Nhằm giúp các bạn làm tốt các bài tập, đồng thời các bạn sẽ không bị bỡ ngỡ với các dạng bài tập chưa từng gặp, hãy tham khảo Chủ đề 11: Ước chung và bội chung ước chung lớn nhất - bội cung nhỏ nhất (Toán lớp 6) dưới đây.
Trang 1CH Đ 11: Ủ Ề ƯỚC CHUNG VÀ B I CHUNGỘ
ƯỚC CHUNG L N NH T B I CUNG NH NH TỚ Ấ Ộ Ỏ Ấ
A/ KI N TH C C N NH Ế Ứ Ầ Ớ
I/ Ước chung, B i chung.ộ
1. Ước chung c a hai hay nhi u s là ủ ề ố ướ ủ ấ ảc c a t t c các s đó.ố
c chung c a các s a, b, c đ c kí hi u là C(a, b, c)
2. B i chungộ c a hai hay nhi u s là b i c a t t c các s đó.ủ ề ố ộ ủ ấ ả ố
B i chung c a các s a, b, c độ ủ ố ược kí hi u là: BC(a, b, c).ệ
3. Giao c a hai t p h pủ ậ ợ là m t t p h p g m các ph n t chung c a hai t p h p đó.ộ ậ ợ ồ ầ ử ủ ậ ợ
Ta kí hi u giao c a hai t p h p A và B là A B.ệ ủ ậ ợ ∩
II/ Ước chung l n nh t. B i chung nh nh tớ ấ ộ ỏ ấ
1. Đ nh nghĩa:ị
* Ước chung l n nh t c a hai hay nhi u s là s l n nh t trong t p h p các ớ ấ ủ ề ố ố ớ ấ ậ ợ ước
chung c a các s đó.ủ ố
* B i chung nh nh t c a hai hay nhi u s là s nh nh t khác không trong t p h p ộ ỏ ấ ủ ề ố ố ỏ ấ ậ ợ các b i chung c a các s đó.ộ ủ ố
2. Cách tìm
a) Mu n tìm UCLN c a hai hay nhi u s l n h n 1, ta th c hi n ba bố ủ ề ố ớ ơ ự ệ ước:
+) Bước 1: Phân tích m i s ra th a s nguyên tỗ ố ừ ố ố
+) Bước 2: Ch n ra các th a s nguyên t chung.ọ ừ ố ố
+) Bước 3: l p tích các th a s đã ch n, m i th a s l y v i s mũ nh nh t. Tích đó làậ ừ ố ọ ỗ ừ ố ấ ớ ố ỏ ấ UCLN ph i tìm.ả
Chú ý:
+) UCLN(a,b,1)=1
+)
+) Đ tìm UC ta tìm ể ướ ủc c a UCLN các s đó.ố
Trang 2b) Mu n tìm BCNN c a hai hay nhi u s l n h n 1 ta th c hi n ba bố ủ ề ố ớ ơ ự ệ ước
+) Bước 1: Phân tích m i s ra th a s nguyên tỗ ố ừ ố ố
+) Bước 2: Ch n ra các th a s nguyên t chung và riêng.ọ ừ ố ố
+) Bước 3: L p tích các th a s đã ch n, m i th a s l y v i sô mũ l n nh t. Tích đóậ ừ ố ọ ỗ ừ ố ấ ớ ớ ấ chính là BCNN c n tìm.ầ
Chú ý:
+) N u các s đã cho đôi m t nguyên t cùng nhau thì BCNN là tích c a các s đó.ế ố ộ ố ủ ố
+)
+) Đ tìm BC ta tìm b i c a BCNN các s đó.ể ộ ủ ố
3/ Ki n th c b sungế ứ ổ
+ N u và UCLN(a,c)=1 thì ế
+ N u ế
Đ c bi t n u thì ặ ệ ế
+ N u ế
+ N u ế
+ UCLN(a;b).BCNN(a,b)=a.b
B/ CÁC D NG BÀI T P.Ạ Ậ
D NG 1: Tìm C, BC, CLN, BCNN.Ạ Ư Ư
Bài 1: Vi t các t p h pế ậ ợ
a/ (6), (12), (42) và C(6, 12, 42); Ư Ư Ư Ư
b/ B(6), B(12), B(42) và BC(6, 12, 42)
ĐS:
a/ (6) = ; (12) = ; (42) = Ư Ư Ư
C(6, 12, 42) = Ư
b/ B(6) = ; B(12) =
B(42) = ; BC =
Bài 2: Tìm CLL c a Ư ủ
Trang 3a/ 12, 80 và 56 b/ 144, 120 và 135
c/ 150 và 50 d/ 1800 và 90
Hướng d nẫ
a/ 12 = 22.3 80 = 24. 5 56 = 33.7
V y CLN(12, 80, 56) = 2ậ Ư 2 = 4
b/ 144 = 24. 32 120 = 23. 3. 5; 135 = 33. 5
V y CLN (144, 120, 135) = 3.ậ Ư c/ CLN(150,50) = 50 vì 150 chia h t cho 50.Ư ế
d/ CLN(1800,90) = 90 vì 1800 chia h t cho 90.Ư ế
Bài 3: Tìm
a/ BCNN (24, 10) b/ BCNN( 8, 12, 15)
Hướng d n ẫ
a/ 24 = 23. 3 ; 10 = 2. 5 => BCNN (24, 10) = 23. 3. 5 = 120
b/ 8 = 23; 12 = 22. 3 ; 15 = 3.5 => BCNN( 8, 12, 15) = 23. 3. 5 = 120
D NG 2: Dùng thu t toán clit đ tìm CLL (không c n phân tích chúng ra th a sẠ ậ Ơ ể Ư ầ ừ ố
nguyên tố)
Gi i thi u thu t toán clit: Đ tìm CLN(a, b) ta th c hi n nh sau: ớ ệ ậ Ơ ể Ư ự ệ ư
Chia a cho b có s d là r ố ư
+ N u r = 0 thì CLN(a, b) = b. Vi c tìm CLN d ng l i ế Ư ệ Ư ừ ạ
+ N u r > 0, ta chia ti p b cho r, đ ế ế ượ ố ư c s d r 1
N u r ế 1 = 0 thì r 1 = CLN(a, b). D ng l i vi c tìm CLN Ư ừ ạ ệ Ư
N u r ế 1 > 0 thì ta th c hi n phép chia r cho r ự ệ 1 và l p l i quá trình nh trên. ậ ạ ư
CLN(a, b) là s d khác 0 nh nh t trong dãy phép chia nói trên
Bài 1: Hãy tìm CLN (1575, 343)Ư
Hướng d n:ẫ
Ta có: 1575 = 343. 4 + 203
343 = 203. 1 + 140
Trang 4203 = 140. 1 + 63
140 = 63. 2 + 14
63 = 14.4 + 7
14 = 7.2 + 0 (chia h t)ế
V y: Hãy tìm CLN (1575, 343) = 7ậ Ư
Trong th c hành ngự ười ta đ t phép chia đó nh sau:ặ ư
Suy ra CLN (1575, 343) = 7Ư
Bài 2: Tìm CLN(702, 306) b ng cách phân tích ra th a s nguyên t và b ng thu t toánƯ ằ ừ ố ố ằ ậ clit.
Ơ
ĐS: 18
Bài 2: Dùng thu t toán clit đ tìm ậ Ơ ể
a/ CLN(318, 214) Ư
b/ CLN(6756, 2463)Ư
ĐS: a/ 2 b/ 1 (nghĩa là 6756 và 2463 là hai s nguyên t cùng nhau).ố ố
D NG 3: Tìm s ch a bi t th a mãn đi u ki n v C, BC, CLN, BCNN Ạ ố ư ế ỏ ề ệ ề Ư Ư
* N u bi t s x th a mãn ế ế ố ỏ m x ⋮ và n x⋮ => x là C( Ư m, n)
* N u bi t s x ế ế ố l n nh t ớ ấ th a mãn ỏ m x ⋮ và n x⋮ => x là CLN( Ư m, n)
* N u bi t s x th a mãn ế ế ố ỏ x m ⋮ và x n⋮ => x là BC(m, n)
* N u bi t s x ế ế ố nh nh t ỏ ấ th a mãn ỏ x m ⋮ và x n⋮ => x là BCNN( m, n)
* N u s ế ố a chia cho x d ư k => s a – k x hay x là (a – k) ố ⋮ Ư
Trang 5Bài 1/ Tìm s t nhiên a là l n nh t bi t r ng 480 a 600 a ố ự ớ ấ ế ằ
Hướng d n : ẫ
vì 480 a 600 a và a là l n nh t ớ ấ
Nên a C LN (480,600) Ư
Ta có 480= 25.3.5 ; 600 = 23.3.52 => CLN c a (480,600) =2Ư ủ 3.3.5= 120
V y a =120 ậ
Bài 2/ Tìm s t nhiên x bi t r ng 126 x 210 x và 15 < x < 30 ố ự ế ằ
Hướng d n: ẫ
Vì 126 x ; 210 x và 15 < x < 30 nên x C (126, 210) và 15 < x < 30Ư
Ta có 126= 2.32..7 ; 210 = 2.3.5.7
=> CLN(126, 210) = 2.3.7 = 42 Ư
Do đó C (126,210) = Ư
Vì 15 < x < 30 nên x =21
Bài 3/ Tìm s t nhiên a nh nh t khác 0 bi t r ng a 15 a 18 ố ự ỏ ấ ế ằ
Hướng d nẫ
Vì a 15 ; a 18 và a nh nh t khác 0 nên a BCNN(15,18) ỏ ấ
Ta có 15 =3.5 ; 18 = 2.32 => BCNN(15,18) = 2.32.5 = 90
V y a = 90ậ
Bài 4/ Tìm các b i chung c a 15 và 25 mà nh h n 400 ộ ủ ỏ ơ
Hướng d n: ẫ
Ta có : 15=3.5 ; 25= 52 => BCNN(15,25) = 3.52 =75
Nên BC(15,25) =
Các b i chung c a 15 và 25 mà nh h n 400 là 0, 75, 150, 225,300, 375ộ ủ ỏ ơ
Bài 5. Tìm s t nhiên a bi t r ng khi chia 39 cho a thì d 4, còn khi chia 48 cho a thì d 6.ố ự ế ằ ư ư
Hướng d nẫ
Chia 39 cho a thì d 4 , nên a là ư ướ ủc c a 39 – 4 = 35 và a > 4
Chia 48 cho a thì d 6 nên a là ư ướ ủc c a 48 – 6 = 42 và a > 6 .
Trang 6=> a là ước chung c a 35 và 42 đ ng th i a > 6.ủ ồ ờ
(35) = { 1, 5, 7, 35} ; (42) = {1,2,3,6,7,14,21,42}
C(35,42) = { 1,7}. V y a = 7
Bài 6. Tìm s t nhiên a, bi t r ng khi chia 264 cho a thì d 24 ; khi chia 363 cho a thì d 43.ố ự ế ằ ư ư
Hướng d nẫ :
S 264 chia cho a d 24 nên a là ố ư ướ ủc c a
S 363 chia cho a d 43 nên a là c c a ố ư ứ ủ
Do a là ước chung c a 240 và 320, đ ng th i .ủ ồ ờ
CLN c chung l n h n 43 là 80
V y ậ
Bài 7. Xác đ nh s chia và th ng c a m t phép chia s t nhiên bi tị ố ươ ủ ộ ố ự ế
r ng s b chia và các s d đằ ố ị ố ư ược vi t nh sau ế ư
Hướng d nẫ :
Tính các tích c a t ng ch s c a thủ ừ ữ ố ủ ương v i s chia, ta đớ ố ược:
Phép chia có d ng:ạ
452610 406 466 464 210 174 36
S chiaố
Thương
S chia là ố ước chung c a 406,464, 174 và l n h n => S chia là và thủ ớ ơ ố ương là
Bài 8. Tìm s t nhiên nh nh t sao cho a chia cho , cho , cho đ c s d theo th t là ố ự ỏ ấ ượ ố ư ứ ự
Hướng d nẫ
chia cho 3 d 1ư
chia cho 5 d 1ư
Trang 7chia cho 7 d 1ư
Do đó: . Đ a nh nh t thì là ể ỏ ấ
D NG 4: Các bài toán th c tẠ ự ế
Bài 1: M t l p h c có 24 HS nam và 18 HS n Có bao nhiêu cách chia t sao cho s nam vàộ ớ ọ ữ ổ ố
s n đố ữ ược chia đ u vào các t ?ề ổ
Hướng d n ẫ
S t là ố ổ ước chung c a 24 và 18ủ
T p h p các ậ ợ ướ ủc c a 18 là A =
T p h p các ậ ợ ướ ủc c a 24 là B =
T p h p các ậ ợ ước chung c a 18 và 24 là C = A B = ủ
V y có 3 cách chia t là 2 t ho c 3 t ho c 6 t ậ ổ ổ ặ ổ ặ ổ
Bài 2: M t đ n v b đ i khi x p hàng, m i hàng có 20 ng i, ho c 25 ng i, ho c 30ộ ơ ị ộ ộ ế ỗ ườ ặ ườ ặ
ngườ ềi đ u th a 15 ngừ ười. N u x p m i hàng 41 ngế ế ỗ ười thì v a đ (không có hàng nào thi u,ừ ủ ế không có ai ngoài hàng). H i đ n v có bao nhiêu ngở ỏ ơ ị ười, bi t r ng s ngế ằ ố ườ ủi c a đ n vơ ị
ch a đ n 1000?ư ế
Hướng d nẫ
G i s ngọ ố ườ ủi c a đ n v b đ i là x (xN)ơ ị ộ ộ
x : 20 d 15 x – 15 20ư
x : 25 d 15 x – 15 25ư
x : 30 d 15 x – 15 30ư
Suy ra x – 15 là BC(20, 25, 35)
Ta có 20 = 22. 5; 25 = 52 ; 30 = 2. 3. 5 => BCNN(20, 25, 30) = 22. 52. 3 = 300
BC(20, 25, 35) = 300k (kN)
x – 15 = 300k x = 300k + 15 mà x < 1000 nên
300k + 15 < 1000 300k < 985 k < (kN) => k = 1; 2; 3
Ch có k = 2 thì x = 300k + 15 = 615 41ỉ
Trang 8V y đ n v b đ i có 615 ngậ ơ ị ộ ộ ười
Bài 3.Tìm số tự nhiên bé nhất khi chia cho 2; 5; 11 và 26 đều dư 1
Bài 4. Tìm các số tự nhiên a, b biết ƯCLN(a,b) = 5 và BCNN(ab) = 105
Bài 5. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 8 dư 6, chia cho 12 dư 10, chia cho 15 dư 13 và cxhia hết co 23
Bài 6. Tìm hai số có 3 chữ số biết tổng của chúng là bội của 504 và thương của số lớn chia cho số nhỏ là bội của 6
Bài 7. Cho BCN(a,b) = 60 và a = 12. Tìm b?
Bài 8. Cho một số A chia hết cho 7 và khi chia A ho 4 hoặc hoặc 6 đều dư 1. Tìm A biết A < 400
Bài 9. Tổng số học sinh khối 6 cua một trường có khoảng từ 235 đến 250 em, khi chia cho 3
dư 2, chia cho 4 thì dư 3, chia cho 5 dư 4, chia cho 6 dư 5, chia 10 dư 9. tìm số học sinh của khối 6
D NG 5: Tìm hai s t nhiên khi bi t m t s y u t trong đó có các d ki n v CLNẠ ố ự ế ộ ố ế ố ữ ệ ề Ư
và BCNN.
* D a vào đ nh nghĩa CLN đ bi u di n hai s ph i tìm, liên h v i các y u t đã ự ị Ư ể ể ễ ố ả ệ ớ ế ố cho đ tìm hai s ể ố
* Quan h đ c bi t gi a CLN, BCNN và tích c a hai s t nhiên a, b đó là: ệ ặ ệ ữ Ư ủ ố ự
Trong đó (a, b) là CLN và [a, b] là BCNN c a a và b. Ư ủ
* Ch ng minh ứ h th c (**): ệ ứ
Theo đ nh nghĩa CLN, g i d = (a, b) ị Ư ọ
=> a = md ; b = nd v i m, n thu c Z ớ ộ + ; (m, n) = 1 (*)
T (*) => ab = mnd ừ 2 ; [a, b] = mnd
=> (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd 2 = ab
=> ab = (a, b).[a, b] . (**)
Bài 1 : Tìm hai s t nhiên a, b bi t [a, b] = 240 và (a, b) = 16. ố ự ế
Trang 9Hướng d n: ẫ
Do vai trò c a a, b là nh nhau, không m t tính t ng quát, gi s a ≤ b. ủ ư ấ ổ ả ử
T (*), do (a, b) = 16 => a = 16m ; b = 16n (m ≤ n do a ≤ b) v i m, n thu c Zừ ớ ộ + ;(m, n) = 1 Theo đ nh nghĩa BCNN : ị
[a, b] = m.n.d = m.n.16 = 240 => m.n = 15
=> m = 1 , n = 15 ho c m = 3, n = 5 => a = 16, b = 240 ho c a = 48, b = 80. ặ ặ
Chú ý: Ta có th áp d ng công th c (**) đ gi i bài toán này : ể ụ ứ ể ả
ab = (a, b).[a, b] => m.n.162 = 240.16 => m.n = 15.
Bài 2: Tìm hai s nguyên d ng a, b bi t ab = 216 và (a, b) = 6. ố ươ ế
Hướng d n :ẫ
L p lu n nh bài 1, gi s a ≤ b. ậ ậ ư ả ử
Do (a, b) = 6 => a = 6m ; b = 6n v i m, n thu c Zớ ộ + ; (m, n) = 1 ; m ≤ n.
Vì v y : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 ậ mn = 6 => m = 1, n = 6 ho c m = 2, n = 3 ặ
=> a = 6, b = 36 ho c là a = 12, b = 18. ặ
Bài 3: Tìm hai s nguyên d ng a, b bi t ab = 180, [a, b] = 60. ố ươ ế
Hướng d n:ẫ
T (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 = 3. ừ
Tìm được (a, b) = 3, bài toán được đ a v d ng bài toán 2. ư ề ạ
K t qu : a = 3, b = 60 ho c a = 12, b = 15. ế ả ặ
Chú ý: Ta có th tính (a, b) m t cách tr c ti p t đ nh nghĩa CLN, BCNN : ể ộ ự ế ừ ị Ư
Theo (*) ta có ab = m.n.d2 = 180 ; [a, b] = m.n.d = 60 => d = (a, b) = 3.
Bài 4: Tìm hai s nguyên d ng a, b bi t a/b = 2,6 và (a, b) = 5. ố ươ ế
Hướng d n:ẫ
Theo (*), (a, b) = 5 => a = 5m ; b = 5n v i m, n thu c Zớ ộ + ; (m, n) = 1.
Vì v y : a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5 ậ
=> m = 13 và n = 5 hay a = 65 và b = 25.
Chú ý : phân s t ng ng v i 2,6 ph i ch n là phân s t i gi n do (m, n) = 1. ố ươ ứ ớ ả ọ ố ố ả
Trang 10Bài 5: Tìm a, b bi t a/b = 4/5 và [a, b] = 140. ế
Hướng d n:ẫ
Đ t (a, b) = d. Vì , a/b = 4/5 , m t khác (4, 5) = 1 nên a = 4d, b = 5d. ặ ặ
L u ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = 7 => a = 28 ; b = 35. ư
Bài 6: Tìm hai s nguyên d ng a, b bi t a + b = 128 và (a, b) = 16. ố ươ ế
Hướng d n:ẫ
L p lu n nh bài 1, gi s a ≤ b. ậ ậ ư ả ử
Ta có : a = 16m ; b = 16n v i m, n thu c Zớ ộ + ; (m, n) = 1 ; m ≤ n.
Vì v y : a + b = 128 => 16(m + n) = 128 => m + n = 8ậ
=> m = 1, n = 7 ho c m = 3, n = 5 hay a = 16, b = 112 ho c a = 48, b = 80 ặ ặ
Bài 7: Tìm a, b bi t a + b = 42 và [a, b] = 72. ế
Hướng d n:ẫ
G i d = (a, b) => a = md ; b = nd v i m, n thu c Zọ ớ ộ + ; (m, n) = 1.
Không m t tính t ng quát, gi s a ≤ b => m ≤ n. ấ ổ ả ử
Do đó : a + b = d(m + n) = 42 (1)
[a, b] = mnd = 72 (2)
=> d là ước chung c a 42 và 72 => d thu c {1 ; 2 ; 3 ; 6}. ủ ộ
L n lầ ượt thay các giá tr c a d vào (1) và (2) đ tính m, n ta th y ch có trị ủ ể ấ ỉ ường h p d =ợ
6
=> m + n = 7 và mn = 12 => m = 3 và n = 4 . (th a mãn các đi u ki n c a m, n). ỏ ề ệ ủ
V y d = 6 và a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24 ậ
Bài 8: Tìm a, b bi t a b = 7, [a, b] = 140. ế
Hướng d nẫ :
G i d = (a, b) => a = md ; b = nd v i m, n thu c Zọ ớ ộ + ; (m, n) = 1.
Do đó : a b = d(m n) = 7 (1’)
[a, b] = mnd = 140 (2’)
=> d là ước chung c a 7 và 140 => d thu c {1 ; 7}. ủ ộ
Trang 11Thay l n lầ ượt các giá tr c a d vào (1’) và (2’) đ tính m, n ta đị ủ ể ược k t qu duy nh t : ế ả ấ
d = 7 => m n = 1 và mn = 20 => m = 5, n = 4
V y d = 7 và a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 . ậ
Bài 9: Tìm hai s a, b bi t 7a = 11b và (a, b) = 45. ố ế
Bài 10: Tìm hai s bi t t ng c a chúng b ng 448, CLN c a chúng b ng 16 và chúng có cácố ế ổ ủ ằ Ư ủ ằ
ch s hàng đ n v gi ng nhau. ữ ố ơ ị ố
Bài 11: Cho hai s t nhiên a và b. Tìm t t c các s t nhiên c sao cho trong ba s , tích c aố ự ấ ả ố ự ố ủ hai s luôn chia h t cho s còn l i.ố ế ố ạ