giải.

Trang 19

16

c Câu 19 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 1+3 sin

2x − π4

A min y = −2, max y = 4. B min y = 2, max y = 4

C min y = −2, max y = 3. D min y = −1, max y = 4.

ÊLời giải.

c Câu 20 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 − 2 cos2 3x A min y = 1, max y = 2 B min y = 1, max y = 3 C min y = 2, max y = 3 D min y = −1, max y = 3. ÊLời giải.

c Câu 21 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 1 + √2 + sin 2x A min y = 2, max y = 1 +√ 3 B min y = 2, max y = 2 +√ 3 C min y = 1, max y = 1 +√ 3 D min y = 1, max y = 2 ÊLời giải.

c Câu 22 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 4 1 + 2sin2 x A min y = 4 3, max y = 4 B min y = 4 3, max y = 3 C min y = 4 3, max y = 2 D min y = 1 2, max y = 4 ÊLời giải.

Trang 20

.

c Câu 23 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 2 sin2 x+ cos2 2x A max y = 4, min y = 3 4 B max y = 3, min y = 2 C max y = 4, min y = 2 D max y = 3, min y = 3 4 ÊLời giải.

c Câu 24 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 sin x+4 cos x+1 A max y = 6, min y = −2. B max y = 4, min y = −4. C max y = 6, min y = −4. D max y = 6, min y = −1. ÊLời giải.

c Câu 25 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 sin x+4 cos x−1 A min y = −6; max y = 4. B min y = −6; max y = 5. C min y = −3; max y = 4. D min y = −6; max y = 6. ÊLời giải.

c Câu 26 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 sin x + 4 cos x − 1 A max y = 4, min y = −6. B max y = 6, min y = −8. C max y = 6, min y = −4. D max y = 8, min y = −6. ÊLời giải.

Trang 21

18

c Câu 27 Gọi T là tập giá trị của hàm số y = 1

2sin

2

x− 34cos 2x + 3 Tìm tổng các giá trị nguyên của T

ÊLời giải.

c Câu 28 Hàm số y = cos2 x+ sin x + 1 có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất lần lượt bằng A 3; 1 B 1; −1. C 9 4; 0. D 9 4; 2. ÊLời giải.

c Câu 29 Giá trị lớn nhất của hàm số y = 2 cos2 x− sin 2x + 5 là A 6 +√ 2 B 6 −√2 C √2 D −√2 ÊLời giải.

c Câu 30 Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = sin x + 2 cos x + 1 sin x + cos x + 2 A M = −2 B M = −3 C M = 3 D M = 1 ÊLời giải.

—HẾT—

Trang 22

B ÀI 2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

2 ; ±

√32

´ Ta bấm máy SHIFT sin a để đổi số a về góc α hoặc β◦

B

B′

cos x = 0 ⇔ x = π

2 + kπ

Trang 23

2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Kết nối tri thức với cuộc sống

2 ; ±

√32

´ Ta bấm máy SHIFT cos a để đổi số a về góc α hoặc β◦

M

Na

Trường hợp a ∈ [−1; 1] nhưng khác các số ở trên

√3

3 ; ±1; ±√3

´ Ta bấm máy SHIFT tan a để đổi số a về góc α hoặc

3 ; ±1; ±√3

´ Ta bấm máy SHIFT tan 1

a để đổi số a về góc α hoặc β◦

tương ứng Riêng a = 0 thì α = π

2

Trang 24

B – PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

| Dạng 1 Giải các phương trình lượng giác cơ bản

• Nhận dạng (biến đổi) về đúng loại phương trình cơ bản, xem số a quy đổi về góc "đẹp" hayxấu;

• Chọn và ráp công thức nghiệm

c Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:

sin 3x = −

√32

Trang 25

tan 3x = −

√33

Trang 26

.

c Ví dụ 3. (A.2014) Giải phương trình sin x + 4 cos x = 2 + sin 2x

| Dạng 2 Giải các phương trình lượng giác dạng mở rộng

• Biến đổi về một trong các cấu trúc sau

sin u = sin v

• Chú ý các công thức biến đổi lượng giác sau:

Trang 27

c Ví dụ 5. (B.2013) Giải phương trình sin 5x + 2 cos2

Trang 28

| Dạng 3 Giải các phương trình lượng giác có điều kiện xác định

Trang 29

c Ví dụ 7. Giải phương trình tan

2x + π6

+ tanπ

Trang 30

c Ví dụ 9. Giải phương trình sin 2x + 2 cos x − sin x − 1√

| Dạng 4 Giải các phương trình lượng giác trên khoảng (a; b) cho trước

① Giải phương trình, tìm các họ nghiệm x = α + kπ

② Vì x ∈ (a; b) nên a < α + kπ < b, chuyển vế tìm khoảng "dao động" của k

③ Kết hợp với k ∈ Z, ta chọn các giá trị k nguyên nằm trong khoảng vừa tìm được

④ Với mỗi giá trị k, ta thay vào tìm nghiệm tương ứng

c Ví dụ 10. Tìm nghiệm của các phương trình lượng giác sau trên khoảng cho trước

Trang 31

c Ví dụ 11. Giải phương trình 3 −√3 tan2x −π

Trang 32

c Ví dụ 13. Tìm x ∈ (−π; π) sao cho sin

x− π3

+ 2 cosx+ π

c Câu 2 Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trìnhsin x = 0?

ÊLời giải.

c Câu 3 Tìm m để phương trình cos 2x = 1 − m có nghiệm

Trang 33

c Câu 4 Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

c Câu 5 Phương trình sin x = m vô nghiệm khi và chỉ khi

c Câu 6 Nghiệm của phương trình sin x = −1 là

=

√3

Trang 34

c Câu 8 Phương trình cos x = −√3

c Câu 9 Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sin 3x = √3

c Câu 10 Nghiệm của phương trình 2 sin x + 1 = 0 là

Trang 35

c Câu 13 Phương trình sin x = 2

c Câu 14 Cho phương trình sin 2x = √3

2 Gọi n là số các nghiệm của phương trình trong đoạn[0; 3π] thì giá trị của n là

Trang 36

c Câu 15 Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sin x − cos x = 0.

c Câu 16 Tìm số đo ba góc của một tam giác cân biết rằng số đo của một góc là nghiệm củaphương trình cos 2x = −1

™

c Câu 17 Tìm tất cả các giá trị m để phương trình sau có nghiệm: cos 2x = m

Trang 37

c Câu 19 Phương trình 2 cos x − 1 = 0 có nghiệm là

c Câu 21 Số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình sin

2x + π3

= 1

2 trên đường trònlượng giác là

Trang 38

c Câu 22 Phương trình cosx

c Câu 24 Tìm tất cả nghiệm của phương trình sin x cos x cos 2x = 0

c Câu 25 Tính tổng các nghiệm x ∈ [0; 2018π] của phương trình sin 2x = 1

c Câu 26 Tìm số nghiệm thuộc khoảng (−π; π) của phương trình cos x + sin 2x = 0

Trang 39

c Câu 27 Phương trình sin 5x−sin x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [−2018π; 2018π]?

c Câu 28 Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos2

πx= m2

− 9 cónghiệm

—HẾT—

Trang 40

B ÀI 3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

L Phương pháp giải: Chuyển vế, biến đổi về phương trình cơ bản

.① a· sin x + b = 0 ⇔ sin x = −ab ② a· cos x + b = 0 ⇔ cos x = −ab

Chú ý hai công thức sau:

• sin a cos b ± cos a sin b = sin(a ± b)

• cos a cos b ± sin a sin b = cos(a ∓ b)

3 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Tiêu đề	Chuyên đề hàm số lượng giác và phương trình lượng giác (3)
Trường học	Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Chuyên đề
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	86
Dung lượng	813,48 KB