Tìm m để đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số 1 tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4.. Tính thể tích tứ diện NSDC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳ
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK
MÔN TOÁN NĂM 2012 - 2013
Thời gian làm bài: 180 phút Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số: y = x3− 3mx + 22 (1), m là tham số
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1
2 Tìm m để đường thẳng qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) tạo với các trục tọa độ
một tam giác có diện tích bằng 4
Câu II: (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: 3cot2x+2 2 sin2 x= +(2 3 2) cosx
2 Giải phương trình: 2 7
3
x
x + x− = +
Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân
1
2 1
3
x
dx
x + x −
∫
Câu IV: (1,0 điểm) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a, SA = a,
SB = a 3 , ·BAD = 600 và mp(SAB) vuông góc với mặt đáy Gọi M, N là trung điểm của AB,
BC Tính thể tích tứ diện NSDC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM và DN
Câu V: (1,0 điểm) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3 Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
= ÷÷+ ÷÷+ ÷÷
Câu VI (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC là M(3,2),
trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt là G(2 2,
3 3) và I(1,-2) Xác định tọa độ đỉnh C
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 1 1
, điểm
A (1,4,2) và mặt phẳng (P): 5x – y + 3z – 7 = 0 Viết phương trình đường thẳng∆ đi qua A,
∆nằm trong mp(P) biết rằng khoảng cách giữa d và ∆ bằng 2 3
Câu VII (1,0 điểm) Cho hai số phức z , z1 2 thỏa mãn i.z1+ 2 =0,5 và z = i.z2 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của z1−z2
GV :Tran xuan vinh
Trang 2-Hết -HƯỚNG DẪN Câu 1: 1, Với m = 1 ⇒ y = x3− 3x + 22 a) TXĐ: R b) Sự biến thiên: *) Giới hạn: limx→−∞y= −∞; limx→+∞y= +∞ *) Chiều biến thiên: 2 x = 0 x = 2 y' = 3x 6x ; y' = 0 − ⇔ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞; 0) và (2; +∞ ), hàm số nghịch biến trên (0; 2) Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ= 2; hàm số đạt tiểu tại x = 2, yCT= - 2 BBT x -∞ 0 2 +∞
f’(x) + 0 - 0 +
f(x) 2 +∞
-∞ -2
c) Đồ thị:
Câu 1: 2, y = x3− 3mx + 22 ⇒ y' = 3x2− 6mx ; x = 0
x = 2m
y' = 0
⇔
Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị ⇔ y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 0
Với m ≠ 0 thì đồ thị hàm số (1) có tọa độ 2 điểm cực trị là: A(0; 2) và B(2m;-4m3+2) Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị A, B là:
2 3
x = y 2 2m x + y 2 = 0
AB cắt Ox tại C 12;0
m
, cắt Oy tại A(0; 2) Đường thẳng qua 2 điểm cực trị tạo với các trục tọa độ tam giác OAC vuông tại O ta có:
S = OA.OC = 2 =
Yêu cầu bài toán thỏa mãn 12 = 4 m 1
⇔ ⇔ (thỏa mãn m ≠ 0) Vậy m 1
2
= ±
Câu 2: 1, Điều kiện : x ≠ kπ
Phương trình tương đương: 3cosx( 2
sin
cos
2 −
x x
) = 2(cosx - 2sin 2 x)
Trang 3⇔ (cosx - 2sin 2 x)(3cosx – 2sin2x) = 0 ⇔
=
− +
=
− +
0 2 cos 3 cos 2
0 2 cos cos
2 2
2
x x
x x
KÕt hîp víi ®/k suy ra pt cã nghiÖm: x = π 2π
4 +k
± & x = π 2π
3 +k
±
x
, x≥ − 7
Đặt
1
1
( 1) 2 ( 0)
3
u x
= +
2
2
1 2 3 1 2 3
− =
− =
⇔
2
0
u v
− =
u v
+ + =
(lo¹i)
6
u
u
=
2
2
17
u v
u
− −
+ + =
− +
Câu 3:
2
x
1
1
1 1
3 1
3
26 3
27
I = ∫ x dx x = =
1
2
1
3
I =∫x x − dx= ∫ x − d x − = x − = Vậy 26 16 2
27
Câu 4: Từ giả thiết có AB = 2a, SA = a,
SB = 3, tam giác ASB vuông tại S suy ra
2
AB
SM = =a do đó tam giác SAM đều.
Gọi H là trung điểm AM thì SH⊥AB Mặt khác (SAB)⊥(ABCD) nên suy ra SH ⊥(ABCD)
Gọi Q là điểm thuộc đoạn AD sao cho AD = 4 AQ khi đó MQ//ND nên (·SM DN, ) (=·SM QM, ) Gọi K là trung điểm MQ suy ra HK//AD nên HK⊥MQ
Mà SH⊥(ABCD), HK⊥MK suy ra SK⊥MQ suy ra ·(SM DN, ) (=·SM QM, )=·SMK
Trang 4Trong tam giác vuông SMK: ·
os
4
MK
c SMK
Câu 5: ĐÆt x = a y b z c2, = 2, = 2 Do x y z+ + =3suy ra a2+ + =b2 c2 3
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của
P
Áp dụng Bất đẳng thức Trung bình cộng – trung bình nhân có:
3
3
+
3
3
+
3
3
+
Cộng theo vế ta được: 2 2 2 ( )
2 2 2
9 3
P+ + + + ≥ a + +b c (4)
Vì a2+b2+c2=3 Từ (4) 3
2
P
⇔ ≥ vậy giá trị nhỏ nhất 3
2
P= khi a = b = c =1 ⇔x = y = z = 1
Câu 6: 1, (2;4), 7 4;
3 3
IM= GM= ÷
Gọi A(xA; yA) Có AGuuur=2GMuuur⇒ A(-4; -2)
Đường thẳng BC đi qua M nhận vec tơ IMuuur làm vec tơ pháp tuyến nên có PT:
2(x - 3) + 4(y - 2) = 0 ⇔ x + 2y - 7 = 0 Gọi C(x; y) Có C ∈ BC ⇒ x + 2y - 7 = 0
Mặt khác IC = IA ⇔ (x−1)2+ +(y 2)2 = 25 ⇔ −(x 1)2 + +(y 2)2 =25
Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình: 2 2 7 0 2
Giải hệ phương trình ta tìm được 5
1
x y
=
=
và
1 3
x y
=
=
.Vậy có 2 điểm C thỏa mãn là C(5; 1) và C(1; 3).
Câu 6:2, Gọi (Q) là mặt phẳng qua d và cách A(1,4,2) một khoảng 2 3
(Q) qua N(1, -1, 1) thuộc d nên có phương trình: a(x-1) + b(y+1) +c(z-1) = 0 (1)
Do (Q) qua N’(1, -1, 1) thuộc d nên 2a + b + c =0 hay c = - 2a – 2b (2)
(1 1) (4 1) (2 1)
A Q
+ +
Thay (2) vào (3) có 2 2
7a +8ab b+ =0 Chọn b = 1 được a = -1 hoặc a = 1
7
− Với b = 1 , a = -1 thì (Q) có phương trình: x – y – z – 1 = 0
Trang 51 1 1 1 1 1
r
nên ∆ có phương trình: 1 4 2
x− = y− = z−
− Với b = 1 , a = 1
7
− thì (Q) có phương trình: x –7y +5z – 13 = 0 Đường thẳng ∆ qua A và song song với giao tuyến của (P) và (Q) có VTCP
( 8,11,17)
ur − nên ∆ có phương trình: 1 4 2
x− = y− = z−
−
Câu 7: Đặt z1= +x1 iy x y1( ,1 1∈R)
Khi đó điểm M( , )x y biểu diễn 1 1 z , 1
i.z + 2 =0,5⇔ i.x − +y 2 =0,5⇔ x +(y − 2) =0, 25
Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn z là đường tròn (C1 1) tâm O1(0, 2 ) bán kính R1=0,5
z =iz = − +y x i Suy ra N (- y1 , x1) biểu diễn z 2
Ta cần tìm M thuộc (C1) để z1−z2 =MN nhỏ nhất
Để ý rằng OM x yuuuur( , )1 1 ⊥ONuuur(−y x1, )1 và OM = ON nên MN = 2 OM
MN đạt giá trị nhỏ nhất khi OM nhỏ nhất Đường thẳng OO1 đường tròn (C1) tại M1(0, 2 1
2
− )
và M2(0, 2 1
2
+ ) Dễ thấy MN nhỏ nhất bằng 2 1
2
− khi M trùng M1(0, 2 1
2
− ) tức là 1
1
2
