VẬN DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN ĐỂ CHỨNG MINH HÌNH HỌC “tailieumontoan com” Date Trong các kì thi học sinh giỏi, thi vào lớp 10 THPT ta thường gặp các bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp, chứ[.]
Trang 1VẬN DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN ĐỂ CHỨNG MINH HÌNH HỌC
“tailieumontoan.com”
Date
Trong các kì thi học sinh giỏi, thi vào lớp 10 THPT ta
thường gặp các bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng
minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn,….Bài viết
này giới thiệu các bạn đọc cách vận dụng các hệ thức giữa
các đoạn cát tuyến và các đoạn tiếp tuyến, làm cho lời giải
bài toán trở nên đơn giải, ngắn ngọn hơn
Trước hết, ta nhắc lại các hệ thức sau đây
Mẹnh đề 1 Nếu hai cát tuyến AB và CD của một
đường tròn cắt nhau tại một điểm M (M nằm trong hoặc
ngoài đường tròn) thì ta có MA.MB = MC MD
Mệnh đề 2 (Mệnh đề đảo của mệnh đề 1)
Nếu hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M và có
MA.MB = MC.MD Khi đó bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc
một đường tròn
Mệnh đề 3 Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên
ngoài đường tròn đó Qua điểm M kẻ tiếp tuyến MT (T là
tiếp điểm) và cát tuyến MAB (A B O, ∈( ) ) Khi đó ta có
2
MT =MA MB
Mệnh đề 4 (Mệnh đề đảo của mệnh đề 3)
Cho góc xMy khác góc bẹt Trên tia Mx lấy hai
điểm A, B Trên tia My lấy điểm T Khi đó nếu
2
MT =MA MB thì MT là tiếp tuyến của đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABT
Việc chứng minh các mệnh đề trên khá đơn giản,
xin dành cho bạn đọc Sau đây ta xét một số bài toán áp
dụng các mệnh đề trên
I Lý Thuyêt
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Bài 1 Cho tam giác ABC có hai góc ABC và ACB nhọn Các đường cao BD, CE của tam giác cắt nhau tại H Chứng minh rằng:
2
Hướng dẫn
Kẻ HK BC K BC⊥ ( ∈ ) Dễ thấy tứ giác CDHK nội tiếp nên theo mệnh đề 1 ta có BH BD BK BC = ( )1
Tương tự, tứ giác BEHK nội tiếp nên theo mệnh đề 1 ta có
( )
CH CE CK CB= Cộng 2 vế đẳng thức (1) và (2) ta có:
BH BD CH CE BK BC CK CB BC BK CK+ = + = + =BC Bài 2 Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến
AB, AC tới đường tròn (B, C là các tiếp điểm) Gọi H là giao điểm của OA và BC EF là một dây cung đi qua H Chứng minh rằng a) AEOF là tứ giác nội tiếp
b) AO là tia phân giác của góc EAF
Hướng dẫn
K
H E
D A
II Bài tâp
Trang 2a) Ta có OB AB OC AC⊥ , ⊥ nên tứ giác ABOC nội tiếp,
do đó theo mệnh đề 1 ta có AH.OH = BH.HC
Mặt khác, cũng theo mệnh đề 1 ta có:
HB.HC = EH.HF
Suy ra tứ giác AEOF nội tiếp
b) Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEOF
Ta có: OE = OF, suy ra EAO FAO = (góc chắn các cung
bằng nhau) Do đó AO là tia phân giác của góc EAF.
Bài 3 Cho tam giác ABC cân tại A có 2
3
AB = BC và đường cao AE Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp
xúc với AC tại F
a) Chứng minh rằng tứ giác OECF nội tiếp và BF là tiếp
tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó
b) Gọi M là giao điểm thứ hai của BF với đường tròn (O)
Chứng minh rằng tứ giác BMOC nội tiếp
Hướng dẫn
a) Đặt BC = 6a Ta có BE = CE = CF = 3a, AB = AC = 4a
Suy ra AF = AC – CF = a Vì OE CE⊥ và OF CF⊥ nên
tứ giác OECF nội tiếp
Kẻ OF BC H BC⊥ ( ∈ ) thì FH//AE Sử dụng định lí
4
CH CF
CE CA= =
F H
C
B
O A
E
H
M
F
O
E
A
CH = CE = a ⇒BH BC HC= − = a
Áp dụng định lý Pythagore cho các tam giác vuông BHF và CHF, ta có:
2 2 2 2 2
2 2 2
BF BH FH FC CE
Từ (1) và (2) suy ra BF2 = BE.BC Theo mệnh đề 4 suy ra BF
là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác OECF b) Theo câu a) ta có OFB OCF OCB = = Lại có
OFB OMF= nên OCB OMF = Từ đó suy ra tứ giác BMOC nội tiếp
Bài 4 Cho đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ đường tròn tâm A cắt đường tròn (O) tại C và D Kẻ dây cung BN của đường tròn (O) cắt đường tròn (A) tại điểm E Chứng minh rằng NE2 = NC.ND
Hướng dẫn
Gọi F là giao điểm thứ hai của BN và đường tròn (A) Do
AN EF⊥ nên N là trung điểm của FE Gọi M là giao điểm thứ hai của ND với đường tròn (A)
Dễ thấy BC BD = , suy ra CNB BND MNF = =
Do đó ANC ANM= , suy ra C và M đối xứng nhau qua đường AN nên NC = NM
Từ đó ta có NC.ND = NM.ND = NE.NF (theo mệnh đề 1) Vậy NC.ND = NE2 (đpcm)
M
E F
D
C
O
N
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗
Trang 3
Bài 5 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Điểm C
thuộc bán kính OA Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt
nửa đường tròn tại D Đường tròn tâm I tiếp xúc với các
đoạn thẳng CA, CD Gọi E là tiếp điểm của AC với nửa
đường tròn (I) Chứng minh rằng BD = BE
Hướng dẫn
Vì AB là đường kính nên ∆ADBvuông tại D
Suy ra BD2 =BC BA ( )1
Gọi K, H lần lượt là tiếp điểm của đường tròn (I) với
đường tròn (O) và CD Các tam giác cân IKH và OKB có
KOB KOH= (đồng vị) nên IKH OKB = Suy ra K, H, B
thẳng hàng Theo mệnh đề 3, ta có BE2 = BH BK (2)
Tứ giác AKHC nội tiếp Theo mệnh đề 1 ta có:
BH.BK = BC.BA (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra BD = BE
K
E
D
O
1 Cho điểm C thuộc đường tròn có đường kính AB, E thuộc nửa đường tròn sao cho HC là ta phân giác góc DHE Chứng minh rằng HC2 = HD.HE
2 Từ điểm A ở ngoài đường tròn tâm O, vẽ các tiếp tuyến
AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm) Gọi H là giao điểm của OA và BC Kẻ dây cung EF bất kì qua H
Chứng minh rằng AO là tia phân giác của góc EAF
3 Cho hình vuông ABCD có cạnh dài 2cm Tính bán kính của đường tròn đi qua A và B, biết rằng tiếp tuyến từ D đến đường tròn bằng 4cm
4 Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;r) tiếp xúc ngoài nhau tại D Từ điểm A trên đường tròn (O) kẻ tiếp tuyến AA’ với đường tròn (O’) Tính độ dài AA’ theo AD, R, r
5 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM, phân giác AD
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt AB, AC theo thứ
tự ở E và F Chứng minh rằng BE = CF
❗ liên hệ tài liệu word toán SĐT (Zalo): 039.373.2038 ❗