Câu 1. (Mã 123 2017) Cho hàm số + = −1 x m y x ( m là tham số thực) thỏa mãn = 2;4 min 3. y Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. m 4 B. 3 4 m C. m−1 D. 1 3 m Lời giải Chọn A Ta có ( ) − − = − 2 1 1 m y x TH 1. − − − 1 0 1 m m suy ra y đồng biến trên 2; 4 suy ra ( ) ( ) + = = = = 2;4 2 min 2 3 1 1 m f x f m (loại) TH 2. − − − 1 0 1 m m suy ra y nghịch biến trên 2; 4 suy ra ( ) ( ) + = = = = 2;4 4 min 4 3 5 3 m f x f m suy ra m 4.
Trang 1TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG KHÁ – MỨC ĐỘ 7-8 ĐIỂM
Dạng Định m để GTLN-GTNN của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước
Bước 1 Tìm nghiệm x i = i( 1, 2, ) của y =0 thuộc a b ;
Bước 2 Tính các giá trị f x( ) ( ) ( )i ;f a ; f b theo tham số
Bước 3 So sánh các giá trị, suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Bước 4 Biện luận m theo giả thuyết đề để kết luận
Lưu ý:
Hàm số y= f x( ) đồng biến trên đoạn a b thì ;
( ) ( ) ( ) ( )
Max f x = f b Min f x = f a
Hàm số y= f x( ) nghịch biến trên đoạn a b thì ;
( ) ( ) ( ) ( )
Max f x = f a Min f x = f b
Câu 1 (Mã 123 2017) Cho hàm số = +
−1
x m y
[2;4]
dưới đây đúng?
A m 4 B 3 m 4 C m −1 D 1 m 3
Lời giải Chọn A
Ta có
( )
− −
=
1 '
1
m y
x
* TH 1 − − −1 m 0 m 1 suy ra y đồng biến trên 2; 4 suy ra
( ) ( )
+
2;4
2
1
m
* TH 2 − − −1 m 0 m 1 suy ra y nghịch biến trên 2; 4 suy ra
( ) ( )
+
2;4
4
3
m
Câu 2 (Mã 110 2017) Cho hàm số
1
x m y
x
+
= + (m là tham số thực) thoả mãn 1;2 1;2
16 min max
3
đề nào dưới đây đúng?
A m 4 B 2 m 4 C m 0 D 0 m 2
Lời giải Chọn A
Ta có
1 1
m y
x
−
= +
Nếu m= = −1 y 1, x 1 Không thỏa mãn yêu cầu đề bài
Nếu m Hàm số đồng biến trên đoạn 1 1;2
Khi đó:
1;2 1;2
16 min max
3
Nếu m Hàm số nghịch biến trên đoạn 1 1;2
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Chuyên đề 5
TAILIEUONTHI.NET
Trang 2Khi đó:
1;2 1;2
( t/m)
Câu 3 Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1
x m y
x
+
= + trên đoạn 1; 2 bằng 8 ( m là tham
số thực) Khẳng định nào sau đây là đúng?
Lời giải Chọn B
Ta có:
( )2
1 1
m y
x
−
=
- Nếu m= = (loại) 1 y 1
- Nếu m khi đó 1 y 0, x 1; 2 hoặc y 0, x 1; 2 nên hàm số đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại x=1, x= 2
Theo bài ra:
1;2 1;2
Câu 4 Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số
2
2
x m y
x m
-=
- trên đoạn [0; 4 ]
bằng - 1
Lời giải Chọn C
Tập xác định: D= \{ }m
2 2
2 0,
x m
Bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên suy ra, hàm số đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [0; 4 bằng ] - 1 khi
( )
0
m f
ì <
ïï
íï = -ïî
2
0 2
1 4
m m m
ì <
ïï
ïï
Û í -ï
=
ïï
-ïî
2
0
m
ì <
ïï
Û íï
ïî
0
m
ì <
ïï
Û íï
Câu 5 Cho hàm số y x 12
x m
+
=
− (m là tham số thực) thỏa mãn 3; 2
1 min
2
y
Trang 3TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Chọn B
+ Ta có
2 2 2
1
x m
Nên
2 3; 2
m
− −
− +
Câu 6 Tìm giá trị dương của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
1 2
m x y x
−
= + trên đoạn 1;3 bằng 1
A m = 2 B m = 3 C m =4 D m =2
Lời giải Chọn A
Tập xác định: D =¡ \ −2
Ta có:
2 2
2
m
x
+
Hàm số đồng biến trên đoạn 1;3 nên
1;3
5
m −
Câu 7 Cho hàm số
2
8
y x
-= + với m là tham số thực Giả sử m0 là giá trị dương của tham số m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;3 bằng −3 Giá trị ] m0 thuộc khoảng nào trong các khoảng
cho dưới đây?
Lời giải Chọn A
+ TXĐ: D = \{ }- 8
+
2 '
2
8
0, 8
m
x
+
+ Vậy hàm số
2
8
y x
-= + đồng biến trên [0;3 ]
[ ]
2 0;3
8
m
Để
[ ]
2 0;3
8
m
y= - Û - = - Û m= ±
( )
0 2 6 2;5
m
Câu 8 (THPT Hai Bà Trưng - Huế 2019) Tìm giá trị của tham số thực mđể giá trị nhỏ nhất của hàm
1
x m y
x
+
= + trên đoạn 0; 4 bằng 3
A m = 3 B m = 1 C m = 7 TAILIEUONTHI.NETD m = 5
Trang 4Lời giải Chọn C
Ta có:
( )2
2 '
1
m y
x
−
= +
+ Xét m = 2
Hàm số trở thành: y =2 là hàm số hằng nên không đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3
2
m
= (loại)
+ Xét m 2
2
1
m
x
−
8
5
m
8
5
m
m
+
+ Xét m 2
2
1
m
x
−
3
m
= (loại)
Vậy m = 7
Câu 9 (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm
số
2
1
y
x
= + trên đoạn 0;1 bằng 2−
2
m m
= −
= −
1 2
m m
=
=
1 2
m m
=
= −
1 2
m m
= −
Lời giải Chọn D
Tập xác định: D =R\ −1
Hàm số đã cho liên tục trên 0;1
0
y
Hàm số đồng biến trên đoạn 0;1
Trên 0;1 hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0
2
m
m
= −
Câu 10 (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho hàm số
1
x m y
x
+
=
0;1
A 1£ m < 3 B m > 6 C m < 1 D 3< m £ 6
Lời giải Chọn D
TAILIEUONTHI.NET
Trang 5TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Tập xác định: D = ¡ \ { }- 1
Với m = 1 Þ y = , 1 " Î ê úx é ùë û thì 0;1 min0;1 y 3
é ù ¹
Suy ra m ¹ 1 Khi đó
( )2
1 1
m y
x
-¢=
+ không đổi dấu trên từng khoảng xác định
0;1
0;1
Câu 11 (Chuyên KHTN 2019) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1
y x
+
= + trên [1; 2] bằng 8 (m là tham số thực) Khẳng định nào sau đây đúng?
A m 10 B 8 m 10 C 0 m 4 D 4 m 8
Lời giải
Nếu m =1 thì y = (không thỏa mãn tổng của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng 8) 1
Nếu m 1 thì hàm số đã cho liên tục trên [1; 2] và
( )2
1 '
1
m y
x
-= +
Khi đó đạo hàm của hàm số không đổi dấu trên đoạn 1; 2
Do vậy
( ) ( ) 1;2 1;2
x x
Câu 12 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Gọi A B, lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
2
1
x m m y
x
=
2
A+ =B
A m=1;m= −2 B m = − 2 C m = 2 D m= −1;m=2
Lời giải
Xét hàm số
2
1
y
x
=
− trên đoạn 2;3
1
x
2
m
A B
m
=
Câu 13 (Sở Hưng Yên) Cho hàm số ( ) 2
8
x m
f x
x
−
= + với m là tham số thực Giả sử m0 là giá trị dương của tham số m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0;3 bằng − Giá trị 3 m0 thuộc khoảng nào trong các khoảng cho dưới đây?
Lời giải Chọn D
8
x m
f x
x
−
= + trên đoạn 0;3
TAILIEUONTHI.NET
Trang 6Ta có:
8
8
m
x
+
8
x m
f x
x
−
= + đồng biến trên đoạn 0;3
8
m
Theo giả thiết, ta có:
0;3
2 6
m m
m
=
−
= −
Mà m0, m =m 2 6 4,9( )2;5
Câu 14 (Chuyên - Vĩnh Phúc 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số
3
y= − −x x +m trên đoạn −1;1 bằng 0
Lời giải Chọn D
3
y= − −x x +m trên đoạn −1;1, ta có
x
x
= −
= − −
Mà
y y y
− = −
=
= −
Do đó
1;1
Vậy m = thỏa yêu cầu bài toán 4
Câu 15 (Sở Quảng Trị 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=x3−3x2+m có giá
trị nhỏ nhất trên đoạn −1;1 bằng 2
A m = 2 B m = 2+ 2 C m = 4+ 2 D 2 2
m m
é = + ê
ê
Lời giải
Chọn C
2
y = x - x
0
2
x y
x
é = ê
ê = ë Trên −1;1 thì y'( )-1 = m- 4; 'y( )0 = m y; '( )1 = m- 2
nên
[ 1;1 ]
TAILIEUONTHI.NET
Trang 7TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Câu 16 (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Có một giá trị m của tham số 0 m để hàm số
y= x + m + x+ m+ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 trên đoạn [ ]0;1 Mệnh đề nào sau đây là
đúng?
0 0
2018m - m ³ 0 B 2m -0 1< 0 C 2
0 0
6m - m < 0 D 2m + <0 1 0
Lời giải
f x = x + m + x+ m+ + Ta có: y¢= 3x2+ m2+ Dễ thấy rằng 1 y¢> 0 với mọi x, m thuộc nên hàm số đồng biến trên , suy ra hàm số đồng biến trên [ ]0;1 Vì thế
[ ] 0;1
min y
[ ] ( )
0;1
min f x
= = f( )0 = m+ 1 + Theo bài ra ta có: m+ =1 5, suy ra m = 4
+ Như vậy m =0 4 và mệnh đề đúng là 2018m0- m02³ 0
Câu 17 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Nếu hàm số 2
1
y= + +x m −x có giá trị lớn nhất bằng
2 2 thì giá trị của m là
A 2
2
Lời giải
1
y= + +x m −x
Tập xác định: D = − 1;1
Ta có:
2
1 1
x y
x
= −
−
2 2
1 0
x x y
x
− =
=
1
x
x x
2
1
2
1 2
x
x x
x
2
1
y= + +x m −x liên tục trên −1;1nên
1;1
Maxy m 2
−
= +
Theo bài ra thì
1;1
Maxy 2 2
−
Câu 18 (THPT Ngô Gia Tự Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số y=2x3−3x2− Trên m −1;1 hàm số có giá
trị nhỏ nhất là −1 Tính m?
A m = − 6 B m = − 3 C m = − 4 D m = − 5
Lời giải Chọn C
Xét −1;1 có y =6x2−6x
0
y = 6x2−6x=0
x x
= −
= −
Trang 8( )1 5
y − = − − ; m y( )0 = − ; m y( )1 = − − 1 m
Ta thấy 5− − − − − nên m 1 m m
1;1
Theo bài ra ta có
1;1
− = − nên 5− − = − m 1 = − m 4
Câu 19 Biết S là tập giá trị của m để tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
y=x −m x − x −m trên đoạn 0;1 bằng −16 Tính tích các phần tử của S
Lời giải
y = x − m x − x
3 2 2
0
x
=
0
1 8
0 8
x
x
x
=
Nên hàm số đơn điệu trên ( )0;1
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 0;1 bằng −16 nên
y +y = − − + −m m − − = − −m m − m+ =
Vậy m m = −1 2 15
Câu 20 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số
2
1
x mx y
x m
=
+ liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0; 2 tại một điểm x 0 ( )0; 2
A 0 m 1 B m 1 C m 2 D 1− m 1
Lời giải Chọn A
Ta có
2
1
x mx m y
1 2
1 0
1
y
= − −
= = − +
Ta có bảng biến thiên
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x 0 ( )0; 2 nên 0 − + − m 1 2 1 m 1 TAILIEUONTHI.NET
Trang 9TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
So với điều kiện hàm số liên tục trên đoạn 0; 2 Ta có 0 m 1
CÓ THỂ GIẢI NHƯ SAU:
Điều kiện xác định x − m
m
2
1
y
2
1 1
= − +
= − −
1 2 2
x − = nên chỉ có nhiều nhất một nghiệm thuộc x ( )0; 2
Ta thấy − + − − và do đó để hàm số liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất trên m 1 m 1, m 0; 2 tại một điểm x 0 ( )0; 2 thì 0 − + − m 1 2 1 m 1 **( )
Từ ( ) ( )* , ** ta có 0 m 1
Câu 21 (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Cho hàm số 1 sin
cos 2
y
x
−
=
của tham số m thuộc đoạn 0;10 để giá trị nhỏ nhất của hàm số nhỏ hơn −2?
Lời giải
cos 2
y
x
−
=
+ ycosx+msinx= −1 2y
3y 4y 1 m 0
y
2
3 0;10
x
m y
m m
2
0;10
m m m
2
0;10
m m m
2
21 0;10
m m m
5, 6, 7,8,9,10
m
Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số m thỏa yêu cầu bài toán
Câu 22 (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y=ax3+ +cx d a, 0 có
( ) ( ) ( )
;0
x
f x f
nhất của hàm số y= f x( )trên đoạn 1;3 bằng
A d−11a B d−16a C d+2a D d+8a
Lời giải
y=ax + +cx d a là hàm số bậc ba và có
( ) ( ) ( )
;0
x
f x f
−
= − nên a và 0 y =' 0 có hai nghiệm phân biệt
Ta có y'=3ax2+ = có hai nghiệm phân biệt c 0 ac 0
TAILIEUONTHI.NET
Trang 10Vậy với a0, c0 thì y =' 0 có hai nghiệm đối nhau
3
c x
a
= −
Từ đó suy ra
( ) ( )
;0
min
3
x
c
f x f
a
−
= − −
Ta có bảng biến thiên
Ta suy ra
1;3
x
Câu 23 (THPT Nghĩa Hưng Nam Định 2019) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
2
1
x m y
+
=
A m 1 B m 1 C m − 1 D m − 1
Lời giải Chọn A
x y
→ =
+
2
2 2
1
y
x x
=
2
y = − −x mx+ − =m
2 (*) m m 1 0, m
+ BBT:
Vậy hàm số đạt giá trị lón nhất là ( )2
2
1
f x
x
=
2
x = − +m m − +m
2 2
1
− + − + + ( vì f x( )2 0 2x2+ ) 1 0
2
0 0
1
m m
− +
Câu 24 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Giá trị lớn nhất của hàm số
3 2
1
y
x
=
+ trên 0; 2
Trang 11TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
Lời giải Chọn C
Cách 1:
Tập xác định của hàm số: D= \ 1 0; 2 D
Ta có:
2
y = x + x + x+ = −m x + x + x =m (1)
3
m
y = −m y = −
3
g x = − x + x + x g x = − x + x+ = = − = −x x
Trên 0; 2 ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có g x( ) − 36;0 , x 0; 2
Trường hợp 1: m phương trình (1) vô nghiệm phương trình 0 y = vô nghiệm 0
3
m
y = − m y = − khi m
Khi đó
( )
0;2
3
m
Trường hợp 2: m −36 phương trình (1) vô nghiệm phương trình y = vô nghiệm 0
3
m
y = − m y = − khi m −
Khi đó
0;2
Maxy= y 0 = − = = − loại do m 5 m 5 m −36
Trường hợp 3: m − 36;0 phương trình y = có nghiệm duy nhất (giả sử 0 x=x0)
Trên 0; 2 ta có bảng biến thiên:
TAILIEUONTHI.NET
Trang 12Nhìn vào bảng biến thiên ta có:
x=x g x = −m x + x + x = m x + x + x+ = m y=
0
x x g x −m x + x + x m x + x + x+ m y
x x g x −m x + x + x m x + x + x+ m y
Ta có bảng biến thiên sau:
Từ bảng biến thiên ta thấy
( ) ( )
0;2
0;2
0;2
3
m
Vậy m = − thỏa đề 3
Cách 2:
Tập xác định của hàm số: D= \ 1 0; 2 D
Ta có:
3 2
2
2
2
Trường hợp 1: m 0 y 0, x 0; 2 Hàm số đồng biến trên 0; 2
3
m
Trường hợp 2: m , giả sử 0
0;2Max y y x
= với x 0 ( )0; 2 Do hàm số liên tục trên TAILIEUONTHI.NET 0; 2
Trang 13TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
( ) ( )
0 0 0
3 2
0 0 0
0
0
1
y x
y x
x
=
3 2
5
3
Khi đó:
Ta có bảng biên thiên:
8
m
= − không thỏa yêu cầu đề
Nên không tồn tại x 0 ( )0; 2 để
0;2
0; 2
0; 2
0;2
m= − y = y = y= y = = −m l
0;2
Vậy m = − thỏa đề 3
Câu 25 Cho hàm số ( 3 )2
3
y= x − x m+ Tổng tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn −1;1 bằng 1 là
Lời giải Chọn C
D =
f t = +t m
Trường hợp 1: 2− − − m 2 2 m 2
TAILIEUONTHI.NET
Trang 14Từ bảng biến thiên ta thấy:
min f t f m 0
Trường hợp 2: − − m 2 m 2
Từ bảng biến thiên ta thấy:
2;2
1
m
m
m
=
Trường hợp 3: − − m 2 m 2
Từ bảng biến thiên ta thấy:
2;2
1
m
m
m
−
= −
Vậy tổng các giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu là: 3+ − = ( )3 0
Câu 26 (Chuyên Vĩnh Phúc 2018) Tìm tất cả các giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 0
3
3 1
y=x − x+ trên đoạn m+1;m+ luôn bé hơn 3 2
Lời giải
Ta có y =3x2−3, y = = 0 x 1 do đó y CT = y( )1 = − và 1 yCĐ =y( )− = 1 3
Thấy ngay với m thì trên đoạn 0 m+1;m+ hàm số luôn đồng biến 2
y m+ = m+ − m+ +
m m
+
1 2
m m
Kết hợp điều kiện m ta được 0 m ( )0;1
Câu 27 (Chuyên Đh Vinh 2018) Biết rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số 36
1
y mx
x
+ trên 0;3 bằng
20 Mệnh đề nào sau đây đúng?
A 0 m 2 B 4 m 8 C 2 m 4 D m 8
Trang 15TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021
36 1
y mx
x
36 1
x
+
Trường hợp 1: m = , ta có 0
( )2
36
1
x
= − −
0;3
x y y
Trường hợp 2: m 0
Nếu m , ta có 0 y 0, − Khi đó x 1
x y y
3
= + = (loại)
Nếu m , khi đó 0
36
1
x
1
x
m
( )
6 1 6 1
x m
m
= − −
m
4 6
100
x
m
m
=
1 3
4
m
0;3
x y y
20 3 9
3
Câu 28 (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số 3 2 ( 2 )
giá trị nguyên của msao cho hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0; + ? )
Lời giải Chọn D
2
1
1
x m
x m
= −
Để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0; + thì ) x1 0 x2 hoặc 0 x1 x2
TH1: x1 0 x2 − +m 1 0 m 1 − Do m1 m 1 m 0;1
BBT của hàm số:
TH2: 0 x1 x2
BBT của hàm số
Hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0; + khi và chỉ khi )
1 0
m
−
1
m
TAILIEUONTHI.NET
Trang 16( ) (2 )
1
m
1 2 1
m m m
Vậy m0;1; 2
Câu 29 (Sở Bình Phước - 2020) Cho hàm số f x( )=m x− ( 1 mlà tham số thực khác 0) Gọi m m là 1, 2
hai giá trị của mthoả mãn
( ) ( ) 2
min f x +max f x =m −10 Giá trị của m1+m2 bằng
Lời giải Chọn A
f x m
x
=
− ;
Do m nên 0 '( )
f x khác 0 và có dấu không thay đổi với + x (1; ) Nếu m thì 0 '( )
( ) ( ) ( ) ( )
min f x = f 2 =m m; ax f x = f 5 =2 m
2
1 2
2
2
5
f x m f x m
m
m
= −
Do m nên nhận 0 m =2 5
Nếu m thì 0 '( )
( ) ( ) ( ) ( )
min f x = f 5 =2 ;m max f x = f 2 =m
2
1 2
2
2
5
f x m f x m
m m m
m
m
= −
Do m nên nhận 0 m = − 1 2
Vậy m1+m2 = 3
Câu 30 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2020) Cho hàm số có bao nhiêu giá trị nguyên của tham
Lời giải Chọn C
sin 1 cos 2
y
x
+
=
+
m −5;5
cosx + 2 0 x
sin 1
cos 2
x
+