b Với điều kiện vừa tìm, rút gọn biểu thức P.. b Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm với mọi m.. Gọi C là trung điểm của OB, O’ là tâm đường tròn đường kính AC.. b Khi d quay quanh A, điể
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH PHÚ YÊN
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013
Môn thi: TOÁN (chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
P
a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức P
b) Với điều kiện vừa tìm, rút gọn biểu thức P
c) Tìm các số nguyên x để P có giá trị nguyên
Câu 2.(3,0 điểm)
a) Cho x, y, z là 3 số thực thỏa: x+ y+ z= 0 Chứng minh rằng 3 3 3
3
x + y + z = xyz b) Giải phương trình: (1005- x)3+(1007- x)3+(2 - 2012x )3= 0
Câu 3.(5,0 điểm) Cho hệ phương trình: 2 2 2 2 1
x y y x m m
ïï í
-ïî
, với m là tham số
a) Giải hệ phương trình với m =2
b) Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm với mọi m
Câu 4.(4,0 điểm) Cho tam giác đều ABC cạnh a Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy
các điểm D, E, F sao cho D không trùng với A, B và · 0
60
EDF =
a) Chứng minh rằng AF.BE = AD.DB
b) Chứng minh
2
4
a
AF BE Điểm D ở vị trí nào thì dấu đẳng thức xảy ra?
Câu 5.(3,0 điểm) Cho đường tròn (O;R), đường kính AB Gọi C là trung điểm của OB, O’
là tâm đường tròn đường kính AC Đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) tại D ( D A)
và cắt đường tròn (O’) tại K ( K A ) BK cắt CD tại H
a) Tính tỷ số HC
CD
b) Khi d quay quanh A, điểm H chạy trên đường nào?
-Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh:………
Chữ kí của giám thị 1:……… Chữ kí của giám thị 2:………
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TỈNH PHÚ YÊN
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013
Môn thi : TOÁN (chuyên)
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
(Gồm có 04 trang)
I- Hướng dẫn chung:
1- Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm
từng phần như hướng dẫn quy định
2- Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm
không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi
3- Điểm toàn bài thi không làm tròn số
II- Đáp án và thang điểm:
P
a) Tìm điều kiện xác định biểu thức P
P xác định
0
2 0
3 0
x
x x
ì ³ ïï
ïï - + ¹ ïï
Û í
ï - ¹ ïï
ïï - ¹ ïî
0
2 0
3 0
x x x
ì ³ ïï ïï
Û í - ¹ ïï
ïî
Û ³ ¹ ¹
Vậy với x³ 0,x¹ 4,x¹ 9 (*) thì biểu thức P xác định
1,50 đ
0,50 đ
0,50 đ 0,50 đ
b) Rút gọn P
P
3
x
x
-
1,50 đ
0,50 đ
0,50 đ
0,50 đ
c) Tìm các số nguyên x để P nguyên:
3
P
x
=
- Do đó, nếu
2 3
x nguyên thì P nguyên
2,00 đ
Trang 33
x nguyên x3 2 x 3 1; 2
Với x 3 1 x16;
Với x 3 1 x4;
Với x 3 2 x25;
Với x 3 2 x1
Kết hợp với điều kiện (*) suy ra x 1;16; 25
0,50 đ
0,50 đ
0,50 đ 0,50 đ
a) Chox+ y+ z= 0 Chứng minh rằng: x3+ y3+ z3= 3xyz
Vì x+ y+ z= 0 suy ra x+ y= - z Do đó:
( ) 3xy(x+y)+z
x + y + z = x+ y
= -( z)3- 3xy(-z)+z3= 3xyz (đpcm)
1,00 đ
0,50 đ
0,50 đ b) Giải phương trình: (1005- x)3+(1007- x)3+(2 - 2012x )3= 0
Đặt X = 1005- x Y; = 1007- x Z; = 2 - 2012x
Ta có: X + Y + Z = 0
Áp dụng câu a) suy ra: X3+ Y3+ Z3= 3XYZ
Phương trình đã cho trở thành:
1005 3(1005 )(1007 )(2 - 2012)=0 1006
1007
x
x
é = ê ê
ê
ê = ë
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm x = 1005, x = 1006, x = 1007
2,00 đ
0,50 đ 0,50 đ
0,50 đ 0,50 đ
3 Cho hệ phương trình: 2 2 2
2 1
x y y x m m
ïï í
-ïî
, với m là tham số 5,00 đ
a) Giải hệ phương trình với m =2
Với m = 2, hệ phương trình là:
5
x y y x
ï + = ïïî + = ïïî = ïî
Do đó, x, y là nghiệm của phương trình X2-5X +1= 0
Giải ra ra được 1 5 21, 2 5 21
Vậy hpt có hai nghiệm: 5 21 5; 21 , 5 21 5; 21
2,50 đ
1,00 đ 0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ
b) Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm với mọi m
Hệ đã cho viết lại là: 2 1
ïï í
-ïî (1) Nếu 1
2
m = - thì hệ trở thành:
2,50 đ
0,50 đ
Trang 40
x y
Hệ có vô số nghiệm
(2) Nếu 1
2
m ¹ - thì hệ trở thành: 2 1
1
ïï í
-ïî
Nên x,y là nghiệm phương trình: X2- (2m+1)X + m- 1= 0(*)
P/t (*) có D=(2m+1)2- 4(m- 1)= 4m2+ 5> 0,"m nên luôn có nghiệm
Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm với mọi m
0,50 đ
0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ
a) Chứng minh AF.BE = AD.DB
Ta có:
0
0
180
120 (1)
AFD FDA A
AFD FDA
0
0
180
120 (2)
EDB FDA EDF
EDB FDA
Từ (1) và (2) suy ra: ·AFD= EDB·
Hơn nữa µA= µB= 600
Suy raDAFD @DBDE
Þ = Û AF BE = AD BD (đpcm)
2,00 đ
0,50 đ
0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ
b) Chứng minh
2
4
a
AF BE
Đặt x1 AD x; 2 DB x x( ,1 2 0)và x x1 2 AD DB b b( 0)
Ta có:x1x2 ABa (không đổi)
Nên x , x là nghiệm của phương trình bậc hai: 1 2 x2ax b (*) 0
Do x , x luôn tồn tại nên phương trình (*) luôn có nghiệm 1 2
Hay:
2 2
4
a
Vậy
2
4
a
AF BE AD BD
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x1 2
2
a x
, tức D là trung điểm AB
2,00 đ
0,50 đ
0,50 đ 0,50 đ 0,50 đ
C
D F
E
Trang 5a)Tính tỷ sốHC
CD :
Ta có:CK AD BD, ADCK/ /BD
Áp dụng Talet:
3 4
HD BD AB
3 4 7
CD CHHD
Vậy tỷ số 3
7
HC
CD
1,50 đ
0,50 đ
0,50 đ
0,50 đ
b) Điểm H chạy trên đường nào khi d quay quanh A?
Qua H kẻ đường thẳng song song với OD cắt OC tại I Khi đó:
IH CH
OD CD (không đổi)
R
IC OC ROI R
Do OC cố định nên I cố định Vì thế, khi d quay quanh A thì H chạy trên
đường tròn tâm I (I nằm trên đoạn OC, cách O một khoảng 2
7
OI R), bán
kính 3
7R
1,50 đ
0,50 đ 0,50 đ
0,50 đ
O
D
C O'
K
H
I