Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho trong mỗi số các chữ số đứng trước đều lớn hơn chữ số đứng liền sau nó.. Hãy xác định các góc hợp bởi các cạnh đối diện của tứ diện đó.. Chứ
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ MÔN TOÁN NĂM 2012 - 2013 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC
Thời gian làm bài: 180 phút.
Câu 1 (2,5 điểm)
1 Cho hàm số (C) :
2 2 5 1
y
x
=
−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm M ∈ (C) để tổng các khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất
2 Từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến
đồ thị (C’) : y = x3 − 6 x2 + 9 x − 1
Câu 2 (1,5 điểm)
1 Giải phương trình: 3 25x− 2 + ( 3 x − 10 ) 5x− 2 = x − 3
2 Giải hệ phương trình:
= +
= +
2 cos
cos
2 sin
sin
y x
y x
Câu 3 (1,5 điểm)
1 Giải phương trình: log ( cos x − sin x ) + log1( cos x + cos 2 x ) = 0
x
2 Giải bất phương trình: ( x3 + 1 ) ( + x2 + 1 ) + 3 x x + 1 > 0
3 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số sao cho trong mỗi số các chữ số đứng trước đều lớn hơn chữ số đứng liền sau nó.
Câu 4 (2 điểm)
1 Trong hệ toạ độ Oxyz cho 2 điểm A(0; 0; -3); B(2, 0, - 1) và mp(P):3x – 8y + 7z – 1 = 0
Tìm toạ độ điểm C ∈ (P) sao cho ∆ABC là tam giác đều.
2 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c Hãy xác định các góc hợp bởi các cạnh đối diện của tứ diện đó.
Câu 5 (2,5 điểm).
1 Tính :
2 3
sin
cos
x
π
2 Cho 3 số dương a, b, c Chứng minh rằng:
2
a b c
+ +
3 Cho z = 1 3
i
; z; z ;(z) ;1 z z
(Hết)
Trang 2HƯỚNG DẪN
1
=
+
−
=
y Y
x
0.25 TCĐ d: X = 0, TCX d’: X - Y = 0 ⇒ T = d(M, d) + d(M, d’) =
4 7
X Y
X
−
4
| |
| | 2
X
X
2
0.5
• Gọi M(2; m) ∈ d 1 : x = 2 Khi đó đt d ∋ M
⇒ d: y = k(x -2) + m Để đt d tiếp xúc với
= +
−
+
−
=
− +
−
k x
x
m x
k x
x x
9 12 3
2 1
9 6 2
2 3
có nghiệm
0,25
⇔ 2x 3 -12.x 2 + 24x - 17 + m = 0 (1) có nghiệm.
• Số tiếp tuyến kẻ từ M đến (C’) là số nghiệm của Pt (1)
• Xét hàm số y = 2x 3 -12.x 2 + 24x - 17 + m
⇒ y’ = 6(x-2) 2≥ 0 ∀x ⇒ Hàm luôn đồng biến ⇒ Pt (1) luôn có
nghiệm duy nhất ⇒ từ một điểm trên đt x = 2 luôn kẻ được một tiếp
tuyến đến đồ thị (C’).
0,5
( 3 5 1 ) ( 3 5 1 ) ( 3 3 5 1 ) 0 5
3 5
10 3 25
3
2 2
2 2
2 2
=
−
−
− +
−
⇔
−
=
−
+
−
−
−
−
−
−
x x
x x
x x
x
x x
0.25
( ) ( )
=
− +
=
−
⇔
=
− +
−
⇔
−
−
−
−
2 0 3 5
1 0 1 5
3
0 3 5
1 5
3
2 2
2 2
x
x
x x
x x
3
1 log 2 3
1 5
1 ⇔ x− 2 = ⇔ x = + 5 = − 5
0.25
Trang 3( ) 2 ⇔ 5x−2 = − x + 3
Vế trái là hàm đồng biến vế phải là hàm nghịch biến mà (2) có nghiệm
x = 2 nên là nghiệm duy nhất.
Vậy Pt có nghiệm là: x = 2 − log53 và x = 2
0.25
⇒
= +
= +
2 2 cos
sin cos
sin 2
cos cos
2 sin
sin
y y
x x
y x
y x
0.25
+
=
+
=
⇔
=
−
=
−
⇔
=
− +
−
π π
π π
π
π π
π
2 4
2 4 1
4 cos
1 4
cos 2
4
cos 4
cos
l y
k x
y
x y
Thử lại thấy đúng nên:
+
=
+
=
π π
π π
2 4
2 4
l y
k x
( cos sin ) log ( cos cos 2 ) 0
x x
Điều kiện:
>
+
>
−
≠
<
0 2 cos cos
0 sin cos
1 0
x x
x x
x
+
=
⇔
−
=
⇔
2 cos
2 cos sin
2
0.25
+
−
=
+
=
⇔
+
−
−
=
+ +
=
⇔
3
2 6
2 2
2 2
2
2 2
2
π π
π π
π π
π π
k x
k x
k x
x
k x
x
Kết hợp với điều kiện ta được:
3
2 6
π
0.25
Trang 42 Giải bất phương trình: 0,5
( x3 + 1 ) ( + x2 + 1 ) + 3 x x + 1 > 0 ⇔ ( x3 + x2) + 3 x3 + x2 + 2 > 0
0 2 3
2 + + >
3
2
1 ≥ − +
2
2
t
t t
≥ −
< −
0.25
Trong 10 chữ số từ 0 đến 9 có tât cả C tập con gồm 5 chữ 105
Trong mỗi tập con này chỉ có duy nhất một cách sắp xếp số có 5 chữ số mà chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng liền sau Vậy có tất
Để ∆ABC là tam giác đều ⇒ đường cao MC = AB 3/2= 6
Gọi M là trung điểm của AB ⇒ M(1; 0; - 2).
Gọi (Q) là mf đi qua M và vuông góc với AB
⇒ (Q): x + z + 1 = 0
0,25 Gọi d = (P) n (Q) ⇒
+
=
=
−
−
=
⇔
= + +
=
− +
−
t z
t y
t x
z x
z y x d
2 1
2 2 0
1
0 1 7 8 3 :
⇒ C ∈ d ⇒ C(-2 - 2t; t; 1 + 2t)
0,25
Trang 5Lấy E, F, G lần lượt là trung điểm của AB, CD, AC ta có:
GE = GF = c/2 ∆ACD = ∆BCD (c.c.c) ⇒ FA = FB
⇒
4
2 2
4
2
2
FB
FE là trung tuyến của ∆FAB nên:
=
− +
=
4
2
FE
2
2 2
Gọi là góc tạo bởi AD và BC ta có :
2
| 2
2
|
2
|
|
| , cos
|
2 2 2 2 2
2 2
c
a c b c
GF GE
FE GF
GE GF
GE
− +
−
=
− +
=
= α
2
2
|
c
b
a −
2
| cos
c
b
a −
= α
0.25
Tương tự nếu gọi lần lượt là góc tạo bởi CD, AB và
2
| cos
a
c
b −
=
2
| cos
b
a
c −
=
P
Q
A
B M
C1
C2
Trang 63 0,5
Trong 10 chữ số từ 0 đến 9 có tât cả C tập con gồm 5 chữ 95
Trong mỗi tập con này chỉ có duy nhất một cách sắp xếp số có 5 chữ số mà chữ số đứng trước lớn hơn chữ số đứng liền sau Vậy có tất
cả 5
9
Đặt:
0,25
/ 4
/ 4 4
0
π π
π
1 2 0
J = ∫ x x − x + dx Đặt: x - 1 = tgt
2 2
1
dt
+
0,25
F
E
G
A
C
Trang 7( )
( ) ( ) ( ( ) ( ) )
0
3 4
2
sin
1 2 2
1 4
t u
t
du
π
=
− + +
0,25
1
2
+
0,25
2
1 1
1
2 2
c b a ab c
ac b bc a
+ +
≤ +
+ +
+ +
Ta có:
ab c ab c
ab c ab c
ca b ca b
ca b ca b
bc a bc a
bc a bc a
2
1 1
2
2
1 1
2
2
1 1
2
2 2
2 2
2 2
≤ +
⇒
≥ +
≤ +
⇒
≥ +
≤ +
⇒
≥ +
0.5
.
b c c a a b
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
0.5