KỸ NĂNG GIẢI VÀ KHAI THÁC TOÁN VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách 1 là tìm hai điểm chung lần lượt nằm trên hai mặt phẳng đó bằng cách dựa vào hình vẽ. Nếu hình vẽ chỉ có một điểm chung thì ta chuyển sang cách hai ( dựa vào các định lý và hệ quả trên)

Cao Lãnh, 11/2015

CHỦ ĐIỂM 6: KỸ NĂNG GIẢI VÀ KHAI THÁC

TOÁN VỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

I Các dạng toán về quan hệ song song

1.1 Dang 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (  )

* Nhận xét: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách 1 là

tìm hai điểm chung lần lượt nằm trên hai mặt phẳng đó bằng cách dựa vào hình

vẽ Nếu hình vẽ chỉ có một điểm chung thì ta chuyển sang cách hai ( dựa vào cácđịnh lý và hệ quả trên)

 Áp dụng:

Bài 1: Trong mp(α) cho tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E, AC và

BD cắt nhau tại F Gọi S là một điểm nằm ngoài mp(α) Tìm giao tuyến của các

mp sau:

a) mp(SAC) và mp(SBD)

b) mp(SAB) và mp(SCD) c) mp(SEF) và mp(SAD)

Từ (1) và (2) suy ra : SE = (SAB)  (SCD).

c) Trong mp(ADE) kéo dài EF cắt AD tại N.

Xét hai mp(SAD) và (SEF) có:

S  (SAD)  (SEF) ; N  (SAD)  (SEF)

Vậy : SN = (SAD)  (SEF)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang (AB // CD) a) Tìm giao tuyến của hai mp(SAD) và (SBC).

b) Tìm giao tuyến của hai mp(SAB) và (SDC).

Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J là trung điểm của AD và BC.

a) Tìm giao tuyến của hai mp(IBC) và (JAD).

b) M là một điểm trên đoạn AB, N là một điểm trên đoạn AC Tìm giao

tuyến của 2 mp(IBC) và (DMN)

Giải:

a) Ta có: I  AD  I  (JAD) Vậy I là điểm

chung của 2 mp(IBC) và (JAD) (1)

Ta có: J  BC  J  (IBC) Vậy J là điểm

chung của 2 mp(IBC) và (JAD) (2)

Từ (1) và (2) ta có : IJ = (IBC)  (JAD)

b) Trong mp(ACD) có : CI cắt DN tại E.

Vậy E là điểm chung của hai mp(IBC) và (DMN) (3)

Trong mp(ABD) có : BI cắt DM tại F

E

F I

Vậy F là điểm chung của hai mp(IBC) và (DMN) (4)

* Chú ý : Nếu đường thẳng a chưa có trên hình vẽ thì ta tìm a như sau:

- Tìm mp() chứa d sao cho mp() cắt mp(α)

- Tìm giao tuyến a của hai mp(α) và mp() (hình 9)

*

Nhận xét   : Vấn đề của bài toán là xác định cho được đường thẳng a Nhiệm vụ

của chúng ta là biết cách tìm đường thẳng a và chọn mp() sao cho phù hợp vớitừng yêu cầu của bài toán trong trường hợp đường thẳng a chưa có trên hình vẽ

 Áp dụng   :

Bài 1   : Cho tứ diện ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và AD

sao cho Tìm giao điểm của đường thẳng IJ với mp(BCD)

Trong ABD có : và , suy ra IJ không song song BD

Gọi

Vậy K = IJ  (BCD)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD).

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA và SB, M là điểm tùy ý thuộc đoạn SD

a) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mp(SAC)

b) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mp(SBC)

c) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM)

Nhận xét: Câu a) - Chung ta dễ nhầm lẫn đường BM cắt SC Không

nhìn ra được đường thẳng nào nằm trong mp(SAC) để cắt được BM

- Chọn mp phụ chứa BM đó là mp(SBD) và xác định giao tuyến của 2mp(SBD) và (SAC)

Câu b) - Gặp khó khăn khi không nhìn ra được đường nào nằm trong mp(SBC) để cắt IM

a) Ta có BM  (SBD)

Xét 2 mp(SAC) và (SBD) có S là điểm chung thứ nhất (1)

Gọi O = AC  BD  O là điểm chung thứ hai (2)

Từ (1) và (2)  SO = (SAC)  (SBD)

Trong mp(SBD) có BM cắt SO tại P Vậy P = BM  (SAC)

b) Ta có IM  (SAD)

Xét hai mp(SAD) và (SBC) có: S là điểm chung thứ nhất

Gọi E = AD  BC  E là điểm chung thứ hai

 SE = (SAD)  (SBC)

Trong mp(SAE) có IM cắt SE tại F Vậy F = IM  (SBC)

c) Ta có SC  (SBC)

Xét 2 mp(IJM) và (SBC) ta có : JF = (IJM)  (SBC)

Trong mp(SBE) có JF cắt SC tại H Vậy H = SC  (IJM)

Bài 3   : Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song Gọi M là

điểm thuộc miền trong của SCD

a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mp(SBM)

b) Tìm giao tuyến của hai mp(SBM) và (SAC)

c) Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mp(SAC)

d) Tìm giao điểm P của đường thẳng SC và mp(ABM), từ đó suy ra giao

tuyến của hai mp(SCD) và (ABM)

e) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(ABM).

Trong mp(SCD), ta có PM cắt SD tại K.

e) Ta có : (ABM)  (ABCD) = AB

(ABM)  (SBC) = BP(ABM)  (SCD) = PK(ABM)  (SAD) = KAVậy tứ giác ABPK là thiết diện cần tìm

1.3 Dạng 3 : Chứng minh đường thẳng d song song với mp(α)

 Phương pháp:

Nếu thì d // (α)

Nhận xét: Vấn đề nêu lên ở đây là đường thẳng a có trên hình vẽ hay

chưa, nó được xác định như thế nào, làm thế nào để xác định được nó Chúng tacần biết hướng giải quyết của bài toán là dựa vào giả thiết của từng bài toán màxác định đường thẳng a như thế nào cho phù hợp

Suy ra A’C cắt AC’ tại trung điểm I của mỗi đường

Do đó IH // CB’ (IH là đường trung bình của CB’A’)

Mặt khác IH  (AHC’) nên CB’ // (AHC’)

Bài 2   : Cho tứ diện ABCD, gọi M, N lần lượt là trọng tâm của ABD và

ACD Chứng minh rằng :

Giải:

a) Gọi E là trung điểm BD ; F là trung điểm CD.

Trong ABD ta có: (M là trọng tâm

C

B

A C'

M

E

F B

C D A

N

a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF Chứng minh rằng

OO’ song song với (ADF) và (BCE)

b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của ABD và ABE Chứng minh

rằng: MM // (CEF)

Giải:

a) Ta có : OO’ // DF (OO’ là đường trung bình

BDF )

Mà DF  (ADF)  OO’ // (ADF)

Ta có : OO’ // CE (OO’ là đường trung bình

ACE )

Mà CE  (BCE)  OO’ // (BCE)

b) Gọi H là trung điểm của AB.

Ta có :

 MN // DE mà DE  (CEFD)  (CEF)

Vậy MN // (CEF)

O' O

N

M

H

O' O

1.4 Dạng 4   : Chứng minh hai mp(α) và mp(  ) song song nhau   :

 Phương pháp   :

Nếu thì (P) // (Q)

*

Nhận xét   : Tương tự như bài toán chứng minh đường thẳng song song

với mặt phẳng, vấn đề đặt ra là chọn hai đường thẳng a, b như thế nào ? Nằm trênmặt phẳng (P) hay mp(Q) ?

 Áp dụng:

Bài 1   : Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD, AC cắt BD

tại O Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC, CD Chứng minh (MNO) //(SAD)

Từ (1) và (2) suy ra (MNO) // (SAD)

Bài 2: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân

biệt Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM =

BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M và N lần lượt cắt AD và AF tạiM’ và N’ Chứng minh rằng:

a) Chứng minh rằng hai mp(BDA’) và (B’D’C) song song nhau.

b) Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G1 và G2 của haitam giác BDA’ và B’D’C

Gọi I là tâm của hình bình hành AA’C’C

Gọi O, O’ lần lượt là tâm hình bình hành ABCD và A’B’C’D’

Trong mp(AA’C’C) gọi G1 = AC’  A’O ; G2 = AC’  CO’

 G1 , G2 lần lượt là trọng tâm AA’C và CC’A’

 A’G = 2G1O và CG2 = 2G2O’ (*)

Xét hai BDA’ và B’D’C có A’O và CO’ là hai trung tuyến nên từ (*) suy

ra G1 , G2 lần lượt là trọng tâm BDA’ và B’D’C

II Các dạng toán về quan hệ vuông góc

A.Tóm tắt lý thuyết:

1.1 Các định nghĩa liên quan đến quan hệ vuông góc

 Định nghĩa 1: Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa

chúng bằng 900

 Định nghĩa 2: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó

vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó

 Định nghĩa 3: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa

 Định nghĩa 4: Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’

và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b

 Định nghĩa 6: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt

vuông góc với hai mặt phẳng đó

 Định nghĩa 7: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến đường

thẳng ∆) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (α) (trên đường thẳng ∆)

 Định nghĩa 8: Khoảng cách giữa đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song

với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (α)

 Định nghĩa 9: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một

điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

 Định nghĩa 10: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn

vuông góc chung của hai đường thẳng đó

1.2 Định lý thường được sử dụng

a d

P

Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường

thẳng b nằm trong (P) Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc

với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P)

a) Góc giữa hai đường thẳng:

b' a'

B

A

O b

 a

A



1.4 Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc

B Các dạng bài tập

1 Hai đường thẳng vuông góc

Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau

a Phương pháp: Để giải dạng toán này phương pháp chính được sử dụng là:

- Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với đường thẳng ta thường chứng

minh d vuông góc với mặt phẳng (Q) chứa

- Dĩ nhiên để làm được điều này ta phải biết được:

+ Nếu thì a vuông góc với mọi đường trong (P)

+ Để chỉ cần a vuông góc với hai đường thẳng giao nhau trong (P)

b Ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Mặt bên

SAD là tam giác đều và ở trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần

lượt là trung điểm của SB, BC, CD Chứng minh AM BP

Giải :

Gọi I là giao diểm của AN và BP, H là

trung điểm của AD, K là giao điểm của AN

và BH

Xét hai tam giác vuông ABN và BCP có:

AB=BC, BN=CP Suy ra,

mà

Vì ∆SAD đều nên:

Mặt khác, tứ giác ABNH là hình chử nhật nên K là trung điểm của HB hay

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,

, AD=2a, AB=BC=a Chứng minh rằng: tam giác SCD vuông

Giải:

Ta có:

+ Gọi I là trung điểm của AD Tứ giác

ABCI là hình vuông Do đó,

(*) Mặt khác, là tam giác vuông

cân tại I nên: (*)

Từ (*) và (**) suy ra: hay

(2)

Từ (1) và (2) suy ra: hay ∆SCD vuông tại C

2 Đườnng thẳng vuông góc với mặt phẳng

Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB là

tam giác đều, Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD

Chứng minh rằng:

Giải:

Ta có:

D I

A S

H F

Mặt khác, xét hai tam giác vuông ADI và DFC có: AI=DF, AD=DC Do đó,

b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên SC Chứng minh rằng:

c) Gọi mp(P) đi qua AE và vuông góc với (SAB), cắt SB tại D Chứng minh rằng:

d) Đường thẳng DE cắt BC tại F Chứng minh rằng: AF (SAB)

E D

H

Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau

a Phương pháp giải: Để giải các bài toán này là dựa vào định lý quan trọng sau

đây:

- Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d.Khi đó một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng mà vuông góc với d thì vuông góc với mặt phẳng còn lại

- Ngoài ra người ta cũng dựa vào định nghĩa của hai mặt phẳng vuông góc để chứng minh tính vuông góc của hai mặt phẳng

b Ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD,A’B’C’D’ đáy là hình vuông ABCD

cạnh a, AA’ = b Gọi M là trung điểm của CC’ Xác định tỷ số để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.

Giải:

Ta có A’B = A’D ( O là tâm

cua hình vuông ABCD )

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,

AD = , SA = a và Gọi M là trung điểm của AD Chứng minh

Giải:

Giả sử I là giao điểm của AC và MB

Ta có MA = MD và AD // BC nên theo định lý Talet

Dạng 1: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

a) Phương pháp giải: Để tìm khoảng cách từ một điểm A đến

A S

b) Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = AB =

2a, ^ABC=60 o và SA ⊥( ABCKD)

a Chứng minh BD⊥ SC Suy ra d(O;SC)

Do Δ SAC vuông cân tại A ( vì SA = AC = 2a)

nên ^SCA=45 o, do đó tam giác OIC vuông cân

Theo chứng minh trên ta có BD ⊥(SAC) Vì SO⊂(SAC) nên ta có BD ⊥ SO

Tam giác SOB vuông tại O có BO= AB√3

Vì OH là đường trung bình của Δ DBK nên ta có:

Khoảng cách từ điểm D đến SB là: d(D;SB) = DK = 2OH = a√230

Ví dụ : Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều,

Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD Tính

Giải:

Gọi

+ Kẻ

+ Ta có:

+ Mặt khác, Xét hai tam giác vuông AID và

DFC có: AI=DF, AD=DC Suy ra,

Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ,

là tam giác đều cạnh a, Tính

K F

M B

C

A

S

N H

Giải:

Trong mặt phẳng (ABC) vẽ hình chữ nhật ABDC Gọi M, I, J lần lượt là trung

điểm của BC, CD và AB Lúc đó, CD//(SAB)

hay

Trong mặt phẳng (SIJ) kẻ

Mặt khác, ta có:

Từ (1) và (2) suy ra: hay

+ Xét tam giác SIJ có:

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông

tại B, BA=3a, BC=4a,

Tính

Giải:

Trong mặt phẳng (SBC) kẻ ; trong mặt phẳng (ABC) kẻ

+ Xác định đường thẳng vuông góc chung của d và d’

+ Tính độ dài đoạn vuông góc chung

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M, N lần lượt là

trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của CN và DM,

Tính

Giải:

Mặt khác,

Xét hai tam giác vuông AMD và DNC có AM=DN, AD=DC

+Tìm mp(P) chứa d’ và song song với d

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tai B, AB=BC=2a, hai mặt

phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung

điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N, góc giữa hai

mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 Tính

Giải:

Gọi I là trung điểm của BC

Do MN//BC nên N là trung điểm của AC Do đó,

S

C

B A

H

a Nguyên tắc chung để giải bài toán này như sau:

vuông góc chung của cả a và b Vấn đề ở chỗ là làm thế nào để xác định được hai

điểm M, N?

b Phương pháp tổng quát tiến hành như sau:

- Dựng mp(P) chứa a và song song với b Lấy một điểm B trên b,

Ví dụ 1: Trình bày cách dựng đường vuông góc chung với hai đường thẳng chéo nhau và

vuông góc với nhau.

Giải: Giả sử 2 đường thẳng a, b chéo nhau và vuông góc

nhau

Dựng (P) qua b vuông góc với a

Giả sử a (P) = M

Trong (P) dựng MN vuông góc với b Khi đó MN là đường

vuông góc chung của a và b

Ví dụ 2: Cho hình tứ diện đều ABCD cạnh a = cm Hãy xác định và tính độ dài đoạn

vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD

Giải:

Gọi M và N tương ứng là các trung điểm của AB và

CD Do ABCD là tứ diện đều , nên ta có CM AB

M

b' b

a P

A

Bây giờ ta tìm giao điểm của B1D với (A1BC1) Gọi

H là giao điểm của AB1 và A1B Trong mặt chéo

(B1A1DA) rõ ràng : HC1 B1D = G

Do B1H = HA = C1D GH = GC1 G là trọng tâm của tam giác A1BC1

Vì A1BC1 là tam giác đều nên GH A1B , còn GH B1D vì B1D (A1B1C1)

Như thế GH là đường vuông góc chung của A1B và B1D nên nó chính là khoảng

cách giữa A1B và B1D

Ta có :

5 Bài toán tìm góc

Dạng 1:Tính góc giữa hai đường thẳng

a Phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau:

Cách 1: (a,b)=(a’,b’) trong đó a’, b’ là hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt song

song với a và b Tức là, chọn ra hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt song song

với a và b

Cách 2: (a,b)=(a,b’) trong đó b’ là đường thẳng cắt đường thẳng a và song song

với b Tức là chọn trên a (hoặc b) một điểm A rồi từ đó chọn một đường thẳng

qua A và song song với b (hoặc a)

A

2a

a 3

I N

M

C

A

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AB=CD=2a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và

AD, Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD?

Giải: Gọi I là trung điểm của BD Ta có:

.Xét tam giác IMN có:

Do đó,

Vậy:

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh

bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, Hình chiếu

vuông góc của A’ lên mp(ABC) là trung điểm của BC Tính cosin của góc giữa

hai đường thẳng AA’ và B’C’?

Giải: Gọi H là trung điểm của BC

I

H

C'

B' C

B A

A'

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, ,

H là trung điểm của AB, SH=HC, SA=AB Tính góc giữa đường thẳng SC và

mặt phẳng (ABCD)

SAH vuông tại A hay mà

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt

phẳng đáy, Tính sin của góc giữa:

a H

D

A S

hay CH là hình chiếu vuông góc của AC trên mp(SBC)

Xét tam giác vuông SAB có:

Vậy

Dạng 3: Góc giữa hai mặt phẳng Diện tích hình chiếu của đa giác

a Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q)

Công thức hình chiếu: Gọi hình (H) có diện tích S; hình (H’) là hình chiếu của

(H) trên mặt phẳng (α) có diện tích S’; φ là góc giữa mặt phẳng chứa (H) và

mp(α) Lúc đó, ta có công thức sau:

D

A S

H

Xét tam giác vuông BCA’ có:

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân AB=AC=a,

, BB’=a, I là trung điểm của CC’ Tính cosin của góc giữa hai mp(ABC) và (AB’I)

Giải: Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của tam giác AB’I lên mặt

phẳng (ABC) Gọi φ là góc giữa hai mặt

phẳng (ABC) và (AB’I) Theo công thức hình

Ta có:

C' B'

D'

C A'

C'

Suy ra: Tam giác AB’I vuông tại A nên

Vậy

II Diện tích và thể tích khối đa diện

 Dạng 1 Diện tích và thể tích của khối hộp chữ nhật.

 Phương pháp:

Sử dụng công thức:

Công thức tính diện tích hình hộp:

Với a,b,c là ba kích thước của hình hộp

Công thức tính diện tích và thể tích hình lập phương cạnh a

Công thức tính diện tích toàn phần:

Sử dụng công thức:

Trong đó: B là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp

Chú ý :cho khối chóp S.ABCD.Trên các cạnh SA ,SB ,SC lấy các diểm A’,B’,C’

Vậy

Ví dụ (ĐH khối D 2011)

Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại ,mặt phẳng

vuông góc với mặt phẳng Biết và góc .Tính thể tích khối chóp và khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng theo

Giải

Hạ