Bo de thi hoc sinh gioi mon toan lop 9 tinh thanh hoa

--- Hết --- Chú ý: - Các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa, điểm thành phần giám khảo tự phân chia trên cơ sở tham khảo điểm thành phần của đáp án... Chứng minh CH song song với

Tailieumontoan.com



Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

MÔN TOÁN LỚP 9 TỈNH THANH HÓA

(Liệu hệ tài liệu word môn toán SĐT (zalo) : 039.373.2038

Tài liệu sưu tầm, ngày 10 tháng 10 năm 2022

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2022 - 2023 MÔN THI: TOÁN - THCS

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Rút gọn biều thức P và tìm các giá trị của x để biểu thức P có giá trị là số tự nhiên

2 Cho các số thực , ,a b c thỏa mãn đồng thời 2 4 2 4 2 4

2 Cho a b , là hai số nguyên thỏa mãn a khác b và ab a( +b) chia hết cho a2 +ab+b Ch2 ứng minh rằng a− >b 2 ab

Câu IV (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Đường tròn tâm I đường kính

BC cắt các cạnh AB và AC lần lượt ở M và N Các tia BN và CM cắt nhau tại H Gọi K là giao điềm của IH với MN Qua I kẻ đường thẳng song song với MN cắt các đường thẳng CM và BN lần

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NĂM HỌC: 2022-2023 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: TOÁN – THCS

x P

x x , vì x≥0 nên 0 5 5

1

< ≤+

4 3 0 (1) 1

hoặc 4 3 2 2

1+ + + + =

2 3 0

⇔q − q− = , mà q nguyên tố, suy ra q=3, từ đó tìm được p=11;m=1

0,5

Vậy ta có bộ ba số nguyên thoả mãn yêu cầu bài toán là: (m p q, , ) (= 1;11;3) 0,25

2 Cho a b , là hai số nguyên thỏa mãn a khác b và ab a( +b) chia hết cho

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Đường

tròn tâm I đường kínhBC cắt các cạnh AB và AC lần lượt ở M và N Các

tia BN và CM cắt nhau tại H Gọi K là giao điềm của IH với MN Qua I

kẻ đường thẳng song song với MN cắt các đường thẳng CM và BN lần lượt

ở E và Q

6,0

1 Chứng minh ∆ANM đồng dạng với ∆ABC và  BQI =ECI

Vì ∆ANM ∼ ∆ABC⇒  ANM = ABC

Mà ANM +MNB   90= ABC+MCB=  (Do BN ⊥ AC CM; ⊥ AB)⇒MNB =MCB 0,5

Trên cạnh EM lấy P sao cho IP= IE P( ≠ E)⇒ ∆IPE cân tại I ⇒ IPC=IEP

Mà  (2IEP= HMN góc so le trong, MN EQ ) ⇒  HMN =IPE hay  HMN =IPC

Lại có:  ICP=HNM ⇒ ∆HMN ∼ ∆IPC g g( )

0,5

P D

Q

E

K H

N M

I

O

C A

B

Cho ba số , ,a b c≥1thỏa mãn 16abc+4(ab+bc+ca)=81 24+ (a+ +b c)

Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức

- Hết - Chú ý:

- Các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa, điểm thành phần giám khảo tự phân chia trên cơ sở tham khảo điểm thành phần của đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2021 - 2022 MÔN THI: TOÁN - THCS Ngày thi: 26/12/2021

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

2

4 2

2

26

1

x x

Câu III (4,0 điểm)

1 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( , )a b thỏa mãn phương trình

Câu IV (6,0 điểm)

Cho nửa đường tròn (O; R ) đường kính AB và C là điểm thay đổi trên nửa đường tròn đó (

C khác A và B ) Trên cùng m ột nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn vẽ các tia tiếp tuyến

Ax và By Ti ếp tuyến tại C của nửa đường tròn cắt các tia Ax , By theo thứ tự tại D , E Gọi I

là giao điểm của AE và BD , CI cắt AB tại H

1 Chứng minh CH song song với BE và I là trung điểm của đoạn thẳng CH

2 Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB tại K Chứng minh rằng

KA KB CH CO =

3 Qua C v ẽ đường thẳng song song với AB cắt tia By tại F Gọi M là giao điểm của

AF và BC Xá c định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn (O; R) sao cho tam giác

ABM có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó theo R

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NĂM HỌC: 2021-2022 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: TOÁN – THCS

y y

−

−Vậy với x≥0;y>0;x≠4 ;y x≠1 thì x.

P y

Với x≤ −1 3, phương trình đã cho tương đương với:

2 2

Do đó phương trình (*) vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x= − 1

0,5

2 Giải hệ phương trình

2 2

2

4 2

2

26

1

x x

u v uv

x y y

xy x y a

Cho n ửa đường tròn (O; R ) đường kính AB và C là điểm thay đổi trên

nửa đường tròn đó (C khác A và B ) Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ

AB ch ứa nửa đường tròn vẽ các tia tiếp tuyến Ax và By Tiếp tuyến tại C

của nửa đường tròn cắt các tia Ax , By theo thứ tự tại D , E Gọi I là giao

điểm của AE và BD , CI cắt AB tại H

Từ ( )1 và ( )2 suy ra: DC DI CI/ /BE

CE = IB ⇒ (Định lí Talét đảo) hay CH / /BE 0,5

Xét tam giác ABD có IH / /AD IH BI (3)

AD BD

⇒ = (Hệ quả của định lí Talét)

Xét tam giác BDE có IC/ / BE IC CD IC BE CE BI (4)

Gọi ,P Q lần lượt là tiếp điểm của CA CB v, ới đường tròn nội tiếp ABC∆

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

3 Qua C v ẽ đường thẳng song song với AB cắt tia By tại F Gọi M là

giao điểm của AF và BC Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường

tròn (O; R) sao cho tam giác ABM có di ện tích lớn nhất Tính diện tích

- Hết - Chú ý:

- Các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa, điểm thành phần giám khảo tự phân chia trên cơ sở tham khảo điểm thành phần của đáp án

+ thì M ≥3, bất đẳng thức được chứng minh (1) Đẳng thức xảy khi và chỉ khi 2 2 1 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2020 - 2021 MÔN THI: TOÁN - THCS Ngày thi: 16/12/2020

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề



Câu 3 (4 ,0 điểm)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( , )x y thỏa mãn phương trình 2 2

2x x =9y −12y+19 b) Cho x, y là hai số nguyên dương thỏa mãn 2 2

Cho đường tròn ( ; )I r có bán kính IE IF, vuông góc với nhau Kè hai tiếp tuyến với đường tròn

( )I tại E và F, cắt nhau tại A Trên tia đối của tia EA lấy điểm B sao cho EB>r, qua B kẻ tiếp tuyến thứ hai cùa đường tròn ( ),I D là tiếp điểm, BD cắt AF tại C Gọi K là giao điểm của

AI và FD

a) Chứng minh rằng hai tam giác IAB và FAK đồng dạng

b) Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt FD tại P Gọi M là trung điểm AB, M I cắt

AC tại Q Chứng minh rằng tam giác APQ là tam giác cân

c) Xác định vị trí của điểm B đề chu vi tam giác AMQ đạt giá trị nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất

- HẾT -

Họ và tên thí sinh:………SBD………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NĂM HỌC: 2021-2022 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: TOÁN – THCS

2a +2b +2c +ab bc+ +ca=9 0,5

+ = ⇔ − + = ⇔ − − = ⇔  =

x

x y y

Nếu trong hai sô x , y có một số chia hết cho 2

Do vai trò x y , như nhau, không mất tính tổng quát giả sử : 2x ⇒xy: 2

Ta có: x2 +y2 +58 :xy⇒ x2 +y2 +58 : 2 mà x: 2, 58 : 2⇒ y2 : 2⇒ y2⇒xy: 4

2 2

58 : 4

⇒ x +y + vô lí vì x: 4,y4 do x: 2,y2 mà 58 không chia hết cho 4

Vì vây cả x, y đều không chia hết cho 2

Cho đường tròn ( ; )I r có bán kính IE IF, vuông góc với nhau Kè hai tiếp tuyến

với đường tròn ( )I tại E và F, cắt nhau tại A Trên tia đối của tia EA lấy điểm

B sao cho EB>r, qua B kẻ tiếp tuyến thứ hai cùa đường tròn ( ),I D là tiếp

điểm, BD cắt AF tại C Gọi K là giao điểm của AI và FD

6,0

1 Chứng minh rằng hai tam giác IAB và FAK đồng dạng 2,0

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: CD=CF ⇒ ∆CDF cân tại C

Tứ giác AEIF có ba góc vuông nên là hình chữ nhật > Hình chữ nhật AEIF có IE=

IF nên là hình vuông Suy ra IAB  45= FAK =  0,5

Từ (1) và (2) suy ra :  ABI = AFK kết hợp với  IAB= AFK ⇒ ∆IAB∼ ∆FAK g g ( ) 0,5

2 Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt FD tại P Gọi M là trung

điểm AB, M I cắt AC tại Q Chứng minh rằng tam giác APQ là tam giác

cân

2,0

Vì ⇒ ∆IAB∼ ∆FAK nên IA = FA ⇒ IA = EA

AB AK AB AK ( vì FA=EA) Đẳng thức này kết hợp với điều kiện IAE chung, suy ra: ⇒ ∆AKB∼ ∆AEI (c.g.c) 0,5

∆AEI vuông cân tại E nên ∆AKB vuông tại K Suy ra đường trung tuyến KM

- Hết - Chú ý:

- Các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa, điểm thành phần giám khảo tự phân chia trên cơ sở tham khảo điểm thành phần của đáp án

Th ời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 4(6,0đ) Cho đường tròn (O; R) và một điểm A cố định ở bên ngoài đường tròn, OA = 2R

Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) ( B, C là các tiếp điểm) Đường thẳng OA

cắt dây BC tại I Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ BC Tiếp tuyến tại M của đường tròn

(O) c ắt AB, AC lần lượt ở E, F Dây BC cắt OE, OF lần lượt tại các điểm P, Q

Câu 5(2,0đ) Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn x+ − + = y z 1 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

3 3

2

x y P

x yz y xz z xy

=

H ẾT

+

=

Vậy ( )2

1( 0, 4)

2 Cho a= 37+ 50 ,b= 37− 50 Không dùng máy tính, chứng minh

r ằng các biểu thức M = + a b và N =a7+b7 có giá tr ị đều là số chẵn

2,0

- Chứng minh M là số chẵn

( )3 3

S = + + − r ồi xây dựng công thức S n+1=2S n+S n−1để chỉ ra S 7

là số chẵn hoặc có thể khai triển ( ) (7 )7

4

Suy ra:A>0 Trường hợp 2 không xảy ra

Vậy hệ có nghiệm duy nhất: x= =y 0

(x−y) (4 x+y)+6= ⇔ =0 x y hoặc 4(x+y)+ = :6 0

Cộng theo vế các bất phương trình (1) và (2) ta được : x+ ≥y 0, suy ra trường

hợp4(x+y)+ = không x6 0 ảy ra

Trường hợpx= y , thay vào (3) ta được:x= =y 0

Vậy hệ có nghiệm duy nhất: x= =y 0

a b a

2

x y xy

a= ⇒ =b loại vì không thỏa mãn b∈Z

Vậy nghiệm nguyên (x, y) của phương trình đã cho là: ( ) ( )0; 2 , 2; 0

x y

5

*) Nếu

1 521

1 52

Vậy nghiệm nguyên (x, y) của phương trình đã cho là: ( ) ( )0; 2 , 2; 0

2 Cho n∈N* Chứng minh rằng nếu 2n + 1 và 3n + 1 là các số chính phương

Nếu n chia cho 5 dư 1 thì 2n + 1 chia cho 5 dư 3 ( vô lí )

Nếu n chia cho 5 dư 2 thì 3n + 1 chia cho 5 dư 2 ( vô lí )

Nếu n chia cho 5 dư 3 thì 2n + 1 chia cho 5 dư 2 ( vô lí )

Nếu n chia cho 5 dư 4 thì 3n + 1 chia cho 5 dư 3 ( vô lí )

Cho đường tròn (O; R) và một điểm A cố định ở bên ngoài đường tròn,

OA = 2R T ừ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) ( B, C là các tiếp

điểm) Đường thẳng OA cắt dây BC tại I Gọi M là điểm di động trên cung nhỏ

BC Ti ếp tuyến tại M của đường tròn (O) cắt AB, AC lần lượt ở E, F Dây BC cắt

OE, OF l ần lượt tại các điểm P, Q

6

1 Ch ứng minh  0

60

Từ tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, suy ra : OI ⊥BC

Từ tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau suy ra OF, OE lần lượt là các tia phân giác của

các góc COM và MOB Suy

ra:

7

 

KE=HF=OH =OK ⇔FM =EM ⇔MC=MB ⇔M là điểm chính giữa cung BC

Vậy để tam giác OPQ có diện tích nhỏ nhất thì M là điểm chính giữa cung nhỏ BC Giá

40

271

y y

< ≤

0,5

8

x y

x y z

2 2

2 3

S Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

ĐỀ CHÍNH THỨC

K Ỳ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2017 - 2018 MÔN THI: TOÁN - THCS Ngày thi: 10/03/2018

Th ời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên

2 Tính giá trị của biểu thức 4( 1) 2018 2 2 2017 2 1

(m−2)x −2(m−1)x+ = có hai nghiệm tương ứng là độ dài hai m 0

cạnh góc vuông của một tam giác vuông Tìm m để độ dài đường cao ứng với cạnh huyền của

tam giác vuông đó bằng 2

Câu III (4,0 điểm)

1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 2 2

y − y + = y − x + y − y + x

2 Cho ,a b là các số nguyên dương thỏa mãn 2 2

p=a + là s b ố nguyên tố và p− chia 5

hết cho 8 Giả sử x y, là các số nguyên thỏa mãn 2 2

ax −by chia hết cho p Chứng minh rằng cả hai số x y, chia hết cho p

Câu IV (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ( ), ( ), ( ) O I Ia theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp, đường tròn

nội tiếp và đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A của tam giác với các tâm tương ứng là , ,O I I a

Gọi D là tiếp điểm của ( )I v ới BC , P là điểm chính giữa cung BAC của ( )O , PI c a ắt ( )O tại

điểm K Gọi M là giao điểm của PO và BC N là , điểm đối xứng với Pqua O

1 Chứng minh IBI Ca là tứ giác nội tiếp

2 Chứng minh NI là ti a ếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác I MP a

3 Chứng minh  DAI =KAI a

Câu V (2,0 điểm)

Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn x≥z Chứng minh rằng

2 2

.2

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

(G ồm có 06 trang)

S Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NĂM HỌC: 2017-2018 HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: TOÁN – THCS

Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn

2 Tính giá tr ị của biểu thức ( ) 20182 2017

Chú ý 2:N ếu học sinh không thực hiện biến đổi mà dùng máy tính

c ầm tay để thay số và tìm được kết quả đúng thì chỉ cho 0,5 đ

2,0

(m−2)x −2(m−1)x+ = ⇔m 0 (x−1) (m−2)x m− =0 có hai nghi ệm khi và chỉ khi m≠2 Khi đó 2 nghiệm của phương trình là

0,50

2 Gi ải hệ phương trình

( ) (8 8 4 13) 5 0 (1)1

Nhận thấy (y− +2) (x− = + −1) x y 3, nên ta phải phân tích số 56 thành

tích của ba số nguyên mà tổng hai số đầu bằng số còn lại 0,25 Như vậy ta có

( ) ( ) ( ) ( )

) 56 1.7.8 ; 2;9 ) 56 7.1.8 ; 8;3

2 Cho a b, là các s ố nguyên dương thỏa mãn 2 2

p=a +b là s ố nguyên t ố và p−5 chia h ết cho 8 Giả sử x y, là các s ố nguyên

N ếu trong hai sốx y, có m ột số chia hết cho p thì t ừ (*) suy ra số thứ

N ếu cả hai sốx y, đều không chia hết cho p thì theo định lí Fecma ta

Cho tam giácABC có ( ), ( ), ( )O I I a theo th ứ tự là các đường tròn

ngo ại tiếp, đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp đối diện

đỉnhAc ủa tam giác với các tâm tương ứng là O I I , , a G ọiD là ti ếp

điểm của ( )I v ớiBC, P là điểm chính giữa cung BAC c ủa ( )O , PIa

c ắt ( )O t ại điểmK G ọiM là giao điểm của PO và BC N, là điểm

đối xứng của Pqua O

P

D F

A

1 Ch ứng minh: IBI Ca là t ứ giác nội tiếp 2,0

I là tâm đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A và I là tâm đường tròn 1,0

n ội tiếp tam giác ABC , từ đó suy raBI a ⊥BI CI, a ⊥CI

( Phân giác trong và phân giác ngoài cùng một góc thì vuông góc

Nhận thấy bốn điểm A I N I, , , a thẳng hàng (vì cùng thuộc tia phân

giác c ủa BAC)

DoNP là đường kính của ( )O nên  0

Từ (1) và (2) ta cóBIN=NBI nên tam giác NIB cân tại N

Từ đó suy ra N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácIBC, cũng

chính là tâm c ủa đường tròn ngoại tiếp tứ giác

a

Vậy NI a là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác I MP a 0,25

3 Ch ứng minh:  DAI =KAI a 2,0

GọiF là tiếp điểm của đường tròn (I) với AB

Xét hai tam giác ∆MNB và ∆FIA có:  1 

2

NBM = BAC=IAF MNB

NM = mà: ID = IF, NI = NB nên

IA

NI ID

Ta có:

MN // ID nên ∠MNI a =DIA suy ra∆NMI ađồng dạng

v ới∆IDA⇒⇒∠NI a M =∠DAI (1)

2 5

.2

- H ết -

Chú ý:

- Các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa, điểm thành phần giám khảo tự phân

chia trên cơ sở tham khảo điểm thành phần của đáp án

- Đối với Câu IV (Hình học): Không vẽ hình, hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm

- Các trường hợp khác tổ chấm thống nhất phương án chấm

Ta có

2

2 2

212

1 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

K Ỳ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2016-2017 Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

1 Cho p là số nguyên tố lớn hơn 5 Chứng minh p2016 – 1 chia hết cho 60

2 Cho x, y, z là các số dương khác nhau đôi một và 3 3 3

1) Chứng minh tứ giác BONC nội tiếp và tam giác ANB cân

2) Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại I, BI cắt DM tại K Chứng minh K là trung điểm của DM

3) Trên đoạn thẳng BD lấy điểm P sao cho IP // DN, AP cắt BC tại Q Gọi G là trung điểm của DK Chứng minh ba điểm Q, I, G thẳng hàng

Bài 5 (2,0 điểm) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn : 0≤x y z, , ≤2 và x + y + z = 5 Tìm giá tr ị nhỏ nhất của biểu thức : A= x+ y+ z

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay

Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2: