( )20192019 2019 2019 0c a a a+ = − + = Do đó ( )( )( )23 23 3 3 2019 2019 0P a b b c c a= + + + = Vậy ta có P = 0 Thí dụ 2 Cho các số dương x, y thỏa mãn 2 27 13 2 0 (1)x xy y− − = Tính giá trị biểu[.]
Trang 1( )2019
c +a = −a +a =
Do đó: P =(a23 +b23)(b c c3 + 3)( 2019 +a2019)=0 Vậy ta có: P = 0
Thí dụ 2 Cho các số dương x, y thỏa mãn:
7x −13xy −2y =0 (1) Tính giá trị biểu thức: 2 6 .
7 4
A
−
= + Lời giải
Từ (1) ta có: (7x y x+ )( −2 ) 0y = ⇔ =x 2y (do x, y > 0)
Thay x = 2y vào A ta được:
A
Thí dụ 3 Cho các số thực x, y thỏa mãn:
(2)
x y
Tính giá trị biểu thức: B x
y
= Lời giải Đặt a 2010 , b 2010
= = với a, b > 0
Từ (2) suy ra:
2
2010 2.2010 2345 1 2 7 1 6
6
7 11 6 0 2 ( 0)suyra : b 3
a a
2
x b B
y a
= = =
Date
Dạng 1: Sử dụng phương pháp phân tích
Thí dụ 1 Cho a, b, c khác 0 thỏa mãn:
(a b c) 1 1 1 1
a b c
+ + + + =
Tính giá trị biểu thức:
( 23 23)( 3 3)( 2019 2019)
P = a +b b c c+ +a
Lời giải
Ta có: (a b c) 1 1 1 1
a b c
+ + + + =
1
0
ab bc ca
a b c
abc
a b c ab bc ca abc
a b abc ca ab b c abc
abc bc c a abc
a b ca b c ab c b ac abc
a b b c c a
+ +
= −
⇔ = −
= −
* Với a = - b thì: 23 23 ( )23 23
0
a +b = −b +b =
Do đó:
( 23 23)( 3 3)( 2019 2019) 0
P = a +b b c c+ +a =
* Với b = - c thì: 3 3 ( )3 3
0
b c+ = −c +c =
I BÀI TÂP
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Trang 2
Dạng 2: Sử dụng phương pháp hệ số bất định
Thí dụ 4 Cho các số thực x, y, z thỏa mãn:
2
(4)
x y x y z
= +
Tính giá trị biểu thức D =2x2 +10y2 −23 z2
Lời giải
Ta có: (4) 2 2 2 2 2 0 (4)
⇔
Ta tìm các số thực a, b thỏa mãn:
a z −x −y +b y − z = x + y − z
3
a
a
b a
b
b a
=
⇔ + =− = ⇔ =
Vậy D = 2.0 + 3.5 = 15
Thí dụ 5 Cho các số thực x, y, z, t thỏa mãn:
1
1
t
t
z x
=
+ +
Tính giá trị biểu thức:
8t 9
E
= + + Lời giải
(5)
y
⇔
Mặt khác: 1 x 8y 9z
E t= + t + t Giả sử a, b là các
số thực thỏa mãn:
1
a b
a a
a b
=
Vậy E =6
Thí dụ 6 Cho số thực x, y, z, t thỏa mãn:
5
2
10
t t t
x y z
− + =
Tính giá trị biểu thức: C t2 t2 t2
xy yz zx
Lời giải
Từ (1) ta có: 5 , 2
3
y = x z = x Thay 5 , 2
3
y = x z = x vào (2) ta được:
3
x − x + x = ⇒ =
Vì thế:
3 3 1 1 7
5 5 2 2 5
C
xy yz zx xy yz zx
x x x x
y y y z
Dạng 3: Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
Thí dụ 7 Cho các số a, b, c thỏa mãn:
a b c a c b b c a
Tính (a b b c c a)( )( )
A
abc
=
Lời giải
Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
1 2
2 2
a b c a c b b c a
a b c a c b b c a
a b c
a b c c a b c
a c b b a c b
b c a a b c a
a b b c c a c a b A
+ +
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Trang 3
Dạng 4: Sử dụng phương pháp hình học
Thí dụ 7 Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn
( )
2
9
x y
y z
y xz
Tính giá trị biểu thức G xy yz= +
Lời giải
Xét tam giác ABC vuông tại B, có AB = 3, BC = 4
đường cao BD Đặt AD = x, BD = y, DC = z, ta thấy x,
y,z hoàn toàn thỏa mãn hệ thức (*) Khi đó:
G xy yz y x z
S AB BC
Thí dụ 8 Cho 3 số thực x, y, z với y > 0 thỏa mãn:
( )
2
2
2
29 4
1 2
x y
y z
− =
Tính giá trị biểu thức H y x= ( − +1 2−z)
Lời giải
4
3
x
D
A
2
y
D
A
Từ (7) suy ra x > 1 và z < 2
Ta viết lại hệ (7) dưới dạng:
Ta viết lại hệ (7) dưới dạng:
2 2 2 2
2
25 1
4
1 2
Xét tam giác ABC vuông tại B, đường cao BD với
2
AB = BC =
Đặt BD y AD= , = x −1,CD = 2− z
Rõ ràng x, y, z thỏa mãn hệ Từ đó ta có:
2 2
ABC
H y x= − + −z = S = =
Vậy H = 5
Câu 1 (Chuyên Bình Dương 2018) Cho các số thực ,x ythỏa mãn
(x + 2018+x2 )(y + 2018+y2)=2018
Tính giá trị của biểu thức
Q x= +y + x y+ + Câu 2 (Chuyên Nam Định 2016) Cho a b c, , là các số thực thỏa mãn các điều kiện
6
a b c+ + = ; 1 1 1 47
60
a b b c c a+ + + + + =
Tính giá trị của biểu thức a b c
b c c a a b+ + + + +
Câu 3 (Chuyên Khánh Hòa 2018) Cho 3 số x y z khác 0 thỏa mãn : , ,
1 1; 1 1 4;1 1 1 0 2
x y z
xyz x y z
x y
Tính Q =(y2017 +z2017)(z2019 +x2019)(x2021 +y2021) ❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Trang 4
Câu 4 (Chuyên TP Hồ Chí Minh 2018)
Cho , ,a b c là ba số thực thỏa mãn điều kiện a b c+ + =0 và a2 =2(a c+ +1)(a b+ −1) Tính giá trị của
biểu thức A a= 2 +b2 +c2
Câu 5 (Chuyên TP Hồ Chí Minh 2015)
Cho hai số thực a , b thỏa điều kiện ab = 1, a + b ≠ 0 Tính giá trị của biểu thức:
P
a b
Câu 6 (HSG huyện Thủy Nguyên 2018)
Cho các số thực x y z, , ≠0 thỏa mãn 2 2 2
1 1 1 6.
+ + + + + = Tính giá trị biểu thức
2017 2018 2019
P x= +y +z
Câu 7 (HSG huyện Vĩnh Bảo 2018)
Cho ba số x y z, , >0thỏa mãn xy yz zx+ + =1 Tính giá trị biểu thức:
Câu 8 (HSG Nam Định 2015)
Cho các số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời các điều kiện x y z+ + =2, x2 +y2 +z2 =18 và xyz = −1
S
Câu 9 (HSG TP Hải Phòng 2015)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện:x y z+ + + xyz =4
Rút gọn biểu thức: B = x(4−y)(4−z)+ y(4−z)(4−x)+ z(4−x)(4−y)− xyz
Bài 10 (HSG Hải Dương 2013)
Cho a và b là các số thỏa mãn a > b > 0 và a a b ab3 − 2 + 2 − 6 b3 = 0
Tính giá trị của biểu thức 44 4 44
4
a b
B = b − a
Bài 11 (HSG huyện Yên Định 2012)
Cho a b c 0+ + = , tính giá trị của biểu thức: P 2 12 2 2 12 2 2 12 2
Câu 12 (Chuyên Lam Sơn năm 2019-2020)
Cho các số thực a, b, c khác 0 thỏa mãn 2ab bc+ +2ca =0 Hãy tính giá trị của biểu thức: 2 2 2
8a
bc ca ab A
b c
Câu 13 (Chuyên Lam Sơn năm 2018-2019)
Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn biểu thức 33 3 22 5 17 0
3 5 11 0
Chứng minh rằng a b+ =2
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Trang 5Câu 1 Ta có:
2 2
2018
2018
2018 2018
2018
y y
y y
Biến đổi tương tự ta có: 2018+x2 − =x 2018+y2 +y (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được: 2018+x2 = 2018+y2 ⇔2018+x2 =2018+y2
x2 y2 x y
=
+)Với x y= ta có:
2019 2019
0
0
x y
+)Với x = −y, ta có: 2019 2019 0 2020
0
x y
+ =
Vậy Q =2020
Câu 2 Do a b c+ + =6 nên a b c 6 (b c) 6 (c a) 6 (a b)
b c c a a b
b c c a a b
x y z
x y z
+ +
2
xy yz xz xyz xy yz xz xyz
2
Từ đó: 1 1 1 1 (xy yz xz x y z)( ) xyz
x y z x y z+ + = + + ⇔ + + + + = ⇔(x y x z y z+ )( + )( + )=0
y z
z x
= −
= −
Hơn nữa các mũ của Q đều lẻ nên có ít nhất 1 thừa số bằng 0 Vậy Q =0
Câu 4 Ta có: a b c+ + = ⇔ = − −0 b a c
HƯỚNG DẪN GIẢI
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Trang 6( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2
1
+ + = =
Vậy A = 2
Câu 5 Với ab = 1 , a + b ≠ 0, ta có:
( )
P
a b
=
+
2 2
a b
a b ab
+
Vậy P = 1, với ab = 1 , a + b ≠ 0
Câu 6
2
1 0
1 0
x
z z
+ + + + + = ⇔ − + + − + + − + =
− =
= − =
⇔ − + − + − = ⇔ − = ⇔ = − ∨ =
− =
Do đó P x= 2017 +y2018 +z2019 =3 khi x y z= = =1
Hoặc P x= 2017 +y2018 +z2019 =1 khi x y z= = = −1
Câu 7 Ta có: 1+x2 =xy yz zx x+ + + 2 =y x z( + ) (+x x z+ ) (= x y x z+ )( + )
Tương tự: 1+y2 =(x y y z+ )( + ); 1+z2 =(x z z y+ )( + )
Do đó: ( 2)( 2) ( 2)( 2) ( 2)( 2)
2
2
xy xz yz xy xz zy
xy yz zx
=
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Trang 7Câu 8 Ta có xy z+ − =1 xy x y− − + =1 (x −1)(y −1)
Tương tự yz x+ − =1 (y −1)(z −1) và zx y+ − =1 (z −1)(x −1)
Suy ra
( 1)(1 1) ( 1)(1 1) ( 1)(1 1) ( 1)( 1)(3 1)
x y z S
+ + −
xyz xy yz zx x y z
−
x y z+ + =x +y +z + xy yz zx+ + ⇒xy yz zx+ + = − Suy ra 1
7
S = − Câu 9 Ta có x y z+ + + xyz = ⇔4 4(x y z+ + ) 4+ xyz =16
Khi đó ta có: x(4−y)(4−z)= x(16 4− y −4z yz+ ) = x yz( +4 xyz +4 )x
2
= + = + (1)
Tương tự y(4−z)(4−x)= xyz +2y (2) z(4−x)(4−y)= xyz +2z (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra B =2(x y z+ + + xyz) 2.4 8= =
Câu 10 Ta có: a a b ab3 − 2 + 2 −6b3 = ⇔0 (a −2 )(b a2 + +ab 3 ) 0 (*)b2 =
Vì a > b > 0 ⇒a2 +ab+3b2 >0 nên từ (*) ta có a = 2 b
Biểu thức 44 4 44 164 4 444
B
− − Vậy: 12 44 4
21 63
b B
b
−
−
0
x + y + z = ⇒ +y z = − ⇔x y + z = −x
Suy ra: y2 +z2 – 2 x2 = − yz Do đó:
yz
y +z −x = −
Tương tự ta có: 2 22 2 2 ; 2 22 2 2
z +x −y = − x +y −z = −
P
Vậy 3
2
P = −
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Trang 8Câu 12 Đặt x = 2 a, y = b, z = cta được xy yz zx 0 1 1 1 0
x y z
Khi đó 2 2 22 22 2 2 2
4
A
= + + = + + xyz 13 13 13
= + +
Mặt khác từ hằng đẳng thức 13 13 13 3 1 1 1 12 12 12 1 1 1 0
2
+ + − = + + + + − − − = ta có
xyz
x +y +z =
3
xyz
⇒ = ⋅ = Vậy 3
2
A =
Câu 13
3
2
2
2
1
2
a
a
− + − =
Vậy ta có điều phải chứng minh
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗