Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số.. Theo chương trình Chuẩn.. Theo chương trình Nâng cao... Khi đó thể tích V của khối chóp được tính bởi công thức 1... Gọi H là hình chiế
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK
MÔN TOÁN NĂM 2012 - 2013
Thời gian làm bài: 180 phút.
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số : y = x3 – 3x + 2
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2 Tìm trên đồ thị ( C) điểm M sao cho tiếp tuyến với ( C) tại M, cách đều hai điểm cực trị của
đồ thị hàm số
Câu II: (2,0 điểm)
1 Giải phương trình: 2tan2x + 2sin2x = 3cotx
2 Giải phương trình: 3x3 +x− 2.3x x− 3− 32x+ 2 =0
Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân: I =
4 1
3
2012
dx x
∫
Câu IV: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = 3, AC = 4 góc tạo
bởi các mặt bên và đáy bằng 60o Tính thể tích của khối chóp S.ABC
Câu V: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau: 2 2 2 2
2
4 x y 2 x y 2 0
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B).
A Theo chương trình Chuẩn.
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : 3 1 5
x− = y− = z−
và điểm A(2;3;1) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A cắt đường thẳng d và khoảng cách từ gốc tọa độ O đến ∆
là lớn nhất
2 Trong mặt phẳng hệ toạ độ Oxy cho ba đường d1: x – 2y + 1 = 0; d2: 3x – y – 2 = 0;
d3: 2x + y + 1 = 0 Tìm điểm M trên d1 điểm N trên d2 sao cho MN = 5 và MN song song với d3
CâuVII.a (1,0 điểm) Từ các số 0;1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác
nhau mà tổng của ba chữ số đó bằng 7
B Theo chương trình Nâng cao.
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình:x2 + y2 – x – 4y – 2 = 0 và các điểm A(3 ;-5) ; B(7;-3) Tìm điểm M trên đường tròn (C ) sao cho P = MA2 + MB2 nhỏ nhất
2 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x -3y + 4z – 1 = 0 ; đường thăng
d:
1 3
1
2
= − +
=
và điểm A(3;1;1) Lập phương trình đường thẳng ∆đi qua A cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng (P )
Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm giới hạn sau: I = 2
x 0
1 cos 2011x cos 2012x lim
x
→
−
-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu. -Hết -Thí sinh khối D không phải làm câu V Cán bộ coi thi
không giải thích gì thêm
Họ và tên:……… SBD:………
Trang 21.1 1.TXĐ: D = R
2.Sự biến thiên
y' = 3x2 - 3, y ' = 0 <=> x = 1 và x = -1
' 0y > ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞x ( ; 1) (1; ); ' 0y < ⇔ ∈ −x ( 1;1) do đó hàm số đồng biến trên các
khoảng (−∞ −; 1)va(1;+∞), nghịch biến trên khoảng (-1; 1)
Hàm số đạt cực đại tại x = -1, ycđ = 4
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, yct = 0
Bảng biến thiên
3 Đồ thị
-Đồ thị hàm số đi qua các điểm (-2; 0), (-1; 4), (0; 2), (1; 0), (2; 4) và đối xứng qua
điểm (0; 2)
-Vẽ đồ thị
0,25
0,25
0,25
0,25
1.2 -Điểm M thuộc (C) nên M(a, a3 - 3a + 2), tiếp tuyến tại (C) có hệ số góc
k = 3a2 - 3
-Tiếp tuyến tại M cách đều 2 trục toạ độ chỉ xẩy ra trong các trường hợp sau
TH1 TT song song với AB (đường thẳng đi qua 2 cực trị): 2x + y - 1 = 0
<=> 3a2 - 3 = -2<=>
1 3 1 3
a a
=
−
=
<=>
M M
TH2 TT đi qua điểm uốn U(0; 2)
-Vậy có 3 điểm thoả mãn yêu cầu bài toán
0,25
0,25 0.25 0,25
x y'
0
−∞
+∞
0 0
1 4
y
x O
-2 -1 2 2
Trang 3-ĐK os2 0
sinx 0
-2
2
2sin 2 (1 os2 ).sinx 3cos os2 2sin 2 cos 3cos os2
2 2
cos 0
6
2 os 2 3 os2 2 0
1 os2
x
π
= +
=
−
=
-Đối chiếu điều kiện ta thấy pt có 3 họ nghiệm:
0,25
0,5
0,25
3
3
1
x x x x x x x x
x x
x x
pt
x x VN
− +
0,25 0,25 0,5
2012
−
-Tính I1:
3
1 3
1 1
x
x
−
3
2
−
3
Khi đó
0
1
2
6
I = − ∫t dt= t =
-Tính I2 = 8084
-Vậy I = 6 +8084 =8090
0,5 0,25 0,25 4
Gọi H là hình chiếu của S lên
(ABC); M, N, K lần lượt là
hình chiếu của H lênh cạnh
AB, AC, BC Khi đó thể tích V
của khối chóp được tính bởi
công thức
1
3 ABC
2
ABC
S∆ = AB AC=
-Tính SH
Xét các tam giác SHM, SHN,
0,25 0,25 B
A
H M
S
C N
K
Trang 4SHK vuông tại H,
có các góc SMH, SNH, SKH
bằng 600 do đó HM = HN = HK => H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC =>
2
1
ABC
S HM
AB BC CA
+ + =>SH = HM.tan600 = 3
Vậy 1 3.6 2 3
3
0,25 0,25 5
2 2 2 2
2
4 x y 2 x y 2 0
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
1
2
1 0
x y
x y x y
x y
x y
x y
x x
y
x y
+
+
+
+
=
=
Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm là:
0,5
0,25
0,25 6a.1 Giả sử ∆ cắt d tại B => B(3 + t; 1 + 2t; 5 + 4t) Gọi H là hình chiếu của O lên∆
khi đó OH ≤OA do đó OH lớn nhất khi H trùng A,
như vậy đường thẳng ∆ cần lập vuông góc với OA <=> uuur uuurAB OA. =0
màuuurAB= +(t 1; 2t−2; 4t+4);OAuuur(2;3;1),
nên uuur uuurAB OA. =0 <=> 2t + 2 + 6t - 6 + 4t + 4 = 0 <=> t = 0 => B(3; 1; 5)
−
0,25
0,5 0,25 6a.2 M thuộc d1, N thuộc d2 nên M(2a - 1; a), N(b; 3b - 2)
3
3
MN d ⇔MN nuuuuruur= ⇔ −b a+ b a− − = ⇔ =a b
thay vào (1) ta được a = b = 0 hoặc a = b = 2
Vậy có 4 điểm thoả mãn bài toán là: M(-1; 0), N(0; -2) hoặc M(3; 2), N(2; 4)
0,25
0,5 0,25
7 -Bộ 3 chữ số có tổng các chữ số bằng 7 gồm {0; 1; 6} (a), {0; 2; 5} (b), {0; 3; 4} (c),
{1; 2; 4} (d)
-Mỗi bộ trong các bô (a), (b), (c) có số cách lập là: 3! - 1.2.1 = 4 số (trừ chữ số 0
đứng đầu) => 3 trường hợp đầu có 12 số được lập
-Bộ (d) có 3! = 6 số được lập
-Vậy có 12 + 6 = 18 số được lập thoả mãn yêu cầu bài toán
0,25 0,25 0,25 0,25
Trang 5-Đường tròn (C) có tâm ( ; 2),1 5
-Gọi H là trung điểm đoạn AB => H(5; -4) Xét tam giác MAB có
do đó P nhỏ nhất khi MH nhỏ nhất hay M là giao điểm của OH với (C)
4 4
IH
= +
= − −
, thay vào phương trình đường tròn ta được ptrình t
2 + 3t + 2 = 0
<=> t = -1 và t = -2 => với t = -1 thì M(2; 0), với t = -2 thì M(-1; 4)
-Kiểm tra thấy M(2; 0) là điểm cần tìm
0,25
0,25
0,25 0,25 6b.2 -Giả sử B là giao điểm của d và ∆ => B(1 + 3t; -1 + t; 2t)
-Vì AB//(P) nên uuur uurAB n P = ⇔ =0 t 0 => B(1; -1; 0)
-Vậy đường thẳng ∆: 3 1 1
x− = y− = z−
0,25 0,5 0,25
7b
2
x 0
2
2
x 0
1 cos 2011x c 201x(1 cos 2012x )
I lim
x 2011x
) 2.(1006)
lim
→
→
=
+
os
os
os
=2.(
0,5 0,25 0,25
