Bài giảng Hình học vi phân của Đường và Mặt

DarkTurquoiseBài gi�ng Hình h�c Vi phân c�a Đư�ng và M�t Bài giảng Hình học vi phân của Đường và Mặt Huỳnh Quang Vũ Bản ngày 14 tháng 10 năm 2022 Bài giảng Hình học Vi phân của Đường và Mặt Huỳnh Quan[.]

Bài giảng

Đường và Mặt

Huỳnh Quang VũBản ngày 14 tháng 10 năm 2022

Địa chỉ: Khoa Toán - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốcgia Thành phố Hồ Chí Minh Email: hqvu@hcmus.edu.vn Web:

https://sites.google.com/view/hqvu/

Tóm tắt nội dung

Đây là bài giảng môn MTH10480 Hình học Vi phân, một môn học tự chọn trong chương trình đào tạo trình độ đại học ngành Toán học ở Trường Đại học Khoa học Tự nhiên ĐHQG-HCM, gồm 15 buổi học trong 15 tuần

từ tháng 2 tới tháng 6 năm 2022 Vì phải học trực tuyến do dịch COVID-19 nên lớp học dùng bảng điện tử, nhờ đó những phần được viết và vẽ ra đã lưu lại được, sau đó phần lớn được Hồ Nguyễn Huyền Thư (sinh viên khóa 2017) đánh máy ở dạng L A TEX và chèn hình vào tháng 9 năm 2022 Mỗi mục

ở đây là ghi chép của một buổi học.

Mục lục

2.1 Công thức tính độ cong 62.2 Dấu của độ cong của đường cong phẳng 8

3.1 Dấu của độ cong của đường cong phẳng: công thức tính 93.2 Hệ phương trình Frénet 10

1

2 MỤC LỤC

6.1 Mặt phẳng tiếp xúc 20

6.2 Ánh xạ đạo hàm 21

7 Độ cong của mặt 22 7.1 Mặt tròn xoay 23

7.2 Ánh xạ Gauss 24

8 Độ cong pháp tuyến, độ cong chính, tính toán 27 8.1 Độ cong pháp tuyến 27

8.2 Độ cong chính 28

8.3 Tính toán 29

9 Ví dụ về độ cong 30 10 Đường trắc địa 31 11 Phương trình của đường trắc địa 33 11.1 Tính các hệ số Christoffel 35

11.2 Sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình đường trắc địa 36

12 Tính nội tại của độ cong Gauss, đẳng cấu hình học 40 12.1 Độ cong Gauss tính theo mêtríc Riemann 40

12.2 Đẳng cấu hình học 41

13 Định lý Gauss–Bonnet 46 13.1 Độ cong trắc địa 48

13.2 Dạng địa phương 49

13.3 Dạng toàn cục 50

14 Sơ lược một số phát triển tiếp theo 52 14.1 Tính chất toàn cục của đường trắc địa 52

14.2 Mở rộng lên mặt𝑛-chiều trong không gian (𝑛 + 1)-chiều 52

14.3 Mở rộng lên mặt trừu tượng 53

14.4 Mặt phẳng hyperbolic 54

15 Đề tài nhóm 58 15.1 Yêu cầu 58

15.2 Danh sách đề tài 58

vi phân, tôpô, và hình học Phần cuối của môn học hướng tới cho người học tiếpxúc ban đầu với hình học vi phân nhiều chiều trên đa tạp Riemann.

Nội dung chính của môn học gồm Độ cong của đường; Độ cong của mặt; Định

lý Gauss về tính nội tại của độ cong; Đường trắc địa; Định lý Gauss–Bonnet; Đatạp Riemann; Hình học hyperbolic 2 chiều

Người học cần nắm vững phép tính vi phân hàm nhiều biến và những kháiniệm ban đầu về không gian mêtríc, sẵn sàng làm những lý luận và tính toán toánhọc, nếu có hiểu biết cơ bản về tôpô sẽ thuận lợi hơn cho phần sau của môn học.Giáo trình chính của môn học là cuốn sách của do Carmo [1]

1 Độ cong của đường

Giống như trong tích phân đường, để nói về tính cong của đường ta khởi đầu vớiđường đi (chuyển động) thay vì con đường (tập điểm) Tính cong của con đườngđược phản ánh thông qua sự thay đổi phương chuyển động trên đường (và tínhthẳng được phản ánh qua việc phương chuyển động không đổi) Tuy nhiên cónhiều chuyển động trên cùng một con đường, và sự thay đổi phương chuyển độngcòn có thể phụ thuộc vào cách chuyển động Vậy để tính cong thuần túy phản ánhthuộc tính của con đường thì ta cần một cách chuẩn hóa Ta chọn chuẩn hóa bằngcách xét các chuyển động với tốc độ hằng bằng1

Mộtđường đi(path) là một ánh xạ từ một khoảng số thực𝐼 vào không gianEuclidℝ𝑛:

𝛼 ∶ 𝐼 → ℝ𝑛

𝑡 ↦ 𝛼(𝑡)

4 1 ĐỘ CONG CỦA ĐƯỜNG

Vận tốc của đường đi𝛼 tại thời điểm 𝑡 là

𝛼′(𝑡) = ( 𝑑𝑑𝑡𝛼) (𝑡)chỉ hướng của𝛼 tại 𝑡

Ta giả thiết ‖𝛼′(𝑡)‖ = 1, ∀𝑡 ∈ 𝐼 để vectơ 𝛼′(𝑡) thuần túy chỉ hướng chuyển

động Sự thay đổi của hướng theo thời gian được cho bởi véctơ gia tốc

𝑑𝑑𝑡𝛼′(𝑡) = 𝛼″(𝑡).

𝛼″(𝑡0) = lim𝑡→𝑡

0

𝛼′(𝑡) − 𝛼′(𝑡0)

𝑡 − 𝑡0 .

Định nghĩa 1.1 Với giả thiết đường 𝛼 thỏa ∀𝑡, ‖𝛼′(𝑡)‖ = 1 thìđộ congcủa vết

của đường𝛼 tại điểm 𝛼(𝑡) là số thực 𝑘(𝑡) = ‖𝛼″(𝑡)‖

Ví dụ 1.2 Trên đường thẳng ta có chuyển động 𝛼 = 𝑎 + 𝑡𝑣, với 𝑎 và 𝑣 là hằng và

𝑣 là vectơ đơn vị trong ℝ𝑛 Khi đó𝛼′(𝑡) = 𝑣 và 𝛼″(𝑡) = 0, vậy độ cong luôn bằng

0

Ví dụ 1.3 Trên đường tròn tâm 0 bán kính 𝑅 trong ℝ2 xét chuyển động𝛼(𝑡) =

(𝑅 cos𝑅𝑡, 𝑅 sin𝑅𝑡) Ta có 𝛼′(𝑡) = (− sin𝑅𝑡, cos𝑅𝑡), ‖𝛼′(𝑡)‖ = 1, 𝛼″(𝑡) = (−𝑅1 cos𝑅𝑡, −𝑅1 sin𝑅𝑡),

‖𝛼″(𝑡)‖ = 𝑅1 Vậy độ cong tại mọi điểm bằng 𝑅1

Nhắc lại [môn Giải tích 3], chiều dài của đường đi được cho bởi tích phân theo

thời gian của tốc độ:

Chứng minh Cho𝛼 ∶ [𝑎, 𝑏] → ℝ𝑛khả vi liên tục và𝛼′(𝑡) ≠ 0, ∀𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] Ta có

𝑑𝑠𝑑𝑡(𝑡) = 𝑠′(𝑡) = 𝑑𝑑𝑡 ∫

𝑡

𝑎 ‖𝛼′(𝑢)‖ 𝑑𝑢 = ‖𝛼′(𝑡)‖ > 0

Suy ra𝑠 là hàm tăng ngặt và liên tục theo 𝑡, do đó là song ánh từ [𝑎, 𝑏] lên [0, 𝑙] với

𝑙 = ∫𝑎𝑏‖𝛼′(𝑢)‖ 𝑑𝑢 là chiều dài của đường 𝛼, và vì thế có hàm ngược, khả vi theoĐịnh lý hàm ngược:

𝑑𝑥

𝑑𝑦 = 𝑑𝑦1𝑑𝑥

Cho𝛼 ∶ [𝑎, 𝑏] → ℝ𝑛là đường chính qui với tham số hóa bất kì.

Ta tham số hóa lại𝛼 theo chiều dài như ở trên Đặt

=[∥ 𝛼″∥2∥ 𝛼′ ∥2 −(𝛼″⋅ 𝛼′)2]

1 2

∥ 𝛼′∥3 (𝑡(𝑠))

Vậy công thức độ cong trongℝ𝑛theo đường đi chính qui bất kì là

𝑘(𝑠) = [∥ 𝛼″ ∥2∥ 𝛼′∥2−(𝛼″⋅ 𝛼′)2]

1 2

∥ 𝛼′∥3 (𝑡(𝑠))

2.2 Dấu của độ cong của đường cong phẳng

Giả sử đường cong phẳng𝛼 được tham số hóa theo chiều dài Ta có tính chất sau:

‖𝛼′‖ = 1 ⟹ 𝛼′⋅ 𝛼′= 1 ⟹ (𝛼′⋅ 𝛼′)′= 0 ⟹ 𝛼″⋅ 𝛼′ = 0 ⟹ 𝛼″⟂ 𝛼′

Giả sử𝑘(𝑠) ≠ 0, tức 𝛼″(𝑠) ≠ 0, thì cặp (𝛼′, 𝛼″)(𝑠) tạo thành một cơ sở tuyếntính củaℝ2tại điểm𝛼(𝑠) Ta qui ước dấu của độ cong là dương nếu cơ sở tuyếntính này có chiều dương, và dấu của độ cong là âm nếu cơ sở tuyến tính này cóchiều âm Tức là:

sign(𝑘) = sign det(𝛼′, 𝛼″)

Bài toán 2.1 Nếu đổi chiều của đường thì độ cong có dấu bị đổi dấu.

Bài toán 2.2 [1] 1.5: 1, 4, 6, 8a, 11.

3 Đường cong với độ cong cho trước

3.1 Dấu của độ cong của đường cong phẳng: công

thức tính

Cho𝛼 là một đường chính qui và 𝛽 là tham số hóa lại theo chiều dài của 𝛼 Giả sử

độ cong𝑘(𝑠) ≠ 0 Ta chứng tỏ hai cặp (𝛼′, 𝛼″) và (𝛽′, 𝛽″) có cùng dấu Theo tínhtoán trước ta có

𝛽′ = 𝛼‖𝛼′′‖,

𝛽″= 𝛼″− 𝑝𝛼 ′(𝛼″)

∥ 𝛼′ ∥2 ,suy ra

sign det(𝛽′, 𝛽″) = sign det(𝛼′, 𝛼″− 𝑝𝛼′(𝛼″)) = sign [det(𝛼′, 𝛼″) − det(𝛼′, 𝑝𝛼′(𝛼″))]

= sign det(𝛼′, 𝛼″),với det(𝛼′, 𝑝𝛼′(𝛼″) = 0 do hai vectơ cùng phương

∥ 𝛼′∥3 = | det(𝛼∥ 𝛼′′, 𝛼∥3″)|.Suy ra công thức của độ cong có dấu là

𝑘 = sign det(𝛽′, 𝛽″)| det(𝛼∥ 𝛼′′, 𝛼∥3″)| = sign det(𝛼′, 𝛼″)| det(𝛼∥ 𝛼′′, 𝛼∥3″)| = det(𝛼∥ 𝛼′′, 𝛼∥3″)

10 3 ĐƯỜNG CONG VỚI ĐỘ CONG CHO TRƯỚC

Ví dụ 3.1 Độ cong có dấu của đường cong 𝛼(𝑡) = (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)) trên mặt phẳng ℝ2

tính theo công thức trên là

𝑘 = 𝑥(𝑥′′2𝑦″+ 𝑦− 𝑥′2″)𝑦3/2′ (3.2)

Ví dụ 3.3 Độ cong của đường tròn bán kính 𝑟, qua tham số hóa (𝑟 cos 𝑡, 𝑟 sin 𝑡),

tính theo công thức trên là dương và bằng 1𝑟

3.2 Hệ phương trình Frénet

Trong phần này ta xét đường trongℝ3 Giả sử đường𝛼 được tham số hóa theochiều dài Giả sử𝛼″ ≠ 0, tức 𝑘 ≠ 0, trên khoảng được xét Đặt ⃗𝑡 = 𝛼′ (tangent -tiếp tuyến), ⃗𝑛 = ‖𝛼𝛼″″‖ (normal - pháp tuyến), ⃗𝑏 = ⃗𝑡× ⃗𝑛 (binormal) Bộ ( ⃗𝑡, ⃗𝑛, ⃗𝑏) làmột cơ sở trực chuẩn định hướng dương củaℝ3, được gọi làkhung Frénet

Ta khảo sát sự biến đổi của khung này [1, tr 18–20] Tính đạo hàm theo tham

số chiều dài, ta được:

vectơ chỉ phương của mặt phẳng chuyển động, và ⃗𝑏′chỉ tốc độ thay đổi phươngcủa mặt phẳng chuyển động, từ đó người ta đặt𝜏 = −𝛾 làđộ xoắn(torsion) củađường𝛼.

Tóm lại ta thu đượchệ Frénet:

Ví dụ 3.4 Xét trường hợp đường cong phẳng Trong trường hợp này ⃗𝑏 là hằng,

do đó𝜏 = 0 Ở đây câu hỏi là: Có hay không một đường với độ cong cho trước?Với giả thiết độ cong luôn khác 0, ta có thể giả sử độ cong có hướng luôndương, nếu ngược lại thì chỉ cần đảo ngược chiều của đường Giả sử hàm độ congliên tục𝑘 > 0 được cho trước Giả sử đường 𝛼(𝑠) = (𝑥(𝑠), 𝑦(𝑠)) được tham số hóatheo chiều dài Ta có phương trình

𝑘(𝑠) = 𝑥′(𝑠)𝑦″(𝑠) − 𝑥″(𝑠)𝑦′(𝑠)

Vì𝑥′(𝑠)2+ 𝑦′(𝑠)2 = 1, nên đặt 𝑡 = arccos 𝑥′(𝑠) ta được 𝑥′(𝑠) = cos 𝑡, và ta chọn

𝑦′(𝑠) = sin 𝑡 Khi đó 𝑡 là hàm của 𝑠, ta tính được

12 3 ĐƯỜNG CONG VỚI ĐỘ CONG CHO TRƯỚC

với(𝐶1, 𝐶2) là điểm đầu của đường [1, tr 25]

Ta có thêm nhận xét sau Với hệ thức(𝑥′(𝑠), 𝑦′(𝑠)) = (cos(𝑡(𝑠)), sin(𝑡(𝑠))) ta cóthể hiểu𝑡(𝑠) là tham số góc (trong tọa độ cực) của vectơ vận tốc đường 𝛼 Như thế𝑘(𝑠) = 𝑡′(𝑠) có thể giải thích là độ cong của đường bằng tốc độ thay đổi của góccủa vận tốc

Quay trở lại trường hợp ba chiều, giờ ta giải hệ Frénet Viết

𝑛′

1 𝑛′

2 𝑛′ 3

𝑏′

1 𝑏′

2 𝑏′ 3

Ta giải hệ phương trình vi phân này Viết

𝑦(𝑠) = (𝑡1, 𝑡2, 𝑡3, 𝑛1, 𝑛2, 𝑛3, 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3)(𝑠) ∈ ℝ9

thì phương trình vi phân có thể đưa về dạng

𝑦′(𝑠) = 𝑓(𝑦(𝑠), 𝑠)trong đó𝑓 ∶ ℝ9 × ℝ → ℝ9 cho bởi tích ma trận ở trên Giả sử có điều kiệnđầu(𝑡, 𝑛, 𝑏)(𝑠0) = (𝑡0, 𝑛0, 𝑏0) Giả sử 𝑘 và 𝜏 khả vi liên tục, thì 𝑓 khả vi liên tục.Hàm𝑓 khả vi liên tục nên Lipschitz địa phương theo biến 𝑦, do đó phương trình

có nghiệm địa phương duy nhất thỏa điều kiện đầu, theo định lý về sự tồn tạinghiệm của phương trình vi phân [Giáo trình Giải tích 4], [Lang, UndergraduateAnalysis, tr 553], [3, tr 163] Khi đã có𝑦 ta đưa bài toán về phương trình 𝛼′ = 𝑡,

và𝛼 được xác định duy nhất địa phương nếu điểm đầu 𝛼(𝑠0) được cho Như vậyđường𝛼 được xác định duy nhất địa phương sai khác một điểm đầu và một khungFrénet tại điểm đầu đó

Bài toán 3.5 Kết quả trên có thể được phát biểu một cách ngắn gọn là đường

cong trongℝ3được xác định duy nhất bởi độ cong và độ xoắn, sai khác một phépdời hình (còn gọi là phép đẳng cự hay phép đẳng cấu hình học – isometry) bảo

toàn định hướng (rigid motion) củaℝ3 Về phép dời hình, có thể xem thêm ở 12.6,[1, tr 24], [9, tr 4].

4 Mặt chính quy

Một cách sơ lược, trên mặt chính quy mỗi điểm có một lân cận giống như mặtphẳng và tại mỗi điểm có một mặt phẳng tiếp xúc

Khái niệm này gần gũi khái niệm đường chính qui mà ta đã xét

Định nghĩa 4.1 Một tập con 𝑆 ⊂ ℝ3là mộtmặt chính quynếu với mọi𝑝 ∈ 𝑆,tồn tại một tập mở𝑈 trong ℝ2, một tập mở𝑉 trong ℝ3chứa𝑝, một ánh xạ 𝜑 ∶

𝑈 → 𝑉 ∩ 𝑆, sao cho:

(a) 𝜑 trơn (khả vi liên tục mọi cấp),

(b) 𝜑 là một đồng phôi (homeomorphism) (song ánh liên tục cả hai chiều),(c) với mỗi𝑞 ∈ 𝑈, ánh xạ đạo hàm (Fréchet) 𝑑𝜑𝑞∶ ℝ2→ ℝ3là đơn ánh

Về điều kiện thứ ba của mặt chính quy ta có thể giải thích thêm như sau

14 4 MẶT CHÍNH QUY

Ánh xạ tuyến tính 𝑑𝜑(𝑞) là đơn ánh đồng nghĩa với nó là song ánh lên tậpảnh của nó Tập ảnh của𝑑𝜑(𝑞) là 𝑑𝜑(𝑞)(ℝ2) được sinh bởi ảnh của cơ sở chuẩntắc(𝑒1, 𝑒2) của ℝ2, tức là𝑑𝜑(𝑞)(ℝ2) = ⟨{𝑑𝜑(𝑞)(𝑒1), 𝑑𝜑(𝑞)(𝑒2)}⟩ Giả thiết 𝑑𝜑(𝑞) làđơn ánh đồng nghĩa giả thiết𝑑𝜑(𝑞)(𝑒1) và 𝑑𝜑(𝑞)(𝑒2) là độc lập tuyến tính

Ví dụ 4.2 (mặt đồ thị) Cho tập mở 𝑈 ⊂ ℝ2và𝑓 ∶ 𝑈 → ℝ3trơn, thì đồ thị của𝑓,

𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3| 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)}

là một mặt chính quy

Ta lấy tham số hóa của𝑆 là

𝜑 ∶ 𝑈 → 𝑆(𝑥, 𝑦) ↦ 𝜑(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦))

Ta có𝜑 trơn và là một song ánh liên tục, và 𝜑−1 là thu hẹp của ánh xạ chiếu(𝑥, 𝑦, 𝑧) ↦ (𝑥, 𝑦) xuống 𝑆 nên cũng liên tục Giờ ta kiểm 𝑑𝜑(𝑞) ∶ ℝ2→ ℝ3là đơnánh Ta có:

𝑑𝜑(𝑞)(𝑒1) = 𝜕𝜑𝜕𝑥(𝑞) = 𝜕𝑥(𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦))∣𝜕 𝑞= (1, 0, 𝜕𝑓𝜕𝑥(𝑞))

𝑑𝜑(𝑞)(𝑒2) = 𝜕𝜑𝜕𝑦 (𝑞) = 𝜕𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑓(𝑥, 𝑦))∣𝜕 𝑞= (0, 1, 𝜕𝑓𝜕𝑦 (𝑞))

Với mọi𝛼, 𝛽 ∈ ℝ thì

𝛼𝜕𝜑𝜕𝑥(𝑞) + 𝛽𝜕𝜑𝜕𝑦 (𝑞) = 0

⟺ (𝛼, 𝛽, 𝛼𝜕𝑓𝜕𝑥(𝑞) + 𝛽𝜕𝑓𝜕𝑦 (𝑞)) = 0

⟺ 𝛼 = 𝛽 = 0,nên hai vectơ 𝜕𝜑𝜕𝑥(𝑞) và 𝜕𝜑𝜕𝑦 (𝑞) độc lập tuyến tính, vậy 𝑑𝜑(𝑞) là đơn ánh Ta kếtluận𝑆 là một mặt chính qui [1, tr 60]

Bài toán 4.3 Đọc [1, Example 1 tr 57] (mặt cầu), [1, Example 2 tr 67] (mặt

xuyến), [1, tr 61] (mặt cho bởi phương trình)

5 Ví dụ mặt chính quy

Ví dụ 5.1 (mặt cầu) Mặt cầu không là mặt đồ thị, do đó cần ít nhất 2 lân cận

mở để tham số hóa được mặt cầu

Cách thứ nhất, tham số hóa từng nửa mặt cầu trên, dưới, trước, sau, phải vàtrái của mặt cầu Cụ thể:

Vì tham số hóa này còn thiếu đường kinh tuyến𝜃 = 0, nên ta cần thêm một tham

số hóa nữa (đổi vai trò của𝑥,𝑦 và 𝑧 để có thêm một tham số hóa khác) để tham

số hóa được toàn bộ mặt cầu

16 5 VÍ DỤ MẶT CHÍNH QUY

Một cách nữa là dùng phép chiếu nổi (stereographic projection) Ta có thể viết

ra công thức tường minh của phép chiếu này Cần hai phép chiếu từ hai cực

Ví dụ 5.2 Tập cho bởi phương trình 𝑥2−2𝑥𝑦 +𝑦2𝑧 +𝑧3 = 4 có là một mặt chínhquy hay không?

sao cho

∀(𝑥, 𝑦) ∈ (𝑎, 𝑏) × (𝑐, 𝑑) ∶ ∃!𝑧 để 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 4,đặt𝑧 = 𝑔(𝑥, 𝑦) thì 𝑔 khả vi liên tục mọi cấp Như thế lân cận ((𝑎, 𝑏) × (𝑐, 𝑑) × ℝ)∩𝑆

là đồ thị của hàm𝑔, nói cách khác (𝑥, 𝑦) ↦ (𝑥, 𝑦, 𝑔(𝑥, 𝑦)) là một tham số hóa địaphương của𝑆 Vậy 𝑆 là một mặt chính quy

Ta có𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑔(𝑥, 𝑦)) = 4 với mọi (𝑥, 𝑦) ∈ (𝑎, 𝑏) × (𝑐, 𝑑) Lấy đạo hàm hai vếtheo𝑥 và theo 𝑦 ta được

𝜕𝑓

𝜕𝑥 + 𝜕𝑓𝜕𝑧 ⋅𝜕𝑥 = 0𝜕𝑔

𝜕𝑓

𝜕𝑦 +𝜕𝑓𝜕𝑧 ⋅𝜕𝑔𝜕𝑦 = 0,suy ra

(𝜕𝑓𝜕𝑥,𝜕𝑓𝜕𝑦 ,𝜕𝑓𝜕𝑧 ) ⋅ (1, 0,𝜕𝑥) = 0𝜕𝑔(𝜕𝑓𝜕𝑥,𝜕𝑓𝜕𝑦 ,𝜕𝑓𝜕𝑧 ) ⋅ (0, 1,𝜕𝑦) = 0.𝜕𝑔

Vì (1, 0,𝜕𝑔𝜕𝑥) và (0, 1,𝜕𝑦𝜕𝑔) là hai vectơ tiếp xúc của mặt đồ thị 𝑧 = 𝑔(𝑥, 𝑦) nên ta rút

ra nhận xét vectơ gradient∇𝑓 = (𝜕𝑓𝜕𝑥,𝜕𝑓𝜕𝑦,𝜕𝑓𝜕𝑧) là một vectơ pháp tuyến của mặt

𝑓 = 4

Lý luận trên cho ta kết quả sau

Mệnh đề 5.3 Nếu phương trình 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = hằng không có nghiệm là điểm dừng

của 𝑓 thì phương trình xác định một mặt chính quy.

Ví dụ 5.4 (mặt xuyến) [1, tr 63]

Nhắc lại rằng mặt xuyến có được bởi việc xoay đường tròn tâm(0, 𝑎, 0), bánkính𝑟 trên mặt phẳng 𝑦𝑂𝑧 quanh trục 𝑂𝑧 Trong hình trên, gọi 𝐴 là vị trí tâm củađường tròn được xoay,𝐵 = (𝑥, 𝑦, 𝑧), và 𝐶 = (𝑥, 𝑦), thì 𝐵𝐶 = 𝑧, 𝐴𝐶 = 𝑎−√𝑥2+ 𝑦2

Áp dụng công thức Pythagore cho tam giác𝐴𝐵𝐶 ta được phương trình của mặtxuyến là

𝑧2+ (√𝑥2+ 𝑦2− 𝑎)2= 𝑟2

Ta thấy nghiệm(0, 0, 0) không nằm trên mặt xuyến, và nghiệm thỏa √𝑥2+ 𝑦2−

𝑎 = 0 cũng không nằm trên mặt xuyến Do đó tại mọi điểm trên mặt xuyến vectorgradient∇𝑓 khác không Vậy mặt xuyến là một mặt chính quy

Mệnh đề 5.5 Cho 𝑆 là một mặt chính quy trong ℝ3và 𝑝 ∈ 𝑆, khi đó có một lân

cận 𝑉 của 𝑝 trong 𝑆 sao cho 𝑉 là đồ thị của một hàm trơn.

Ngắn gọn, mặt chính qui xét một cách địa phương là một mặt đồ thị

Chứng minh Mỗi điểm𝑝 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑆 có một lân cận được tham số hóa bởi 𝜑,với𝜑(𝑢, 𝑣) = (𝑥, 𝑦, 𝑧)

Ánh xạ đạo hàm𝑑𝜑(𝑢, 𝑣) được biểu diễn bởi ma trận Jacobi:

Vì𝑑𝜑(𝑢, 𝑣) là đơn ánh nên hai vectơ𝜕𝜑𝜕𝑢(𝑢, 𝑣) và𝜕𝜑𝜕𝑣(𝑢, 𝑣) là độc lập tuyến tính, tức

là ma trận𝐽𝜑(𝑢, 𝑣) có hai cột độc lập tuyến tính, nên 𝐽𝜑(𝑢, 𝑣) có một ma trận concấp 2 không suy biến Không mất tổng quát, giả sử

Cụ thể hơn như sau Ánh xạ𝜋∘𝜑 ∶ 𝑈 → ℝ2với𝜋 là ánh xạ chiếu 𝜋(𝑥, 𝑦, 𝑧) =(𝑥, 𝑦) thì (𝜋 ∘ 𝜑)(𝑢, 𝑣) = (𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣)) Theo Định lý hàm ngược, do

nên có lân cận𝑉 của (𝑢, 𝑣) và 𝑊 của (𝑥(𝑢, 𝑣), 𝑦(𝑢, 𝑣)) sao cho ánh xạ 𝜋 ∘ 𝜑 ∶ 𝑉 →

𝑊 có ánh xạ ngược (𝜋 ∘ 𝜑)−1trơn Khi đó trên lân cận𝜑(𝑉) của 𝑆 (nhờ 𝜑 là mộtđồng phôi) thì dùng kí hiệu𝑝3chỉ ánh xạ chiếu(𝑥, 𝑦, 𝑧) ↦ 𝑧 ta có

(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝜑(𝑉) ⟺ 𝑧 = (𝑝3∘ 𝜑 ∘ (𝜋 ∘ 𝜑)−1) (𝑥, 𝑦), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑊,

với hàm𝑝3∘ 𝜑 ∘ (𝜋 ∘ 𝜑)−1trơn

Trong Định nghĩa 4.1 của mặt chính quy, trong thực tế việc kiểm tra tính đồngphôi của tham số hóa (như trường hợp tọa độ cực và tọa độ cầu) có thể phải liênquan tới việc tìm công thức của các ánh xạ ngược, một việc có thể khó khăn Ta

có kết quả sau nói rằng nếu ta đã biết mặt là chính quy thì có thể xác định tham

số hóa mà không cần kiểm tra ánh xạ ngược [1, tr 66]

Mệnh đề 5.6 Cho mặt chính quy 𝑆 Giả sử 𝜑 thỏa điều kiện (a) (trơn) và (c) (đạo

hàm không suy biến) trong Định nghĩa 4.1 cho mặt chính quy, và 𝜑 là đơn ánh, thì

𝜑−1là liên tục, và 𝜑 là một tham số hóa.

Chứng minh Giả sử𝜑(𝑈) = 𝑉 ∩ 𝑆 trong đó 𝑉 ⊂ ℝ3mở như trong Định nghĩa4.1 Vì𝑆 là mặt chính quy nên tại 𝑝 ∈ 𝑆 có tập mở 𝑈′⊂ ℝ2và tập mở𝑉′ ⊂ ℝ3vàmột tham số hóa chính quy𝜓 ∶ 𝑈′ → 𝑉′∩ 𝑆 Lấy 𝑈″ = 𝜑−1(𝑉 ∩ 𝑉′∩ 𝑆) thì 𝑈″

là mở do𝜑 liên tục

20 6 MẶT PHẲNG TIẾP XÚC, ÁNH XẠ ĐẠO HÀM

Trên𝑈″thì𝜓−1∘ 𝜑 trơn Vì 𝑑(𝜓−1∘ 𝜑)(𝑢) = 𝑑(𝜓−1∘ 𝜑)(𝑢) ∘ 𝑑𝜑(𝑢) không suybiến, nên Định lý hàm ngược dẫn tới hàm ngược𝜑−1∘ 𝜓 trơn Do đó 𝜑−1∘ 𝜓 liêntục, dẫn đến𝜑−1= (𝜑−1∘ 𝜓) ∘ 𝜓−1liên tục

Bài toán 5.7 [1] 2.2: 1, 2, 3, 4.

6 Mặt phẳng tiếp xúc, ánh xạ đạo hàm

6.1 Mặt phẳng tiếp xúc

Định nghĩa 6.1 Một vectơ tiếp xúc của một mặt là một vectơ vận tốc của một

đường đi trơn trên mặt Tập hợp các vectơ tiếp xúc của mặt 𝑆 tại 𝑝 gọi làmặt phẳng tiếp xúccủa𝑆 tại 𝑝, kí hiệu là 𝑇𝑆𝑝

Mệnh đề 6.2 Cho một tham số hóa 𝜑 của mặt chính quy 𝑆, 𝜑(𝑞) = 𝑝, thì 𝑇𝑆𝑝 =𝑑𝜑(𝑞)(ℝ2), là một không gian tuyến tính hai chiều.

Chứng minh Với𝑣 ∈ ℝ2, ta có thể lấy𝛾(𝑡) = 𝑡𝑣, thì 𝛾′(𝑡) = 𝑣 Lấy 𝛼 = 𝜑 ∘ 𝛾 thì

𝑑𝛼

𝑑𝑡 (𝑡) = 𝑑𝑡(𝜑 ∘ 𝛾)(𝑡) = 𝑑𝜑(𝛾(𝑡)) (𝑑 𝑑𝛾𝑑𝑡 (𝑡))

do đó

𝛼′(0) = 𝑑𝜑(𝛾(0))(𝛾′(0)) = 𝑑𝜑(𝑞)(𝑣) ∈ 𝑇𝑆𝑝

Ngược lại, nếu𝑤 ∈ 𝑇𝑆𝑝 thì𝑤 = 𝛼′(0) với đường 𝛼 ∶ (𝑎, 𝑏) → 𝜑(𝑈) ⊂ 𝑆 và𝛼(0) = 𝑝 Đặt 𝛾 = 𝜑−1∘ 𝛼 thì 𝛼 = 𝜑 ∘ 𝛾 và

𝑑𝛼

𝑑𝑡 (𝑡) = 𝑑𝑡(𝜑 ∘ 𝛾)(𝑡) = 𝑑𝜑(𝛾(𝑡)) (𝑑 𝑑𝛾𝑑𝑡 (𝑡)) Khi𝑡 = 0 thì với 𝑣 = 𝛾′(0) ∈ ℝ2:

𝑤 = 𝛼′(0) = 𝑑𝜑(𝛾(0))(𝛾′(0)) = 𝑑𝜑(𝑞)(𝑣) ∈ 𝑑𝜑(𝑞)(ℝ2)

Giả thiết mặt𝑆 là chính quy đảm bảo ánh xạ 𝑑𝜑(𝑞) là đơn ánh, do đó 𝑑𝜑(𝑞)(ℝ2) =

𝑇𝑆𝑝là ánh xạ tuyến tính hai chiều

6.2 Ánh xạ đạo hàm

Cho𝑆1và𝑆2là hai mặt chính quy Ta nói𝑓 ∶ 𝑆1 → 𝑆2làtrơnnếu với mọi tham

số hóa𝜑 của 𝑆1ánh xạ𝑓 ∘ 𝜑 là trơn

Cho𝑓 trơn ta định nghĩađạo hàmcủa𝑓 tại một điểm 𝑝, kí hiệu là 𝑑𝑓(𝑝) hay

𝑑𝑓𝑝, như sau

Cho𝑤 ∈ 𝑇𝑆1(𝑝), tồn tại đường 𝛼 trên 𝑆1sao cho𝛼(0) = 𝑝 và 𝛼′(0) = 𝑤 Ta

Ta kiểm đây là một định nghĩa tốt.

Bổ đề 6.3 𝑑𝑓𝑝(𝑣) không phụ thuộc vào cách chọn 𝛼, và 𝑑𝑓(𝑝) là một ánh xạ tuyến

tính.

Chứng minh Cho𝑤 ∈ 𝑇𝑆𝑝thì𝑤 = 𝛼′(0) với đường 𝛼 ∶ (𝑎, 𝑏) → 𝑆 và 𝛼(0) = 𝑝.Đặt𝛾 = 𝜑−1∘ 𝛼 thì 𝛼 = 𝜑 ∘ 𝛾 Ở phần vectơ tiếp xúc ta đã tính 𝑣 = 𝛾′(0) =(𝑑𝜑𝑞)−1(𝑤) Ta có

𝑑

𝑑𝑡(𝑓 ∘ 𝛼)(𝑡) = 𝑑𝑡((𝑓 ∘ 𝜑) ∘ 𝛾)(𝑡) = 𝑑(𝑓 ∘ 𝜑)(𝛾(𝑡)) (𝑑 𝑑𝛾𝑑𝑡 (𝑡)) ,

cho𝑡 = 0 thì

(𝑓 ∘ 𝛼)′(0) = 𝑑(𝑓 ∘ 𝜑)(𝑞)(𝛾′(0)) = 𝑑(𝑓 ∘ 𝜑)(𝑞)((𝑑𝜑𝑞)−1(𝑤))

không phụ thuộc vào𝛼

Nếu ta xét ánh xạ𝑇 là 𝑑𝜑𝑞đi từℝ2vào𝑇𝑆𝑝thì𝑇 là một song ánh tuyến tính,nên ánh xạ ngược cũng tuyến tính, và biểu thức trên thể hiện

𝑑𝑓𝑝(𝑤) = 𝑑(𝑓 ∘ 𝜑)𝑞(𝑇−1(𝑤)) = 𝑑(𝑓 ∘ 𝜑)𝑞∘ (𝑇−1)(𝑤),

tức𝑑𝑓𝑝= 𝑑(𝑓 ∘ 𝜑)𝑞∘ (𝑇−1) là hợp của hai ánh xạ tuyến tính, nên tuyến tính

Bài toán 6.4 [1] 2.3: 5, 13*, 15; 2.4: 1, 3, 7, 10, 13, 21, 24.

7 Độ cong của mặt

Trong phần bài tập trước có thể ta gặp tình huống sử dụng kết quả sau

Mệnh đề 7.1 (bất biến miền) Hai tập con vi đồng phôi của ℝ𝑛mà một tập là

mở thì tập kia cũng là mở.

Chứng minh Giả sử𝐴 là một tập con mở của ℝ𝑛,𝐵 là một tập con của ℝ𝑛 và

𝑓 ∶ 𝐴 → 𝐵 là một phép vi đồng phôi Lấy đạo hàm của đẳng thức 𝑓 ∘ 𝑓−1= id và

𝑓−1∘ 𝑓 = id ta suy ra 𝑑𝑓𝑥khả nghịch Theo định lý hàm ngược, có một tập mở𝑉củaℝ𝑛chứa𝑥 và một tập mở 𝑊 của ℝ𝑛 chứa𝑦 sao cho 𝑓|𝑉 ∶ 𝑉 → 𝑊 là một viđồng phôi Dẫn tới𝑦 là một điểm trong của 𝐵, do đó 𝐵 là tập mở

Suy ra𝜑𝑥và𝜑𝜃độc lập tuyến tính, dẫn đến𝑑𝜑(𝑥,𝜃)là đơn ánh.

Ta cũng có ánh xạ ngược(𝑥, 𝑦, 𝑧) ↦ (𝑥, 𝜃) là liên tục, chẳng hạn với 𝑧 > 0 thì

𝜃 = arccos(𝑦𝑥) Do đó 𝜑 là một tham số hóa và 𝑆 là một mặt chính quy

= 2𝜋 ∫∞

1

1𝑥√1 + 𝑥14 𝑑𝑥 ≥ 2𝜋 ∫∞

1

1

𝑥 𝑑𝑥 = 2𝜋 ln 𝑥 ∣+∞1 = ∞Thể tích khối tròn xoay bao bởi𝑆 là:

𝑉(𝑆) = 𝜋 ∫∞

1

1

𝑥2 𝑑𝑥 = 𝜋( − 1𝑥)||∞1 = 𝜋

𝑑𝑁(𝑝) ∶ 𝑇𝑆𝑝→ 𝑇𝑆𝑝.Như vậy ánh xạ𝑑𝑁(𝑝) là một toán tử tuyến tính từ mặt phẳng tiếp xúc vào chính

nó Người ta đưa ra các ý khảo sát các đại lượng liên quan tới toán tử𝑑𝑁(𝑝):

• định thức, làđộ cong Gauss,

• vết, liên quanđộ cong trung bình,

• trị riêng, liên quan cácđộ cong chính,

• ma trận biểu diễn trong một cơ sở, để tính toán

26 7 ĐỘ CONG CỦA MẶT

Do tính tuyến tính ta chỉ cần kiểm đẳng thức trên cho một cơ sở tuyến tính của

𝑇𝑆𝑝 Ta lấy thông qua tham số hóa𝜑, với 𝑝 = 𝜑(𝑞), rằng 𝑇𝑆𝑝 = ⟨{𝜑𝑢(𝑞), 𝜑𝑣(𝑞)}⟩

Vậy𝑑𝑁𝑝là toán tử tự liên hợp

Việc một toán tử tự liên hợp có tất cả trị riêng đều là số thực được giải thíchtrong môn Đại số tuyến tính, xem chẳng hạn [4, p 265] Để tiện theo dõi ta có thểviết cho trường hợp này như sau Lấy một cơ sở trực chuẩn(𝑒, 𝑓) của 𝑇𝑆𝑝 Viết

𝑑𝑁𝑝(𝑒) = 𝑎𝑒 + 𝑏𝑓, 𝑑𝑁𝑝(𝑓) = 𝑐𝑒 + 𝑑𝑓 Ta có

⟨𝑑𝑁𝑝(𝑒), 𝑓⟩ = 𝑏 = ⟨𝑒, 𝑑𝑁𝑝(𝑓)⟩ = 𝑐

nên ma trận biểu diễn của ánh xạ tuyến tính𝑑𝑁𝑝trong cơ sở(𝑒, 𝑓) là

( 𝑎 𝑏𝑏 𝑐 )

Đa thức đặc trưng của ma trận này là(𝑎 − 𝑡)(𝑐 − 𝑡) − 𝑏2= 𝑡2− (𝑎 + 𝑐)𝑡 + (𝑎𝑐 − 𝑏2)

Vì đặc số của đa thức bậc hai này là𝛥 = (𝑎 + 𝑐)2− 4(𝑎𝑐 − 𝑏2) = (𝑎 − 𝑐)2+ 𝑏2≥ 0nên các nghiệm đều là số thực

8 Độ cong pháp tuyến, độ cong chính, tính toán

Một vấn đề từ phần bài tập trước

Mệnh đề 8.1 Với mặt chính quy thì liên thông đồng nghĩa với liên thông đường.

Chứng minh Mặt chính quy thì mỗi điểm có một lân cận đồng phôi với mặt

phẳng, nên lân cận đó là liên thông đường, do đó mặt là liên thông đường địaphương Từ đó tập hợp những điểm trên mặt liên thông đường với nhau là mở vàcũng đóng, do đó bằng cả mặt nếu mặt là liên thông Ngược lại mọi không gianliên thông đường thì đều liên thông, một sự kiện căn bản trong môn Tôpô, xemchẳng hạn ở [10]

8.1 Độ cong pháp tuyến

Cho đường𝛼 ∶ (𝑎, 𝑏) → 𝑆, 𝛼(0) = 𝑝, 𝛼′(0) = 𝑣 ∈ 𝑇𝑆𝑝 Giả sử𝛼 được tham số hóatheo chiều dài,‖𝑣‖ = 1 Độ cong của 𝛼 là ‖𝛼″(𝑠)‖ Phân tích 𝛼″thành thành phầnpháp tuyến và thành phần tiếp tuyến

Ta gọiđộ cong pháp tuyến(normal curvature) của mặt tại điểm𝑝 theo hướng

28 8 ĐỘ CONG PHÁP TUYẾN, ĐỘ CONG CHÍNH, TÍNH TOÁN

8.2 Độ cong chính

Ánh xạ−𝑑𝑁𝑝∶ 𝑇𝑆𝑝 → 𝑇𝑆𝑝tuyến tính và tự liên hợp nên có hai trị riêng thực𝜆1

và𝜆2với hai vectơ riêng tương ứng𝑣1và𝑣2khác0

Ghi chú 8.3 Ta dùng dấu trừ trong ánh xạ−𝑑𝑁𝑝cho tiện hơn, do phương trình(8.2) Ở mục này ta dùng một số kí hiệu hơi khác với trong [1]

Cho hướng𝑣 ∈ 𝑇𝑆𝑝bất kỳ,‖𝑣‖ = 1 Có thể viết 𝑣 = cos 𝜃𝑣1+ sin 𝜃𝑣2

Độ cong pháp tuyến của mặt theo hướng𝑣 là:

𝑘𝑣= −⟨𝑑𝑁𝑝(𝑣), 𝑣⟩

= −⟨𝑑𝑁𝑝(𝑣1cos𝜃 + 𝑣2sin𝜃), 𝑣1cos𝜃 + 𝑣2sin𝜃⟩

= cos2𝜃⟨−𝑑𝑁𝑝(𝑣1), 𝑣1⟩ + cos 𝜃 sin 𝜃⟨−𝑑𝑁𝑝(𝑣1), 𝑣2⟩+

+ sin 𝜃 cos 𝜃⟨−𝑑𝑁𝑝(𝑣2), 𝑣1⟩ + sin2𝜃⟨−𝑑𝑁𝑝(𝑣2), 𝑣2⟩

= cos2𝜃⟨𝜆1𝑣1, 𝑣1⟩ + cos 𝜃 sin 𝜃⟨𝜆1𝑣1, 𝑣2⟩+

+ sin 𝜃 cos 𝜃⟨𝜆2𝑣2, 𝑣1⟩ + sin2𝜃⟨𝜆2𝑣2, 𝑣2⟩

tr 145]

Ví dụ 8.4 Mặt cầu 𝑆2(0, 𝑅), chọn 𝑁(𝑝) = 𝑝𝑅 hướng ra ngoài, thì−𝑑𝑁𝑝 = − 1𝑅Id,

do đó𝜆1= 𝜆2= − 1𝑅 Do đó độ cong theo mọi hướng đều bằng −𝑅.1

Độ cong trung bình(mean curvature) tại𝑝 là

𝐻 = 𝜆1+ 𝜆2

2 = 12tr(−𝑑𝑁𝑝),phụ thuộc vào định hướng của mặt [1, tr 148]

Độ cong Gausstại𝑝 là

𝐾 = 𝜆1𝜆2= det(−𝑑𝑁𝑝),không phụ thuộc vào định hướng của mặt

Ví dụ 8.5 (mặt cầu) Các đường cong trên mặt cầu đi qua cùng một điểm thì

“cong về cùng một phía”, do đó các độ cong pháp tuyến có cùng dấu Vậy độ congGauss của mặt cầu là dương Cụ thể hơn ở trên ta đã tính độ cong theo mọi hướngcủa mặt cầu bán kính𝑅 có độ lớn bằng𝑅1, do đó độ cong Gauss của mặt cầu bằng

cơ sở cho không gian tuyến tính𝑇𝑆𝑝là