Ngày soạn 26/09/1016 Ngày giảng 29/09/1016 Trường THPT Nguyễn Thị Minh Khai Tổ Toán CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG I MỤC TIÊU 1 Kiến thức − Hiểu vectơ chỉ phươn[.]
Trang 1CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
I MỤC TIÊU:
1 Kiến thức:
− Hiểu vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến của đường thẳng
− Hiểu cách viết phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng
− Hiểu được điều kiện hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc với nhau
− Biết công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng
2 Kĩ năng:
− Viết được phương trình tổng quát, phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M x y0 0 0( ; ) và có phương cho trước hoặc đi qua hai điểm cho trước
− Tính được tọa độ của vectơ pháp tuyến nếu biết tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng và ngược lại
− Biết chuyển đổi giữa phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng
− Sử dụng được công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
− Tính được số đo góc giữa hai đường thẳng
3 Thái độ:
− Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác
− Làm quen việc chuyển tư duy hình học sang tư duy đại số
II LÝ THUYẾT
1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ u 0 r ≠r được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hoặc trùng với ∆
Nhận xét:
– Nếu u r là một VTCP của ∆ thì ku r (k ≠ 0) cũng là một VTCP của ∆.
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP.
2 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Vectơ n 0 r≠r được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu giá của nó vuông góc với ∆
Nhận xét: – Nếu n r là một VTPT của ∆ thì kn r (k ≠ 0) cũng là một VTPT của ∆.
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT – Nếu u r là một VTCP và n r là một VTPT của ∆ thì u n r ⊥r
3 Phương trình tham số của đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ đi qua M x y0( ; )0 0 và có VTCP u r= ( ; )u u1 2
Phương trình tham số của ∆: y y x x0 tu tu1
= +
= +
( t là tham số).
Nhận xét: M(x; y) ∈∆⇔∃ t ∈ R: x x y y0 tu tu1
= +
= +
4 Phương trình tổng quát của đường thẳng
Trang 2PT ax by c 0+ + = với a2 +b2 ≠ 0 được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Nhận xét:
– Nếu ∆ có phương trình ax by c 0+ + = thì ∆ có:
VTPT là n r= ( ; )a b và VTCP u r= − ( ; )b a hoặc u r = ( ; )b a− .
– Nếu ∆ đi qua M x y0( ; )0 0 và có VTPT n r= ( ; )a b thì phương trình của ∆ là:
a x x( − 0) +b y y( − 0) 0 =
Các trường hợp đặc biệt:
Các hệ số Phương trình đường thẳng ∆ Tính chất đường thẳng ∆
c = 0 ax by+ = 0 ∆ đi qua gốc toạ độ O
a = 0 by c+ = 0 ∆ // Ox hoặc ∆ ≡ Ox
b = 0 ax c+ = 0 ∆ // Oy hoặc ∆ ≡ Oy
•∆ đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): Phương trình của ∆: x y
a b+ =1.
(phương trình đường thẳng theo đoạn chắn)
5 Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1: a x b y c1 + 1 + =1 0 và ∆2: a x b y c2 + 2 + 2= 0.
Toạ độ giao điểm của ∆1 và ∆2 là nghiệm của hệ phương trình:
a x b y c
a x b y c12 12 12
0 0
+ + =
+ + =
•∆1 cắt ∆2 ⇔ hệ (1) có một nghiệm
•∆1 // ∆2 ⇔ hệ (1) vô nghiệm
•∆1 ≡ ∆2 ⇔ hệ (1) có vô số nghiệm
6 Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆1: a x b y c1 + 1 + =1 0 (có VTPT n r1= ( ; )a b1 1 )
và ∆2: a x b y c2 + 2 + 2= 0 (có VTPT n r2= ( ; )a b2 2 ).
n n khi n n
0
( , )
180 ( , ) ( , ) 90
∆ ∆ = − ≤>
cos( , ) cos( , )
r r
r r
r r
Chú ý: •∆1⊥ ∆2⇔ a a1 2+b b1 2= 0.
• Cho ∆1: y k x m= 1 + 1, ∆2 : y k x m= 2 + 2 thì:
+ ∆1 // ∆2 ⇔k1 =k2
+ ∆1 ⊥ ∆2 ⇔k k1 2 = − 1
7 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆: ax by c 0+ + = và điểm M x y0( ; )0 0
ax by c
d M
a b
( , ) ∆ = + +
+
Trang 3III BÀI TẬP MINH HỌA CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Bài tập 1 Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
a) d đi qua điểm M(2; -3) và có VTCP u ( 5;4) r = −
; b) d đi qua điểm M(-5; 6) và có VTPT n (7; 1) r = −
; c) d đi qua 2 điểm A(3; -4) và B(-5; 2)
Giải:
a) PTTS của đt d là: x = 2 5t
y = 3+ 4t
−
−
, t: tham số.
b) d có VTPT n (7; 1) r = −
⇒đt d có VTCP là: u (1;7)r=
Vậy đt d đi qua điểm M(-5; 6) và có VTCP u (1;7)r =
có PTTS x = 5 + t
y = 6 +7t
−
, t: tham số.
c) d có VTCP u AB ( 8;6)r uuur= = −
Vậy d đi qua điểm A(3; -4) và có VTCP u ( 8;6)r = −
PTTS của đt d là: x = 3 8t
y = 4 + 6t
−
−
, t: tham số.
Bài tập 2 Xét vị trí tương đối giữa cặp đường thẳng sau đây:
d: x + y – 2 = 0 và d’: 2x + y – 3 = 0.
Giải:
Xét d và d’, hệ phương trình x + y x + y
⇔
Vây d cắt d’ tại điểm M(1;1).
Bài tập 3 Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng sau đây:
d 1 : x – 2y + 5 = 0 và d 2 : 3x – y = 0.
Giải:
VTPT của 2 đt d1 và d2 lần lượt là: n (1; 2)uur1= − và nuur2= (3; 1) −
Gọi ϕ là góc giữa hai đt d1 và d2, ta có:
cosϕ = 1 2
2
n n 1 ( 2) 3 ( 1)
uur uur
Vậy góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là 450
Bài tập 4 Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được cho tương ứng
A(-3; 5) và d: 4x + 3y + 1 = 0.
Giải: Ta có: d(A, d) = − + +
= +
4.( 3) 3.5 1 4.
5
4 3
IV BÀI TẬP TỰ LÀM
Bài tập 1, 2b, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 trang 80, 81 SGK.
Trang 4 Bài tập thêm
Bài tập 1 Lập PTTS, PTTQ của đt d, biết:
a) d đi qua M(2; 1) và có vectơ chỉ phương u (3;4)r=
b) d đi qua điểm M(-2; 3) và có vectơ pháp tuyến là nr= (4; -2)
d) d đi qua 2 điểm A(7; 4) và B(3; -2)
Bài tập 2 Lập PTTS và PTTQ của đt ∆, biết:
a) ∆đi qua điểm A(-5; 7) và song song với đường thẳng d: 4x + y – 6 = 0.
b) ∆ đi qua điểm B(2; -12) và vuông góc với đường thẳng d: -5x + 3y + 2 = 0.
c) ∆đi qua điểm C(-5; 3) và song song với đt d: x = 2 +7t
y = 1 t
−
d) ∆đi qua điểm D(4; -1) và vuông góc với đt d: x = 7 2t
y = 8 + 5t
−
Bài tập 3 Cho ∆ABC có A(6; -2), B(4; -10), C(3; 1)
a) Tính cosB, từ đó suy ra số đo góc B của ∆ABC
b) Viết PTTQ của các cạnh AB, BC, AC của ∆ABC
c) Viết PTTQ đường trung tuyến CM và đường cao BH của ∆ABC
d) Viết PTTQ đường trung trực của cạnh AB của ∆ABC
Bài tập 4 Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng sau:
a) d: 4x – 10y + 1 = 0 và d’: x + y + 2 = 0
b) ∆: 12x – 6y + 10 = 0 và ∆′: = +
= +
x 5 t
.
y 3 2t
c) d: 8x +10y – 12 = 0 và d′: = − +
= −
x 6 5t
.
y 6 4t
Bài tập 5 Tìm số đo của góc giữa hai đt sau:
a) d 1 : 4x – 2y + 6 = 0 và d 2 : x – 3y + 1 = 0.
b) ∆1: x + 2y + 4 = 0 và ∆2: 2x – y + 6 = 0.
Bài tập 6 Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được cho tương ứng như sau:
a) A(3; 5) và d: 4x + 3y + 1 = 0
b) B(1; -2) và ∆: 3x – 4y – 26 = 0.
c) C(1; 2) và m: 3x + 4y – 11 = 0
Bài tập 7 Cho đường thẳng ∆có PTTS: = +x 2 2ty 3 t= +
a) Tìm điểm M nằm trên ∆ và cách điểm A(0;1) một khoảng bằng 5
b) Tìm điểm N trên ∆sao cho AN ngắn nhất
c) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆và đường thẳng d: x + y + 1 = 0.
Bài tập 8 Cho hai đường thẳng d1: 5x – 2(m + 4)y + 1 = 0 và d2: (3m – 1)x – 6y – 7 = 0
Định m để hai đt d1 và d2 vuông góc với nhau
Bài tập 9 Tìm bán kính của đường tròn tâm C(–2; –2) tiếp xúc với đường thẳng
∆: 5x + 12y – 10 = 0.