Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Về một dạng định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động

Luận án Về một dạng định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và định lí không gian con Schmidt đối với siêu mặt di động nghiên cứu về định lí không gian con Schmidt, định lí cơ bản thứ hai, đường cong Brody và bài toán về họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình. Đề tài được nghiên cứu trong phạm vi các Lí thuyết xấp xỉ Dio-phantine và Lí thuyết Nevanlinna cho đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

Nguyễn Thanh Sơn

VỀ MỘT DẠNG ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ĐƯỜNGCONG NGUYÊN VÀ ĐỊNH LÍ KHÔNG GIAN CON SCHMIDT

ĐỐI VỚI SIÊU MẶT DI ĐỘNG

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô

Mã số: 9.46.01.05

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Trần Văn Tấn

Hà Nội - Năm 2022

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lí thuyết phân bố giá trị hay còn gọi là Lí thuyết Nevanlinna, được hình thành

từ những nghiên cứu đầu tiên của Nevanlinna về sự phân bố giá trị của hàm phânhình một biến phức công bố vào năm 1925

Các kết quả của Nevanlinna đã nhanh chóng được nhiều nhà toán học mở rộngsang trường hợp chiều cao và nhiều biến như: A Bloch xem xét vấn đề với đườngcong chỉnh hình trong đa tạp Abel; Cartan mở rộng kết quả của Nevanlinna tớitrường hợp đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh phức; H Weyl , J Weyl

và Ahlfors đưa ra cách tiếp cận bằng hình học; Stoll mở rộng sang trường hợpánh xạ phân hình từ không gian parabolic vào đa tạp xạ ảnh

Nội dung chính của Lí thuyết Nevanlinna đưa ra mối quan hệ giữa hàm đặctrưng (đo sự lan tỏa của ảnh của ánh xạ) với hàm đếm các giao điểm của ảnhcủa ánh xạ với một mục tiêu Cốt lõi của Lí thuyết Nevanlinna nằm ở hai định

lí chính thường gọi là Định lí cơ bản thứ nhất và Định lí cơ bản thứ hai Ở đó,Định lí cơ bản thứ nhất đưa ra một chặn dưới cho hàm đặc trưng bởi hàm đếm,còn Định lí cơ bản thứ hai đưa ra một chặn trên cho hàm đặc trưng bởi tổng củacác hàm đếm ứng với một mục tiêu Với Định lí cơ bản thứ nhất, ta có thể nhìn

nó như là một hệ quả của Công thức Jensen và ngày nay đã có những hiểu biếtthỏa đáng về nó Tuy nhiên, với Định lí cơ bản thứ hai thì cho đến nay mới chỉđược thiết lập cho không nhiều trường hợp

Trước thập kỷ 80 của thế kỷ 20, các Định lí cơ bản thứ hai được thiết lập chủyếu cho các trường hợp mà mục tiêu là các siêu phẳng trong không gian xạ ảnhphức

Sang thập kỷ 80, một số nhà toán học đã phát hiện ra mối liên hệ sâu sắc giữa

Lí thuyết Nevanlinna với Lí thuyết xấp xỉ Diophantine mà khởi đầu là từ côngtrình của Osgood công bố năm 1981, sau đó được Vojta và nhiều chuyên gia khác

thuộc hai lĩnh vực này tiếp tục làm rõ thêm Năm 1987, trong một bài báo, Vojta

đã lập ra một bảng tương ứng giữa các khái niệm và các kết quả thuộc hai lĩnhvực trên mà ngày nay thường gọi là từ điển Vojta Theo đó, Định lí cơ bản thứ haitương ứng với Định lí không gian con Schmidt của Lí thuyết xấp xỉ Diophantine.Không chỉ có sự tương đồng về khái niệm và kết quả, giữa hai lí thuyết trên còn

có sự bổ trợ lẫn nhau trong phương pháp giải quyết vấn đề Sự bổ trợ qua lại đó

đã làm cho cả hai lí thuyết đạt được những thành tựu nổi bật trong giai đoạn từđầu thế kỷ 21 đến nay, đó là thiết lập được nhiều Định lí cơ bản thứ hai và Định

lí không gian con Schmidt cho các trường hợp mục tiêu là các siêu mặt Tiêu biểu

là các kết quả của Corvaja-Zannier, Evertse-Ferretti, Ru, Dethloff-Trần Văn Tấn,Dethloff-Trần Văn Tấn-Đỗ Đức Thái, Sĩ Đức Quang

Trong dòng chảy sôi động đó, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: Về một dạngĐịnh lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyên và Định lí không giancon Schmidt đối với siêu mặt di động

2 Mục đích nghiên cứu

Trước tiên, luận án thiết lập Định lí cơ bản thứ hai cho đường cong nguyêntrong đa tạp đại số có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của mục tiêu vàứng dụng trong việc xây dựng tính Brody của đường cong Tiếp theo, luận ánthiết lập Định lí không gian con Schmidt ứng với họ siêu mặt di động giao đa tạpđại số xạ ảnh

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Luận án nghiên cứu về Định lí không gian con Schmidt, Định lí cơ bản thứhai, đường cong Brody và bài toán về họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình

Đề tài của luận án được nghiên cứu trong phạm vi các Lí thuyết xấp xỉ phantine và Lí thuyết Nevanlinna cho đường cong nguyên trong không gian xạảnh

Dio-4 Phương pháp nghiên cứu

Các vấn đề đặt ra trong luận án được chúng tôi giải quyết bằng cách kế thừa

và phát triển các phương pháp của Hình học đại số, Lí thuyết xấp xỉ Diophantine,Giải tích phức, Hình học phức

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Các kết quả đạt được của luận án làm gia tăng tri thức về Lí thuyết Nevanlinna

và Lí thuyết xấp xỉ Diophantine cũng như các ứng dụng của Định lí cơ bản thứhai trong việc nghiên cứu họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình, đường cong Brody.Sinh viên, học viên cao học và nghiên cứu sinh nghiên cứu theo hướng này cóthể sử dụng luận án như một tài liệu tham khảo trong quá trình học tập, nghiêncứu

6 Cấu trúc luận án

Luận án được trình bày thành ba chương chính Trong đó, chương thứ nhấtdành để phân tích, tìm hiểu các kết quả nghiên cứu của các tác giả trong và ngoàinước liên quan đến nội dung đề tài Hai chương còn lại trình bày các kiến thứcchuẩn bị và chứng minh chi tiết các kết quả mới của đề tài

7 Nơi thực hiện luận án

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Chương 1

TỔNG QUAN

Trong chương Tổng quan, chúng tôi xem xét lịch sử phát triển, mối quan hệ,một số kết quả tiêu biểu mà các tác giả đi trước đã đạt được trong cả hai Líthuyết Nevanlinna và Lí thuyết xấp xỉ Diophantine, đồng thời nêu lên các kết quảmới mà chúng tôi đạt được trong Lí thuyết Nevanlinna và các vấn đề liên quan vềtiêu chuẩn chuẩn tắc của họ ánh xạ chỉnh hình cũng như tiêu chuẩn Brody củađường cong nguyên, kết quả mới đạt được trong Lí thuyết xấp xỉ Diophantine

Định lý 1.1.2 (Định lí cơ bản thứ hai Nochka) Cho f là một đường cong nguyênkhác hằng trong Pn(C) Giả sử H1, , Hq là các siêu phẳng ở vị trí tổng quáttrong Pn(C), không chứa ảnh của f Khi đó

ở đó k là số chiều của không gian xạ ảnh nhỏ nhất chứa ảnh của f

Định lí cơ bản thứ hai của Nochka cho ta một hệ quả quan trọng đó là định líkiểu Picard cho ánh xạ chỉnh hình vào không gian xạ ảnh Theo nguyên lí Bloch,mỗi định lí kiểu Picard đều tương ứng với một tiêu chuẩn về họ chuẩn tắc cácánh xạ chỉnh hình và các dạng Bổ đề Zalcman là công cụ quan trọng cho phép tathực hiện ý tưởng của Bloch

Năm 1991, Ru-Stoll đã mở rộng tiếp được kết quả của Cartan nói trên sangtrường hợp mục tiêu là các siêu phẳng di động (có nghĩa là các hệ số trong cácsiêu phẳng được thay bằng các hàm chỉnh hình)

Một trong những thành tựu nổi bật mà cả hai lí thuyết nêu trên đạt được từđầu thế kỷ 21 đến nay là thiết lập thành công các dạng Định lí cơ bản thứ hai

và Định lí không gian con Schmidt cho các trường hợp mà mục tiêu là các siêumặt Cụ thể, trong những năm đầu của thế kỉ 21, các tác giả Everste-Ferretti,Corvaja-Zannier đã thiết lập thành công các Định lí không gian con Schmidt chomục tiêu là các siêu mặt Áp dụng cách tiếp cận của các tác giả đó, năm 2004,

Ru đã mở rộng thành công Định lí cơ bản thứ hai của Cartan sang trường hợpsiêu mặt

Định lý 1.1.3 (Định lí cơ bản thứ hai cho siêu mặt cố định) Cho f là một đườngcong nguyên, không suy biến đại số (nghĩa là ảnh của nó không thuộc bất kỳ siêumặt nào) trong Pn(C) Giả sử D1, , Dq (q ≥ n + 1) là các siêu mặt ở vị trítổng quát trong Pn(C) (nghĩa là n + 1 siêu mặt bất kỳ trong chúng có giao bằngrỗng) Khi đó, với mỗi ε > 0 ta có

Tiếp theo đó, các Định lí cơ bản thứ hai cho mục tiêu là các siêu mặt di động

ở vị trí tổng quát; cho đường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh (thay cho không

gian xạ ảnh) giao các siêu mặt ở vị trí tổng quát cũng đã được Dethloff-Trần VănTấn, Ru thiết lập thành công Các Định lí cơ bản thứ hai kiểu Nochka cho siêumặt cũng đã được thiết lập bởi Dethloff-Trần Văn Tấn-Đỗ Đức Thái, Lê Giang,Chen-Ru-Yan, Sĩ Đức Quang-Đỗ Phương An, Sĩ Đức Quang.

Gần đây, Trần Văn Tấn đã thiết lập được một dạng mạnh của Định lí cơ bảnthứ hai cùng Định lí Picard tương ứng cho lớp đường cong nguyên trong khônggian xạ ảnh có đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạo ảnh của các siêu phẳng mụctiêu Đồng thời với việc đó, tác giả đã đưa ra cách tiếp cận bài toán họ chuẩn tắccác ánh xạ chỉnh hình từ bài toán xác định duy nhất ánh xạ chỉnh hình Hướngnghiên cứu thứ nhất của luận án nhằm mở rộng cách tiếp cận của Trần Văn Tấn

từ trường hợp siêu phẳng sang cho siêu mặt

Trong chương 2 của luận án, chúng tôi trình bày các kết quả sau theo hướngnghiên cứu thứ nhất

Định lý 1.1.4 (N.T.Son - T.V.Tan, 2022) Cho V ⊂ Pn(C) là một đa tạp vớichiều k ≥ 1, và D1, , Dq là các siêu mặt trong Pn(C), ở vị trí N-dưới tổng quáttrên V (có nghĩa là N + 1 siêu mặt bất kỳ trong chúng với V có giao bằng rỗng).Gọi d là bội chung nhỏ nhất của các số deg D1, , deg Dq Xét f là một đườngcong nguyên trongV, không suy biến đại số (có nghĩa là không tồn tại siêu mặt đại

số trong Pn(C) chứa ảnh của f nhưng không chứa V) Kí hiệu f# là đạo hàm cầucủa ánh xạ f và HV là hàm Hilbert của đa tạp V Giả sử V ̸⊂ Dj(j = 1, , q),với f# = 0 trên ∪qj=1f−1(Dj) Khi đó,

[κ]

f (r, Dj) + o(Tf(r)),với κ = ∞ nếu HV(d) = 2 và κ = HV(d) − 1 nếu HV(d) ≥ 3

Định lý 1.1.5 (N.T.Son - T.V.Tan, 2022) ChoD1, , Dq là các siêu mặt ở vị trítổng quát trong Pn(C),n ≥ 2 Gọid là bội chung nhỏ nhất củadeg D1, , deg Dq.Giả sử tồn tại đường cong nguyên khác hằng f trong Pn(C) sao cho với mỗi j ∈{1, , q}, hoặc f (C) ⊂ Dj, hoặc f# = 0 trên f−1(Dj) Khi đó q ≤ 3n n+dn
− n.Định lý 1.1.6 (N.T.Son - T.V.Tan, 2022) Cho f là một đường cong nguyêntrong Pn(C), n ≥ 2 Giả sử các siêu mặt D1, , Dq ở vị trí tổng quát trong

Pn(C) sao cho f# bị chặn trên ∪qj=1f−1(Dj) Gọi d là bội chung nhỏ nhất củadeg D1, , deg Dq Khi đó, nếu q > 3n n+dn
− n, thì f# bị chặn trên toàn C,nghĩa là, f là một đường cong Brody.

1.2 Định lí không gian con Schmidt

Theo từ điển Vojta, ta có Định lí không gian con Schmidt sau đây tương ứngvới Định lí cơ bản thứ hai Cartan

Định lý 1.2.1 (Định lí không gian con Schmidt) Cho k là một trường số và

S ⊂ Mk là một tập hữu hạn, chứa tất cả các định giá Archimedes Cho các siêuphẳng H1, , Hq trong Pn(k), ở vị trí tổng quát Khi đó, với mỗi ε > 0 ta có

Định lý 1.2.2 (Ru-Vojta, 1997) Cho k là một trường số và S là một tập conhữu hạn các định giá của k, chứa tất cả các định giá Archimedes Cho Λ là mộttập chỉ số gồm vô hạn phần tử và H := {H1, , Hq} là họ các siêu phẳng diđộng trong PM(k), đánh chỉ số trên Λ Cho x = [x0 : · · · : xM] : Λ → PM(k) làmột điểm di động Giả sử

(i) x không suy biến tuyến tính ứng với họ siêu phẳng H (nghĩa là, với bất kỳtập con A ⊂ Λ nhất quán tương ứng với họ siêu phẳng H thì x0|A, , xM|A làđộc lập tuyến tính trên RA,H),

(ii) Giả sử với mỗi j ∈ {1, , q}, ta có h(Hj(α)) = o(h(x(α))), theo nghĩa,với mọi δ > 0 bất kỳ, h(Hj(α)) ≤ δh(x(α)) với mọi α ∈ Λ, ngoại trừ một tậpcon hữu hạn.

Khi đó, với mỗi ε > 0, tồn tại tập con vô hạn chỉ số A ⊂ Λ sao cho bất đẳngthức sau đúng với mọi α ∈ A,

Ở đây, giá trị lớn nhất được lấy trên tất cả các tập con K của {1, , q}, #K =

M + 1 sao cho các siêu phẳng Hj(α), j ∈ K, là độc lập tuyến tính trên k với mỗi

α ∈ Λ; λHj(α),v là hàm Weil ứng với đa thức Hj(α)

Định lí không gian con Schmidt ứng với Định lí cơ bản thứ hai của Trần Văn Tấn đã được Lê Giang, Chen-Ru-Yan thiết lập vào năm 2015 Các Định

Dethloff-lí cơ bản thứ hai và Định Dethloff-lí không gian con Schmidt cho mục tiêu là các siêu mặt

ở vị trí dưới tổng quát (thay vì ở vị trí tổng quát) trong không gian xạ ảnh đãđược Sĩ Đức Quang nghiên cứu Các Định lí không gian con Schmidt này đềuđược xét trong trường hợp siêu mặt di động trong không gian xạ ảnh

Hướng nghiên cứu thứ hai của chúng tôi trong luận án này là thiết lập Định líkhông gian con Schmidt cho trường hợp siêu mặt di động trong đa tạp đại số xạảnh và là định lí ứng với Định lí cơ bản thứ hai của Dethloff-Trần Văn Tấn.Chương 3 của luận án trình bày hướng nghiên cứu này với kết quả chính thuđược như sau

Định lý 1.2.3 (N.T.Son-T.V.Tan-N.V.Thin, 2018) Cho k là một trường số và

S ⊂ Mk là một tập con hữu hạn chứa tất cả các định giá Archimedes Cho

x = [x0 : · · · : xM] : Λ → V là một điểm di động Giả sử

(i) Họ các siêu mặt Q ở vị trí tổng quát trên V, và x là V-không suy biến đại

số ứng với Q (các khái niệm này được định nghĩa chi tiết trong Chương 3);(ii) h(Qj(α)) = o(h(x(α))) với mọi α ∈ Λ và j = 1, , q (nghĩa là với mọi

δ > 0, h(Qj(α)) ≤ δh(x(α)) với mọi α ∈ Λ, ngoài một tập con hữu hạn)

Khi đó, với mỗi ε > 0, tồn tại tập con vô hạn chỉ số A ⊂ Λ sao cho

đúng với mọi α ∈ A.

Đặc biệt, khi V = Pn(k), kết quả trên trùng với kết quả của Lê Giang , Ru-Yan Sĩ Đức Quang đã mở rộng kết quả của Lê Giang, Chen-Ru-Yan từ trườnghợp siêu mặt ở vị trí tổng quát sang vị trí dưới tổng quát và đã đề xuất kỹ thuậtước lượng (đánh giá) để quy trường hợp các siêu mặt mục tiêu ở vị trí dưới tổngquát về trường hợp các siêu mặt ở vị trí tổng quát Kết hợp kỹ thuật của chúngtôi với kỹ thuật của Sĩ Đức Quang, bất đẳng thức trong định lí trên có thể dễdàng thay thế bởi bất đẳng thức sau trong trường hợp họ các siêu mặt Q ở vị trí

Chen-m-dưới tổng quát trên V (tức là, tại hầu hết các phần tử thuộc tập chỉ số, theonghĩa, ngoài một tập hữu hạn chỉ số, m + 1 siêu mặt bất kì trong họ Q đều cógiao bằng rỗng trên V)

Về phương pháp giải quyết vấn đề, điểm khác biệt lớn nhất giữa kết quả củachúng tôi (cho trường hợp đa tạp xạ ảnh) so với kết quả của Lê Giang, Chen-Ru-Yan, Sĩ Đức Quang (cho trường hợp không gian xạ ảnh) nằm ở chỗ, với đa tạp

xạ ảnh tổng quát, vành tọa độ nói chung không là vành Cohen-Macauley như đốivới trường hợp đặc biệt là không gian xạ ảnh

Chương 2

ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI ĐỐI VỚI ĐƯỜNG

CONG NGUYÊN CÓ ĐẠO HÀM CẦU TRIỆT TIÊU TRÊN TẬP ẢNH NGƯỢC CỦA MỘT MỤC TIÊU

Như đã trình bày trong phần Tổng quan, mục đích chính của Chương 2 lànghiên cứu thiết lập Định lí cơ bản thứ hai cùng Định lí Picard tương ứng cholớp đường cong nguyên trong không gian xạ ảnh có đạo hàm cầu triệt tiêu trêntập tạo ảnh của các siêu mặt mục tiêu Đồng thời, với cách tiếp cận bài toán họchuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình từ bài toán xác định duy nhất ánh xạ chỉnh hìnhchúng tôi đưa ra một tiêu chuẩn Brody cho đường cong nguyên tương ứng.Kết quả của Chương 2 được viết dựa trên các bài báo [2] và [3] (trong mụcCác công trình đã công bố liên quan đến luận án)

2.1 Một số kiến thức chuẩn bị

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản và một số kết quả,tính chất quan trọng của Lí thuyết Nevanlinna để từ đó có thể phát biểu cũngnhư sử dụng để chứng minh các kết quả đã nêu trong phần Tổng quan, bao gồm:các hàm cơ bản trong Lí thuyết Nevanlinna, toán tử Wronski và Bổ đề đạo hàmLogarit cho ánh xạ chỉnh hình, họ siêu mặt ở vị trí dưới tổng quát trên đa tạp

xạ ảnh và một số khái niệm liện quan, đạo hàm cầu của ánh xạ chỉnh hình, họchuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình và tính Brody của đường cong nguyên

2.2 Định lí cơ bản thứ hai và Định lí Picard cho đường cong nguyên

trong không gian xạ ảnh với đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạoảnh của các siêu mặt mục tiêu

Mục này chủ yếu dành để chứng minh Định lí cơ bản thứ hai kiểu Nochka chođường cong nguyên trong đa tạp xạ ảnh với đạo hàm cầu triệt tiêu trên tập tạoảnh của các siêu mặt mục tiêu và từ đó chứng minh tiếp Định lí kiểu Picard tươngứng Đây là kết quả đạt được của chúng tôi trong bài báo [2]

2.2.1 Trọng Nochka ứng với một hệ vectơ

Để chứng minh định lí chính của phần này, Định lí 2.2.5, chúng tôi sử dụng cáckết quả quan trọng sau

Bổ đề 2.2.1 Cho S là một không gian vectơ phức k + 1 chiều và N, q là các sốnguyên dương thỏa mãn N ≥ k, q ≥ 2N − k + 1 Cho v1, , vq là hệ các vectơkhác không trong S Giả sử mỗi tập con N + 1 vectơ của hệ {v1, , vq} đều cóhạng k + 1 Khi đó, tồn tại các hằng số ω1, , ωq và Θ thỏa mãn các điều kiệnsau

(i) 0 < ωj ≤ Θ ≤ 1 với mọi j ∈ {1, , q};

k + 1 Gọi ω1, , ωq là các trọng số Nochka ứng với hệ v1, , vq Xét E1, , Eq

là các hằng số thực không âm tùy ý Khi đó, với mỗi tập con R của {1, , q} mà

#R = N + 1, tồn tại tập con R′ ⊂ R sao cho {vj, j ∈ R′} là một cơ sở của S và

Định lý 2.2.4 (N.T.Son - T.V.Tan, 2022) Cho V ⊂ Pn(C) là một đa tạp vớichiều k ≥ 1, và D1, , Dq là các siêu mặt trong Pn(C), ở vị trí N-dưới tổng quáttrên V Gọi d là bội chung nhỏ nhất của các số deg D1, , deg Dq Xét f là mộtđường cong nguyên trong V, không suy biến đại số Giả sử V ̸⊂ Dj(j = 1, , q),với f# = 0 trên ∪qj=1f−1(Dj) Khi đó,

2.2.3 Một tiêu chuẩn Brody cho đường cong nguyên

Như đã nêu trong phần Tổng quan, với Định lí Picard đạt được ở trên, kết hợpvới Bổ đề kiểu Zalcman dưới đây (Bổ đề 2.2.6), chúng tôi đã đạt được một tiêuchuẩn Brody cho đường cong nguyên là Định lí 2.2.7