1 Chứng minh: Tứ giác APMQ nội tiếp đường tròn 2 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ... MPA MQA ⇒ Tứ giác APMQ nội tiếp đường tròn đường kính AM.. ⇒ Đường tròn ngoại tiếp tứ
Trang 1
Bài 1: (2.0 điểm)
1) Giải các phương trình sau:
a) x - 1 = 0
b) x2 - 3x + 2 = 0
2) Giải hệ phương trình: 2 7
2
− =
Hướng dẫn giải:
b) x2 – 3x + 2 = 0, Ta có a + b + c = 1 + (-3) + 2 = 0
Theo định lý Viet phương trình có hai nghiệm:
1
c x a
= = =
2
− =
<=> <=> <=>
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: 3
1
x y
=
Bài 2: (2.0 điểm) Cho biểu thức: A = 1
2 2 a+ +
1
2 2 a−
-2 2
1 1
a a
+
− 1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
2) Tìm giá trị của a; biết A < 1
3
Hướng dẫn giải:
2 2
a A
a
+
−
HƯỚNG DẪN GIẢI
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 – THANH HÓA
Trang 2
1) + Biểu thức A xác định khi:
2
0
1
a
a
a
≥
≥
+ Rút gọn biểu thức A:
2 2
1
a A
a
+
−
2
a A
+
2
A
=
2
A
=
A
−
−
2)
A
< => < => − < => < => <
1
2
1 0
1 1
1 2
1
a
a
a a
a
− > >
+ <
< −
− < <
=> => − < <
Có:
1
2
1 0
1
a
a
Kết hợp với điều kiện ta có: 0 1
2
a
≤ < thì 1
3
A <
Bài 3: (2.0 điểm)
Trang 3
1) Cho đường thẳng (d): y = ax + b Tìm a; b để đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 3) và song song với
đường thẳng (d’): y = 5x + 3
2) Cho phương trình ax2 + 3(a + 1)x + 2a + 4 = 0 (x là ẩn số) Tìm a để phương trình đã cho có hai
nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn 2
1
x + 2 2
x = 4
Hướng dẫn giải:
1) Đường thẳng (d): y = ax + b đi qua điểm A (-1 ; 3), nên ta có:
3 = a(-1) + b ⇒ -a + b = 3 (1)
+ Đường thẳng (d): y = ax + b song song với đườngthẳng (d’):
y = 5x + 3, nên ta có 5
3
a b
=
Thay a = 5 vào (1) => -5 + b = 3 => b = 8 (thoả mãnb ≠ ) 3
Vậy a = 5, b = 8
Đườngthẳng (d) là: y = 5x + 8
2) + Với a = 0, ta có phương trình 3x + 4 = 0 4
3
3
= (Loại)
- Với a ≠ 0
Ta có: ∆ =9(a+1)2−4 (2a a+4)=(a+1)2+ > ∀ 8 0 a
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi a
Theo hệ thức Viet ta có:
1 2
a
a a
x x
a
+
Theo đầu bài:
x +x = => x +x − x x = Thay vào ta có:
2
4
Trang 4
⇒ + + = Nhận thấy: hệ số a – b + c = 1 – 10 + 9 = 0
Phương trình có hai nghiệm:
1
c a a
9
a a
= −
= −
Bài 4: (3.0 điểm)
Cho tam tam giác đều ABC có đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M bất kỳ (M không trùng B; C; H )
Từ M kẻ MP; MQ lần lượt vuông góc với các cạnh AB; AC (P thuộc AB; Q thuộc AC)
1) Chứng minh: Tứ giác APMQ nội tiếp đường tròn
2) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ Chứng minh OH ⊥ PQ
3) Chứng minh rằng: MP +MQ = AH
Hướng dẫn giải:
2 1
O
H
Q P
B
A
1) Chứng minh tứ giác APMQ nội tiếp đường tròn:
Xét tứ giác APMQ có:
MP⊥ AB(gt) => 0
90
MPA =
MQ ⊥ AC(gt) => MQA =900
Trang 5
MPA MQA
⇒ Tứ giác APMQ nội tiếp đường tròn đường kính AM
2) Dễ thấy O là trung điểm của AM
⇒ Đường tròn ngoại tiếp tứ giác APMQ là đường tròn tâm O, đườngkính AM
OP = OQ ⇒ O thuộc đườngtrung trực của PQ (1)
AH ⊥BC=> AHM = ⇒ OH = OA = OM ⇒ A thuộc đườngtròn ngoài tiếp tứ giác APMQ
Xét đườngtròn ngoài tiếp tứ giác APMQ, ta có:
∆ ABC đều, có AH ⊥ BC ⇒ A1=A2 (t/c)
⇒ PMH =HQ (hệ quả về góc nội tiếp)
⇒ HP = HQ (tính chất)
⇒ H thuộc đườngtrung trực của PQ (2)
Từ (1) và (2) ⇒ OH là đườngtrung trực của PQ ⇒ OH ⊥ PQ (ĐPCM)
3) Chứng minh rằng MP + MQ = AH
2
ABC
AH BC
Do ∆ ABC là tam giác đều (gt) ⇒ AB = AC = BC (3)
Từ (1) , (2) và (3) ⇒ MP + MQ = AH (ĐPCM)
Bài 5: (1.0 điểm)
Cho hai số thực a; b thay đổi, thoả mãn điều kiện: a + b ≥ 1 và a > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A =
2
2 8
4
b a
Hướng dẫn giải:
Ta có:
2
+
Trang 6
2
a b
a
+
= − + + Do a + b ≥ 1 ⇒ a ≥ 1 - b
2
1
b
Do a > 0, theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 1 2 1 1
2
b
Từ (1) và (2) ⇒ 3
2
A≥ Dấu “=” xảy ra khi:
1
a b
a
b
+ =
− =
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là: min 3
2
2
a= = b
Nguồn: Hocmai.vn