Cùng tham khảo tài liệu Chủ đề 17: Bội và ước của một số nguyên (Toán lớp 6) giúp các em ôn tập lại các kiến thức đã học, đánh giá năng lực làm bài của mình và chuẩn bị kì kiểm tra sắp tới được tốt hơn với số điểm cao như mong muốn.
Trang 1CH Đ 17: Ủ Ề B I VÀ Ộ ƯỚ C C A M T S NGUYÊN Ủ Ộ Ố
A. KI N TH C C N NHẾ Ứ Ầ Ớ
1. Đ nh nghĩa ị
V i ớ Z và N u có s nguyên q sao cho a = b.q thì ta nói a chia h t cho b. Ta còn nói a làế ố ế
b i ộ c a b và b là ủ ướ c a a c ủ
2. Nh n xét ậ
N u a = b.q thì ta nói a chia cho b đế ược q và vi t ế
S 0 là b i c a m i s nguyên khác 0. S 0 không ph i là ố ộ ủ ọ ố ố ả ướ ủc c a b t kì s nguyênấ ố nào
Các s 1 và 1 là ố ướ ủc c a m i s nguyên.ọ ố
3. Tính ch t ấ
Có t t c các tính ch t nh trong t p ấ ả ấ ư ậ N
N u a chia h t cho b và b chia h t cho c thì a cũng chia h t cho c.ế ế ế ế
và
N u a chia h t cho b thì b i c a a cũng chia h t cho b.ế ế ộ ủ ế
(Z)
N u a, b chia h t cho c thì t ng và hi u c a chúng cũng chia h t cho c.ế ế ổ ệ ủ ế
N u a, b chia cho c cùng s d thì a – b chia h t cho c.ế ố ư ế
Nh n xét: ậ
N u a chia h t cho b, b chia h t cho a thì ế ế ế
N u a chia h t cho hai s m, n nguyên t cùng nhau thì a chia h t cho m.n.ế ế ố ố ế
N u chia h t cho s nguyên t p thì a chia h t cho p.ế ế ố ố ế
N u ab chia h t cho m và b, m nguyên t chung nhau thì a chia h t cho m.ế ế ố ế
Trong n s nguyên liên ti p có đúng m t s chia h t cho n.ố ế ộ ố ế
Trang 2B. CÁC D NG TOÁN C B NẠ Ơ Ả
D NG 1. Ạ Tìm b i và ộ ướ ủ ố c c a s nguyên
I. PHƯƠNG PHÁP GI IẢ
T p h p các b i c a s nguyên a có vô s ph n t và b ng ậ ợ ộ ủ ố ố ầ ử ằ
T p h p các ậ ợ ướ ố ủ ố c s c a s nguyên a luôn là h u h n ữ ạ
Cách tìm:
Tr ướ c h t ta tìm các ế ướ c s nguyên d ố ươ ng c a (làm nh ủ ư trong t p s t nhiên), ậ ố ự
ch ng h n là Khi đó cũng là ẳ ạ ướ ố ủ c s c a a. Do đó các ướ ủ c c a a là p, q, r, –p, –q, –r.
Nh v y s các ư ậ ố ướ c nguyên c a a g p đôi s các ủ ấ ố ướ ự c t nhiên c a nó ủ
II. VÍ DỤ
Ví d 1.ụ
1) Tìm năm b i c a: – 5; 5;ộ ủ
2) Tìm các b i c a – 12, bi t r ng chúng n m trong kho ng t – 100 đ n 24.ộ ủ ế ằ ằ ả ừ ế
L i gi i ờ ả
1) Các b i s c a 5; –5 đ u có d ng 5.k (ộ ố ủ ề ạ Z)
Ch ng h n ch n năm b i s c a 5; –5 là: –15, –10, –5, 0, 5.ẳ ạ ọ ộ ố ủ 2) Các b i s c a –12 có d ng 12.k (ộ ố ủ ạ Z). C n tìm k sao cho:ầ
–100 < 12k < 24
T c là: –9 < k < 2, ch n ứ ọ
V y các b i c a –12 n m trong kho ng t –100 đ n 24 làậ ộ ủ ằ ả ừ ế
Ví d 2. ụ Tìm t t c các ấ ả ướ ủc c a:
L i gi i ờ ả
Trang 31) Các ướ ực t nhiên c a 3 là 1, 3.ủ
Do đó các ướ ủc c a –3 là 2) Các ướ ực t nhiên c a 25 là 1, 5, 25.ủ
Do đó các ướ ủc c a 25 là 3) Các ướ ực t nhiên c a 12 là 1, 2, 3, 4, 6, 12.ủ
Do đó các ướ ủc c a 12 là
Nh n xét: ậ
S t nhiên a phân tích ra th a s nguyên t có d ng (p, q, r là s nguyên t ) thì số ự ừ ố ố ạ ố ố ố
c t nhiên c a a là Khi đó m i s nguyên a, –a đ u có c nguyên
S nguyên t p có 4 ố ố ước nguyên là
Ví d 3. ụ Tìm s nguyên n đ :ố ể
1) 5 . n chia h t cho –2;ế 2) 8 chia h t cho n;ế
3) 9 chia h t cho n + 1;ế 4) n – 18 chia h t cho 17.ế
L i gi i ờ ả
1) 5 . n chia h t cho –2, nên n là b i c a 2.ế ộ ủ
V y n = 2k (k là s nguyên tùy ý).ậ ố
2) 8 chia h t cho n, nên n là ế ướ ủc c a 8
V y ậ
3) 9 chia h t cho n + 1, nên n + 1 là ế ướ ủc c a 9
Suy ra
V i ớ
V i ớ
V i ớ
V i ớ
V i ớ
V i ớ
V y ậ
Trang 44) n – 18 chia h t cho 17, nên n – 18 là b i c a 17. Do đó n – 18 = 17k (ế ộ ủ Z).
V y n = 18 + 17k (ậ Z)
III. BÀI T PẬ
Bài 1.
1) Tìm b n b i c a –9; 9.ố ộ ủ
2) Tìm các b i c a –24, bi t r ng chúng n m trong kho ng t 100 đ n 200.ộ ủ ế ằ ằ ả ừ ế
Bài 2. Tìm t t c các c c a:ấ ả ướ ủ
Bài 3.
1) Tìm t p h p C(–12; 16);ậ ợ Ư
2) Tìm t p h p C(15;–18;–20).ậ ợ Ư
Bài 4. Tìm s nguyên n đ :ố ể
1) 7 . n chia h t cho 3;ế 2) –22 chia h t cho n;ế
3) –16 chia h t cho n – 1;ế 4) n + 19 chia h t cho 18.ế
Bài 5. Tìm t p h p BC (15;–12;–30).ậ ợ
Bài 6. Cho hai t p h p và ậ ợ
a) Vi t t p h p g m các ph n t có d ng a . b v i ế ậ ợ ồ ầ ử ạ ớ
b) Trong các tích trên có bao nhiêu tích chia h t cho 5?ế
HƯỚNG D NẪ
Bài 1
a) Ch ng h n là: –18; –9; 0; 9ẳ ạ
b) 120; 144; 168; 192
Bài 2.
a) (–17) = {–17; –1; 1; 17}Ư
b) (49) = {–49; –7; –1; 1; 7; 49}Ư
c) (100) = {–100; –50; –25; –20; –10; –5; –4; –2; –1; 1; 2; 4; 5; 10; 20; 25; 50; 100}Ư Bài 3.
Trang 5a) CLN(12; 16) = 4 suy ra C(–12; 16) = {–4; –2; –1; 2; 4}Ư Ư
b) CLN(15; 18; 20) = 1 suy ra C(15; –18; –20) = {–1; 1}Ư Ư
Bài 4.
a) mà (7; 3) = 1 nên do đó
b) nên
c) nên
V y ậ
d) nên suy ra
Bài 5. BCNN(15; 20; 30) = 60
Suy ra BC(15; –20; –30) = B(60) = 60k
Bài 6. Cho hai t p h p A = {1; 2; 3; 4; 5} và B = {–2; –4; –6}ậ ợ
a) C = =
( Chú ý: Các ph n t trong t p h p ph i khác nhau đôi m t)ầ ử ậ ợ ả ộ
b) Trong các tích trên có 3 tích chia h t cho 5 ng v i ế ứ ớ a = 5 và b
D NG 2. Ạ V n d ng tính ch t chia h t c a s nguyên ậ ụ ấ ế ủ ố
I. PHƯƠNG PHÁP GI IẢ
Đ ch ng minh m t bi u th c A chia h t cho s nguyên a; ể ứ ộ ể ứ ế ố
N u A có d ng tích thì c n ch ra m (ho c n, ho c p) chia h t cho a. Ho c m chia ế ạ ầ ỉ ặ ặ ế ặ
h t cho n chia h t cho , p chia h t cho trong đó ế ế ế
N u A có d ng t ng m + n + p thì c n ch ra m, n, p cùng chia h t cho a, ho c t ng ế ạ ổ ầ ỉ ế ặ ổ các s d khi chia m, n, p cho a ph i chia h t cho a ố ư ả ế
N u A có d ng hi u m – n thì c n ch ra m, n chia cho a có cùng s d V n d ng ế ạ ệ ầ ỉ ố ư ậ ụ tính ch t chia h t đ làm bài toán v tìm đi u ki n đ m t bi u th c th a mãn đi u ki n ấ ế ể ề ề ệ ể ộ ể ứ ỏ ề ệ cho h t ế
II. VÍ DỤ
Ví d 1. ụ Ch ng minh r ng: chia h t cho (–6).ứ ằ ế
L i gi i ờ ả
Trang 6Nhóm t ng S thành t ng c a các b i s c a (–6) b ng cách:ổ ổ ủ ộ ố ủ ằ
M i s h ng c a t ng S đ u chia h t cho (–6), nên S chia h t cho (–6).ỗ ố ạ ủ ổ ề ế ế
Ví d 2. ụ Cho s H i s a có chia h t cho (–9) không?ố ỏ ố ế
L i gi i ờ ả
S h ng đ u c a a chia h t cho 9, còn 7 không chia h t cho 9 nên a không chia h t choố ạ ầ ủ ế ế ế
9. Do đó a cũng không chia h t cho –9.ế
Ví d 3. ụ Cho a, b là các s nguyên. Ch ng minh r ng n u chia h t cho 31 thì cũng chia h tố ứ ằ ế ế ế cho 31. Đi u ngề ượ ạc l i có đúng không?
L i gi i ờ ả
Ta có: (*)
Do đó và t (*) suy ra ừ
Mà 6 và 31 nguyên t cùng nhau, nên suy ra ố
Ngượ ạc l i, n u , mà t (*) suy ra ế ừ
V y đi u ngậ ề ượ ạc l i cũng đúng
Ta có th phát bi u bài toán l i nh sau: ể ể ạ ư
“Cho a, b là các s nguyên. Ch ng minh r ng chia h t cho 31 khi và ch khi chia h tố ứ ằ ế ỉ ế cho 31”
Ví d 4. ụ Tìm s nguyên x sao cho:ố
1) chia h t cho ế 2) là ướ ố ủc s c a
L i gi i ờ ả
1) Nh n th y ậ ấ
Do nên khi và ch khi ỉ
Suy ra V y ậ
2) Nh n th y ậ ấ
Trang 7Do nên khi và ch khi ỉ
Suy ra
V y ậ
III. BÀI T PẬ
Bài 1. Ch ng minh r ng: chia h t cho ứ ằ ế
Bài 2. Cho s (g m 20 ch s 1). H i s a có chia h t cho 111 không?ố ồ ữ ố ỏ ố ế
Bài 3. Cho a, b là các s nguyên. Ch ng minh r ng 5a + 2b chia h t cho 17 khi và ch khi 9a +ố ứ ằ ế ỉ 7b chia h t cho 17.ế
Bài 4. Tìm s nguyên x sao cho:ố
a) 2x – 5 chia h t cho x – 1;ế
b) x + 2 là ướ ố ủc s c a
Bài 5. Tìm c p s nguyên x, y sao cho:ặ ố
a)
b)
c)
Bài 6. Tìm t t c các c p s nguyên x, y sao cho 20x + 10y = 2010.ấ ả ặ ố
Bài 7. Tìm s nguyên x sao cho x – 1 là b i c a 15 và x + 1 là c s c a 1001.ố ộ ủ ướ ố ủ
HƯỚNG D NẪ
Bài 1.
=
= 39 + 33.39 + 36.39 = 39.(1 + 33 + 36)
Suy ra S nên S
Bài 2. Nh n th y:ậ ấ
=
Trang 8=> a là t ng c a hai s h ng trong đó có 1 s chia h t cho 111, 1 s không chia h t choổ ủ ố ạ ố ế ố ế
111 nên a không chia h t cho 111ế
V y ậ a không chia h t cho 111ế
Bài 3. Xét hi u ệ
Nh n th y nên:ậ ấ
N u thì , mà (9; 17) = 1 nên ế
N u thì , mà (5; 17) = 1 nên ế
Bài 4.
a) nên do đó
V y ậ
b) Do nên
Do đó
V y ậ
Bài 5.
a) Vì 5 = 5.1 = nên ta có các trường h p sau:ợ
1) và và
2) và và
3) và và
4) và và
b)
c)
Do đó tìm được
Bài 6. T đi u ki n đ bài suy ra ừ ề ệ ề
201 là s l và 2ố ẻ x là s ch n, suy ra y là s l Khi đó ố ẵ ố ẻ y có d ng:ạ
Ch ng h n, b n c p s nguyên (ẳ ạ ố ặ ố x; y) th a mãn:ỏ
Trang 9Bài 7. (1001) = {1001; –1001; 143; –143; 91; –91; 77; –77; 13; –13; 11; –11; 7; –7; 1; –1}Ư
Ta có: x – 1 là b i c a 15 nên ộ ủ x – 1 = 15k ()x + 1 = 15k + 2 ()
Mà x + 1 là ướ ủc c a 1001 nên ki m tra th y ể ấ x + 1 = 77 x =76
V y ậ x = 76