Bồi dưỡng năng lực giải bài toán giới hạn cho học sinh thông qua việc phân tích các sai lầm

Bồi dưỡng năng lực giải bài toán giới hạn cho học sinh thông qua việc phân tích các sai lầm

lời cảm ơn !

Trước tiên cho em gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới Ban giám hiệu nhà trường, các Thầy Cô giáo trong tổ toán cùng các em học sinh lớp 11 trường THPT Lí THƯỜNG KIỆT đã giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho emhoàn thành tốt kì thực tập vừa qua

Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới giáo viên hướng dẫn bộ môn, cô giáo NGễ THỊ NGỌC MAI - người đã tận tình giúp đỡ, tạo điều kiện hướng dẫn em hoàn thành tốt đợt thực tập vừa qua và đề tài nghiên cứu khoa học này

Mục lục

Trang Phần mở đầu 3

1 Lý do chọn đề tài 3

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu 3

3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 4

4 Phương pháp nghiên cứu chính 4

5 Cấu trúc của đề tài nghiên cứu khoa học 4

Phần nội dung 5

Chương I: Cơ sở lý luận 5

Chương II: Những sai lầm mà học sinh hay mắc phải 7

Chương III: Giải pháp 17….17 Phần kết luận ….17 20

Tài liệu tham khảo 21

phần mở đầu

1 lý do chọn đề tài

Môn toán là môn quan trọng trong trờng phổ thông, có tiềm năng to lớn trong việc phát triển năng lực cho học sinh Đồng thời nó cũng rèn luyện

trí thông minh, sự sáng tạo, đức tính cần cù kiên nhẫn, cẩn thận của ngời lao

Trong đợt thực tập vừa qua em đợc trực tiếp giảng dạy lớp 11B7 và kiếntập ở một số lớp khác, em thấy vẫn còn một số em học sinh vẫn cha hiểu

đúng yêu cầu, mục đích của đề bài cũng như bản chất của các định nghĩa,

định lý dẫn tới nhiều sai lầm đáng tiếc và hạn chế sự tìm tòi các cách giảikhác nhau, các cách giải hay trong một bài toán Chính vì vậy em mạnh dạn

trình bày đề tài nghiên cứu khoa học: “BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI

BÀI TOÁN GIỚI HẠN CHO HỌC SINH THễNG QUA VIỆC PHÂN TÍCH CÁC SAI LẦM ” Với nội dung đa ra một số sai lầm của học sinh,

phân tích sai lầm và đa ra lời giải đúng, đồng thời đa ra một số phương phápgiảng dạy của giáo viên để học sinh tránh mắc phải những sai lầm đó

- Giúp học sinh tránh những trờng hợp sai lầm đáng tiếc xảy ra nhưkhông hiểu đề bài hoặc hiểu sai bản chất

- Giúp giáo viên đa ra phơng pháp giảng dạy phù hợp để học sinhtránh mắc phải những sai lầm đáng tiếc

3 Đối tợng và phạm vi nghiên cứu

- Những kinh nghiệm giảng dạy

5 Cấu trúc của đề tài nghiên cứu khoa học

Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục, tài liệu tham khảo, đề tài nghiêncứu khoa học bao gồm 3 chương:

Chương I : Cơ Sở lý luận

Chương II : Những sai lầm mà học sinh thờng mắc phải

Chương III : Giải pháp

Phần nội dung

CHƯƠNG I: cơ sở lý luận

1 Về hình thức

Người ta thường xem việc đa khái niệm giới hạn đánh dấu sự bắt đầucủa môn giải tích Tuy nhiên có thể nói các yếu tố của giải tích đã xuất hiệnrất sớm trong chơng trình toán phổ thông Đặc biệt, tư tưởng “chuyển quagiới hạn” và kiểu tư duy “vô hạn và liên tục” đã được vận dụng định nghĩanhư: tính độ dài đường tròn, giới hạn của chu vi đa giác đều nội tiếp,

Một cách tổng quát, ngoài việc vận dụng các phép toán và quy tắc của

đại số, việc nghiên cứu một cách khoa học và đầy đủ các vấn đề liên quan tới

sự vô hạn đòi hỏi phải sử dụng tới công cụ mới Đó là các khái niệm giới hạn

và liên tục của giải tích

2 Về giới hạn của dãy số

Chương trình yêu cầu:

- Không dùng ngôn ngữ  ,  để tính định nghĩa giới hạn của dãy số

- Thông qua các ví dụ cụ thể để hình thành khái niệm giới hạn 0, từ đódẫn tới giới hạn khác

- Sách giáo khoa không dùng kí hiệu  chung chung, mà phân biệt một

cách rõ ràng + và -, đồng thời xem  nh là giới hạn của dãy số

- Sách giáo khoa đa vào một số giới hạn đặc biệt, định lý các phép toáncủa giới hạn hữu hạn, định lí về giới hạn vô cực để học sinh áp dụng tính giớihạn của dãy số Đòi hỏi học sinh phải nắm vững điều kiện để áp dụng địnhlý

3 Về giới hạn của hàm số :

- Chương trình đòi hỏi định nghĩa thông qua khái niệm giới hạn của dãy

số Điều kiện này cho phép tránh đợc những khó khăn của học sinh khi sửdụng các định nghĩa theo ngôn ngữ  , 

- Cũng như phần giới hạn của dãy số, sách giáo khoa vào hai khái niệm

phân biệt một cách rõ ràng + và -

- Sách giáo khoa đa vào định lí về giới hạn hữu hạn, định lí về giới hạnmột bên, để học sinh tìm giới hạn của hàm số Học sinh cha hiểu rõ sẽ vậndụng tuỳ tiện định lí về giới hạn của hàm số

- Chương trình yêu cầu không vào mục chuyên biệt về giới hạn dạng vô

định như trong SGK trước đây haySGK nâng cao, mà chỉ đa vào một vài giớihạn đặc biệt và một vài quy tắc tính giới hạn vô cực

(quy tắc tìm giới hạn tích, quy tắc tìm giới hạn thơng) dới dạng các bảng

4 Đối với hàm số liên tục

- Sách giáo khoa đa vào định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm thông quahoạt động 1 Sau đó đa định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng, trên một

đoạn Đặc biệt đa vào đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng, trên một

đoạn

- Chương trình SGK đa vào 3 định lí và các định lí này được thừa nhận,không phải chứng minh

+ Định lí 1, định lí 2 để xét tính liên tục của hàm số trên TXĐ

+ Định lí 3 để chứng minh phơng trình f(x) = 0 có ít nhất k nghiệm hoặc knghiệm trên khoảng (a;b)

CHƯƠNG II: những sai lầm

mà học sinh hay mắc phải

1 Giới hạn của dãy số

2

1 1

2

1 1

2

1 lim 1 1

= 0 + 0 + 0 = 0

- Phân tích sai lầm :

Định lý về các phép toán chỉ phát biểu cho hữu hạn các số hạng Lời giải trên đã áp dụng cho giới hạn của một tổng số vô hạn các số hạng nên dẫn tới sai lầm

- Lời giải đúng:

Ta có :

n k n k n n

1 1

1

2 2

n k n n

1 lim

Theo nguyên lý kẹp giữa ta có :

2 1

Ví dụ 2:Tính giới hạn :

lim 2

2 1

Khi đó :

lim 2

21

12

1lim

n n

n n n

n n n

Vì lim n 3 và =lim 1 0

1 1

x

x x

12

1 2

Vì

2

1 2

- Lời giải đúng :

3 5

1 2

1 2 5

3

1 2

lim

lim

0 0

x x x

x x

VÝ dô 2: TÝnh giíi h¹n cña hµm sè sau:

2 ( 2 )2

5 3

7 1 2 1

7 2 1

7 2

lim

lim lim

1

1 1

x

x

x x

- Ph©n tÝch sai lÇm :

Häc sinh kh«ng hiÓu râ b¶n chÊt cña giíi h¹n bªn tr¸i, giíi h¹n bªn ph¶i MÆc dï ®©y lµ sai lÇm Ýt häc sinh m¾c ph¶i nhng trªn thùc tÕ vÉn cã häcsinh m¾c ph¶i

lim

1 x x

x

x

x x

1 1 1

x

x x

1 1

|

| 1

1

2

lim lim

x x x

x x x

x x

x

=

1 1

x x

Học sinh sai ở chỗ khi thay x = 1 vào biểu thức rồi mà vẫn viết giới

hạn khi x 1 Về kiến thức học sinh viết nh vậy là không sai , 0

lim

x x c c

, nhưng cách viết như vậy thể hiện học sinh đã không hiểu rõ bản chất của việc tính giới hạn Đây là một lỗi nhỏ về hình thức nhng rất nhiều học sinh

đã mắc phải sai lầm này

Xét tính liên tục của hàm số tại x = 1

ở đây học sinh đã mắc các sai lầm sau đây:

+) x = 1TXĐ của g(x) nên có thể kết luận đựơc ngay g(x) gián đoạn tại

gián đoạn tại x = 1

2

2

x

x ax x

f

(a là tham số) Xét tính liên tục của hàm số tại x = 2

VËy hµm sè gi¸n ®o¹n t¹i x = 2.

4

2 2

x

2 2

Kh«ng tån t¹i limx f x

2

  hµm sè gi¸n ®o¹n t¹i x = 2

VÝ dô 3: XÐt tÝnh liªn tôc trªn R cña hµm sè:

x khi x

g x x x

khi x x

g(x) = 5 - x, đây là hàm đa thức nên liên tục trên R  g(x) liên tục trên   ; 2

Do đó hàm số liên tục trên R

- Phân tích sai lầm:

Học sinh lầm tưởng rằng nếu hàm số liên tục trên   ;a và a;  thì

hàm số liên tục trên R Điều này không đúng vì nếu f(x) liên tục trên   ;a

thì chỉ tồn tại lim

a

x f(x) = f(a), chưa chắc đã tồn tại lim

a x f(x) = f(a) Vì vậy chưa đủ điều kiện để hàm số liên tục tại x = a

1 ( 2

2

lim lim

lim

lim

2 2

2 2 2

x x x

x x x

g

x x

x x

lim

2 2

g

x x

Vậy

lim

2 2

g x

g

x x

Theo định lí 3, phơng trình có ít nhất một nghiệm thuộc 0;1

Vậy phương trình x3 + x – 1 = 0 luôn có nghiệm dương

- Phân tích sai lầm:

Theo định lí 3, để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phơng trình f(x) = 0

ta chứng minh hàm số liên tục trên đoạn a; b , nhưng lại kết luận phương trình có nghiệm trên khoảng (a; b) Nên rất nhiều học sinh kết luận phương trình f(x) = 0 có nghiệm trên a; b Lời giải trên là một ví dụ

Vậy phơng trình x3 + x – 1 = 0 luôn có nghiệm dơng

Ví dụ 5: Chứng minh rằng phương trình x5 - 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất 3nghiệm nằm trong khoảng (-2; 5)

(1) (2) 8 0 (1) 1

( 1) (1) 11 0 (2) 8

f

f f f

f f f

f f f

Mà f(x) là hàm đa thức nên nó liên tục trên R.

 f(x) liên tục trên các đoạn [0;1] , [1;2] , [-1;1]

Vậy phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên các khoảng:

(0;1) , (1;2) , (-1;1) và các khoảng này đều nằm trong (-2; 5)

Do đó phương trình x5 - 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng (-2; 5)

2 (

0 8 ) 2 ( ).

1 (

0 2 ) 1 ( ).

0 (

13 ) 3 (

8 2 (

1 ) 1 (

2 ) 0 (

f f

f f

f f

f f f f

Mà f(x) hàm đa thức nên nó liên tục trên R

 f(x) liên tục trên các đoạn [0;1] , [1;2] , [2;3]

Vậy phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên các khoảng:

(0; 1) , (1; 2), (2; 3) và các khoảng này đều nằm trong (-2; 5)

Do đó phương trình x5 - 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng (-2; 5)

CHƯƠNG III: GIảI PHáP

Để tránh mắc phải những sai lầm thì học sinh phải hiểu được bản chất các định nghĩa, định lí, hiểu rõ yêu cầu của đề bài toán Vì vậy trong quá trình giảng dạy giáo viên cần nhấn mạnh những ý trọng tâm của định nghĩa, khái niệm, nhấn mạnh điều kiện áp dụng của định lí.

1 GIớI HạN CủA DãY Số.

Khi dạy định lí về các phép toán của giới hạn hữu hạn, giáo viên cần nhấn

mạnh điều kiện áp dụng định lí:

- Giới hạn của từng dãy số phải hữu hạn

- Để áp dụng giới hạn của một thơng thì cần thêm điều kiện giới hạn của dãy số ở mẫu phải khác 0

- Phép tính giới hạn của một tổng hai dãy số có thể mở rộng cho nhiềudãy số, nhưng chỉ áp dụng cho hữu hạn các dãy số

2 Giới hạn của hàm số

a) Khi dạy định lí về các phép toán của giới hạn hữu hạn, giáo viên cần nhấn

mạnh điều kiện áp dụng định lí:

- Giới hạn của từng hàm số phải hữu hạn

- Để áp dụng giới hạn của một thương thì cần thêm điều kiện giới hạn của hàm số ở mẫu phải khác 0

b) Khi dạy định nghĩa giới hạn một bên:

- Giải thích cho học sinh các kí hiệu:

c) Khi dạy về giới hạn của hàm số tại vô cực:

- Nhấn mạnh một số giới hạn đặc biệt:

0

lim k x

c x

x k

,2lim

- Đặc biệt là các giới hạn này chỉ áp dụng khi x   Tuyệt nhiên không áp

dụng tính giới hạn của hàm số khi x x0 nào đó

- Lu ý học sinh khi đa biến số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn thức bậc hai phải để ý xem x   hay x   .

d) Khi dạy về giới hạn vô cực của hàm số.

Lu ý học sinh quy tắc để tính giới hạn vô cực chỉ có quy tắc tìm giới hạn của tích, tìm giới hạn của thơng Học sinh tuyệt đối không áp dụng công thức tính giới hạn tổng, hiệu của giới hạn hữu hạn vào tính giới hạn vô cực của hàm số

Nếu hàm số không thoả mãn 1 trong 3 điều kiện trên thì kết luận ngay hàm

số gián đoạn tại x0

- Chú ý học sinh ghi nhớ định nghĩa hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn, định lý 1, định lý 2, để xét tính liên tục của hàm số trên TXĐ của nó

- Để xét tính liên tục của hàm số trên TXĐ của các hàm cho bởi hai,

ba biểu thức ta phải xét tính liên tục tại những điểm mang dấu bằng

b) Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình trên một khoảng.

Khi dạy định lý 3,về sự tồn tại nghiện của phơng trình f x   0

cần lưu ý học sinh:

- Ta chứng minh hàm số liên tục trên đoạn a b; 

, nhng lại kết luậnphương trình có nghiệm trên khoảng a b; , nên hs phải để ý để tránh nhầm

lẫn giữa khoảng và đoạn.

- Nếu f a f b     0

thì có 2 khả năng xảy ra:

+ phương trình f x   0

không có nghiệm trên (a ;b) + phương trình f(x) = 0 có nghiệm trên (a; b) , trong trường hợp này taphải dựa vào Định lí 3, để chứng minh phơng trình có nghiệm trên

c d; a b; 

Để học sinh không bị lúng túng khi gặp bài toán chứng minhphương trình có ít nhất một nghiệm trên (a; b) mà f a f b    . 0

- Khi chứng minh phương trình f x   0

có ít nhất k nghiệm (hoặc knghiệm trên khoảng (a; b) ) ta phải chỉ ra có ít nhất k khoảng không giaonhau (nằm trong khoảng (a; b) ) và trên mỗi khoảng đó phương trình có ítnhất một nghiệm Bên cạnh đó, để học sinh tránh mắc phải các sai lầm, khigiảng dạy phần nào giáo viên phải đa ra sai lầm, phân tích sai lầm và đa ralời giải đúng

Phần kết luận

Với những kết quả nghiên cứu, học tập trong thời gian qua tôi tự nhậnthấy bản thân đã hình thành đợc một số kỹ năng: nghiên cứu áp dụng nhữngthành quả , khả năng truyền thụ kiến thức trong điều kiện thực tiễn giảngdạy Tuy bản thân đã cố gắng nghiên cứu, học tập cùng với sự hướng dẫn,chỉ bảo tận tình của Thầy Cô, sự giúp đỡ của bạn bè, nhưng do đây là lần đầutiếp cận với công tác nghiên cứu, giảng dạy trong điều kiện kinh nghiệm hạnchế nên không tránh khỏi thiếu sót tồn tại ở đây tôi mới chỉ đa ra một số sailầm trong rất nhiều sai lầm mà học sinh mắc phải khi học chơng IV: Giớihạn (Đại số và giải tích 11), cũng như chỉ đa ra được một số phơng phápgiảng dạy Nhưng tôi hy vọng sẽ góp một phần nào đó giúp học sinh tránhđược những sai sót khi giải toán Cụ thể giúp học sinh hiểu rõ mục đích của

đề bài, hiểu rõ đợc bản chất của định nghĩa, định lý, để vận dụng hợp lýtrong từng trường hợp, từng bài toán cụ thể và phát triển sự sáng tạo, thôngminh, cần cù để tìm ra lời giải của bài toán Đồng thời giúp các thầy cô giáolựa chọn đợc phơng pháp giảng dạy phù hợp để học sinh hiểu rõ bản chất các

định nghĩa, định lý, tránh mắc phải những sai lầm đáng tiếc

Tµi liÖu tham kh¶o

1 S¸ch gi¸o khoa §¹i sè vµ gi¶i tÝch 11- Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc.

2 S¸ch gi¸o viªn §¹i sè vµ gi¶i tÝch 11 - Nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc.

3 Nh÷ng sai lÇm khi gi¶i to¸n - TrÇn Phương

4 Sai lÇm phæ biÕn khi gi¶i to¸n

NguyÔn VÜnh CËn – Lª Thèng NhÊt – Phan Thanh Quan

NXBGD 1997

5 Gi¶i mét bµi to¸n nh thÕ nµo.

G polya Hå ThuÇn Pháng – Bïi T êng dÞch NXBGD 1997