ISSN 1859 3100 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH TẠP CHÍ KHOA HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ Tập 14, Số 6 (2017) 146 156 HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION JOURNAL OF SCIENCE NATURAL SCI[.]
Trang 1ISSN:
1859-3100
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH
TẠP CHÍ KHOA HỌC
KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÀ CÔNG NGHỆ Tập
14, Số 6 (2017): 146-156
HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION
JOURNAL OF SCIENCE
NATURAL SCIENCES AND TECHNOLOGY Vol 14, No 6 (2017): 146-156
Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website: http://tckh.hcmue.edu.vn
MỘT LỚP MỞ RỘNG KÉP CỦA MỘT VÀI ĐẠI SỐ LIE TOÀN
PHƯƠNG GIẢI ĐƯỢC 7 CHIỀU
Nguyễn Thị Mộng Tuyền *
Khoa Sư phạm Toán Tin - Trường Đại học Đồng Tháp
Ngày Tòa soạn nhận được bài: 15-3-2017; ngày phản biện đánh giá: 05-5-2017; ngày chấp nhận đăng: 19-6-2017
TÓM TẮT
Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một lớp mở rộng kép của một vài đại số Lie toàn phương giải được
7 chiều đã được liệt kê trong [4] Kết quả thu được là một phần trong bài toán phân loại các đại số Lie toàn phương giải được 9 chiều bằng phương pháp mở rộng kép.
Từ khóa: đại số Lie toàn phương giải được, mở rộng kép.
ABSTRACT
A double extension class of some solvable quadratic Lie algebras of dimension 7
In this paper, we study and come up with result that a class double extension of some of solvable quadratic Lie algebras of dimension 7 listed in [4] The result is a part of classification of solvable quadratic Lie algebras of dimension 9 by applying the method of double extension.
Keywords: solvable quadratic Lie algebra, double extension.
Trong vài thập niên gần đây, bài toán phân loại các đại số Lie toàn phương (giải được hay không giải được) luôn là một vấn đề thời sự được rất nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm Nhắc lại rằng, đại
số Lie toàn phương là một đại số Lie hữu hạn chiều trên trường đóng đại số F cùng với một dạng song tuyến tính đối xứng, bất biến và không suy biến Để thấy rõ tính thời sự của vấn đề, trước hết chúng ta điểm lại một số công trình tiêu biểu trong khoảng ba thập niên gần đây
• Năm 1987, Favre và Santharoubane [1] đã phân loại các đại số Lie toàn phương lũy linh chiều bé hơn hoặc bằng 7 bằng phương pháp mở rộng kép trên không gian véctơ toàn phương
• Năm 2003, Baum và Kath [2] đã phân loại các đại số Lie toàn phương giải được
chiều bé hơn hoặc bằng 6
• Năm 2007, Kath [3] đã phân loại các đại số Lie toàn phương lũy linh chiều bé hơn
hoặc bằng 10 bằng phương pháp đối đồng điều toàn phương
• Năm 2014, Duong [4] đã phân loại các đại số Lie toàn phương giải được chiều bé hơn hoặc bằng 8 bằng phương pháp mở rộng kép trên không gian véctơ toàn phương
* Email: ntmtuyen@dthu.edu.vn
1
Trang 2• Năm 2008, Campoamor và Stursberg [6] đã phân loại các đại số Lie toàn phương không giải được chiều bé hơn hoặc bằng 9
• Năm 2014, Benayadi [7] đã phân loại các đại số Lie toàn phương không giải được chiều bé hơn hoặc bằng 13
Như vậy, cho đến thời điểm này, vẫn chưa có một kết quả nào về phân loại lớp các đại số Lie toàn phương giải được chiều lớn hơn hoặc bằng 9 Đây chính là động lực để chúng tôi hướng đến nghiên cứu bài toán phân loại các đại số Lie toàn phương giải được 9 chiều bằng cách mở rộng kép các đại số Lie toàn phương giải được 7 chiều trong [4] Mặc
dù đã hạn chế trên số chiều 9, vấn đề vẫn còn rất phức tạp Trong bài báo này, chúng tôi giới thiệu được một lớp mở rộng kép hoàn toàn mới của ba đại số Lie toàn phương giải được 7 chiều
Bài báo được bố cục như sau: Phần 1 nêu vấn đề và đặt bài toán nghiên cứu Phần 2 nhắc lại phân loại các đại số Lie toàn phương giải được đến 7 chiều trong [4] Phần 3 giới thiệu các kết quả chính của bài báo về một lớp hoàn toàn mới các đại số Lie giải được 9 chiều
2 Phân loại các đại số Lie toàn phương giải được đến 7-chiều
Định nghĩa 2.1 [5]
Cho một đại số Lie hữu hạn chiều G trên trường
B : G×G → F được gọi là:
F Một dạng song tuyến tính
1 Đối xứng nếu B(X ,Y ) = B(Y , X ), ∀X ,Y ∈G
2 Không suy biến nếu B(X ,Y ) = 0,∀Y ∈G
thì
X = 0
3 Bất biến (hay kết hợp) nếu B([ X ,Y ], Z ) = B(X ,[Y , Z ]),∀X ,Y , Z ∈G
Khi đó, (G, B) được gọi là đại số Lie toàn phương.
I ⊥ ={X ∈G B ( X ,Y ) = 0, ∀Y ∈ I } ) cũng là iđêan của G Hơn nữa, nếu I không suy biến
(tức là, I ×
I không suy biến) thì I ⊥ cũng không suy biến và G= I ⊕ I ⊥ Trong trường hợp này, ta kí hiệu G = I I ⊥ Nhớ lại rằng, một đại số Lie toàn phương G được gọi là bất khả phân nếu nó không chứa bất kì một iđêan thực sự không suy biến nào Ngược lại, chúng ta gọi G là khả phân Rõ ràng, nếu
Định nghĩa 2.2 [5]
X ∈ Z (G) , B ( X , X ) ≠ 0 thì G là khả phân
Cho (h, [.,.]h , B)
(tức là, D thỏa mãn
là một đại số Lie toàn phương và D là đạo hàm phản xứng của h
không gian véctơ G = h⊕ Fe ⊕ Ff
B
⊕
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP
146-156
Trang 3[ X ,Y ] = [ X ,Y ]h + B( D( X ),Y ) f , [e, X ] = D( X ), ∀X , Y ∈h, [ f , G] = 0
TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP
Tuyền
Trang 4Khi đó G được gọi là một đại số Lie toàn phương với dạng song tuyến tính bất biến
BG được xác định bởi:
BG (e, e) = BG( f , f ) = BG(e,h) = BG ( f ,h) = 0, BG( X ,Y ) = B( X ,Y ), B(e, f ) = 1, ∀X ,Y ∈G Chúng ta gọi G là mở rộng kép của h bởi D hoặc là mở rộng kép một chiều của h Kí hiệu (G, BG, D).
Mở rộng kép là phương pháp hữu ích và được sử dụng thường xuyên trong bài toán phân loại Trong định nghĩa trên, nếu h là aben và D ≠ 0 thì G2 ={0} hoặc dimGd2 = 1
(với
G2 = [G,G] , [G, G] ) và G là mở rộng kép một bước
Mệnh đề 2.3 [5]
Cho G là đại số Lie toàn phương và D1 ,
là các đạo hàm phản xứng của G Nếu
D1 − D2 = ad ( X ), X ∈G thì các mở rộng kép của G
bởi
Mệnh đề 2.4 [5]
D1 ,
D2
là đẳng cấu
Cho (G, B) là đại số Lie toàn phương giải được, dimG = n, (n ≤ 6)
1 Nếu n ≤ 3 thì G là aben
2 Nếu n = 4 thì G đẳng cấu đẳng cự với F 4
hoặc
G4 = span{X , P, Q, Z}, trong đó
⊥
3 Nếu n = 5 thì G đẳng cấu đẳng cự với F5, G ⊕ F hoặc G = span{X , X ,T , Z , Z }
sao cho B(X1, Z1) = B( X 2 , Z2 ) = B(T ,T ) = 1,
và [ X1, X 2 ] = T , [X1,T ] = −Z2 , [X 2 ,T ] =
Z1
4 Nếu n =
6
thì G đẳng cấu đẳng cự với F6, G ⊕F2, G ⊕F hoặc
G6 = span{X1 , X 2 , X 3 , Z1 , Z2 , Z3}, trong
đó đẳng cấu đẳng cự với mỗi đại số Lie
sau:
B( X1, Z1) = B( X 2 , Z2 ) = B( X 3 , Z3 )
= 1
và G
(i) G6,1 : [ X1 , X 2 ] = Z3 , [ X 2 , X 3 ] = Z1 , [ X 3 , X1 ] = Z2
(ii) G6,2 ( λ ) : [ X 3 , X1 ] = X1, [ X 3 , X 2 ] =λ X 2 , [ X 3 , Z1 ] =−Z1, [ X 3 , Z2 ] =−λ Z2 ,[ X1, Z1 ]
= Z3 , [ X 2 , Z2 ] =λZ3
(iii) G6,3 :
4
Trang 5[ X 3 , X 1 ] = X
1 , [ X 3 , X 2 ] =
X 1 + X 2 , [ X 3
, Z1 ] = −Z1 −
Z2 , [ X 3 , Z 2 ]
= −Z2 ,
[ X1, Z1 ] = Z3 , [ X2 , Z2 ] = Z3 , [X 2 , Z1 ] = Z3
Mệnh đề 2.5 [4]
Cho (G, B) là đại số Lie toàn phương giải được 7 chiều
⊥
1 Nếu G là khả phân thì G đẳng cấu đẳng cự với G6 ⊕F,
toàn phương giải được 6 chiều trong Mệnh đề 2.4
trong đó G6 là đại số Lie
5
Trang 62 Nếu G là bất khả phân thì tồn tại một cơ sở {X1, X 2 , X3 ,T , Z1, Z2 , Z3} của G sao cho dạng song tuyến tính B được xác định B( X1 , Z1 ) = B(X 2 , Z2 )
=
B(X3, Z3) = B(T ,T ) = 1
và G đẳng cấu đẳng cự với các đại số Lie sau:
(i) G7,1 : [ X3 , X2 ] = X1, [X3 ,T ] = X 2 , [X3 , Z1 ] = −Z2 , [ X3 , Z2 ] =−T , [ X 2 , Z1 ] =
Z3 ,
[T , Z2 ] = Z3
(ii) G7 ,2 : [ X3, X1] = X1, [ X3,T ] = X2 , [ X3, Z1] =−Z1, [ X3, Z2 ] =−T , [ X1, Z1]
= Z3,
[T , Z2 ] = Z3
(iii) G7,3 : [ X3, X1] = X1, [X3, X 2 ] = − X2 , [ X3, Z1] =−Z1, [X3, Z2] =−Z2, [ X1,
Z3 , [ X 2 , Z2 ] =−Z3 , [ X1, X 2 ] = T , [ X1,T ] =−Z2 , [ X 2 ,T ] = Z1
Với kết quả của Mệnh đề 2.5, chúng tôi đã nghỉ đến việc giải quyết bài toán phân loại đại số Lie toàn phương giải được 9 chiều bằng phương pháp mở rộng kép các đại số Lie toàn phương giải được 7 chiều Dưới đây là một vài kết quả ban đầu mà chúng tôi thu được:
3 Một lớp mở rộng kép của một vài đại số Lie toàn phương giải được 7 chiều trong Mệnh đề 2.5
Định lí 3.1.
⊥ Gọi D là một đạo hàm phản xứng của đại số Lie toàn phương G6,1 ⊕ F Khi đó ma trận biểu diễn của D đối với cơ sở {X1, X 2 , X 3 , Z1, Z2 , Z3 ,Y} được xác định như sau:
−
x1
−
y
−x2
− y −
x3
− y
− z1 −z2 x1 + y2 0 0 0 0
, x , y , z ,
t
i
∈F, i = 1, 2, 3.
0 0 0 x3 y3 −(x1 + y2
)
t3
⊥
Trang 7Nếu các t i = 0, i = 1, 2, 3 thì mở rộng kép của G6,1 ⊕ F bởi D là:
1 G9,1 : [ X1 , X 2 ] = Z3 , [ X 2 , X 3 ] = Z1 , [ X 3 , X1 ] = Z2
2 G9 ,2 : [e, X2 ] = X1,[e, Z1] =−Z2 , [ X1, X2 ] = Z3,[ X2, X3 ] = Z1, [X2 , Z1] = f ,[X3,
X1]
= Z2
3 G9,3 : [e, X 2 ] = X1, [e, X3] = X2, [e, Z1] =−Z2, [e, Z2 ] =−Z3, [X1, X 2 ] = Z3, [X 2,
X3]
= Z1, [ X 2 , Z1] = f , [ X 3 , X1 ] = Z2 , [ X 3 , Z2 ] = f
4 G9 ,4 : [e, X 2 ] = X2 , [e, X3] =− X3, [e, Z2 ] =−Z2, [e, Z3] = Z3, [ X1, X 2 ] = Z3,[ X 2,
X3]
= Z1, [ X 2 , Z2 ] = f , [ X 3 , X1 ] = Z2 , [ X 3 , Z3 ] =− f
Trang 85 G9,5 : [e, X1 ] = X1,[e, X 2 ] = X1 + X 2 ,[e, X 3 ] = −2 X 3 ,[e, Z1] =−Z1 − Z2 ,[e, Z2 ] =−Z2 ,
[e, Z3 ] = 2Z3 , [ X1, X 2 ] = Z3 , [ X 3 , X1 ] = Z2 , [ X1, Z1 ] = f , [ X 2 , X 3 ] = Z1,[ X 2 , Z1] = f ,
[ X 2 , Z2 ] = f , [ X3 , Z3 ] = −2 f
6 G9 ,6 : [e, X1 ] = X1 ,[e, X 2 ] =α X 2 ,[e, X 3 ] = (−1−α ) X 3 , [e, Z1 ] = −Z1, [e, Z2 ] =−α Z2
,
[e, Z3 ] = (1+α )Z3 , [X1, X 2 ] = Z3 , [X3 , X1 ] = Z2 , [X1, Z1 ] = f , [X 2 , X3 ] = Z1,[X 2 , Z2 ] =α f , [ X 3, Z3 ] = (−1−α ) f
Chứng minh.
h = G6,1 ⊕ F = span{X1 , X 2 , X 3 , Z1 , Z2 , Z3 ,Y }, với móc Lie
[ X1, X 2 ] = Z3 , [ X 2 , X3 ] = Z1, [ X 3 , X1 ] =
B( X1 , Z1 ) = B( X 2 , Z2 ) =B( X 3 , Z3 ) = B( X , X ) = 1 Nếu D là một đạo hàm phản xứng của
h đối với cơ sở đã chọn Ta tính được ma trận biểu diễn của D :
−
x1
−
y
−x2
−y −x3
−z1 −z2 x1 + y2 0 0 0 0
1 1 1 1 1 t1 , x i , y i , z i , t i , b1, c1, c2
b1 0 −c
2
c1 c2 0 x
3 y3 −(x1 + y2
)
t3
Theo Mệnh đề 2.3 ta chọn b1 = c1 = c2 = 0 Khi đó ta xét ma trận D như sau:
A 0 0
D = 0 − A t B
−B t 0 0
−x1 A =
−
y
−x2
−y −x3
−y
, B =( t t
t
) Đặt G = h⊕ Fe ⊕ Ff
−z − z x + y
t
Trang 9Xét đẳng cấu P : G6,1 ⊕ F → G6,1 ⊕ F sao cho P = Q ⊗
id
với Q là đẳng cấu của G6,1
và id là ánh xạ đồng nhất của F Nếu chọn B =
0 và vết của A bằng 0 thì chúng ta xét
các trường hợp sau của ma trận A :
0 0 0
1 A = 0 0 0
thì móc Lie của G được xác định bởi: [ X ,
0 0 0
[ X 3 , X1 ] = Z2
Trang 10 0 1 0
2 A = 0 0 0
0 0 0
[e,
X
2 ] = X1,
[e, Z1] =−Z2 , [ X1, X 2 ] = Z3 , [ X 2 , X 3 ] = Z1, [ X 2 , Z1 ] = f , [ X 3 , X1 ] = Z2
0 1 0
3 A = 0 0 1 thì móc Lie của G được xác định bởi: [e,
X
0 0 0
2 ] = X1, [e, X 3 ] =
X 2 , [e, Z1 ] =−Z2 , [e, Z2 ] =−Z3 , [ X1, X 2 ] = Z3 , [ X 2 , X 3 ] = Z1, [ X 2 , Z1 ] = f , [ X 3 , X1 ] =
Z2 ,
[ X3, Z2 ] = f
0 0 0
4 A = 0 1 0
thì móc Lie của G được xác định bởi: [e, X ] = X , [e, X ] =
0 0 −1
− X3 , [e, Z2 ] = −Z2 ,[e, Z3 ] = Z3 , [ X1, X 2 ] = Z3 , [ X 2 , X3 ] = Z1 , [ X 2 , Z2 ] = f , [ X3 , X1] =
Z2 ,
[ X3, Z3 ] =− f
1 1 0
5 A = 0 1 0
thì móc Lie của G được xác định bởi: [e, X ] 1 = X , [e, X ] 1 2 =
0 0 −2
X1 + X 2 , [e, X 3 ] = −2 X 3 , [e, Z1 ] = −Z1 − Z2 , [e, Z2 ] = −Z2 , [e, Z3 ] = 2Z3 , [ X1, X 2 ] = Z3 ,
[ X 3 , X1 ] = Z2 , [ X1, Z1 ] = f , [ X 2 , X 3 ] = Z1, [ X 2 , Z1] = f ,[ X 2 , Z2 ] = f , [
1 0 0
6 A = 0 α 0
thì móc Lie của G được xác định bởi: [e, X ] = X ,
0 0 −1−α
[e, X 2 ] =α X 2 , [e, X 3 ] = (−1−α ) X 3 , [e, Z1 ] =−Z1, [e, Z2 ] = −α Z2 , [e, Z3 ] = (1+α )Z3 , [ X1,
X 2 ]
= Z3 , [ X 3 , X1 ] = Z2 , [ X1, Z1 ] = f , [ X 2 , X 3 ] = Z1, [ X 2 , Z2 ] =α f , [ X 3 , Z3 ] = (−1− α ) f
⊥
Nhận xét 3.2 Ta có các mở rộng kép của G6,1 ⊕ F trong Định lí 3.1 là khả phân, vì
X ∈ Z (G) và B(X , X ) ≠ 0
Trang 11Định lí 3.3.
⊥ Gọi D là một đạo hàm phản xứng của đại số Lie G ⊕F 2 Khi đó ma trận biểu diễn của D đối với cơ sở {X1, X 2 ,T , Z1, Z2 ,Y1,Y2} được xác định bởi:
5
Trang 12 −x1
−
x
0 0 0 0 0 0
1 1
− A t −B t 0 0 0 C
với
A = (x3 y3 ), B = (x4 y4 ), C ∈ o(2), x i , y i ∈ F, i = 1, 2, 3,
4
⊥
Nếu x3 = y3 = y4 = 0, x4 = 1
thì mở rộng kép của G ⊕F2bởi D là:
1 G9 ,7 : [e, X1] =−Y2 , [e,Y2 ] = Z1, [X1, X2 ] = T , [X1,T ] = −Z2 , [X1,Y2 ] = − f , [X2 ,T ] =
Z1
2 G9,8 : [e, X1 ] = −Y2 , [e, X 2 ] = X1, [e, Z1] =−Z2 , [e,Y2 ] = Z1, [ X1, X 2 ] = T ,[ X1,T ] =−Z2
,
[ X1,Y2 ] = − f , [ X 2 ,T ] = Z1, [ X 2 , Z1] = f
3 G9,9 : [e, X1 ] = X1 − Y2 , [e, X 2 ] =− X 2 ,[e, Z1 ] =−Z1,[e, Z2 ] = Z2 , [e,Y2 ] = Z1, [ X1, X 2 ]
= T , [ X1,T ] =−Z2 , [ X1, Z1 ] = f , [ X1,Y2 ] =− f , [ X 2 ,T ] = Z1, [ X 2 , Z2 ] = − f
4 G9,10 : [e, X1 ] =−Y2 , [e,Y1 ] = Y2 , [e,Y2 ] = Z1 − Y1, [ X1, X 2 ] = T , [ X1,T ] =−Z2 , [ X1,Y2 ]
= − f , [ X 2 ,T ] = Z1, [Y1,Y2 ] = f
5 G9,11 : [e, X1] =−Y2 , [e, X 2 ] = X1, [e, Z1 ] = −Z2 , [e,Y1 ] = Y2 , [e,Y2 ] = Z1 −Y1, [ X1, X 2 ]
= T , [ X1,T ] =−Z2 , [ X1,Y2 ] =− f , [ X 2 ,T ] = Z1 , [ X 2 , Z1 ] = [Y1,Y2 ] = f
6 G9,12 : [e, X1 ] = X1 − Y2 , [e, X 2 ] =− X 2 , [e, Z1 ] =−Z1, [e, Z2 ] = Z2 , [e,Y1 ] = Y2 , [e,Y2 ]
= Z1 − Y1, [X1, X 2 ] =
T , [ X1,T ] = −Z2 , [X1 , Z1 ] =
f ,
[ X1,Y2 ] = − f , [X 2 ,T ] = Z1,
[ X 2 , Z2 ] = − f , [Y1,Y2 ] = f
Chứng minh.
Giả sử h = G ⊥⊕ F2
,
{X ,
X ,T , Z , Z}
của
G sao cho
[ X1, X 2 ] = T , [ X1,T ] = −Z2 , [ X 2 ,T ] = Z1, B( X1, Z1 ) = B( X 2 , Z2 ) = B(T
giao {Y1,
của F
2
Gọi D là một đạo hàm phản xứng của G đối với cơ sở
{X1, X 2 ,T , Z1, Z2 ,Y1,Y2} Ta tính được ma trận biểu diễn của D như sau:
−y1 0 0 0 0
5
Trang 13 − x1 − y1 0 0 0 0
−
D =
2 1
a1 a2
0
−c
−a x x A
c1 0 −a2 y1 −x1 B
− A t −B t 0 0 0 C
Trang 14với A = (x3 x4 ), B = ( y3 y4 ), C ∈ o(2), x i , y i , a1, a2 , c1 ∈ F, i = 1, 2, 3, 4 Theo Mệnh đề 2.3, ta
có thể chọn a1 = a2 = c1 = 0 Khi đó
−x1
−
x
0 0 0 0 0 0
D =
0 0 0 y −x B
1 1
− A t −B t 0 0 0 C
Đặt G = h⊕ Fe ⊕ Ff Nếu đẳng
cấu
là đẳng cấu của
G5 và id là ánh xạ đồng nhất của F 2
Vì
, 0
−1
, F = −x1 − y1
đồng dạng với một ma trận dạng Jordan và F
0 0 1 0
có vết bằng 0 nên
, 0 1
, 1 0
Đặt
Nếu E = 0 1
0 0 0 0
0
−1
y y 0 0
thì ta xét các trường hợp sau:
1 F =
, C =
0
0
thì móc Lie của G được xác định
[e,Y2 ] = Z1, [X1, X 2 ] = T , [ X1,T ] = −Z2 , [ X1,Y2 ] =− f , [X 2 ,T ] = Z1
2 F =
, C =
0
0
thì móc Lie của G được xác định
[e, X2 ] = X1, [e, Z1] =−Z2 , [e,Y2 ] = Z1, [ X1, X 2 ] = T , [ X1,T ] = −Z2 , [ X1,Y2 ] = − f , [ X 2 ,T ] =
Z1, [ X 2 , Z1 ] = f
3 F = 1 0 , C = 0 0 thì móc Lie của G được xác định bởi: [e, X ] = X
−
y1 0 0 0 0
Trang 15
−Y2 , [e, X 2 ] =−
X 2 , [e, Z1 ] =−Z1, [e, Z2 ] = Z2 , [e,Y2 ] =
Z1,
[ X1, X 2 ] = T , [ X1 ,T ] = −Z2 ,
[ X1, Z1 ] = f , [X1 ,Y2 ] = − f , [ X2 ,T ] = Z1, [X 2 , Z2 ] = − f
4 F =
, C =
thì móc Lie của G được xác định bởi:
[e, X ] =−Y ,
[e,Y1] = Y2 , [e,Y2 ] = Z1 − Y1, [X1, X 2 ] = T , [ X1,T ] = −Z2 , [ X1 ,Y2 ] = − f , [ X 2 ,T ] = Z1,
[Y1,Y2 ] = f
Trang 165 F =
, C =
thì móc Lie của G được xác định bởi: [e, X ] =−Y ,
[e, X 2 ] = X1, [e, Z1 ] =−Z2 , [e,Y1 ] = Y2 , [e,Y2 ] = Z1 − Y1, [ X1, X 2 ] = T , [ X1,T ] =
−Z2 ,
[ X1,Y2 ] = − f , [X 2 ,T ] = Z1, [ X2 , Z1 ] = [Y1,Y2 ] = f
6 F = 1 0 , C = 0−1 thì móc Lie của G được xác định bởi: [e, X ] = X
−Y2 , [e, X 2 ] = − X 2 , [e, Z1] = −Z1, [e, Z2 ] = Z2 , [e,Y1] = Y2 , [e,Y2 ] = Z1 − Y1, [X1, X 2 ] = T
,
[ X1,T ] =−Z2 ,[ X1, Z1 ] = f ,[ X1,Y2 ] = − f ,[ X 2 ,T ] = Z1,[ X 2 , Z2 ] =− f ,[Y1,Y2 ] = f
Nhận xét 3.4 Ta thấy G9,7 , G9,8 , G9,9 là khả phân, vì có Y1 ∈ Z (G), B ( Y1,Y1
) ≠ 0,
G9,10 , G9,11
là mở rộng kép một bước,
G9,12
Định lí 3.5.
là bất khả phân
Gọi D là một đạo hàm phản xứng của đại số Lie G7 ,1 Khi đó ma trận biểu diễn của
D đối với cơ sở {X1, X 2 , X3 ,T , Z1, Z2 , Z3} được xác định bởi:
0
0 , x2 , y1 , b4
∈ F.
Nếu
2
x2 = y1 = b4 =
0
thì mở rộng kép của G7,
1
bởi D là G9,13 với móc Lie
[ X 2 , X3 ] = − X1, [ X 2 , Z1 ] = Z3 , [X3 ,T ] = X 2 , [X3 , Z1 ] =−Z2 , [ X3 , Z2 ] =−T , [T , Z2 ] =
Z3
Chứng minh.
Chọn một cơ sở chính tắc {X1, X 2 , X3 ,T , Z1, Z2 ,
Z3}
của G7,
1
sao cho các móc Lie
0
0 00 00 00 −b y1
0
0 0
0