UBND huyÖn lôc yªn ®Ò thi chän häc sinh giái thcs UBND huyÖn lôc yªn ®Ò thi chän häc sinh giái cÊp thcs phßng Gi¸o dôc vµ ®µo t¹o HuyÖn Lôc Yªn – N¨m häc 2007 2008 m«n to¸n Thêi gian 150 phót (kh«ng k[.]
Trang 1UBND huyện lục yên đề thi chọn học sinh giỏi cấp thcs
phòng Giáo dục và đào tạo Huyện Lục Yên – Năm học 2007-2008
môn: toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (3 điểm): Giải phơng trình:
a)
b)
Bài 2 (2 điểm):
a) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức sau:
b) Tìm giá trị lớn nhất của:
Bài 3 (1,5 điểm): Cho M và N thứ tự là trung điểm của các
cạnh AD và BC của hình chữ nhật ABCD Trên tia đối của tia DC lấy điểm P tùy ý Giao điểm của PM và AC tại Q
Chứng minh rằng: góc QNM = góc MNP
Bài 4 (1,5 điểm): Cho hình vuông ABCD, một đờng thẳng
qua A cắt các cạnh BC và CD lần lợt ở E và F
Chứng minh rằng:
Bài 5 (2 điểm):
a) Chứng minh rằng với mọi n là số lẻ thì chia hết cho 48
b) Cho dãy số:
1) Tính số phần tử của A
2) Tính số hạng thứ 151 của dãy trên
Trang 2UBND huyện lục yên kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp thcs phòng Giáo dục và đào tạo Huyện Lục Yên – Năm học
2007-2008
Hớng dẫn chấm Môn: toán Bài 1 (3 điểm):
a)
(0,5 điểm)
(0,25
điểm)
(0,5
điểm)
Vậy phơng trình có một nghiệm x = 0 (0,25 điểm)
b)
(0,5
điểm)
(0,25 điểm)
(0,25 điểm)
Do đó vế trái của phơng trình không nhỏ hơn 6, còn vế phải rõ ràng là không lớn hơn 6 (0,25 điểm)
Vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi cả hai vế đều bằng 6, suy ra: x
= -1 (0,25 điểm)
Bài 2 (2 điểm):
a)
Điều kiện:
(0,25
điểm)
Do đó: , dấu “=” xảy ra khi:
(0,25
điểm)
Vậy Min A = 1
+) áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm, ta có:
Trang 3(0,25
điểm)
Do đó: Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi:
(0,25
điểm)
Vậy Max A =
b)
(0,5
điểm)
(0,5 điểm)
Bài 3 (1,5 điểm): I là giao của AC và MN
Theo đề bài MA = MD; NB = NC MN là trục đối xứng của hình chữ nhật ABCD
Kẻ HI MN (H QN) HI là trục đối xứng (0,25 điểm)
HI // BC, theo Talét ta có: (1) (0,25
điểm)
MN // BC, theo Talét ta có: (2) (0,25
điểm)
Góc M1 = góc N2 (so le trong) (3) (0,25
điểm)
Mặt khác, I là giao của hai trục đối xứng IN = IM
Mà IH MN cân góc M1 = góc N1 (4) (0,25 điểm)
Từ (3) và (4) góc N1 = góc N2 hay góc QNM = góc MNP (đpcm) (0,25 điểm)
1
2 1
M
I H
Q
P D
C N
A B
Trang 4Bài 4 (1,5 điểm):
Dựng AM AF (M DC)
Ta có: góc A1 + góc A2 = 1v; góc A3 + góc A2 = 1v (0,25 điểm)
góc A3 = góc A1; có AB = AD (gt) (1) (0,25 điểm)
Tam giác vuông ABE = tam giác vuông ADM
điểm)
Trong tam giác vuông AMF có AD là đờng cao
(3) (0,5
điểm)
Từ (1), (2) và (3) (đpcm)
3 2 1
F
E
Trang 5Bài 5 (2 điểm):
điểm)
Với n là số lẻ là tích ba số chẵn liên tiếp có dạng:
(với ) (0,25
điểm)
là tích ba số nguyên liên tiếp
và (0,25
điểm)
Mà (2, 3) = 1
(đpcm) (0,25 điểm)
b)
1) Ta có dãy cách đều thì:
số cuối - số đầu
Số phần tử = +1 (0,25 điểm)
khoảng cách của dãy
Số phần tử của A là phần tử (0,25 điểm)
2) Mặt khác, trong dãy cách đều thì:
Un = U1 + (n - 1).d (với d là khoảng cách của dãy) (0,25 điểm)
U151 = 102 + (151 - 1).6 = 1002 (0,25 điểm)
(Học sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)