Tuy nhiên, nếu thay n bằng một số nguyên cố định thì ta sẽ có một mệnh đề: chẳng hạn với = 3 ta có một mệnh đề đúng, trong khi với = 4 ta có một mệnh đề sai.. Nguyễn Hữu Anh 9 Nếu chỉ để
CƠ SỞ LOGIC
Trong toán học, chúng ta tập trung vào các mệnh đề có giá trị chân lý xác định rõ ràng, tức là đúng hoặc sai nhưng không thể vừa đúng vừa sai Các khẳng định như vậy được gọi là mệnh đề, đóng vai trò nền tảng trong việc xây dựng các lý thuyết và chứng minh trong toán học Hiểu rõ về mệnh đề giúp nâng cao khả năng phân tích và xác định tính logic của các phát biểu toán học.
Các mệnh đề đúng được nói là có giá trịchân lý đúng (hay chân trịđúng), các mệnh đề sai được nói là có chân trị sai
1 Các khẳng định sau là mệnh đề:
Môn Toán rời rạc là môn bắt buộc cho ngành Tin học
Hai mệnh đề đầu có chân trị 1, mệnh đề thứ ba có chân trị 0
2 Các khẳng định dưới dạng tán than hoặc mệnh lệnh không phải mệnh đề vì nó không có chân trị xác định
Khẳng định “n là số nguyên tố” không phải là một mệnh đề độc lập Tuy nhiên, khi thay n bằng một số nguyên cố định, ta sẽ có một mệnh đề rõ ràng hơn; ví dụ, với n = 3, đó là một mệnh đề đúng, còn với n = 4, đó là một mệnh đề sai Khẳng định này được gọi là một vị từ trong logic, là đối tượng khảo sát của lĩnh vực luận lý học.
Trong logic, Ta thường ký hiệu các mệnh đề bằng các chữ cái như p, q, r, và chân trị đúng (chân lý đúng) được ký hiệu là 1, trong khi chân trị sai (chân lý sai) được ký hiệu là 0 Đôi khi, người ta còn sử dụng các ký hiệu như T và F để biểu thị chân trị đúng và sai một cách rõ ràng hơn.
Phân tích kỹ các ví dụ ta thấy các mệnh đề được chia ra làm 2 loại:
Các mệnh đề phức hợp được hình thành bằng cách liên kết các mệnh đề đơn giản với nhau thông qua các liên từ như "và", "hoặc", "nếu thì " hoặc bằng cách sử dụng trạng từ "không" Việc xây dựng các mệnh đề phức hợp giúp câu trở nên phong phú và rõ ràng hơn trong diễn đạt ý nghĩa phức tạp Các liên kết này đóng vai trò quan trọng trong việc tổ chức và liên kết các ý trong câu, tạo ra các cấu trúc ngữ pháp phức tạp nhưng dễ hiểu.
Ví dụ: “Nếu trời đẹp thì tôi đi dạo” là một mệnh đề phức hợp
Các mệnh đề không thể được xây dựng từ các mệnh đề khác bằng cách sử dụng liên từ hoặc trạng từ “không” được gọi là mệnh đề nguyên thủy hoặc sơ cấp Đây là những mệnh đề cơ bản, không phụ thuộc vào các mệnh đề khác để hình thành ý nghĩa hoàn chỉnh Hiểu rõ đặc điểm của mệnh đề nguyên thủy giúp nâng cao khả năng phân biệt và sử dụng đúng ngữ cảnh trong tiếng Việt và các ngôn ngữ khác Đặc biệt, việc nhận biết các mệnh đề này là nền tảng để xây dựng các câu phức hợp và nâng cao kỹ năng ngữ pháp trong học tập và giao tiếp hàng ngày.
Ví dụ: “Hôm nay trời đẹp”, “3 là số nguyên tố” là các mệnh đề nguyên thủy
Phép tính mệnh đề nhằm nghiên cứu chân trị của một mệnh đề phức hợp dựa trên chân trị của các mệnh đề đơn giản hơn Các phép nối trong mệnh đề phức thể hiện qua liên từ hoặc trạng từ "không", giúp xác định giá trị đúng sai của toàn bộ mệnh đề Việc phân tích chân trị của mệnh đề phức hợp có vai trò quan trọng trong logic học và lý thuyết mệnh đề.
Phộp phủ định: phủđịnh của mệnh đề P được ký hiệu bởi ơ (đọc là khụng P)
Chõn trị của ơ là 0 nếu chõn trị của là 1 và ngược lại
Ta có bảng sau gọi là bảng chân trị của phép phủ định:
Phép nối liên kết hai mệnh đề P và Q được ký hiệu là P∧Q, đọc là "P và Q." Chân trị của P∧Q là 1 nếu cả hai mệnh đề P và Q đều có chân trị 1; trong các trường hợp còn lại, phép kết P∧Q có chân trị 0 Đây là phép nối logic cơ bản trong logic học giúp xác định giá trị chân trị của các mệnh đề phức hợp dựa trên chân trị của các mệnh đề thành phần Hiểu rõ phép nối liên kết này là nền tảng quan trọng trong việc xây dựng các biểu thức logic chính xác và ứng dụng trong công nghệ thông tin và lập trình.
Nói cách khác phép nối liền được xác định bởi bảng chân trị sau:
Mệnh đề "Hôm nay trời đẹp và trận bóng đá sẽ hấp dẫn" được xem là đúng khi cả hai điều kiện "trời đẹp" và "trận bóng đá sẽ hấp dẫn" đều xảy ra Ngược lại, nếu một trong hai điều kiện đúng và điều kia sai hoặc cả hai đều sai, thì mệnh đề sẽ bị xem là sai Điều này giúp hiểu rõ về cách xác định tính đúng sai của các mệnh đề phức hợp trong logic học.
Phép nối rời: mệnh đề nối rời của hai mệnh đề P, Q được ký hiệu bởi P∨Q (đọc là
P hoặc Q) Chân trị của P∨Q là 0 nếu cả P lẫn Q đều có chân trị 0 Trong các trường hợp khác, P∨Q có chân trị 1
Nói cách khác phép nối rời được xác định bởi bảng chân trị sau:
Ví dụ về mệnh đề đúng là "Ba đang đọc báo hay xem tivi" khi ba đang thực hiện ít nhất một trong hai hoạt động này, chẳng hạn như vừa đọc báo vừa xem tivi Trong khi đó, nếu cả hai hoạt động đều không xảy ra tại thời điểm đó, ví dụ như ba không đọc báo cũng không xem tivi, thì mệnh đề này trở nên sai Hiểu rõ cách xác định một mệnh đề đúng hay sai giúp nâng cao khả năng sử dụng đúng ngữ pháp tiếng Việt và viết câu chính xác hơn Đây là kiến thức quan trọng giúp người học nắm bắt cấu trúc câu và vận dụng linh hoạt trong giao tiếp hàng ngày cũng như trong viết văn.
Khi làm việc với mệnh đề logic, cần chú ý rằng mệnh đề "P∨Q" dùng từ "hay" theo nghĩa bao gồm, tức là cả hai đều có thể đúng cùng lúc Tuy nhiên, trong ngôn ngữ hàng ngày, "hoặc" thường được hiểu theo nghĩa loại trừ, nghĩa là chỉ đúng một trong hai, không đồng thời đúng cả hai Để phân biệt rõ ràng giữa hai nghĩa này trong lý thuyết, ta sẽ sử dụng các ký hiệu hoặc từ ngữ phù hợp nhằm làm rõ nghĩa của "hoặc" trong từng trường hợp.
“hoặc”: “ hoặc ” và ký hiệu ∨ ( hay nhưng không đồng thời cả hai) Bảng chân trị của ∨ là:
Phép kéo theo, ký hiệu là →, còn gọi là điều kiện đủ của một mệnh đề, thể hiện mối quan hệ logic "nếu P thì Q" Để xác định chân trị của phép kéo theo, ta xét các trường hợp cụ thể, ví dụ như "nếu trời đẹp thì tôi đi dạo", nhằm xác định khi nào mệnh đề này đúng hoặc sai dựa trên các điều kiện thực tế.
trời đẹp và tác giả của khẳng định đang đi dạo: khi ấy hiển nhiên là mệnh đề đúng
trời đẹp và tác giả ngồi nhà: mệnh đề rõ ràng sai
trời xấu và tác giảđi dạo: mệnh đề vẫn đúng
trời xấu và tác giả ngồi nhà: mặc dù trời xấu nhưng tác giả không vi phạm khẳng định của mình nên mệnh đề phải được xem là đúng
Từ đó ta có bảng chân trị của phép kéo theo như sau:
Theo quy ước về chân trị đã đề cập, ta có thể đưa ra những khẳng định hài hước và độc đáo, như "nếu 2 bằng 1 thì Quang Trung và Trần Hưng Đạo chính là một người", thể hiện rõ sự mâu thuẫn và tính chất vui nhộn của phép đối chiếu trong toán học.
2 Cần phân biệt mệnh đề → với lệnh ℎ trong một số ngôn ngữ lập trình ví dụ như Pascal, Basic Trong → thì cả và là mệnh đề còn trong lệnh
Mệnh đề "if" (nếu) trong lập trình là một cấu trúc điều kiện quan trọng, giúp thực hiện các dòng lệnh liên tiếp khi điều kiện P có chân trị là 1 và bỏ qua nếu P có chân trị là 0 Các dòng lệnh này thực chất là các mệnh lệnh máy tính phải thực thi, không phải là mệnh đề theo nghĩa lý thuyết, nhưng vẫn có sự tương đồng giữa các đối tượng như "→" và cấu trúc điều kiện "if" Việc hiểu rõ cách hoạt động của mệnh đề "if" giúp lập trình viên kiểm soát luồng thực thi của chương trình một cách chính xác và tối ưu.
“ ℎ ” Hơn nữa có thể lợi dụng các tương đương logic để thực hiện lệnh
Trong cuộc sống hàng ngày, nhiều người thường nhầm lẫn giữa phép kéo theo đơn vị và phép kéo theo hai chiều, dẫn đến hiểu lầm trong giao tiếp Ví dụ, câu “giảng viên khoa Toán dạy nghiêm túc” có thể bị hiểu nhầm thành “nếu anh là giáo viên khoa Toán thì anh dạy nghiêm túc” thông qua phép nối, gây phản ứng từ các giảng viên các khoa khác do cho rằng ý này ám chỉ “giảng viên các khoa khác dạy không nghiêm túc” Thực tế, người phát biểu có thể muốn nhấn mạnh rằng “nếu anh là giáo viên khoa Toán thì anh sẽ dạy nghiêm túc”, nhưng cách viết ban đầu dễ gây hiểu nhầm, vì vậy cần lưu ý cách diễn đạt rõ ràng để tránh các hiểu lầm không cần thiết.
→ Tuy nhiên, nếu bao gồm them một trong hai phát biểu sau, thì phát biểu → thành một phép kéo theo hai chiều theo nghĩa dưới đây
Phép kéo theo hai chiều: mệnh đề nếu thì và ngược lại được ký hiệu là
Trong logic mệnh đề, ký hiệu ↔ thể hiện phép kéo theo nếu và chỉ nếu, hay còn gọi là điều kiện cần và đủ để một mệnh đề đúng Khi cả hai chiều → và → đều đúng, điều này xác nhận tính tương đương của hai mệnh đề, nghĩa là nếu mệnh đề này đúng thì mệnh đề kia cũng đúng, và ngược lại Bảng chân trị của phép kéo theo hai chiều phản ánh rõ ràng mối quan hệ này, giúp xác định chính xác khi nào hai mệnh đề là tương đương nhau trong logic học.
Trong Đại số ta có các biểu thức đại số được xây dựng từ:
các số nguyên, hữu tỉ, thực,… mà ta gọi là hằng số
các biến , , … có thể lấy giá trị là các hằng số
các phép toán thao tác trên các hằng số và các biến theo một thứ tự nhất định
PHƯƠNG PHÁP ĐẾM
Từ Chương 2 trở đi, chúng ta sử dụng các ký hiệu logic quen thuộc như ⟹ và ⟺ để biểu thị mối quan hệ “hệ quả logic” và “tương đương logic” giữa các mệnh đề, xem chúng như các mệnh đề hằng Ngoài ra, các ký hiệu này còn dùng để thể hiện phép kéo theo và kéo theo hai chiều, giúp mô tả các quan hệ logic một cách rõ ràng và chính xác Các ký hiệu ⟶ và ⟷ được sử dụng để biểu diễn các ánh xạ trong lý thuyết tập hợp.
Trong chương này, chúng ta tiếp tục khai thác khái niệm tập hợp theo nghĩa trực quan, đó là các đối tượng được nhóm lại dựa trên một tính chất chung Khái niệm này giúp hiểu rõ hơn về cách xác định thành phần của tập hợp, khi một phần tử thuộc hay không thuộc tập hợp đó, được thể hiện qua ký hiệu ∈ và ∉ Tính chất của các phần tử trong tập hợp thường được biểu diễn bằng động từ chỉ đặc điểm, dựa trên một biến được chọn ranges rõ ràng, giúp xác định các phần tử của tập hợp một cách chính xác Việc nắm vững khái niệm tập hợp theo nghĩa rộng này là nền tảng quan trọng trong toán học và các lĩnh vực liên quan đến lý thuyết tập hợp.
∈ sao cho ( ) đúng được kí hiệu bởi:
= { ∈ ⁄ ( ) } được gọi là tập hợp vũ trụ Nếu hiểu ngầm thì có thể viết:
Trong ví dụ 2, ta có thể chỉ ra tất cả các phần tử của : -2, -1, 0, 1, 2 Ta viết
Ta nói được mô tả bằng cách liệt ra tất cả các phần tử Cũng thế = { ∈ / ≤ }có thể được mô tả bằng cách liệt kê các phần tử:
= {0,1,…, } Với phương pháp mô tả bằng cách liệt kê các phần tử, một tập hợp có thể là:
Khi này không nhất thiết các phần tử được nhóm lại theo một tính chất cụ thể nào
Chú ý rằng tập hợp { ∈ / < 0} không có phần tử nào cả Ta nói nó là tập hợp rỗng và kí hệu bởi ∅
Giả sử , là 2 tập hợp con của tập hợp vũ trụ , ta nói là tập hợp con của (hay được bao hàm trong hay bao hàm ) nếu:
Các phép toán hợp (∪), giao (∩) và phần bù trên tập hợp được định nghĩa dựa trên các phép nối trên mệnh đề và vị từ Định nghĩa 2.1.1 xác định rằng, khi \(A\) và \(B\) là các tập con của tập hợp vũ trụ \(U\), thì các phép toán này giúp mô tả các mối quan hệ giữa các tập hợp một cách rõ ràng và chính xác Các phép hợp và giao cho phép xác định các phần chung và không chung của các tập hợp, còn phép phần bù giúp xác định phần của tập hợp không nằm trong các tập hợp khác, qua đó nâng cao khả năng phân tích tập hợp trong toán học.
∩ = { ∈ / ( ∈ )∧( ∈ ) } ̅= \ = { ∈ / ∉ } ̅ được gọi là phần bù của (trong )
GS Nguyễn Hữu Anh 37 Định lý 2.1.1: , , là các tập con tùy ý của , ta có: i Tính giao hoán:
Chứng minh: các tính chất trên suy từ định nghĩa và các qui luật logic (Định lý 1.2.2) mà ta có thể mở rộng dễ dàng cho các vị từ
Do tính kết hợp ta có thể dùng ∪ ∪ để chỉ ∪( ∪ ) hay ( ∪ )∪ Cũng thế, cho trước tập hợp ∪ ∪…∪ không phụ thuộc vào thứ tự đặt dấu ngoặc
GS Nguyễn Hữu Anh, trong phần định nghĩa 2.2.1 về ánh xạ, trình bày rằng một ánh xạ từ tập hợp A đến tập hợp B là phép tương ứng liên kết mỗi phần tử của A với duy nhất một phần tử của B Được ký hiệu là \(f : A \rightarrow B\), và gọi là ảnh của phần tử \(a \in A\) bởi \(f\), tức là \(f(a)\).
: ⟶ ⟼ ( ) ii Hai ánh xạ , từ vào được nói là bằng nhau nếu:
∀ ∈ , ( ) = ( ) Định nghĩa 2.2.2: i Nếu là một tập hợp con của thì ảnh của bởi là tập hợp:
( ) = { ( ) / ∈ } ii Nếu là một tập hợp con của thì ảnh ngược (tạo ảnh) của là tập hợp
2 Nếu ( ) = ∅ thì không nằm trong ảnh ( ) của
Trong phần này, nếu ánh xạ \(f : A \to B\) có \(f(a) = \{b\}\), thì \(b\) là phần tử duy nhất trong ảnh của \(a\) Định nghĩa 2.2.3 giới thiệu khái niệm về ánh xạ từ một tập hợp vào tập hợp khác, trong đó, ta gọi là toàn ánh nếu mọi phần tử của tập xác định đều có ảnh thuộc tập đích, và là đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau trong tập xác định có ảnh khác nhau, đảm bảo tính ánh xạ rõ ràng và không mập mờ.
∀ , ∈ , ≠ ′ ⟹ ( ) ≠ ( ) iii là song ánh nếu nó đồng thời là đơn ánh và toàn ánh
Chú ý: nếu là song ánh từ lên , ta viết:
Khi ấy với ∈ tùy ý, có phần tử duy nhất ∈ sao cho ( ) = Như thế tương ứng ⟼ là 1 ánh xạ từ vào mà ta kí hiệu là − 1 :
: ⟶ sao cho ( ) = với ∈ tùy ý là đơn ánh nhưng không phải là toàn ánh vì chẳng hạn không là ảnh của phần tử nào của
Giả sử , là hai số thực sao cho ≠0 Khi ấy f(x)=ax+b và xác định một song ánh giữa và Ánh xạ ngược của nó là
⟼ − Định nghĩa 2.2.4: Cho hai ánh xạ
: ⟶ và : ⟶ Ánh xạ hợp ℎ là ánh xạ từ vào xác định bởi:
Ta thường biểu diễn một ánh xạ bởi sơ đồ
Khi ấy ánh xạ hợp được biểu diễn bởi sơ đồ
Ký hiệu là ánh xạ ⟶ sao cho
Ta nói là ánh xạ đồng nhất của tương tự gọi là ánh xạ đồng nhất của Khi ấy (2.2.1) và (2.2.2) trở thành
Định lý 2.2.1 xác định các thuộc tính của phép phép hợp và giao của các tập con trong tập A Cụ thể, phép hợp của hình ảnh của hợp hai tập con bằng hợp của các hình ảnh của từng tập con, và phép giao của hình ảnh của giao hai tập con là bao hàm bởi giao các hình ảnh của từng tập con Ngoài ra, hình ảnh của hợp hai tập con bằng hợp của các hình ảnh riêng biệt, còn hình ảnh của giao hai tập con bằng giao các hình ảnh riêng biệt trong tập A.
Chứng minh: ta chỉ chứng minh i), các phần còn lại được lý luận tương tự Ta có:
Chú ý: bao hàm trong ii) có thể là ngặt trong ví dụ sau cho thấy Xét : ⟶ xác định bởi:
( ) = | |, ∀ ∈ Lấy = , = Ta có ∩ = ∅ nên ( ∩ ) = (∅) = ∅ Trong khi đó ( ) ( ) = nên ( )∩ ( ) ≠ ∅ §3 PHÉP ĐẾ M
Trước hết ta nhận xét rằng phép đếm các phần tử của một tập hợp là một thủ tục gồm có nhiều bước:
Bước 0: nếu = ∅ ta nói số phần tử của bằng 0 Nếu không ( ≠ ∅) ta qua Bước 1
Bước 1: chọn tùy ý một phần tử ∈ rồi gán tương ứng với phần tử 1∈ Nếu
= { } ta nói là một phần tử Nếu không ta qua Bước 2
Trong bước 2 của quá trình, chúng ta xác định rằng tồn tại một phần tử phù hợp trong tập hợp, diễn đạt bằng cách gán biến b cho phần tử tương ứng trong tập hợp Điều này thể hiện mối liên hệ song ánh giữa các tập hợp { , } và {1,2}, giúp xác định rõ ràng rằng nếu tập hợp bằng { , }, thì có hai phần tử, còn nếu không, quá trình chuyển sang Bước 3 để tiếp tục xử lý.
Cứ tiếp tục thủ tục như trên Hai trường hợp có thể xảy ra
Trường hợp 1: thủ tục dừng ở một Bước nào đó, nghĩa là tồn tại một song ánh giữa và {1,2,…, } ⊂ ta nói rằng có phần tử
Trường hợp 2: thủ tục không bao giờ dừng Ta nói có vô số phần tử hay là một tập hợp vô hạn
Dựa trên nhận xét trên, định nghĩa 2.3.1 xác định rằng một tập hợp được xem là hữu hạn nếu tồn tại một sự ánh xạ một-một giữa tập hợp đó và tập con {1, 2, , n} của nó; trong trường hợp này, ta viết |A| = n Ngược lại, nếu không thể xác định được sự ánh xạ như vậy và tập hợp không có giới hạn về phần tử, ta gọi đó là tập hợp vô hạn.
Phép toán trong nhận xét cho thấy một thuật toán cụ thể để xây dựng một song ánh giữa tập {1,2, ,n} và một tập hữu hạn, qua đó giúp hiểu rõ hơn về cách xác định song ánh trong lý thuyết tập hợp Trong khi đó, Định nghĩa 2.3.1 chỉ cần tồn tại ít nhất một song ánh như vậy để xác nhận tính chất liên quan, mang lại một cách tiếp cận linh hoạt hơn trong việc nghiên cứu các phép biến đổi giữa các tập hợp.
Hai tập hợp hữu hạn có cùng số phần tử luôn tương ứng với nhau qua một song ánh, điều này đồng nghĩa với việc tồn tại một phép song ánh ⟷ giữa chúng Khi hai tập hợp có cùng lực lượng, ta nói chúng là có cùng số phần tử hoặc cùng lực lượng Trong lập luận tổng quát hơn, định nghĩa về lực lượng được mở rộng như sau: một tập hợp được gọi là có lực lượng nhỏ hơn tập hợp khác nếu tồn tại một phép ánh đơn là ánh xạ vào tập hợp đó, và hai tập hợp được gọi là đồng lực lượng khi tồn tại một song ánh ⟷ giữa chúng, chứng tỏ chúng có cùng số phần tử và cùng lực lượng.
Trong bài viết này, ta giả sử tồn tại một đơn ánh từ vào tích phân, ký hiệu là f, và đặt phần bù của ̅ trong tích phân này là α(x) Chọn một phần tử tùy ý ∈ X, ta sẽ định nghĩa một ánh xạ từ tập xác định này sang một không gian phù hợp Phương pháp này giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc của ánh xạ và các tính chất liên quan đến đánh giá tích phân trong lý thuyết toán học.
Nếu ∈ thì tồn tại duy nhất ∈ sao cho = ( ) Ta đặt ( ) Nếu ∈ ̅, ta đặt ( ) GS Nguyễn Hữu Anh 41
Trong bài viết này, ta chứng minh rằng một ánh xạ từ vào là một ánh xạ toàn phần khi và chỉ khi nó là toàn ánh Cụ thể, nếu ta có một ánh xạ từ vào sao cho ( ) = , thì nó là toàn ánh Ngược lại, giả sử tồn tại một ánh xạ toàn phần : ⟶ , ta có thể chọn mỗi phần tử ∈ ( ) để xây dựng một ánh xạ theo định nghĩa, và nhờ cách xây dựng này, ta chứng minh được rằng ánh xạ đó là đơn ánh Việc chọn phần tử ∈ ( ) dựa trên khái niệm chọn theo Tiên đề chọn, điều này không phải là điều hiển nhiên đối với các tập hợp vô hạn Cuối cùng, bài viết kết luận rằng việc xây dựng ánh xạ theo cách này dựa trên đế lý của Tiên đề chọn, và đã chứng minh thành công đặc điểm của ánh xạ toàn phần và đơn ánh.
Mệnh đề 2.3.1: lực lượng của nhỏ hơn lực lượng của khi và chỉ khi tồn tại một tồn ánh từ lên
Một vấn đề quan trọng là liệu hai lực lượng có cùng cường độ hay không khi lực lượng của nhỏ hơn lực lượng của nữa Khẳng định này đã được chứng minh trong các trường hợp tổng quát, nhưng quá trình chứng minh vượt ra ngoài phạm vi của giáo trình Toán Rời rạc, đặt ra câu hỏi về tính tổng quát của các quy luật lực lượng trong hệ thống này.
Trong bài viết này, định lý 2.3.2 nhấn mạnh rằng nếu A và B đều là hai tập hợp hữu hạn, thì khi có tồn tại một đơn ánh từ A vào B và một đơn ánh từ B vào A, hai tập hợp này phải có cùng số phần tử Hơn nữa, mọi ánh xạ đơn (tương ứng với ánh xạ toàn phần) từ A vào B (hoặc ngược lại) đều là song ánh, đảm bảo sự liên kết chặt chẽ giữa các tập hợp hữu hạn này và khả năng thiết lập các ánh xạ đảo ngược lẫn nhau.
Chứng minh: Gọi là một đơn ánh tùy ý từ vào Đặt = ( ) và là phần bù của trong thì Mệnh đề 2.3.3 dưới đây cho:
Do f rõ ràng xác định một song ánh giữa và nên ta có
| | = | | + | ̅|≥| | Tương tự nếu tồn tại một đơn ánh từ vào ta sẽ có
| ̅| = 0 nghĩa là = ( ) và do đó f là một song ánh giữa và
Giả sử \( g \) là một toàn ánh từ lên tập Chúng ta đang xây dựng một đơn ánh từ vào sao cho \( ( ) \in ( ) \) với mọi \( \in \) Theo chứng minh trước đó, \( g \) là một song ánh, do đó rõ ràng nó cũng là một phép ánh phù hợp.
Mệnh đề 2.3.3 (Nguyên lý cộng):
Giả sử là một tập hợp con của tập hợp hữu hạn Gọi là phần bù của trong Khi ấy ta có: