PHƯƠNG PHÁP TÍNH CƠ HỌC KẾT CẤU TÀU THỦY docx

Thứ tự giải bài toán cơ học kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn 59 3.. Ba cuốn sách đã được phát hành: “Cơ học kết cấu tàu thủy”, “Sức bền tàu”, “Dao động tàu thủy” cần đến các phươ

(trang này để trống)

Mục lục

Chương 1 Phương pháp biến phân và trọng hàm dư 6

1 Phép biến phân 6

2 Các phương pháp nhóm trọng hàm dư 23

Chương 2 Phương pháp sai phân hữu hạn 32 1 Hàm một biến 32 2 Phương pháp lưới cho bài toán 2 chiều 37

3 Xoắn dầm 41 4 Bài toán trường 2D với biên cong 42

5 Phương pháp sai phân hữu hạn trên cơ sở phép biến phân 44

6 Dao động dầm 51 7 Dao động tấm 52 8 Ổn định tấm 54 Chương 3 Phương pháp phần tử hữu hạn 57 1 Phương pháp phần tử hữu hạn 57 2 Thứ tự giải bài toán cơ học kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn 59 3 Ma trận cứng phần tử Ma trận cứng hệ thống 61

4 Áp đặt tải 63

5 Xử lý điều kiện biên 65 6 Giải hệ phương trình đaị số tuyến tính 66

7 Những phần tử thông dụng trong cơ học kết cấu 70 8 Trạng thái ứng suất phẳng Trạng thái biến dạng phẳng 82

9 Tấm chịuu uốn 88

10 Vật thể 3D 93 11 Nén ma trận Khối kết cấu 95 12 Sử dụng phần mềm SAP và ANSYS tính toán kết cấu 103

13 Phân tích kết cấu bằng ngôn ngữ MATLAB 112

14 Dao động kỹ thuật 142

Chương 4 Tính toán độ tin cậy 163

1 Độ tin cậy 164

2 Tính toán độ tin cậy 164

3 Xác định chỉ số an toàn, xác suất hư hoại 165

4 Phép tính thống kê và biến ngẫu nhiên 170

5 Các phương pháp tính 171

6 Phân tích những điều không chắc chắn từ tải và độ bền 181

7 Chọn hàm phân bố 182

8 Phân tích độ tin cậy hệ thống 182

9 Xác định các hệ số sử dụng 183

10 Thủ tục phân tích độ tin cậy kết cấu 189

11 Độ bền thân tàu 190

Tài liệu tham khảo 193

D độ cứng tấm, flexural rigidity of plate

E mộ đun đàn hồi, modulus of elasticity

f hàm, function

F lực, lực cắt, force, shear force

G mộ đun đàn hồi (cắt ), shear modulus

g gia tốc trọng trường, gravity constant

h chiều cao, depth, heigh

I, П, F phiếm hàm, functional

I, J momen quán tính mặt cắt, moment of inertia

J p momen quán tính trong hệ độc cực, polar moment of inertia

q tải phân bố, distributed load

R hàm sai số, residual function

R, r bán kính, radius

S diện tích, area

T, M T momen xoắn, torque, couple

t chiều dày, thickness

t thời gian, time

U thế năng, potential energy

u 0 thế năng đơn vị, strain energy per unit volume

V lực cắt, shear force

W trọng lượng, weight

W,w công ngoại lực, work

α góc nói chung, angle generally

β góc nói chung, angle generally

δ, Δ, w chuyển dịch vị trí, deflection

δ toán tử biến phân, variational operator

γ biến dạng góc, shear strain

θ góc, chuyển vị góc, angle, angle deflection

Π thế năng, potential energy

ε biến dạng , strain

σ ứng suất nói chung, stress, generally

η hệ số nói chung, coefficient generally

ν hệ số Poisson, Poisson’s coefficient

φ, ψ vector riêng, eigenvector

ρ mật độ, density

γ trọng lượng riêng, specific weight

τ, T chu kỳ, perio

ω tần số góc, circular frequency, generally

ωn tần số riêng , natural frequency, generally

Mở đầu

Cuốn sách “PHƯƠNG PHÁP TÍNH CƠ HỌC KẾT CẤU TÀU THỦY” trình bày các phương pháp tính cần cho việc xử lý những vấn đề thuộc cơ học kết cấu Đây là phần không tách rời của bộ sách giành cho cơ học kết cấu tàu thủy, cần cho những người quan tâm cơ học kết cấu tàu thủy và công

trình ngoài khơi Ba cuốn sách đã được phát hành: “Cơ học kết cấu tàu thủy”, “Sức bền tàu”, “Dao động tàu thủy” cần đến các phương pháp tính trình bày trong sách này lúc xử lý các đề tài

Các chương trong sách sẽ trình bày những đề tài được quan tâm nhiều hiện nay

Chương đầu bàn về ứng dụng phương pháp biến phân kinh điển, dùng hiệu quả hàng trăm năm trong toán và cơ học, giải những bài toán uốn dầm, uốn tấm Phương pháp Ritz có sử dụng hàm thử và phép biến phân cùng các ứng dụng để giải bài toán cơ học chất rắn nói chung, dầm và tấm nói riêng,

là phần cần để ý của chương Các phương pháp có sử dụng hàm thử song không qua giai đoạn tính biến phân giới thiệu cùng chương mang tên gọi chung là phương pháp trọng hàm dư

Chương tiếp theo giới thiệu phương pháp sai phân hữu hạn hiện là phương pháp hữu hiệu trong toán tính và trong cơ học Tại chương này người đọc gặp cách xây dựng bài toán và giải bài toán cơ học kết cấu theo cách làm quen thuộc trước nay Phương pháp sai phân hữu hạn đang phát huy tác dụng lớn ngày nay và chắc còn tác dụng dài lâu Bên cạnh đó những cách làm theo hướng đổi mới thủ tục tính toán cho phương pháp truyền thống trình bày trong chương này giúp bạn đọc xem xét vấn

đề đầy đủ, có tính thời sự Có thể phát biểu rằng những cách làm mới không thay đổi nội dung phương pháp sai phân hữu hạn song làm cho nó bắt kịp tiến bộ trong lĩnh vực toán tính

Những cơ sở của phương pháp tính phần tử hữu hạn và ứng dụng của nó xử lý những bài toán cơ học kết cấu giới thiệu trong sách giúp bạn đọc làm quen và có điều kiện nâng cao khả năng tính toán theo phương pháp rất hữu hiệu này

Chương bốn trình bày các phương pháp tính đang dùng phổ biến trong môn học “Độ tin cậy kết cấu” Các thủ tục tính trình bày tại đây giúp người đọc xác định đúng và nhanh trong điều kiện có thể các thông số liên quan độ tin cậy kết cấu dân dụng nói chung và của tàu thủy nói riêng

Mỗi chương của sách ngoài phần lý thuyết và hướng dẫn tính toán đều có những ví dụ minh họa Những người chuẩn bị sách cố ý trình bày những ví dụ độ phức tạp không cao, người đọc dễ dàng kiểm tra bằng các phép tính thủ công Tuy nhiên, với các bài toán động lực học, khối lương tính toán thường lớn, đề nghị bạn đọc sử dụng công cụ tính thích hợp khi tìm trị riêng và vecto riêng

Chương 1

PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN VÀ TRỌNG HÀM DƯ

Các bài toán cơ học kết cấu giải theo nhiều phương pháp khác nhau Trong chương này của sách

đề cập những cách giải dựa trên các phương pháp dùng hàm thử theo nghĩa kinh điển Các phương pháp trực tiếp tìm lời giải bao gồm: phương pháp biến phân kinh điển (Direct Variational Method) và phương pháp trọng hàm dư (Weighted Residual Method)

Phương trình vi phân chính yếu trình bày trạng thái cân bằng vật rắn, xem xét trong chương:

và các điều kiện biên:

B(u) - q = 0 trên biên S = S u + S p (b) trong đó u – là hàm chuyển vị, nếu không giải thích khác, p – tải

Biểu thức (b) được hiểu cụ thể theo cách diễn giải tại hình 1.1:

Điều kiện động học u = u* tại Su;

Điều kiện động lực học q = q* tại Sp

L và B là những toán tử vi phân

Toán tử thường gặp có thể là ∇, ∇2, ∇4 = ∇2∇2

1 PHÉP TÍNH BIẾN PHÂN

Phép tính biến phân liên quan vấn đề xác định cực trị, tức maximum hoặc minimum của các

phiếm hàm Phiếm hàm (functional) hiểu là hàm của các hàm Trong chừng mức nhất định phiếm hàm

có nét tương đồng với hàm số chúng ta vẫn quen, điểm khác nhau cần nhắc đến, hàm số theo nghĩa thông thường là hàm của các biến, còn hàm đóng vai trò phiếm hàm của các hàm

Việc chính của tính toán biến phân là tìm hàm, ví dụ hàm u(x), với x – biến độc lập, để phiếm

hàm dưới dạng tích phân giới hạn x1, x2:

∫

= 2

1

), ,',(

x

x

dx x u u F

đạt cực trị

Trong tích phân này u’ = du/dx,

I và F cùng được gọi phiếm hàm

Với những vấn đề thuộc cơ học kết cấu:

I ≡ Π = U – W

U – công biến dạng, W – công của ngoại lực

Nghiệm gần đúng tìm từ biểu thức:

)()()

trong đó u(x) – nghiệm chính xác, nếu tồn tại, δu(x) có tên gọi biến phân δ là toán tử biến phân Phép tính biến phân hàm I:

u

F u u

'

2

1 2

u u

F u u

F

1.1 PHƯƠNG PHÁP RITZ

Phương pháp Ritz xây dựng trên cơ sở phép biến phân

Phương pháp Ritz1 tìm cách thay thế biến u, có thể chọn ví dụ bài toán một chiều u(x), trong

phiếm hàm (1.1): = ∫2

1

), ,',(

x x

dx x u u F

i f a u

1

Hàm u, chúng ta đã gặp trong các bài toán cơ học khác nhau, thể hiện tại (a), để tiện xem xét có

thể coi là hàm chuyển vị trong ví dụ tiếp theo

Hàm cơ sở hay còn gọi hàm thử f i , i =1,2, , N phải thoả mãn các điều kiện biên (b) S = S p +

S u, tức là điều kiện động lực học trên S p, và điều kiện động học tại biên S u Hàm xấp xỉ u~liên tục

đến bậc r-1, trong đó r – bậc đạo hàm cao nhất trong I

Thay u~ vào I, công thức (1.1), tích phân I trở thành hàm của các ẩn a i

Phiếm hàm I tương đương hàm tổng thế năng Π gặp trong những bài toán cơ học kết cấu Π = U – W, trong đó U – công biến dạng2, W – công ngoại lực3 Điều kiện cần để I đạt cực trị là:

n i

a

u I

i

,,2,10

)(

S

T V

}{2

}{2

z y x c

z y x b

z y x a u

),,(w

),,(v

),,(

θψ

ϕ

trong đó

a i , b i , c i - các hệ số cần xác định, đóng vai trò tọa độ suy rộng,

ϕi, ψi, θi – các hàm cơ sở hay còn gọi hàm thử

Hàm cơ sở thoả mãn các điều kiện biên tại S = S p + S u Biến phân hàm chuyển vị xác định như sau:

z y x c

z y x b

z y x a u

),,(w

),,(v

),,(

θδδ

ψδδ

ϕδδ

(1.16)

Biết rằng = ∫

V

dV u

−+

2 2

0

2

w y x

u z

w y

x

u u

2 2

w yx

w z x

u z x

w z u

u x x u

zx

x

δδ

δδγ

δδ

δε

L

có thể viết:

dxdydz x

u y

w y z

w x

u z

w z y

u x

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

Π

∂+

∂

Π

∂

=Π

i

i i

i i

i i

c c

b b

c b

++

+

GA

dx F k AE

dx N EI

dx M EI

dx M GI

dx M

y

y z z

z x

y t

T

2 2

2 2

2 2

w y

x

w w

∇

2 2 2

w r r

w r r

w w

r r

w r r

w r r

w D

∂

∂+

∂

∂

2 2

2

2 2 2

)1(21

12

Thủ tục giải bài toán cơ học kết cấu bằng phương pháp Ritz

1 Xây dựng hàm hoặc hệ hàm f i cho biến u: ∑

=

= N

i i

i f a u

1

~

2 Xây dựng phiếm hàm I (ký hiệu tương đương Π) của u, u x ,

3 Lập hệ phương trình đại số tuyến tính =0

Phương pháp Ritz giải dầm

Từ phương trình cân bằng dầm uốn, hình 1.3, có thể xây dựng quan hệ:

dx

w d EJ dx

d22 22 =

dx

w d EJ dx

π

sin)

n

π

sin)

(

~

,

3 , 1

"

2

1

dx L

x n L

n a EJ

2 2

1

sin2

x n a q dx x w

q

W

sin

)(

L

x n a q dx L

x n L

n a EJ

I

2 2

,

3 , 1

sinsin

dx L

x n q dx L

x n L

k L

x n L

n a EJ a

0sin

dx L

x n L

2/

L

n m

n m

≠

=

Hình 1.4 Dầm thẳng, tựa hai đầu, chịu tải q(x) = const

L q a

L L

k EJ a

4

π

k EJ

qL x

)

(

~

1 55

11

1 33

π

i i

Ví dụ 2: Ổn định dầm dài L, độ cứng EI, chịu tác động lực nén N

Hàm chuyển vị được tìm dưới dạng:

L

x n a x

n

π

sin)

L

L n L

n a N W

0

2

1

cos2

Tổng thế năng của dầm:

L

x n L

n a N L

x n L

n a EI

W U

2

Tiến hành đạo hàm Π theo ak, sẽ nhận được hệ phương trình:

x k L

k L

x n L

n a EI

2 1

2

sinsin

k L

x n L

n a N

n n

ππ

coscos

x n

k EI a

L

EI k

N = π

Chúng ta quan tâm đến giá trị nhỏ nhất của N, khi vượt qua giá trị đó dầm chuyển sang giai đoạn

mất ổn định Trong công thức cuối có thể thấy, N đạt nhỏ nhất cho trường hợp k =1, biểu thức lực

Từ W =∫L q w x dx

0

)( viết W =∫L q wdx

0

.δ

0

"

"

0 0

0 0

0 0

Ví dụ 3: Xác định độ võng dầm, momen uốn và lực cắt dầm nêu tại hình 1.5

Hình 1.5 Dầm thẳng chịu tải phân bố tuyến tính

Điều kiện biên: w(0) = 0; -θ(0) = w’(0) = 0 và w(L) = 0

Ký hiệu ξ = x/L trong các phép tính tiếp theo Hàm hình dáng, bàn chi tiết tại mục “hàm nội suy”, tại đây chúng ta nhận như sau:

Thay hai biểu thức này vào công thức xác định các thành phần K và P :

−

−+

−

−+

−+

2

EJ d

L

EJ

ξξ

ξξ

ξξ

ξξ

ξξ

p

ξξξξ

ξξξ

Vector {u} xác định từ quan hệ:

EJ

L p u

0 2

1

48/1

120/1

1120

1)

( = ⎢⎣⎡ ξ −ξ + ξ − ξ +ξ ⎥⎦⎤= EJ ξ − ξ + ξ

L p EJ

L p x

(x =−EJw = p0L −

V

Kết quả vừa trình bày chưa đáp ứng điều kiện momen tĩnh tại gối trái phải triệt tiêu Cần thiết hiệu

chỉnh hàm thử, trong trường hợp này là hàm hình dáng Có thể chọn hàm bậc cao hơn cho [N], ví dụ

ξξ

ξξ

ξξ

ξ

ξξ

ξξ

ξξ

ξξ

ξ

ξξ

ξξ

ξξξ

ξ

d L

−+

−

+

−+

−+

−

+

−+

−+

−

0

6 5

4 5

4 3

4 3

2

5 4

3 4

3 2

3 2

4 3

2 3

2 2

4

400480

144240

26472

120112

24

240264

72144

14436

7260

12

120112

2472

601236

244

60/1

30/1

5 4

4 3

3 2 1

ξξ

ξξ

ξξξ

Hệ phương trình đại số [K]{u}={P} có dạng:

60/1

30/135

/2085/264

5/265/244

44

4

0 3 2

1

u u

u L

Kết quả tính trính bày tại hình 1.6 Các hình từ trên

xuống giới thiệu chuyển vị w(x), momen uốn M(x)

và lựcc cắt F(x),

Trong cùng hình kết quả tính theo phương pháp giải tích ghi lại tại đường cong đánh dấu A, tính theo phương án đầu trong ví dụ này đánh dấu bằng B Kết quả tính theo phương án cải tiến trùng với đường A

Dao động ngang dầm

Từ phương trình xác định momen uốn dầm:

)(

2

2

x M dx

2

2

x F dx

w d EI

dx

)(

2

2 2

2

x q dx

w d EI

trong đó m – khối lượng đơn vị dài của dầm

Có thể viết phương trình chuyển động ngang dầm:

0

2

2 4

4

=+

dt

w d m dx

u t

dx dx

w d EI U

0

2 2 2 0

2 2

2

)(2

12

0

2 2

0

2 2

2

22

dx u x m

dx dx

u d EI

0

2 0

2 2 2 2

)(212

cos1)

Thay u(x) vào công thức Rayleigh, xác định tần số thứ nhất:

;792,22

2 1

m

EI L

=

Thủ tục thực hiện theo phương pháp Ritz tiến hành như sau:

)()

()

()

(

~

2 2 1

a x

a

ωω

ω

Điều này dẫn đến hình thành hệ phương trình đại số gồm n phương trình, chứa n ẩn a 1 , a 2 , an

Hình 1.7 Dao động dầm

(

0

2 2

0

2 2

j

dx u x m a

dx dx

w d EI

L

x a

x

cos1

2cos1)

2 1

2 2

2 1 3 4 2

4332

168

a a a a mL

a a

L EI

++

+

=

πω

Thỏa mãn điều kiện: ( ) ( ) 0

2

2 1

ωω

2

1 3

2

32

2316

0

0116

a

a mL

a

a L

π

Lời giải của hệ phương trình:

135

,22

2

1 2

a m

EI L

1124

2

1 2

2

a

a m

EI L

ω

1.2 PHƯƠNG PHÁP RITZ GIẢI TẤM MỎNG

Phương pháp Ritz áp dụng tính độ võng, momen uốn, lực cắt tấm mỏng dựa vào phương pháp xác định biến phân hàm năng lượng tấm δΠ

a y

x w

1

),()

,(

Đưa hàm chuyển vị tấm vào phiếm hàm, trường hợp này là hàm năng lượng toàn phần của tấm Π

Các hằng số ai xác định sau khi thực hiện phép tính biến phân hàm năng lượng δΠ

Từ lý thuyết tấm có thể ghi lại những biểu thức của momen uốn tấm:

w D m

y

w x

w D

( )

y x

w D

w x

w y

x

w y

w x

w D

∂

∂

2 2 2

2

2 2

2

)1(2

Hãy xét điều kiện biên các tấm khi xử lý vấn đề Nếu tất cả các cạnh tấm bị ngàm, thành phần thứ hai biểu thức này trở thành 0 Điều kiện biên trong trường hợp này trở thành: w = 0 tại cạnh

Với tấm bị ngàm cả 4 cạnh, chịu tác động tải phân bố p(x,y), năng lượng toàn phần tấm tính như sau:

w y

x

w y

w x

w D

),()

1(2

2 2 2 2 2 2

2

2 2

()

2cos12

π

sinsin

m

a

x m m

a

x a

x a

x a

π sin

11

1

2 2

a

x a

x a

a

x a

x

m m

π sin

11

chiều dầy tấm t = const Mô đun đàn hồi vật liệu E

Để áp dụng phương pháp Ritz cần thiết tìm phiếm hàm cho phương trình chuyển vị dưới tác động lực Phiếm hàm của bài toán này chính là hàm năng lượng của tấm

Hàm chuyển vị mặt qua giữa tấm:

Hàm f(x,y) hãy là:

b

y n a

x m y

x

sinsin

),

Hàm chuyển vị:

b

y n a

x m a

y x w

ππ

sinsin

),(

w y

x

w w

∇

2 2 2

trong đó

)1(

w y

x

w y

w x

w D

=

0 0

2

2 2

2 2 2 2

2 2

2

12

y n a

x m b

n a

m a

sinsin

2

ππ

ππ

Công do lực tập trung tác động:

b

y n a

x m a

sinsin

n m dx

a

x n a

x m

0sin

Hình 1.8 Tấm tựa trên 4 cạnh

∫ =⎩⎨⎧ ≠=

a

n m b

n m dx

b

x n b

x m

0sin

0sin

sin4

0 0

2 2

x m P b

n a

m Dab

x m

b

n a

m abD

x m

b

n a

m

b

y n a

x m

abD

P y

x

w

ππ

ππ

ππ

sinsin

sinsin

4),

(

0 0

Ví dụ 3b: Giải bài toán uốn tấm, tỷ lệ cạnh a/b = 1,5 Tấm bị ngàm 4 cạnh, chịu tác động tải phân bố

đều theo phương pháp tuyến, hình 1.9

Sử dụng tính đối xứng cấu hình tấm, chọn gốc hệ tọa độ nằm chính giữa tấm, hai trục đi qua đường đối xứng tấm Hàm thử trình bày dưới dạng:

cos)1(1cos

)1(14)

,

Điều kiện biên:

Hình 1.9 Tấm chữ nhật, ngàm 4 canh

w w

x

y

w w

Để nhanh chóng nhận kết quả, có thể độ chính xác còn bàn thêm, hãy nhận m = n = 1:

x a

cos1cos14

b a D dxdy w

D U

a a

b b

23332

2 11

4 2

Công ngoại lực thực hiện:

ab a p dxdy y x w p W

a a

b b

11 0

Xác định được:

( )4 ( )2 4

4 0 11

/2/

33

116

b a b

a D

a p a

++

Et

a p

w =

Ví dụ 4: Ổn định tấm

Thứ tự thực hiện phép tính khi tính ổn định tấm trong khuôn khổ phương pháp Ritz bao gồm xác định hàm năng lượng của tấm trong trường hợp chịu nén trong mặt phẳng và các phép tính đạo hàm phương trình năng lượng theo chuyển vị suy rộng nhằm xác định lực tới hạn

Xác định lực giới hạn tác động tấm chữ nhật axb, tựa tự do tại x = 0, x = a và y = 0 Cạnh y =

w y

x

w w

∇

2 2 2

dxdy y

w x

w N y

w N x

w N

u Et

N x

∂

∂ν

v Et

N y

∂

∂ν

=

=

x

v y

u Gt N

w N U

amn y b

m x a

y a y

x

sin)

w y

x

w w

∇

2 2 2

2 4

2

a b

ab a

D

62

11 2

ab a t a

∂

∂

sẽ nhận được phương trình:

2 2

4

ab a t

a a b

ab a

2

2 2

2

)1(66

)1(

a

b t

b

D a

a t

D

E

νπ

ν

πσ

σ

Phương pháp Rayleigh-Ritz giải bài toán dao động tấm

Ví dụ a: Áp dụng phương pháp Rayleigh – Ritz xác định tần số riêng tấm hình chữ nhật cạnh axb, chiều dày t = const, bốn mép bị ngàm

Thế năng tấm chịu uốn được tính như sau:

y

w x

w y

x

w y

w x

w D U

∂

∂

2 2 2 2 2 2

2

2 2

D - độ cứng tấm, với t – chiều dày tấm

Khối lượng qui đổi tấm tính bằng biểu thức: m = ∫∫ρtw2dxdy, trong đó ρ - khối lượng của đơn vị diện tích tấm

Hàm chuyển vị tìm theo cách làm của Ritz: ⎟

x C

cos1

2cos1Thế năng và động năng tấm tham gia dao động:

tab C b

b a a ab D

C

4 2 2 4 4 2

0

4

9

;3232

;02

2 2

3

42

ta

D b

a b

a U

ρπ

2 2 1 0

=

L

x a L

x a L

x a a x

Điều kiện biên: w(0) = w(L) = 0 (b)

Có thể viết lại phương trình (a) dưới dạng:

x A L

x L

x A x

w

3 2

2 1

2 11

mL dx L

x L

x m m

2 12

mL dx L

x L

x L

x L

x m m

3 22

mL dx

L

x L

x m m

2 11

4

L

EJ dx L

x L

x dx

d EJ k

3 2

2 2

0

2

2 2

2 12

6

L

EJ dx L

x L

x dx

d L

x L

x dx

d EJ

2 22

12

L

EJ dx

L

x L

x dx

d EJ k

6

64

1058

201

201

3012

Phương trình đặc trưng từ hệ phương trình trên đây có dạng:

EJ

mL4 2 2

;020

6105

81230

;120

Phương pháp hàm trọng lượng dư, gọi cách khác trọng hàm dư (weighted residual method) thích

hợp giải gần đúng các bài toán phương trình vi phân tuyến tính và/hoặc không tuyến tính Sử dụng phương pháp này không qua giai đoạn tìm phiếm hàm

Bài toán kỹ thuật suy rộng có thể viết dưới dạng phương trình nêu tại (a) phần mở đầu:

L(u) - p = 0 trong miền V,

và các điều kiện biên:

B(u) -q = 0 trên biên S

Với số lượng i hữu hạn, không chắc thỏa mãn L ( u~ ) = p trong miền V Sai số trong trường hợp này có thể biểu diễn dưới dạng hàm các sai số, ký hiệu R, mở đầu từ Residual function, hoặc ký

tự mở đầu từ error ε:

R ≡ε = L (∑

=

N i i

i f a

1

Yêu cầu tính toán là phải xây dựng trọng hàm w, để tích w.f(R), là hàm của R, thỏa mãn những điều kiện minimum hoặc một tiêu chuẩn “nhỏ nhất có thể” theo nghĩa cụ thể, hoàn cảnh cụ thể Hàm f(R) được chọn nhằm đạt f(R) = 0 khi R = 0, điều này xảy ra khi u~ tiến đến u Hàm u~ trong mọi

trường hợp phải thỏa mãn điều kiện biên, và tiêu chuẩn “nhỏ nhất có thể”:

0)

i f a u

1

~ , hàm sai số hay hàm dư ε = L(u~ ) - p

Cách làm của Galerkin là đặt ε trực giao với hệ hàm thử fi, từ đó có thể nhận tích vô hướng sau:

< ε, f i > = 0, i =1,2, (1.30) Dưới dạng đầy đủ công thức cuối được viết lại:

=

dx

u d p u

Giải hai tích phân trên, hệ phương trình đại số sẽ có dạng:

7

Phương pháp Galerkin suy rộng, sử dụng rộng rãi như một phép biến phân Theo hướng này có

thể viết hệ hàm trực giao hệ thống hàm f i như sau:

Ví dụ 6: Xác định độ võng dầm như đã nêu tại ví dụ trình bày tại ví dụ 1, phần trước

Phương trình vi phân miêu tả độ võng dầm có dạng:

0

2

2 2

w d EI

Độ võng được tìm theo biểu thức (d) như đã trình bày trong phương pháp Ritz:

Hãy chọn lời giải thử nghiệm hai thành phần sau:

L

x a

L

x a

x

sinsin

)(

EIa L

x L

4 2

4 1

Thủ tục của phương pháp Galerkin đưa đến hệ phương trình đại số:

22

3sin

0

22sin

2 0

1 0

π

π

L q

L EIa Rdx L x

L q

L EIa Rdx L x

L L

Từ hệ phương trình có thể xác định:

EI

qL a

π

=

Trường hợp các hệ số vô cùng lớn, hàm w(x) viết dưới dạng chung:

(

x i a

x

Áp dụng công thức Galerkin vào bài toán sẽ nhận được hệ phương trình:

0)

12(sin)

dx

x w d

qL x

)(

,

3 ,

u x

u

=+ 22

a b

C y

u x

u

2 2

Sau khi thay thế (c) vào (d) sẽ được:

3690

3 3 2

2 3

b a b

trong đó p(x,y) tải trọng tác động lên tấm

Biểu thức (a) chọn cho u, trong trường hợp này có thể là:

8Dπ

b pa

i f a u

1

~ , hàm sai số hay hàm dư ε = L (u~ ) - p

Hàm u~được tìm phải thỏa mãn điều kiện Bk(u~ )= q(s), k =1,2,

Trong trường hợp bài toán có lời giải chính xác u~ = u, phương trình (a) và (b) tại phần mở đầu

sẽ đúng: L (u) = p trong V và B(u) = q trên S

Trường hợp u~ = u giá trị ε→ 0, còn trong các trường hợp khác biểu thức của ε được hiểu theo

Thứ tự giải bài toán như sau:

1 Tìm hàm xấp xỉ thỏa mãn điều kiện biên:

δ(x - ξ)dx = 1 với c → 0, ngoài phạm vi trên hàm δ(x) = 0 (1.33)

Ví dụ 9: Xác định nghiệm phương trình vi phân nêu tại ví dụ 5:

0)

( − = 22 +u+x=

dx

u d p u

L trong miền 0 < x <1

với điều kiện biên: u = 0 tại x = 0 và u = 0 tại x =1

Hàm u được thử nghiệm như sau:

u~(x) =

217

1x(x-1)(42+40x)

Ví dụ 10: Xác định độ võng dầm liên tục dài L, EI = const, chịu tác động tải trọng phân bố đều q = const Dầm ngàm bên trái, gối tự do bên đầu phía phải

Phương trình vi phân xác định độ võng dầm:

0

2

2 2

w d

Các điểm tính được chọn tại x = 0,25L; 0,5L; 0,75L

Lần thử đầu tiên sẽ chọn hàm w(x) theo chuỗi:

bốn Hàm w(x) phải là:

6 6

5 5

4 4

3 3

2 2 1

=

L

x a L

x a L

x a L

x a L

x a L

x a a

2a 2 + 6a 3 + 12a 4 + 20a 5 + 30a 6 = 0

Tại các điểm được chọn x = 0,25L; 0,5L; 0,75L, sau khi thỏa mãn phương trình (8.23), hệ phương trình chứa a i sẽ là:

24a 4 + 30a 5 + 22,5a 6 =

516

1)

2.3 PHƯƠNG PHÁP TỔNG NHỎ NHẤT CÁC BÌNH PHƯƠNG CỦA SAI SỐ

Phương pháp toán có tên gọi Least Squares sử dụng rất rộng rãi trong các phương pháp tính

Phương pháp trọng hàm coi đây cũng là cách làm hữu hiệu khi giải bài toán phương trình vi phân Trong khuôn khổ phương pháp này coi rằng tích phân của bình phương hàm sai số với trọng hàm dư trong miền khảo sát đạt minimum

Điều kiện cần để hàm mục tiêu đạt minimum:

n i

dV p f a w

a V

i

,,2,10

Trong phương pháp này trọng hàm nhận bằng đơn vị

Ví dụ : Giải bài toán dầm tựa hai đầu chịu tải trọng phân bố đều đang nêu bằng phương pháp tổng nhỏ

L

x a

x

sinsin

)(

EIa L

x L

4 2

4 1

Hệ phương trình đại số hình thành từ điều kiện cần:

3sin

4 2

4 1

2 2 1 2

0

2 2

4 2 2 2 2

4 2 1 2 1

0 2 1

x L

EIqa L

x L

EIqa L

x L

x L

a a EI

q dx L

x L

a EI dx L

x L

a EI a

dx R a

L L

ππ

ππ

ππ

π

ππ

ππ

3sin

4 2

4 1

2 2 1 2

0

2 2

4 2 2 2 2

4 2 1 2 1

0 2 1

x L

EIqa L

x L

EIqa L

x L

x L

a a EI

q dx L

x L

a EI dx L

x L

a EI a

dx R a

L L

ππ

ππ

ππ

π

ππ

ππ

Hoặc

4 8

L a

ππ

4 2

4 1

8 2 1 2

0

2 2

8 2 2 2 2

8 2 1 2 2

0 2 2

x L

EIqa L

x L

EIqa L

x L

x L

a a EI

q dx L

x L

a EI dx L

x L

a EI a

dx R a

L L

ππ

ππ

ππ

π

ππ

ππ

Hoặc

34

4 8

L a

ππ

Từ hệ phương trình có thể xác định:

EI

qL a

EI

qL

4 2

5

4 1

243

44

π

=

Chương 2

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN

Phương pháp này còn có tên gọi thông dụng, dễ nhớ là phương pháp lưới Phương pháp được chọn dùng khi giải phương trình vi phân thông thường và sau đó dùng cho các phương trình vi phân đạo hàm riêng Phương pháp dùng cho bài toán một chiều bằng cách chia đoạn thẳng đang xem xét thành nhiều phân đoạn hay là bước, gọi là sai phân, với tổng số bước hữu hạn Trong bài toán hai chiều cần tiến hành chia miền đang xét thành lưới với mắt lưới nằm trên các nút chọn lựa Không gian

ba chiều cũng được chia làm lưới theo phương pháp tương tự

Nếu lấy ba thành phần đầu của chuỗi để tính, phép tính đạo hàm bậc hai sẽ như sau:

y(x + Δx) - y(x - Δx) = 2y(x) + y’’(x) (Δx)2

Ứng dung phương pháp sai phân hữu hạn giải phương trình vi phân

Sử dụng các biểu thức ghi trong (2.5) giải bài toán phương trình vi phân thường gặp trong cơ học kết cấu Dầm thẳng, momen quán tính mặt cắt thay đổi theo luật I(x) = I0 (1 + x/L), với I0 là momen quán tính mặt cắt đầu dầm phía trái Hãy tính độ võng dầm tại vị trí ¼ chiều dài dầm, tính từ trái Phương trình vi phân uốn dầm:

M dx

y d x

EI( ) 22 =− (*)

trong đó M – momen uốn dầm

Momen uốn dầm tính như sau:

ξξ

1/1

2 0 0

2 0 2

2

EI

L p L

x L

x L

x EI

L p dx

ξξ

d

d u

u ''=− 1− /1+ '=

cùng điều kiện biên: u(0) = u(1) = 0

Sử dụng các công thức tính sai phân phần trên, trong đó h = Δx:

2

h

y k = (yk+1 -2yk + yk-1)

cho các phép tính tiếp theo

Trường hợp 1: chia dầm làm 2 đoạn bằng nhau ( n = 2)

5,02/

1

u u

u u u

)5,01(5,0

− u từ đây tính được u1 =0,020833

So với lời giải chính xác 0,017601, kết quả đang nêu sai số 18,4%

Trường hợp 2: chia dầm làm 4 đoạn, n = 4; h = 0,25

375,9102

10

121

012

3 3

2 1

u u u

Kết quả tính:

{ }u =[0,013917 0,018452 0,012567]T

Sai số của u2 so với lời giải chính xác 4,8%

Trường hợp n = 8; h = 1/8

Sau khi tính nhận được u 4 = 0,17817, sai số 1,2%

Trường hợp chung, dầm chia làm N đoạn, h = 1/N

( )2 ( 1 1)

/1

Ký hiệu ξk = 1/N, k = 1, 2, , N có thể viết lại phương trình đang nêu:

( k) ( k)

k k

u" =−ξ 1−ξ /1+ξ

Từ hai công thức này hình thành quan hệ:

k N

k N k N N

k

N k N k N u

−

−

=+

1/

1

/1/12

Dưới dạng ma trận phương trình này có thể viết như sau:

−

−+

−

−+

1

2/

22

3/

33

3/33

2/22

1/11

1

21

121

121

121

121

12

3

1 2 3

3 2 1

N N N

N N N

N N N

N N

N N

N N

N

u u u

u u u

N N N

M

MM

MO

O

0

0

Sau giải hệ phương trình sẽ xác định các thành phần vecto {u}

Để ý đến ma trận vuông đang đóng vai trò ma trận cứng có thể nhận xét, đây là ma trận ba đường chéo và là ma trận đối xứng Tính chất rất quí này của ma trận cho phép chúng ta sử dụng các thuật toán xử lý ma trận ba đường chéo chính khi giải hệ phương trình Điều này còn dẫn đến khả năng chương trình hóa cách giải các bài toán cơ học kết cấu trong khuôn khổ phương pháp sai phân hữu hạn

Hình 2.3 Ba trường hợp tính toán: (a) n =2, (b) n = 4, (c) n = 8

Ví dụ 2.1: Xác định độ võng dầm dài L, độ cứng EJ = const, chịu tác động lực phân bố q(x) hình tam giác, p0 tại đầu bên trái, p = 0 tại đầu phía phải, hình 2.4

Hình 2.4 Dầm ngàm trái, tựa phải chịu tải phân bố tam giác

Chia dầm thành 5 đoạn thẳng, chiều dài mỗi đoạn h = L/5 Phương trình vi phân chính yếu có dạng:

w d dx

d

2 2

2

trong miền 0 < x < L (a) Điều kiện biên:

w(0) = 0; w’(0) = 0; w(L) = 0 và M(L) = 0 (b) Tại những điễm chọn làm nút tính toán, biểu thức (a) trở thành:

2

1

w w h

Điều kiện trên đây miêu tả tại hình 2.5

Hệ phương trình đại số viết tại (e) sau thay điều kiện biên:

EI

h p w

w w

w

4 0

4 3 2 1

51234

5410

4641

1464

0147

w w

w

4 0

4 3 2 1

001788,

0

002793,

0

002553,

0

001243,

"

)()

Giá trị tính toán M/(p 0 L 2 ) và F/(p 0 L) như sau:

Hình 2.5

2 PHƯƠNG PHÁP LƯỚI CHO BÀI TOÁN HAI CHIỀU

Động tác cần tiến hành đầu tiên là tạo lưới cho mặt hai chiều Lưới được chia ở dạng đơn giản

nhất gồm hai hệ đường thẳng trực giao, hệ thứ nhất song song với trục Ox, hệ kia song song với Oy Bước của lưới gồm: Δx - dọc trục Ox và Δy - dọc trục Oy Chỉ số biến thiên vị trí dọc Ox ký hiệu

bằng i, còn dọc Oy ký hiệu k Theo qui ước này, công thức tính đạo hàm riêng u

y

x m n

n m

y uik = 1 , 2 1 ,

)(

2

y

u u

u u

u

u i k i k i k i k

ΔΔ

+

−

− + − − + − −

+ +

4

1 , 1 1 , 1 1 , 1 1 , 1

∂

∂

4 4

x uik = , 2 , 1 4 , 1 , 2

)(

464

x

u u

u u

u i k i k ik i k i k

Δ

+

−+

y uik = 2, 1, 4 1, 2,

)(

464

y

u u

u u

u i k i k ik i k i k

Δ

+

−+

+

(2.10)

Hình 2.6 Phương pháp lưới

k i k i k i k

u y x

+4u ik −2(u i,k+1 +u i,k−1 +u i+1,k +u i−1,k)] (2.11) Các biểu thức vi phân của momen uốn và lực cắt:

k i k

i x

y

w x

w D m

, 2

2 2

i y

x

w y

w D m

, 2

2 2

i xy k i xy

y

w x D m

m

, ,

ΔΔ

w x

D f

, 2

2 2

ΔΔ

i y

y

w x

w y

D f

, 2

2 2

ΔΔ

w y

x

w x

Điều kiện biên:

Tấm được chia thành lưới 4x4 với Δx = Δy = a/4

Hàm w cần thỏa mãn w = 0 cho tất cả các nút nằm trên cạnh tấm x = ±a

x

w x