(Sưu Tầm Từ Dantri

(Sưu tầm từ dantri ThËt kú diÖu Ai nói môn toán là “thứ” khô khan, cứng nhắc nhất trần đời? Chắc hẳn kẻ bất hạnh ấy chưa bao giờ chiêm ngưỡng vẻ đẹp đến ngỡ ngàng của những con số tự nhiên Những phép[.]

ThËt kú diÖu

Ai nói môn toán là “thứ” khô khan, cứng nhắc nhất trần đời? Chắc hẳn kẻ bất hạnh

ấy chưa bao giờ chiêm ngưỡng vẻ đẹp đến ngỡ ngàng của những con số tự nhiên Những phép tính thẳng hàng và đều đặn như thể người ta tiện tay xếp chúng cho vui Nhưng xin cam đoan, chúng đều có nghĩa cả đấy Không tin, cứ “thử lại”

1/ C¸c phÐp to¸n l¹:

1 x 9 + 2 = 11

12 x 9 + 3 = 111

123 x 9 + 4 = 1111

1234 x 9 + 5 = 11111

12345 x 9 + 6 = 111111

123456 x 9 + 7 =

1234567 x 9 + 8 =

12345678 x 9 + 9 =

123456789 x 9 +10=

1 x 8 + 1 = 9 12 x 8 + 2 = 98 123 x 8 + 3 = 987 1234 x 8 + 4 = 9876 12345 x 8 + 5 = 98765 123456 x 8 + 6 =

1234567 x 8 + 7 =

12345678 x 8 + 8 =

123456789 x 8 + 9 =

9 x 9 + 7 = 88 98 x 9 + 6 = 888 987 x 9 + 5 = 8888 9876 x 9 + 4 = 88888 98765 x 9 + 3 =

987654 x 9 + 2 =

9876543 x 9 + 1 =

98765432 x 9 + 0 =

1 x 1 = 1 11 x 11 = 121 111 x 111 = 12321 1111 x 1111 = 1234321 11111 x 11111 = 123454321 111111 x 111111 = 12345654321 1111111 x 1111111 = 1234567654321 11111111 x 11111111 = 123456787654321 111111111 x 111111111=

2/ Tam gi¸c paxcal

3/ Bµi to¸n c©u c¸:

Ba người đi câu được một số cá Trời tối và mệt lả, họ vứt cá trên bờ sông rồi mỗi người tìm một nơi và lăn ra ngủ Người thứ nhất thức dậy đến bờ sông, đếm số cá thấy chia 3 thừa 1 con, bèn vứt bớt xuống sông và xách 1/3 về nhà Người thứ 2 thức dậy, đến bên bờ sông, tưởng 2 bạn mình còn ngủ, anh ta lại đếm số cá, vứt 1 xuống sông và xách 1/3 về nhà Người thứ 3 thức dậy, đến bên đống cá, cứ nghĩ là mình dậy sớm nhất, đếm số cá, xong vứt 1 con, lấy 1/3 mang về Cho biết họ là 3 chàng đi câu tồi, bạn hãy tính xem họ câu được bao nhiêu cá tất cả?”

Người ta kể rằng bài toán câu cá trên đây là một bài toán dân gian đã ra trong một

kỳ thi HSG Toán nước Anh Một cậu bé dự thi lúc bấy giờ, tên là Paul Dirac, đã cho một lời giải ngộ nghĩnh bất ngờ

1, “Nghiệm Dirac” của bài toán:

Gọi x là số cá câu được, n là số cá còn lại trên bờ sông, ta tính được kết quả: x=1/8(27n + 38) với n=8/3m – 2 và m thuộc B(3) Vì họ câu tồi nên x phải nhỏ nhất, nghĩa là n nhỏ nhất, cũng tức là m nhỏ nhất: m=0 Từ đó có đáp số: n = 2 và x =

-2 Số cá còn lại trên bờ, sau khi cả 3 anh chàng đã lấy phần mình mang về nhà, đúng bằng số cá cả 3 câu được: x = n = -2 Vậy hiểu kết quả này như thế nào? Cậu

bé giải thích: Người thứ nhất ngủ dậy, đếm thấy (-2) con cá, không chia hết cho 3, bèn vứt xuống sông thêm 1 con để số cá trở thành (-3); anh ta lấy 1/3 tức là (-1) con, để lại (-2) con cho 2 bạn còn đang ngủ Người thứ 2 và thứ 3 cũng làm như vậy

và kết quả là mỗi người mang được (-1) con cá về nhà!!! Thật công bằng vì ai cũng được phần cá như nhau!!!Dĩ nhiên trên đây chỉ là một lời giải ngộ nghĩnh cho một bài toán cũng ngộ nghĩnh!

2, Số âm và số dương:

Âm và dương đối xứng Vậy ta thử đổi các nghiệm âm của Dirac ra dương: x = n = +2 và xem thử chúng có ý nghĩa nào không? Người thứ nhất ngủ dậy, đếm thấy có 2 con cá, không chia hết cho 3 bèn câu thêm 1 con từ bờ sông lên để số cá trở thành (+3); anh ta lấy 1/3 tức là (+1) con, để lại (+2) con cho 2 bạn còn đang ngủ Người thứ 2 và thứ 3 cũng làm như vậy và kết quả là mỗi người mang được (+1) con cá về nhà Cũng công bằng vì mỗi người đều được nhận phần cá như nhau! Như thế, chỉ cần đổi nghiệm Dirac âm ra dương ta sẽ có một lời giải “nghiêm túc” cho một đề Toán cũng “nghiêm túc”: đừng vứt cá trở lại xuống sông mà hãy câu thêm cá từ dưới sông lên! Vậy, đứng trước một bài toán, hãy cố gắng nhìn hết các khía cạnh, tìm cho ra hết các nghiệm, dù rằng sau đó có cái phải loại đi vì tính không phù hợp của nó

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1

a+b (a + b)2 = a2+ 2ab+ b2

(a + b)3 = a3+ 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4+ 4a3b +6a2b2 +

4ab3 + b4

3, Paul Dirac (1902 – 1984):

Nhiều bài toán phổ thông rồi sẽ quên đi Nhưng bài toán 3 chàng đi câu này sẽ còn được nhắc tới vì nó gắn liền với tên tuổi của một trong số ít những nhà Vật lý – Toán học vĩ đại nhất của thế kỷ XX: Paul Dirac Năm, 1926, lúc 24 tuổi, trong khi lập

và giải phương trình chuyển động của electron, Dirac nhận thấy có một nghiệm lạ -lại là một nghiệm âm! Lẽ ra phải loại nó đi thì ông cứ suy nghĩ mãi về ý nghĩa của

nó, tìm cách lý giải và cuối cùng phát hiện ta sự tồn tại tất yếu của một hạt cơ bản chưa biết: positron – anh em song sinh với electron (thật ra là phản hạt của electron) Mấy năm sau, khoa học mới khám phá ra hạt này với đầy đủ các tính chất đặc trưng mà Dirac đã tiên đoán và mô tả bằng lý thuyết.Dirac nổi tiếng về những ý tưởng độc đáo, bất ngờ và về những giả thuyết táo bạo trong khoa học: ông nhìn thấy cả những cái hợp lý trong những cái vô lý với mọi người Ông là một trong số những người sáng lập ra Cơ học lượng tử - nền móng của Vật lý hiện đại, là tác giả của Phương trình Dirac, hàm delta Dirac, thống kê Fermi – Dirac trong Toán học (giải tích hàm) và trong Toán lý, giải Nobel năm 1933

4/ So nguyen to

Trước đây ,nhiều người từng nghĩ 2n-1 luôn là số nguyên tố cho mọi n nguyên tố nhưng vào năm 1563 Hudalricus Regius đã chỉ ra rằng 211 -1=2047=23.89 không phải là số nguyên tố Vào năm 1603 Pietro Cataldi đã kiểm chứng 1 cách chính xác rằng khi n=17,19 thì 2n-1 là số nguyên tố và dự đoán điều đó cũng đúng khi

=23,29,31,37 Tuy nhiên vào năm 1640 Fermat đã chỉ ra suy đoán của Cataldi sai với trường hợp 23 và 37 rồi đến năm 1738 Euler cũng chỉ ra trường hợp n=29 là sai Vào năm 1644 một nhà toán học kiêm giáo sĩ người Pháp là Marin Mersenne (1588-1648) trong lời tựa của cuốn Cogitata Physica-Mathematica (1644) (Tạm dịch là những khái niệm Toán học và Vật lí) đã sắp xép ra 11 trị số của n để 2n-1 là số nguyên tố ,đó là các trị số :2,3,5,7,13,17,19,31,67,127 và 257 không khó khăn gì có thể tra ra 11 trị số trên đều là số nguyên tố.Không lâu sau có người còn chứng minh được nếu 2n-1 là số nguyên tố thì n nhất định là số nguyên tố ,nhưng cần chú ý là điều ngược lại không đúng :nghĩa là khi n là số nguyên tố thì 2n-1 không nhất định là

số nguyên tố Thí dụ như các trường hợp đã nói ở trên Từ đó để tưởng niệm công lao của ông giáo sĩ ,người ta gọi tất cả các số nguyên tố có dạng 2n-1 là số nguyên

tố Merssenne

Người ta phát hiện số nguyên tố Merssenne có nhiều điểm liên quan đến số hoàn thiện Vậy thế nào gọi là số hoàn thiện ?Nếu có một số tự nhiên bằng đúng tổng các ước số của nó ngoài bản thân nó thì số tự nhiên đó gọi là số hoàn thiện.6 là số hoàn thiện nhỏ nhất; con số 6 trừ bản thân nó ra còn có 3 ước số là 1,2,3

và :6=1+2+3 Ngoài số hoàn thiện ra còn có số không đầy đủ và số giàu có Nếu 1 số tự nhiên lớn hơn tổng các ước của nó trừ ước là bản thân nó thì nó là 1 số không đầy đủ Ví dụ 8 ngoài bản thân nó có các ước là 1,2,4 và 8>1+2+4=7 Do đó

8 là 1 số không đầy đủ Nếu 1 số tự nhiên nhỏ hơn tổng các ước của nó trừ ước là bản thân nó thì nó là 1 số giàu có Ví dụ 12 ngoài bản thân nó có các ước là 1,2,3,4,6 và 12<1+2+3+4+6=16 Do đó 12 là 1 số giàu có Học phái Pitago phát hiện ra 3 loại số trên nghe nói có liên quan đến tín ngưỡng của họ Họ cho rằng thượng đế dùng 6 ngày để sáng tạo ra thế giới, con số 6 là con số hoàn thiện nhất

Do đó họ coi các số có tính chất như số 6 là số hoàn thiện Lại theo truyền thuyết

toàn thể loài người do 8 vị thần linh tạo ra nhưng sáng tạo không được đầy đủ nên con số 8 gọi là "số không đầy đủ" 3 loại số :hoàn thiện, không đầy đủ và giàu

có ,trong đó quan trong nhất là số hoàn thiện Số hoàn thiện có rất ít trong tự nhiên.Trong phạm vi 1 vạn số chỉ có 4 số hoàn thiện là 6,28,496,8128 Cho đến năm

1952 trải qua 2000 năm tìm kiếm người ta mới tìm được 12 con số hoàn thiện ,thật

là ít một cách đáng buồn !Có điều kì quặc là 12 con số hoàn thiện này đều là số chẵn Vậy có tồn tại số hoàn thiện lẻ hay không ?Đây là 1 vấn đề toán học rất nổi tiếng chưa được giải quyết Nhưng năm 1968 có một nhà toán học tuyên bố :Nếu tồn tại số hoàn thiện lẻ thì nó không thể ít hơn 36 vị số Xem ra dùng tay để tính thì không tìm được số đó Trước 300 năm ,nhà toán học cổ Hy Lạp Ơcơlit trong tác phẩm nổi tiếng của ông :"Kỷ hà nguyên bản" đã chứng minh nếu 2n-1 là 1 số nguyên tố thì 2(n-1).(2n-1) nhất định là 1 số hoàn thiện Rất hiển nhiên công thức này cho ra 1 số hoàn thiện chẵn Sau này nhà toán học Euler đã chứng minh thêm một bước nữa :Mỗi số hoàn thiện chẵn tất yếu là hình thức có được từ Ơcơlit Do vậy công thức Ơcơlit là đầu mối để tìm số hoàn thiện

Số hoàn thiện có một lịch sử rất lâu đời ,có định nghĩa rất độc đáo và nó còn có những đặc tính kì diệu sau :

1/Mỗi số hoàn thiện có thể biểu diễn dưới dạng tổng các số tự nhiên liên tiếp ,thí

6=1+2+3

28=1+2+3+4+5+6+7

496=1+2+3+ +30+31

8128=1+2+3+ +126+127

2/Trừ số 6 ra số hoàn thiện có thể biểu diễn dưới dạng tổng các số lẻ lập phương liên tiếp cộng với nhau ,thí dụ :

28=13+33

496=13+33+53+73

8128=13+33+53+73+93+113+133+153

3/Tổng đảo của tất cả các ước số cuả số hoàn thiện đều bằng 2 ,thí dụ : 1/1+1/2+1/3+1/6=2

1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2

1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2

Các phân số ở vế trái đều những đơn phan số hay là các phân số cổ Ai Cập tức các phân số có tử bằng 1 Như vậy phân số cổ Ai Cập và số hoàn thiện Hy Lạp có mối quan hệ với nhau

4/Ta thử biểu diễn các số hoàn thiện dưới hệ nhị phân xem thử sao:

6=110

28=11100

496=111110000

8128=1111111000000

Quay trở lại vấn đề tìm kiếm số nguyên tố Merssenne Tuy rằng ông giáo sĩ đưa ra

11 trị số n để 2n-1 là số nguyên tố nhưng ông không không nghiệm toán tất cả 11 trị

số của n ,nguyên nhân chủ yếu là con số lớn khó phân giải khi n=2,3,5,7,13,17,19 thì 2n-1 tương ứng là : 3,7,31,127,8191,13107,524287 Bởi vì những con số này đều tương đối nhỏ nên ta đã nghiệm toán ra chúng đều là

số nguyên tố Năm 1772 nhà toán học Euler ở tuổi 65, đôi mắt đã hoàn toàn mất thị

lực với thiên tài tính nhẩm siêu việt đã chứng minh được khi n có trị số là 31 thì số 2^31-1=2147483647 là một số nguyên tố

Còn các trị số n=67,127,257 thì 3 số 2^n-1 tương ứng có phải là số nguyên tố không thì sau một thời gian dài không ai chứng minh tiếp Sau khi vị toán học gia kiêm giáo sĩ người Pháp qua đời được 250 năm ;vào năm

1903 trong một cuộc hội thảo toán học tại New York có một nhà toán học đã làm một bản báo cáo rất xuất sắc và độc đáo :ông bước lên diễn đàn và chẳng nói một lời ,lẳng lặng cầm viên phấn viết thật nhanh lên bảng đen các con số sau đây :

267-1=147573952589676412927=193707721*761838257287

sau đó ông đi về chỗ ngồi của mình Lúc đầu cả hội trường im phăng phắc ,một lúc sau tiếng vỗ tay vang dội một hồi lâu không dứt Mọi người thi nhau bắt tay chúc mừng ông đã chứng minh số 2p - 1 thứ 9 không phải là số nguyên tố mà là hợp số Năm 1914 số 2p-1 thứ 10 được chứng minh là số nguyên tố Năm 1952 người ta dùng máy tính điện tử chứng minh được số 2p-1 thứ 11 không phải là số nguyên tố Tốc độ của máy tính điện tử càng lúc càng cao Ngày 4 tháng 9 năm 1996 máy tính

cỡ lớn của Mỹ giúp các nhà khoa học Mỹ tìm ra số nguyên tố 2p-1 thứ 33 là 21257787-1 (gồm 378632 chữ số thập phân ) Gần đây nhất ngày 28 tháng 5 năm

2004 ,John Findley đã tìm ra số nguyên tố Merssenne thứ 41 lớn nhất từ trước đến giờ Nó gồm 7235733 chữ số thập phân (một người bình thường phải mất 6 tuần mới viết hết được) Đó là con số 224036583-1 đồng thời phát hiện số hoàn thiện lớn nhất (224036583-1)*224036582 Lịch sử tìm ra số nguyên tố Mersenne và số hoàn thiện : Ở đây Mp=2p-1 là số nguyên tố Merssene ,PP=(2p-1).2p-1 là số hoàn thiện tương ứng

Chắc các bạn thắc mắc cứ tìm nhiều số nguyên tố như vậy để làm gì ?Các số nguyên tố có các ứng dụng rất thực tế như trong ngành giải mã và nhiều ngành khác Hơn hết ,việc ngày càng tìm ra các số nguyên tố lớn hơn thể hiện khả năng vô tận của máy tính dưới bàn tay con người Mỗi con số tìm ra là một kiệt tác trong vô vàn kiệt tác khác của toán học nói riêng và khoa học nói chung Đó phải chăng là cái đẹp thuần tuý của khoa học ?Đến đây tôi xin được phép kết thúc bài viết của mình ! Chúc một ngày nào đó ,một bạn đọc của chúng ta cũng sẽ tìm ra một con số nguyên tô Merssene để được ghi danh vào sử sách !Xin cảm ơn mọi người đã theo dõi và động viên tôi hoàn thành loạt bài viết này

So nguyen to lơn

22281 - 1

446087557183758429571151706402101809886208632412859901111991219963 404685792820473369112545269003989026153245931124316702395758705693 679364790903497461147071065254193353938124978226307947312410798874 869040070279328428810311754844108094878252494866760969586998128982 645877596028979171536962503068429617331702184750324583009171832104 916050157628886606372145501702225925125224076829605427173573964812 995250569412480720738476855293681666712844831190877620606786663862 190240118570736831901886479225810414714078935386562497968178729127 629594924411960961386713946279899275006954917139758796061223803393 537381034666494402951052059047968693255388647930440925104186817009 640171764133172418132836351

Số nguyên tố lớn nhất đã biết là (2216091 – 1) - khoảng 65050 chữ số (đây là con

số lớn nhất vào thời điểm cuốn sách này ra đời, hiện nay người ta đã tìm được những số nguyên tố lớn hơn thế nhiều), nó được một nhóm nhà kỹ thuật của hãng dầu mỏ Chevron ở Houston (Taxas), khám phá ra một cách ngẫu nhiên vào năm

1985 Trong khi thử một siêu máy tính họ đã phát hiện ra số nguyên tố mới đó: phải mất vài chục trang sách mowis viết hết con số đó

/Chứng minh rằng : Mọi quy tắc định lý toán học là tồn tại theo thời gian !

Nghĩa là vào năm 2006 thì 1+1=2

sang năm 20007 thì 1+1 vẫn bằng hai

trong quá khứ thì 1+1 đã từng bằng 2

=> trông dễ nhưng đâu ai biết làm?

2/Chứng minh: Toán học là bất biến trong mọi hệ quy chiếu quán tính

Anh tanh đã từng chứng minh nhưng thất bại các bạn thử xem!

4/ §Þnh lÝ Fecma

Ph¬ng tr×nh : xn + yn = zn ; ( n ≥ 3, n, x , y , z lµ sè nguyªn d¬ng)" kh«ng cã ngiÖm nguyªn d¬ng.

Chøng minh thö xem!