SO SÁNH PHƯƠNG PHÁP ĐỘ RỘNG DẢI TẦN SỐ TỔNG QUÁT VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐỘ RỘNG DẢI TẦN SỐ NỬA CÔNG SUẤT KHI NHẬN DẠNG CẢN NHỚT TRONG HỆ HỮU HẠN BẬC TỰ DO

SO SÁNH PHƯƠNG PHÁP ĐỘ RỘNG DẢI TẦN SỐ TỔNG QUÁT VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐỘ RỘNG DẢI TẦN SỐ NỬA CÔNG SUẤT KHI NHẬN DẠNG CẢN NHỚT TRONG HỆ HỮU HẠN BẬC TỰ DO Vũ Đình Hương * Học viện KTQS Tóm tắ

SO SÁNH PHƯƠNG PHÁP ĐỘ RỘNG DẢI TẦN SỐ TỔNG QUÁT

VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐỘ RỘNG DẢI TẦN SỐ NỬA CÔNG SUẤT KHI NHẬN DẠNG CẢN NHỚT TRONG HỆ HỮU HẠN BẬC TỰ DO

Vũ Đình Hương *

Học viện KTQS

Tóm tắt

Bài báo sử dụng phương pháp dải tần số tổng quát và phương pháp độ rộng dải tần số nửa công suất để nhận dạng các tỉ số cản nhớt của hệ hữu hạn bậc tự do từ số liệu đo mô phỏng Nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số: tỉ số tần số dao động riêng, hệ số biên độ, mức độ cản và nhiễu tín hiệu đo đến sai số ước lượng cản trong hệ hai bậc tự do theo hai phương pháp trên Các kết quả cho thấy, phương pháp dải tần số tổng quát chính xác hơn phương pháp độ rộng dải tần số nửa công suất, đặc biệt là khi các tần số dao động riêng gần nhau và mức cản lớn

Từ khóa: Dao động kết cấu; nhận dạng cản nhớt; hàm phản ứng tần số; phương pháp độ rộng dải

tần số nửa công suất; phương pháp độ rộng dải tần số tổng quát

1 Đặt vấn đề

Phương pháp độ rộng dải tần số nửa công suất (HPB) là một phương pháp đơn giản và được sử dụng rộng rãi để nhận dạng cản nhớt của kết cấu công trình Theo đó, tỉ

số cản nhớt, được ước lượng từ số liệu thí nghiệm đo hàm phản ứng tần số (FRF), bằng một nửa độ rộng dải tần số gồm 2 tần số ứng với công suất (hoặc năng lượng) tín hiệu

đo FRF bằng một nửa công suất (hoặc năng lượng) cực đại tại một đỉnh của đường cong biên độ FRF (Hình 1) [1, 2, 4]

Ước lượng cản theo cách trên chỉ thường được sử dụng khi kết cấu có tỉ số cản rất nhỏ so với 1 Khi xem xét hệ 1 bậc tự do (BTD), Wang I [6] đã chỉ ra rằng, để sai số ước lượng cản nhỏ hơn 5% thì tỉ số cản phải nhỏ hơn 0,15 khi sử dụng FRF chuyển vị

và tương ứng 0,11 khi sử dụng FRF gia tốc Năm 2011, Wang I [6] đã sử dụng phương pháp HPB và đưa ra công thức bậc 3 để ước lượng tỉ số cản nhớt của hệ 1 BTD Papagiannopoulos G A [5] đã phát triển và sử dụng phương pháp HPB với các công thức bậc 3 để ước lượng tỉ số cản nhớt cho hệ hữu hạn BTD Nghiên cứu cũng chỉ ra rằng phương pháp HPB cùng với công thức bậc 3 vẫn cho sai số lớn trong hệ có cản lớn Thậm chí trong hệ cản không lớn thì ước lượng tỉ số cản với các dạng bậc cao vẫn cho sai số lớn Tác giả này cho rằng việc ước lượng cản của dạng bậc cao cần được xem xét một cách thận trọng khi áp dụng các công thức trên

*

Email: dinhvu259@gmail.com https://doi.org/10.56651/lqdtu.jst.v1.n01.393.sce

Năm 2012, Wang J [7] đã áp dụng phương pháp HPB với công thức cơ bản để nhận dạng cản của hệ 2 BTD Trong đó, đường cong FRF chuyển vị của hệ 2 BTD được

sử dụng trực tiếp để xác định độ rộng tần số Sau đó đánh giá sai số của phương pháp khi cho các tham số của hệ (tỉ số tần số, tỉ số biên độ và tỉ số cản của 2 dạng dao động riêng) thay đổi Nghiên cứu chỉ ra rằng, khi 2 tần số dao động riêng gần nhau, sai số ước lượng cản trên 20% cho cả 2 dạng Năm 2013, Wang J [8] tiếp tục áp dụng phương pháp HPB với công thức bậc 3 để nhận dạng cản của hệ 2 BTD Các kết quả thu được tương tự như trong [7] Nói chung, khi các tần số riêng càng tách biệt thì sai số ước lượng cản càng nhỏ và khi tỉ số cản càng lớn thì ước lượng cản càng không chính xác Năm 2015, Wu B [9] đã đề xuất công thức xác định  bằng cách chỉ bỏ đi vô cùng bé bậc 6 của  Phương pháp của Wu có ưu điểm là công thức ước lượng cản đơn

giản và có độ chính xác cao Tuy nhiên, hạn chế trong công thức của Wu và cũng là hạn chế chung của phương pháp HPB là phạm vi ứng dụng của nó vẫn chỉ giới hạn trong khoảng tỉ số cản (0÷0,383) khi áp

dụng cho hệ 1 BTD và hẹp hơn khi

áp dụng cho hệ hữu hạn BTD

Với phương pháp HPB, khi

hệ có mức cản lớn hoặc các tần số

dao động riêng gần nhau sẽ dẫn

đến trường hợp các điểm tần số  a

và/hoặc  b nằm ngoài đỉnh cộng

hưởng (Hình 1) Khi đó, hoặc là

không xác định được các tham số

cản, hoặc là sai số nhận dạng cản

tăng cao Để khắc phục hạn chế

này, Vũ Đình Hương [3] đã đề xuất công thức chính xác để ước lượng tỉ số cản nhớt của

hệ 1 BTD trên cơ sở phương pháp dải tần số tổng quát (GeB), với hai tần số ứng với

biên độ FRF bằng 1 / m biên độ lớn nhất, trong đó hệ số m được gọi là tỉ số công suất

và nhận giá trị tùy chọn lớn hơn 1 (Hình 1) Các nghiên cứu bước đầu với hệ 1 BTD [3] cho thấy công thức đề xuất có thể nhận dạng cản chính xác hơn và ước lượng được mức

độ cản lớn hơn các công thức đã có dựa trên phương pháp HPB Tuy nhiên, nghiên cứu này mới chỉ đề cập đến hệ 1 BTD và số liệu đo lý tưởng không có nhiễu

Bài báo này trình bày kết quả nghiên cứu, đánh giá sai số ước lượng tỉ số cản nhớt của hệ hữu hạn BTD sử dụng phương pháp GeB và HPB với với các mức cản khác nhau

và số liệu đo mô phỏng có nhiễu Từ đó, so sánh độ chính xác của phương pháp GeB với một số công thức đã có trên cơ sở phương pháp HPB

|H|

w

|H| max

|H| max

2 O

|H| max

m

w 1 w r w2

Hình 1 Phương pháp HPB và phương pháp GeB

2 Mô phỏng số liệu đo hàm phản ứng tần số và trình tự nhận dạng cản

2.1 Mô phỏng số liệu đo hàm phản ứng tần số của hệ hữu hạn bậc tự do

Phương trình vi phân dao động của hệ hữu hạn BTD với cản nhớt có dạng:

[M]{ ( )} [ ]{ ( )} [ ]{ ( )} { ( )}x t  C x t  K x t  f t (1)

trong đó: [M], [K], [C] lần lượt là các ma trận khối lượng, độ cứng và cản nhớt của hệ

Biến đổi phương trình vi phân dao động của hệ hữu hạn BTD với cản nhớt sang miền tần số, thay { ( )} { ( )}x t  X  e i t  và { ( )} { ( )}f t  F  e i t  vào phương trình (1), thu được:

2 ([ ]K i [ ]C  [M]){ ( )} { ( )}X   F  (2) Suy ra:

{ ( )}X  ([ ]K i [ ]C  [M]) { ( )} F 

Đặt:

[ ]H ([ ]K i [ ]C  [M])

[H] gọi là ma trận hàm phản ứng tần số của kết cấu

Ta có:

2

[ ] [ ] [ ] [ ] ([ ] [ ] [ ])[ ]

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]



(4)

trong đó: [] - ma trận các dạng dao động riêng chuẩn hóa của hệ;  r,  r lần lượt là tần

số dao động riêng và tỉ số cản của mode thứ r; [ - ma trận đường chéo có chứa các r2]

phần tử  (r = 1, 2,…, n); [2 r2   - ma trận đường chéo có chứa các phần tử 2 r r]   r r (r = 1, 2,…, n) với n là số bậc tự do của hệ; [I] - ma trận đơn vị

Từ (4) suy ra:

[ r]i   [2 r r] [ ]I là ma trận đường chéo có chứa các phần tử

2

     Do đó, từ (5) suy ra một hàm phản ứng tần số H jk (một phần tử của

ma trận [H]) có thể được viết dưới dạng:

( )

( )

jk

a H

 



với r jk( ) jr2kr

r



 là các hệ số biên độ

Phương trình (6) chính là công thức lý thuyết của hàm phản ứng tần số chuyển vị

của hệ hữu hạn BTD H jk() là một hàm số của , được mô phỏng với các tham số giả

thiết trước bao gồm: các tần số dao động riêng 1, 2,…; các tỉ số cản 1, 2,…và các

hệ số biên độ a 1(jk) , a 2(jk),…

2.2 Trình tự nhận dạng tỉ số cản nhớt

Từ đồ thị hàm phản ứng tần số FRF được mô phỏng theo (6), ứng với mỗi đỉnh cộng hưởng (tương ứng với mỗi dạng dao động riêng), tiến hành nhận dạng tỉ số cản theo trình tự sau:

- Xác định đỉnh cộng hưởng và tần số dao động riêng  r tương ứng;

- Xác định các điểm tần số tương ứng với độ rộng dải tần số nửa công suất và độ rộng dải tần số tổng quát;

- Xác định tỉ số cản theo một trong các công thức sau:

+ Công thức cơ bản:

r

b







+ Công thức của Wang [6]:





+ Công thức của Wu [9]:

2

2 1

b b

 



(9) + Công thức đề xuất [3], theo phương pháp GeB:

m

m

r





 là độ rộng dải tần số tổng quát

3 Khảo sát ảnh hưởng của các tham số tới độ chính xác của các công thức nhận dạng cản nhớt của hệ hữu hạn bậc tự do

Xét hệ kết cấu 2 BTD, hàm FRF chuyển vị được mô phỏng số theo phương trình

(6) với n = 2, 1 = 2 (Hz), 2 thay đổi tùy theo trường hợp khảo sát và các tỉ số cản được giả thiết trước Sau đó, nhận dạng tỉ số cản nhớt của hệ sử dụng phương pháp GeB với công thức đề xuất (10) và các công thức nhận dạng cản đã có (7), (8), (9) dựa trên phương pháp HPB So sánh sai số của tỉ số cản nhận dạng được với tỉ số cản giả thiết thu được một số kết quả dưới đây:

3.1 Ảnh hưởng của tỉ số tần số riêng 2/1 tới độ chính xác khi nhận dạng cản

Cho tỉ số 2/1 thay đổi, a 1(jk) = ±a 2(jk), khảo sát sai số ước lượng tỉ số cản của dạng riêng thứ nhất 1 theo công thức đề xuất và các công thức đã có Với các tỉ số cản giả thiết 1 = 2 = 0,05 và 1 = 2 = 0,1, kết quả sai số ước lượng tỉ số cản 1 lần lượt được cho trên hình 2 và hình 3

Hình 2 Sai số ước lượng cản theo tỉ số tần số  2 /  1 với  1 =  2 = 0,05

Nhận xét: Các kết quả khảo sát cho thấy, sai số ước lượng cản theo công thức đề

xuất theo phương pháp GeB luôn nhỏ hơn sai số ước lượng cản theo các công thức trước đó Tỉ số tần số riêng 2/1 càng giảm (các tần số riêng càng gần nhau), hiệu quả của công thức đề xuất càng cao Các kết quả cũng cho thấy phạm vi ước lượng của công thức đề xuất cũng rộng hơn các công thức đã có Trên hình 2a, với sai số cho phép 5%, công thức đề xuất có thể ước lượng cản khi tỉ số tần số 2/1  1,2, trong khi các công thức của Wang và Wu chỉ có thể ước lượng cản khi tỉ số tần số 2/1 > 1,5 và công thức

cơ bản chỉ có thể ước lượng cản khi tỉ số tần số 2/1 > 1,9 Các kết quả trên hình 3 cũng cho thấy, khi các hệ số biên độ trái dấu (Hình 3b), sai số ước lượng cản theo tất cả các công thức nhỏ hơn khi các hệ số biên độ cùng dấu (Hình 3a)

Hình 3 Sai số ước lượng cản theo tỉ số tần số  2 /  1 với  1 =  2 = 0,05

3.2 Ảnh hưởng của mức độ cản tới độ chính xác khi nhận dạng cản

Hình 4 Sai số ước lượng tỉ số cản  1 theo mức độ cản với giả thiết  1 =  2

Cho tỉ số tần số 2/1 = 5, các tỉ số cản 1, 2 thay đổi, khảo sát sai số ước lượng tỉ

số cản 1 theo công thức đề xuất và các công thức đã có Các kết quả được cho trên hình

4 (với giả thiết 1 = 2 thay đổi) và hình 5 (với giả thiết 2 = 0,05 và 1 thay đổi)

Hình 5 Sai số ước lượng tỉ số cản  1 theo mức độ cản với giả thiết  2 =0,05

Nhận xét: Hình 4 và hình 5 cho thấy sai số ước lượng cản theo công thức đề xuất

luôn nhỏ hơn sai số ước lượng cản theo các công thức của Wang và Wu Phạm vi ước lượng cản của công thức đề xuất cũng rộng hơn các công thức trên Hình 5b cho thấy, với sai số giới hạn 10%, các công thức ước lượng cản của Wang, Wu theo phương pháp HPB chỉ có thể nhận dạng được mức cản nhỏ hơn 0,2; trong khi đó công thức đề xuất theo phương pháp GeB có thể nhận dạng được mức cản đến 0,4

3.3 Ảnh hưởng của hệ số biên độ tới độ chính xác khi nhận dạng cản

Cho tỉ số a 2(jk) /a 1(jk) thay đổi, khảo sát sai số ước lượng tỉ số cản của 2 dạng dao động riêng theo công thức đề xuất và các công thức đã có Kết quả được cho trên hình 6 (với giả thiết 1 = 2 = 0,05; 2/1 = 2) và hình 7 (với giả thiết 1 = 2 = 0,1; 2/1 = 5)

Hình 6 Sai số ước lượng cản theo tỉ số a 2(jk) /a 1(jk) khi  1 =  2 =0,05 và  2 /  1 =2

Hình 7 Sai số ước lượng cản theo tỉ số a 2(jk) /a 1(jk) khi  1 =  2 =0,1 và  2 /  1 =5

Nhận xét: Đồ thị hình 6 và hình 7 cho thấy sai số ước lượng cản theo công thức đề

xuất luôn nhỏ hơn sai số ước lượng cản theo các công thức của Wang và Wu

Khi tỉ số biên độ a 2(jk) /a 1(jk) càng nhỏ thì độ chính xác khi nhận dạng tỉ số cản 2

càng thấp (Hình 6b) và ngược lại, độ chính xác khi nhận dạng tỉ số cản 1 càng cao (Hình 6a) vì khi đó ảnh hưởng của dạng 2 đến dạng 1 càng nhỏ

3.4 Ảnh hưởng của nhiễu tín hiệu đo tới độ chính xác khi nhận dạng cản

Số liệu đo FRF lý tưởng (6) được thêm vào các mức nhiễu khác nhau Với tỉ số tần số 2/1 = 2, các tỉ số cản 1 = 2 = 0,05, cho mức độ nhiễu thay đổi, sai số ước lượng tỉ số cản của dạng riêng thứ nhất theo các công thức được cho trên hình 8

Hình 8 Sai số ước lượng cản theo các mức độ nhiễu

Nhận xét: Đồ thị hình 8 cho thấy, với mức độ nhiễu dưới 5%, sai số ước lượng

cản theo các công thức biến đổi không nhiều và công thức đề xuất vẫn cho sai số ước lượng cản nhỏ hơn các công thức còn lại Tuy nhiên, phương pháp dải tần số tổng quát nhạy cảm hơn với mức độ nhiễu cao

4 Kết luận

So với phương pháp độ rộng dải tần số nửa công suất, phương pháp dải tần số tổng quát có thể ước lượng tỉ số cản nhớt chính xác hơn trong hệ kết cấu hữu hạn BTD Phạm vi ứng dụng của phương pháp dải tần số tổng quát cũng rộng hơn khi có thể ước lượng được mức độ cản cao hơn và ước lượng được cản khi hệ có các tần số dao động riêng gần nhau

Phương pháp dải tần số tổng quát phù hợp với số liệu đo có mức độ nhiễu thấp

Do đó, trong thực hành cần kiểm soát các yêu cầu kỹ thuật để giảm nhiễu tín hiệu trong quá trình đo dao động

Tài liệu tham khảo

1 Nguyễn Tiến Khiêm (2008) Nhập môn Chẩn đoán kỹ thuật công trình Hà Nội: Nxb

KHTN&CN

2 Ewins D J (2000) Modal Testing: Theory, Practice, and Application (2nd ed.) New York:

Research Studies

3 Vũ Đình Hương, Lê Anh Tuấn, Nguyễn Văn Trọng (2015) Phương pháp độ rộng dải tần số

tổng quát trong bài toán nhận dạng cản nhớt của kết cấu” Tạp chí Xây dựng, 3.2015, 61-63

4 Nashif A D., Jones D I., Henderson J P (1987) Vibration Damping New York: John

Wiley & Sons

5 Papagiannopoulos G A., Hatzigeorgiou G D (2011) On the use of the half-power

bandwidth method to estimate damping in building structures Soil Dynamics and

Earthquake Engineering, 31, 1075-9

6 Wang I (2011) An Analysis of Higher Order Effects in the Half Power Method for

Calculating Damping Journal of Applied Mechanics, 78(1), 014501

7 Wang J., Jin F & Zhang C (2012) Estimation error of the half-power bandwidth method in

identifying damping for multi-DOF systems Soil Dynamics and Earthquake Engineering,

39, 138-142

8 Wang J., Lü D., Jin F & Zhang C (2013) Accuracy of the half-power bandwidth method

with a third-order correction for estimating damping in multi-DOF systems Earthquake

engineering and engineering vibration, 12, 33-38

9 Wu B (2015) A correction of the half-power bandwidth method for estimating damping

Archive of Applied Mechanics, 85(2), 315-320

A COMPARISON OF THE GENERAL BANDWIDTH METHOD AND THE HALF-POWER BANDWIDTH METHOD FOR IDENTIFYING

VISCOUS DAMPING IN MULTIPLE DEGREES

OF FREEDOM SYSTEMS

Abstract: This paper uses the general bandwidth method and the half-power bandwidth

method to identify the viscous damping ratios of multiple degrees of freedom systems from the simulated data Research on influence of the parameters: Ratio of natural frequencies, amplitude coefficients, damping levels and signal noise on the damping estimation error in a two-degrees of freedom system by the two methods The results indicate and verify that the general bandwidth method is more accurate than half-power bandwidth method, especially when the natural frequencies are close and the damping level is high

Keywords: Structural vibration; viscous damping identification; frequency response

functions; half-power bandwidth method; general bandwidth method

Ngày nhận bài: 15/8/2018; Ngày nhận bản sửa lần cuối: 10/10/2018; Ngày duyệt đăng: 18/01/2019

