PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH MỞ ĐẦU Trong các kì thi ta thường thấy xuất hiện một số bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ

PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

MỞ ĐẦU

Trong các kì thi ta thường thấy xuất hiện một số bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Những bài toán toán đó nếu ta gặp dạng của chúng và biết được các phương pháp giải của từng dạng thì đó là điều khá đơn giản Tuy vậy có những bài toán có độ khó nhất định đối với học sinh bởi vì sự đa dạng của nó và để giải được thì chúng ta cần kết hợp nhiều kiến thức liên quan đến chúng Trong đó sử dụng phương pháp hàm số đóng vai trò quan trọng và ứng dụng nó trong việc giải quyết một số dạng Toán nêu trên

Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung và thực trạng trên, để học sinh có thể dễ dàng

và tự tin hơn khi gặp một số bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Giúp các em phát huy được khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hóa qua các bài tập nhỏ, cùng với sự tích lũy kinh nghiệm của bản thân qua những năm giảng dạy, chúng tôi đưa

ra sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “Phương pháp hàm số trong giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình”

NỘI DUNG Kiến thức cơ bản:

Cho hàm số y=f(x) liên tục và có đạo hàm trên D, ta có các kết quả sau

1/ Phương trình: f(x) = m có nghiệm trên D khi m inf ( )x D∈ x ≤ ≤m max ( )x D∈f x

2/ BPT : f x( )≥g x( ) nghiệm đúng với mọi x thuộc D <=> min f ( ) max ( )

x D x D

x g x

3/ BPT : f x( )≥m có nghiệm thuộc D <=> m axf ( )

x D

x m

4/ BPT : f x( )≥m nghiệm đúng với mọi x thuộc D <=> min f ( )

x D

x m

5/ BPT : f x( )≤m có nghiệm thuộc D <=> min f ( )

x D

x m

6/ BPT : f x( )≤m nghiệm đúng với mọi x thuộc D <=> m axf ( )

x D

x m

MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA.

Bài1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

0 x 3 10 m 5 x ) 4 m

(

2

x 2 − + + + + − = (1) (m - tham số)

Giải:

(1) ⇔ x 2 − 2 ( m + 4 ) x + 5 m + 10 = x - 3 ⇔







−

= + + +

−

≥

−

2

2 (2 m 4 x) 5 m 10 x( )3 x

0 3 x

⇔







= + + +

−

≥

0 1 m 5 x) 1 m (2 x

3 x









=

−

+

−

≥

)2 (

m 5 x

1 x x

3 x 2

Phương tình (1) có nghiệm ⇔ phương tình (2) có nghiệm thỏa mãn x ≥ 3

Xét phương tình (2) : Đặt f(x) =

5 x 2

1 x 2

x 2

−

+

−

với x ≥ 3

Ta có: f’(x) = 2

2 ) 5 x 2 (

8 x 10 x 2

−

+

−

f’(x) = 0 ⇔ xx ==14

Ta có bảng biến thiên:

x -∞ 3 4

+∞

f(x)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Phương trình (2) có nghiệm x ≥ 3 ⇔ m ≥ 3

Vậy phương trình (1) có nghiệm ⇔ m ≥ 3

Bài 2 : Tìm các giá trị của m để phương trình sau có đúng 1 nghiệm:

2

4 x +2x+ −4 x+ =1 m (1)

Giải:

Đặt t = x+1 0≥ , phương trình trở thành: 4 t4+ − = 3 t m * ( )

Nhận xét ứng với mỗi nghiệm không âm của phương trình (*) có đúng 1 nghiệm của phương trình đã cho, do đó phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có đúng 1 nghiệm không âm

Xét hàm số f t( ) = 4t4 + −3 t với t ≥ 0 ⇒ '( ) 4 43 3 1

( 3)

t

f t

t

+ < 0.

4

+

3

Mà f ( )0 = 4 3 và lim ( ) 0

x f t

→+∞ = nên có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra các giá trị cần tìm của m là: 0< ≤m 4 3

Bài 3 Tìm m để phương trình 4 x4 − 13x m x 1 0 + + − = có đúng một nghiệm

Giải:

Ta có: 4 x4 − 13x m x 1 0 + + − = ⇔ 4 x4 − 13x m 1 x + = −

4

≤





Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để đường thẳng y = -m cắt phần đồ thị

f(x) = 4x3–6x2–9x–1 ứng với x 1 ≤ tại một điểm duy nhất

Xét hàm số f(x) = 4x3 – 6x2 – 9x – 1 trên nửa khoảng ( −∞ ;1 ]

Ta có: f'(x) = 12x2 – 12x – 9 = 3(4x2 – 4x – 3)

Cho f'(x) = 0 ⇔ 4x2 – 4x – 3 = 0 ⇔ x 1 x 3

= − ∨ =

x –∞ 1

2

− 1 f’(x) + 0 −

f(x)

3

2 − 12

−∞

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Yêu cầu bài toán xảy ra khi

 − < −  >

Đó là các giá trị cần tìm của tham số m

t 0 f’(t)

-f(t)

0

Bài 4 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2004)

Tìm m để phương trình :

m 1 x( + 2 − 1 x− 2 +2) =2 1 x− 4 + 1 x+ 2 − 1 x− 2 có nghiệm

Giải:

Điều kiện xác định của phương trình : x [ 1;1] ∈ −

Đặt t= 1 x+ 2 − 1 x− 2 Với x [ 1;1] ∈ − , ta xác định điều kiện của t như sau :

Xét hàm số t= 1 x+ 2 − 1 x− 2 với x [ 1;1] ∈ −

x 1 x 1 x

t '

1 x 1 x 1 x

t ' 0 = ⇔ = x 0

x − 1 0 1

t’ − 0 +

t 2 2

0

Vậy với x [ 1;1]∈ − thì t∈0; 2

Từ t= 1 x+ 2 − 1 x− 2 ⇒2 1 x− 4 = −2 t2 Khi đó, phương trình đã cho tương đương

t 2

− + +

+

Bài toán trở thành tìm m để phương trình

2

m

t 2

− + + = + có nghiệm t∈0; 2

Xét hàm số

2

f (t)

t 2

− + +

=

+ với t∈0; 2 Ta có : ( )

2 2

t 4t

t 2

Suy ra : t 0; 2max f (t) f (0) 1, min f (t) ft 0; 2 ( ) 2 2 1

 

Bây giờ, yêu cầu bài toán xảy ra khi t 0; 2min f (t) m t 0; 2max f (t) 2 1 m 1

∈  ≤ ≤ ∈  ⇔ − ≤ ≤ Đây là

các giá trị cần tìm của tham số

Bài 5 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2006)

Tìm m để phương trình x2 +mx 2 2x 1+ = + có nghiệm thực phân biệt

Giải:

Ta có: ( )

( )

2

2

1 x 2

 ≥ −





(*)

NX : x = 0 không phải là nghiệm của (2) Do vậy, ta tiếp tục biến đổi :

( )

2

1 x 2 (*)

m 3 x

 ≥ −





Bài toán trở thành tìm m để (3) có nghiệm thực phân biệt x 1; \ 0{ }

2

∈ − +∞÷ 

Xét hàm số

2

f (x)

x

2

∈ − +∞÷  Ta có :

{ }

2 2

= > ∀ ∈ − +∞÷  

BBT :

x –∞ 0 1 f’(x) + +

f(x)

+∞ +∞

9

2 –∞

Từ BBT, ta thấy : Yêu cầu bài toán xảy ra khi 9

m 2

≥

m

2

≥ thì phương trình đã cho có nghiệm thực phân biệt

Bài 6 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A – 2007)

Tìm m để phương trình 3 x 1 m x 1 2 x− + + = 4 2 −1 1( ) có nghiệm

Giải:

Điều kiện xác định của phương trình : x 1≥

Khi đó : ( )

2

4

t

x 1

−

=

+ (t 0 ≥ ) Vì 4 4

x 1− = −x 1 <

+ + nên t < 1 Vậy với x 1≥ thì 0 t 1 ≤ < .

Khi đó, (2) ⇔ 3t2 + = ⇔ − m 2t 3t2 + = 2t m (3)

Bây giờ bài toán trở thành tìm m để (3) có nghiệm t ∈ [ 0;1 )

Xét hàm số f(t) = − 3t2 + 2t trên nửa khoảng [ 0;1 ) Ta có :

3

⇔ − + = ⇔ =

t 0 1 1 f’(t) + 0 −

f(t)

1 3

0 −1

Từ BBT, ta thấy yêu cầu bài toán xảy ra khi 1

1 m

3

− < ≤

Bài 7 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2007)

Chứng minh rằng với mọi m > 0, phương trình: x2 + 2x 8 − = m(x 2) − luôn có hai nghiệm thực

Giải:

Bài 8 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A – 2008)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt:

4 2x + 2x 2 6 x 2 6 x+ 4 − + − =m (m∈¡ )

Giải:

4 2x + 2x 2 6 x 2 6 x+ 4 − + − =m (1) ĐK: 0 x 6 ≤ ≤

Xem hàm số y = 4 2x + 2x 2 6 x 2 6 x , x+ 4 − + − ∈[ ]0;6

Ta cã:

−

−

−

( ) ( )

4

4

2x 6 x

2 2x 6 x

−

−

4

4 4

4

6 x 6 x 2x 2x 6 x 2x

6 x 2x

2x 6 x

2 2x 6 x

− +

−

−

4

4 6 x 2x 0 6 x 2x

x 0;6

x 0;6

Bài 9 Tìm m để phương trình : x− +1 4m x4 2− + +3x 2 (m+3) x− =2 0 có nghiệm

giải:

ĐK

2

1

3 2 0

x

x x

 ≥



 − + ≥



*) Với x=2 không thỏa mãn

*) Với x > 2, ta quan sát kỹ mối liên hệ giữa các đại lượng trong pt ; ta có

4 x − + =3x 2 4(x−1)(x−2); x− =1 (4 x−1) ; x− =2 (4 x−2)

Chai cả hai vế cho 4(x−1)(x−2) Pt <=> 4 1 4 2

m m

− + + + − =

1 2

x

x

−

= ⇒ >

− (do x-1>x-2) Pt trở thành

2

4 1

− −

2

2

4 2 2

'( ) ; '( ) 0 3 / 2 2( )

( 4 1)

t t

t

− − +

− −

t 1 3/2 + ∞

f’ + 0

-f(t) -3/4 -4/5 - ∞

Vậy m≤ − 3 / 4 Bài 10 Tìm m để phương trình : 5x2+6x+ =7 m x( +1) x2+2 có nghiệm thực Giải: TXĐ: D=R PT trơ thành : 3(x+1)2+2(x2+ =2) m x( +1) x2+2 Do x=-1 không thỏa mãn, ta chia cả hai vế cho (x+1) x2+2 Ta được 2 2 1 2 3 2 1 2 x x m x x + + + = + + .Đặt 2 2 3 1 2 ; ' ; ' 0 2 2 ( 2) x x t t t x x x + − = = = ⇔ = + + x -∞ 2 +∞

t’(x) + 0

-t(x)

6

2 -1 1

vậy 1; 6 2 t   ∈ −    Pt trở thành: 3 2 ; ( ) 3 2 '( ) 3 22; '( ) 0 2( ) 3 t m f t t f t f t t tm t t t + = = + ⇒ = − = ⇔ = ± t -1 2

3 − 0 2

3 6

2 f’ + 0 - - 0 +

f -2 6 +∞

-5

ĐS: m≤ −2 6 ; m≥2 6

Bài 11 ( Học viện KTQS 1997)

Cho bất phương trình m ( x2 − 2x 2 1 + + + ) x(2 x) 0 − ≤ Tìm m để bất phương trình có nghiệm x∈0,1+ 3

Giải:

Xét bất phương trình : m ( x2− 2x 2 1 + + + ) x(2 x) 0 (1) − ≤

Đặt t= x2−2x 2+ ⇒x2−2x t= −2 2

Ta xác định điều kiện của t :

Xét hàm số t= x2−2x 2+ với x∈0,1+ 3

−

x 0 1 1+ 3 t’ − 0 +

t 2 2

1

Vậy với x∈0,1+ 3 thì 1 t 2≤ ≤ .

+

2

m

t 1 với t [1;2] ∈

+

2

f(t)

t 1 với t [1;2] ∈

Ta có: f’(t) = + + > ∀ ∈

+

2

2

t 2t 2 0, x [1;2]

(t 1) Vậy hàm số f tăng trên [1; 2].

2 6

6

Do đú, yờu cầu bài toỏn trở thành tỡm m để (1) cú nghiệm t∈[1,2] ⇔

 

∈ 

t 1;2

2

m max f(t) f(2)

3.Đú là giỏ trị cần tỡm của tham số.

Bài 12: Cho bất phương trỡnh:

mx - x − 3 ≤ m + 1 (1) (m - tham số)

a Tỡm m để bất phương trỡnh cú nghiệm

b Tỡm m để bất phương trỡnh cú nghiệm đỳng∀ x ∈ [ ] 7;3

Giải:

TXĐ: D = [3 ; + ∞)

Trên D, (1) ⇔ m(x - 1) ≤ x − 3 + 1 ⇔ m ≤

1 x

1 3 x

−

+

(vì: x ∈ D nên x - 1 > 0) Đặt f(x) =

1 x

1 3 x

−

+

− với x ∈ D Khi đó: f’(x) = 5 2 32

2 3( 1)

− − −

2 3( 1)

− − −

− − = 0 ⇔ x =

7 - 2 3

Ta có bảng biến thiên:

x -∞ 3 7 - 2 3 7

+∞

f’(x) + 0 -

-f(x)

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

a Bất phơng trình có nghiệm ⇔ m ≤ max f ( x )

1 3

4

+

b Bất phơng trình nghiệm đúng ∀ x ∈[3 ; 7] ⇔ m ≤ min[ ] f ( x )

7

m ≤ 21

Bài 13 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D – 2007)

1 3

4 + 2

1

2 1

0

Giải:

Bài 14 Tìm m để hệ sau có nghiệm :

2 2

10 9 0(1)

12 0(2)

x x

x mx x

 − + ≤







Từ (1) 1 ≤ ≤x 9 (*)

Bài toán trở thành tìm m để pt (2) có nghiệm x thỏa mãn ĐK (*)

x 1 6 9

f’ - 0 +

f 13 31/9

8

6 Vậy hệ có nghiệm khi 8 13

6 ≤ ≤m

Bài 15: Tìm m để hệ sau có 3 nghiệm phân biệt : 2 (1)

( 1) ( 1)(2)

x y m

y x xy m x

+ =



 + + = +

 (HSG –Nghệ An – Bảng A -2010)

Từ (1) y=m-x thế vào pt (2) m(x2-1)=x3

( 3)

−

x -∞ - 3 -1 0 1 3 +∞ f’ + 0 - - 0 - - 0 + f’ -3 3/2 +∞ +∞

+∞

-∞ 3 3/2

-∞ - ∞

ĐS: 3 3 / 2

3 3 / 2

m

m

 ≤ −



≥



Bài 16.Tìm m để hệ sau có nghiệm :

12 6 16 0(1)

x x y y

 − − + − =







(HSG –Nghệ An – Bảng B -2012)

ĐK:

2

2

y

y y

 − ≥ − ≤ ≤

 − ≥  ≤ ≤



PT(1) <=> x3−12x=(y−2)3−12(y−2) (3)

Ta xét hàm số đại diện f(t) = t3-12t , với ĐK của x và y thì ta có ĐK của t là :− ≤ ≤ 2 t 2

f’(t) = 3t2-12 <0, ∀ ∈ −t ( 2; 2) => f(t) là hàm nghịch biến trên [-2;2] , nên từ (3) => x =y-2 Thay y=x-2 vào (2) ta được : 3 4−x2 −4x2 =m (*)

Xét hàm số

x

−

Hệ có nghiệm khi (*) có nghiệm ⇔min ( )g x ≤ ≤m max ( )g x ⇔ − ≤ ≤16 m 6

Bài 17 Thi thử ĐH L1 Chuyên QB 2012-2013

Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

x+ 1− +x 2m x(1− −x) 24 x(1−x) =m3

Phương trình x+ 1− +x 2m x(1− −x) 24 x(1−x) =m3 (1)

Điều kiện : 0 ≤ ≤x 1

Nếu x∈[ ]0;1 thỏa mãn (1) thì 1 – x cũng thỏa mãn (1) nên để (1) có nghiệm duy nhất thì

2

x= − ⇔ =x x Thay 1

2

x= vào (1) ta được:

1

m

m

=

 + − = ⇒  = ±



* Với m = 0, (1) trở thành: ( )2

2

x− −x = ⇔ =x

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất

* Với m = - 1, (1) trở thành:

2

x

 − − =



− − =



Phương trình (1) có nghiệm duy nhất

* Với m = 1 thì (1) trở thành:

4

x+ − −x x −x = − x −x ⇔ x− −x = x− −x

Ta thấy 0, 1

2

x= x= thỏa phương trình

Phương trình (1) có hơn một nghiệm

KL: m = 0, m = - 1

Bài 18 Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt:

Giải:

Xét hàm số

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt

Bài 12 Tìm m để phương trình : có ba nghiệm phân biệt

Giải:

Xét hàm số

Dựa vào bảng biến thiên

Bài 19 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

Giải:

1) Phương trình

2) Điều kiện:

Khi đú phương trỡnh

Ta cú:

Do

Vậy f(x) là hàm đồng biến trờn [0;4]

Suy ra phương trỡnh cú nghiệm

Bài 20: Cho phơng trình: 4 x x 2 2 x x 2 1 m 3 0

=

− + + − +

Tìm m để phơng trình có nghiệm x ∈ 2 

3

; 0 Giải:

Đặt t = 2 x − x 2ở đây, điều kiện cần là t > 0 nhng nếu chỉ có điền kiện đó thì cha đủ và ta cha giải đợc bài này Ta phải tìm điều kiện của t bằng cách xét hàm số

Xét hàm số y = 2x - x2 với x ∈ 2 

3

; 0

Ta có: y’(x) = 2 - 2x y’(x) = 0 ⇔ x = 1

Ta có bảng biến thiên:

x -∞ 0 1

2

3 +∞

-y(x)

3 1

Từ đó suy ra tập giá trị của y là y ∈[0 ; 1] ⇒ 20 ≤ 2 x − x 2 ≤ 21

⇔ 1 ≤ t ≤ 2

Với điều kiện đó của t thì phơng trình (1) trở thành:

t2 + 2t + m - 3 = 0 ⇔ m = -t2 - 2t + 3 (2)

Phơng trình (1) có nghiệm x ∈ 2 

3

;

0 ⇔ phơng trình (2) có nghiệm 1

≤ t ≤ 2

Xét hàm số: g(t) = -t2 - 2t + 3 với t ∈[1 ; 2]

g’(t) = -2t - 2 g’(t) = 0 ⇔ t = -1

Từ đó ta có bảng biến thiên:

x -∞ 1 2

+∞

-y(x)

Dựa vào bảng biến thiên ta có: phơng trình (2) có nghiệm t ∈ [ ] 1 ; 2

⇔ m ∈[− 5 ; 0]

Vậy phơng trình (1) có nghiệm x ∈ 2 

3

;0 ⇔ m ∈[− 5 ; 0]

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 Tỡm m để phương trỡnh 2 x− + 2 x+ − 4 x− 2 =m cú nghiệm

Bài 2 Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh sau cú đỳng hai nghiệm phõn biệt:

x4− 4 x3+ 16 x m + + 4 x4− 4 x3+ 16 x m + = 6

Bài 3 Tỡm m để phương trỡnh : m x2+ = +2 m x cú ba nghiệm phõn biệt

Bài 4 Tỡm m để cỏc phương trỡnh sau cú nghiệm:

a) 4 x4 − 13 x m + + − = x 1 0

b) x x + x + 12 = m ( 5 − + x 4 − x )

0

-5

Bài 5 Cho phương trình: 4 x − x +2 x − x + 1+m−3=0 (1) (m - tham số)

Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ 2 

3

; 0

Bài 7 Tìm m để bất phương trình ( x 4 6 x + ) ( − ) ≤ x2 − 2x m + đúng với mọi

x [ 4;6]∈ −

Bài 8 Tìm m để bất phương trình x 1 + − 4 x m − ≥ có nghiệm

Bài 9 Tìm m để bất phương trình ( x 4 6 x + ) ( − ) ≤ x2 − 2x m + đúng với mọi

x [ 4;6]∈ −

ĐS : m 6 ≥

Bài 10 Tìm m để bất phương trình x 1 + − 4 x m − ≥ có nghiệm

ĐS : m ≤ 5

Bài 11 Tìm m để phương trình 2 x− + 2 x+ − 4 x− 2 =m có nghiệm

ĐS : 2 2 2 m 2 − ≤ ≤

Bài 12 Tìm m để hệ phương trình x y 1

x x y y 1 3m





0 m

4

≤ ≤