giải bài tập hình học 10 cơ bản

Chuong I: VEC TO’ * Vecto la doan thắng định hướng ~ Một điểm được xác định là điểm gốc điểm đâu, còn điểm kia là điểm ngọn điểm cuối — Hướng từ điểm sốc đến điểm ngọn là hướng của vec

Gidi bai tap HINHHOC 10

t=

ị

|

e Tóm tắt kiến thức sGiải bài tập SGK

®Phương a giải dễ hiểu

Chuong I: VEC TO’

* Vecto la doan thắng định hướng

~ Một điểm được xác định là điểm gốc (điểm đâu), còn điểm kia

là điểm ngọn (điểm cuối)

— Hướng từ điểm sốc đến điểm ngọn là hướng của vectơ

— Độ đài của đoạn thẳng gọi là độ dai cua vecto

*Kí hiệu: Vectơ có điểm gốc A, điểm ngọn B kí hiệu 4B

Độ đài vectơ 24B kí hiệu là |AB|

Đường thẳng AB gọi là gid cua vecto AB

* Vecto khong ki hiéu 0 là vectơ

~ Có điểm góc và điềm ngọn trùng nhau

— Có hướng bắt kì

~ Độ dài bằng 0

2 Vectơ cùng phương, cùng hướng

* Hai vectơ AB và CD được gọi là cùng phương kí hiệu:

ae ar CD ABIL CD = iá của chúng song song hoặc

A.BE,D hãng hàng ÔNG vẽ VAN (,

trùng nhau)

* Hai vectơ AB và CD được gọi là cùng hướng kí hiệu:

Tia AB,CD cùng hướng

* Hai vecto AB va CD được gọi là ngược hướng kí hiệu:

248115 AB/CD

Tia AB,CD ngược hướng

3 Vecto bang nhau, dỗi nhan

* Hai veetơ AB và CŨ được gọi là bằng nhau kí hiệu:

a) Nếu hai vectơ a.b cùng phương với vecto e thì đa và 6 cùng phương

b) Nếu hai vectơ ‘a, b cùng ngược hướng với c thi a va b cing

* Các vectơ bằng nhau: x= y

3 Cho tứ giác 4BCD Chứng minh rằng tứ giác đĩ là hình bình hành khi

và chỉ khi 4B = ĐC

Giải:

Ta cĩ: AB=DC = Bp PC’ =, ABCD li hinh bình hành

AB=DC

4 Cho lục giác đều 48CDEF cĩ tâm Ở

a) Tìm các vectơ khác '0 và cùng phương với Ộ ;

b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB

Giai:

a) Các vectơ khác 0 và cùng

phương với OA : BC, CB; FE, EF 5 2 D

b) Cac vecto bằng vecto AB : ED, OC, FO là

aes

F

§2 TONG VA HIEU CUA HAI VEC TO

A KIEN THUC CO BAN

1 Tổng của hai vecto

a Định nghĩa

Cho 2 vecto a va b Ldy mot diém A tuỳ ý, vẽ AB=a, BC =b

Vecto AC được gọi là tổng của 2 vectơ a và b Ki hi

AC = AB+ BC =a+b

b Cac quy tic

* Quy tắc 3 điểm: Với 3 đếm A, B, C bất kì ta luôn có

Nhu vay: a-b =a+(-b)

b Quy tic Cho hai vecto AB, voi moi điểm O bất kì ta có:

b) Tacó: 4B- 4ÐD= D8; C~CD= DB => AB- AD=CB-CD

Nhận xét: Các kết quả trên vẫn đúng với 4 điểm 4, B, C, D bắt kì

4 Cho tam giác 4BC Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành 481,

Vi vay: Ri+10+ PS=0+040=0

5 Cho tam giác đều 4C cạnh bằng a Tinh d6 dài của các vectơ

Giải: * 4B+ BC = AC

= Dé dai của vectơ AB+ BC là a J

* ve AD = BC , khi do: AB- BC -

Mat khac: ABA/ vuéng tai J nên BJ = AB.sinA = asin60° = ——

Vậy: BD=2BI= a3

Cho hình bình hành 48CD có tâm Ó Chứng minh rằng

Cho a,b là hai vectơ khác 0 0 Khi nào có đẳng thức

at

la +Đ| =|a| +| b| khi a,b’ cting huéng,

b) a+b|=[a= 5| khi giá của a, 5

9 Ching minh ring AB =CD khi va chi khi trung diém cua hai đoạn

thang AD va BC tring nhau

Giai:

Gọi Ó là trung điêm của 4D

Tacó: AB=CD <= AO +OB=CO +0D

@ 08=CO (vi AO=OD)

© O là trung điểm của 8C

10 Cho ba lực Ty = MA,

"cùng tác động vào một vật

tại điểm A⁄ và vật đứng yên Cho biết cường độ của F, F, đều là 100 N

va AMB = 60° Tim cường độ và hướng của lực

§3 TICH CUA VEC TO VOI MOT so

A KIEN THUC CO BAN

ft — TT ——— _\

1 Định nghĩa

* Cho số k # 0 và vectơ a#0 Tich cua vecto a số k với là một

vectơ kí hiệu ka được xác định:

— Cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với a nếu k< 0

3 Tính chất các trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác

—1 là trung điểm của đoạn thang AB > MA+MB=2MI voi moi

điểm M

~G là trọng tâm, AABC œ GÁ+GB+GC =0

< MA+MB+ MC = 3MG với mọi điểm M

4 Điều kiện để hai vectơ cùng phương, ba diém thang hang

- Gibb 40) > 3k R:a=kb

~A, B, C thẳng hang = AB =kAC,k #0

5 Phân tích một véc tơ theo hai véc to không cùng phương

* Cho hai véc to a,b khong cing phuong.Khi đó mọi véc tơ x đều

phân tích được một cách duy nhất theo hai véc to a,b 8

* Vì M là trung điểm của ĐC nên BC=2BM =2v;

* Vì K là trung điểm của C4 nên C4= ~24K =~2w;

Mat khac: BC = AC - AB=v-u

Khi đó: 4M = 4B+2BC=u+Š (ve asia

11

4 Goi AM 1a trung tuyến của tam giác 4BC và D là trung điểm của đoạn

AM Chứng minh răng:

Mat khac, do D 1a trung di¢m cua doan AM nên DM= -P4:

Khi đó: 2DA+ DB+ DC = 2DA+2DM = 2(DA+ DM) =

b) Tacó:

204+OB+ ÓC =40D = (0A- OD) + (OB - OD) + (OC - -OD)=0

= 2DA+ DB+ ĐỂ =0 (luôn đúng theo câu a)

Vay: 204+ OB + OC = 40D, voi Ola điểm tùy ý

5 Goi M va N lan lượt là trung điểm các cạnh 4B và CD của tứ giác

6 Cho hai diém phan biét 4 va B Tim diém K sao cho

3KA+2KB=0

Vay diém K trén doan thing AB sao cho KB = 5 RAs

7 Cho tam giác 4BC Tìm diém M sao cho MA+ MB + 2MC = 0,

Giai:

Goi / 1a trung điểm của 4ð: J 1a trung điểm của C7

Ta có, theo quy tắc hình bình hành: MA+ MB =2MI Khi đó:

Mã+ MB +2MC = 0 œ 2MĨ+ 2MC =Ö @ 3(MÍ + MC) =0:

Cũng theo quy tắc hình bình hanh: Mi + MC = 2M

Dođó — 2(/Ì+AfC)=Ú @ 4M <0 © MỞ =0 @ Af=J,

Vay M la trung điểm của Cứ

8 Cho luc gide ABCDEF Goi MN, P.O RS lan lượt là trung điểm cua

các cạnh 4B, 8C, CD, DE, EF, F.1 Chứng minh rang hai tam giac MPR va NOS co cing trong tam

Giải:

Sử dụng kết qua: G 1a trong tâm cua Â⁄1C GA+GB+GC =0 (Ap

dung trang 11 — SGK)

Goi G la trong tam cla AMPR, ta can chimg minh G 1a trọng tâm của

ANOS, tire 1a:

= (MB + BN) + (PD + DO) + (RF + FS)

= (MB + DO) + (PD+ FS) + (RF + BN)

=0+0+0=0

(vì MB =-DO;PD = _FS;RF =-BN)

Vậy G cũng là trọng tâm của ANOS

9 Cho tam giác đều 4BC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác Gọi D, E, Ƒ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ A/ đên

BC,

AC, AB Chứng minh rằng: MD + ME + MF= > MO h

Giải:

Tir Mké SP//BC; HRIICA va KOIIAB Ta có:

+ AMKH đều: MD là đường trung tuyến = 2MD = MK + MH

+ AMPQ đều: ME là đường trung tuyến = 2ME = MP+ MÔ

+AMRS đều: MF là đường trung tuyến => 2ME = MR+ MS

~ Các véc tơ ¡ 7 là các véc tơ đơn vị trén Ox, Oy va lÍ= i =1

—Hé truc toa d6 (0; i, j ) còn được kí hiệu Oxy

* Toạ độ của một điểm và của vectơ

-M&;y) œOM =xi +yj

a= (ai;a›) ©® a=aji + aj

2 Biéu thivc toạ độ của các phép toán vectơ

* Cho a(ai; a2) và b (bị; b2)

a+b = (a; + bi; az + by) a~b = (a; —b); a2 —b2)

ka = (kay; kaz); a // b @aiba —aabị = 0

3 Toa độ trung điểm của đoạn thẳng và toạ độ trọng tâm của tam

giác

sey Cho hai diém phan biét A(xa; ya) va B(xp; yp) Goi Meco: ya) la

diém chia doan thang AB theo ti so k (k #1) Ta có:

15

~ Cho tam giác ABC, A(x4: Y.U, B(xp; y8), CC? Yo) Gọi G(ơ; yo) là

trọng tâm của tam giác, ta có:

B- BÀI TẬP

1 Trên trục (Ó; e ) cho các diém A, B, M N c6 tọa độ lần lượt là —1, 2

a) Hãy vẽ trục và biêu diễn các điểm đã cho trên trục;

uy ra hai vectơ AB và

33-2,

b) Tính độ dài đại số của AB va MN Tu dos

AMN ngược hướng

Từ đó: hai vectơ 4B và MA ngược hướng

2 Trong mặt phăng tọa độ các mệnh dé sau ding hay sai?

a) a= (-3; 0) va i = (1; 0) là hai vectơ ngược hướng:

b) a= (3; 4) va bh =(-3; -4) la hai vecto đối nhau:

c) a=(5:3) và bh = (3; 5) lahai vecto đối nhau:

d) Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ Khi chúng có hoành độ băng nhau và tung độ băng nhau

4 Trong mặt phẳng Oxy Các khẳng định sau đúng hay sai 2

a) Tọa độ điểm A 1a toa độ của vecto OA;

b) Điểm 4 nằm trên trục hồnh thì cĩ tung độ bằng 0;

c) Diém A nằm trên trục tung thì cĩ hồnh độ bằng 0;

đ) Hồnh độ và tung độ của điểm 4 bằng nhau khi và chỉ khi 4 nằm trên

đường phân giác của gĩc phân tư thứ nhật

Giải:

a) Đúng: theo định nghĩa tọa độ của một điểm;

b) Đúng: vì nêu 4 nằm trên trục hồnh và cĩ hồnh độ là a thi

Ø.= ạ+ 07 => OA =(a;0)=> A=(a;0);

c) Dung: vi nếu 4 nam trên trục tung và cĩ tung độ là 4 thi

Ộ = 0+bj => O4=(0;b)= A4=(0:b):

đ) Đúng: vì phương trình của đường phân giác gĩc phần tư thứ nhất là y = x

5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(xọ: J0)

a) Tìm tọa độ của điểm 44 đối xứng với A/ qua trục ĨX;

b) Tìm tọa độ của điểm Ø đối xtmg voi M qua truc Oy:

c) Tim tọa độ của diễm C đối xứng với A/ qua gốc @

Giải:

Xem hình bên:

17:

a) Tọa độ của điểm A déi ximg voi M qua

7 Các điểm 4'(-4; 1), 8; 4) và C: -2) lần lượt là trung điểm các

cạnh 8C, C4 và 4B của tam giác ABC Tính tọa độ các đỉnh của tam giác

ABC Chứng minh rằng trọng tâm của các tam giác 418C và 4` °C” trùng, nhau

* Tọa độ trọng tâm G của tam giác 48C là:

;„c ARO — 0; yạ:= 1+4+(C2 _1.C:

= 60:1) 8 ⁄ 2

Vay G tring voi G’

8 Cho a= (2;-2),b = (1:4) Hay phan tich vecto c= (5;0) theo hai vecto

ÔN TẬP CHƯƠNG I

1 CÂU HOI VA BAI TAP

Bài 1 Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O

Hãy chỉ ra các véc tơ bằng 4 có điểm đầu

và điểm cuối là O hoặc các đỉnh của lục giác

Giải:

Ta có: ABCDEF ,tâm O nên các tam

giác: A AOB, A BỌC,

ACOD, ADOE, AEOF, AFOA là những

tam giác đều và băng nhau

Suy ra: AB = FO = OC = ED va AB// FO /OC /ED

Nén 4B = FO = OC = ED

Bai 2 Cho hai vecto đ và Ð đều khác vectơ ø Các kháng định sau đây

đúng hay sai 2

a) Hai vectơ ä và b cùng hướng thì cùng phương :

b) Hai vectơ 5 và kb cùng phương ;

c) Hai vecto a va(-2) a cùng hướng ;

đ) Hai vectơ avab ngược hướng với vectơ thứ ba khác vectơ o thi

cing phuong

Giai:

a) Tacd: a11b=a 5 là một khẳng định đúng

b) Ta có: b và kb cùng hướng khi k > 0 và ngược hướng khi k< 0

Từ đó khẳng định hai vectơ b và kỗ cùng phương là đúng

e) Khang dinh hai vecto a va (- 2) a cing huong Ia sai

d) Tacssatle vab the salle vablic =a // b là khăng

Mặt khác: |4B|=|[BC| = AB.= BC Vậy, tứ giác ABCD 18 hinh thoi

Bài 4 Chứng minh rằng a+ ils lal Bị

Giải:

* Trường hợp L: khi a 0B thì a =k b (vớike R) và lq =Ixll?

+ñ|=|E.+#2|=II+#|i|= (L+|)|ð|=>|t +) <

* Trường hợp 2: khi a va b không cùng phương

Tadat: OA = a va AB = b thì ba điểm O., A, B không

thăng hàng

Trong tam giac OAB ta co: OB < OA + AB

Ma OB = |oB|= |04+ 4B =|a+5| và OA = |0i= | A

Vậy từ hai trường hợp trên ta có: la + ñ|< lal [ol

Bài 5 Cho tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O Hãy xác

định các điểm M ,N, P sao cho

Giải:

GọiI,J,K lần lượt trung điểm của các cạnh AB,

BC và AC của giác đều ABC

ỐN =207= 4Ø nên N đối xứng với A qua tim O

OP =20K = BO nén P doi xing voi B qua tâm O

21

Bài 6 Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a Tính :

Giải:

Gọi H là trung điểm cạnh BC thì AH là đường cao

của tam giác ABC (A ABC đều) nên AH = ae B H

Khi đó AB+ AC =24H = |4B+4C|= sp = aj3

Bài 8 Cho tam giác OAB Gọi MvàN lần lượt là trung điểm của OA và

OB Tìm các số m, n sao cho :

a) Tacó OW=2 O4 (M là trung điểm của OA)

Từ OM = mOA+nOB > mOd+ nOB = = 04

b) Taco: AN= 2(Aö +48) - (đo N là trung điểm của OB)

n-1=0 =]

Bài 9 Chứng minh rằng nếu G va G lan lugt là trọng tâm của các tam giác

ABC và ABC thì : 3GG = AA +BB +CC

Giải:

Ta có: G là trọng tâm tam giác ABC nên: GA+GB+GC =0

G (htnpng tam tam gide A'B'C'nén: GA +GB +GC =o

4A =GA -GA= GG+GA-GA’

Bài 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Hai vectơ đối nhau thì chúng có hoành độ đối nhau:

b) Vectơ a#0 cùng phương với vectơ ï nếu ø có hoành độ bằng 0;

c) Vectơ- ¿ có hoành độ bằng 0 thị cùng phương với vecto fi:

Giai:

a) Trong mat phẳng tọa độ Oxy cho vectơ ae (ai: 8a) và vector dối của vectơ œ là vectơ b=-a=b= (-ai ; —a›) Vậy khăng dịnh hai vectơ đối

nhau thì chúng có hoành dộ đối nhau là đúng

b) Irong mặt phẳng tọa độ Oxy vectơ i = (1; QQvecto do cùng

phương Với vectơ ¡ khi œ=kỉ với k e R Suy ra: a=(k:0) với k #0 Vậy kháng định vectơ a # ø cùng phương với vectơ í nếu œ có hoảnh độ

bang 0 la sai

24

c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy yectơ 7 =(0;1); Vectơ 4 cùng phương với vectơ 7 khi a=kj với k e R Suy ra: a=(0;k) vớikeR; Vậy

khẳng định vectơ a_ có hoành độ bằng 0 thì cùng phương với vectơ jia

Bài 11 Cho a =(2:1), 5 =(3;-4) va c =(-7:2)

a) Tìm toạ độ của vectơ u =3a+2b -4¢ ỹ

b) Tìm toạ độ của vectơ x saocho x+a=b-c :

c) Tim cdc sb k vah sao cho ¢ =ka +hb

Giai:

a) Taco: 3a =(6;3); 2b =(6;-8)va—4e =(28; -8)

u =3a +26 -4¢ =(40;-13) b) Tacx t+a=b-¢c x @ x =-a+b-c =(8:-7)

Bai 13 Trong các khẳng định sau khẳng định nào là đúng?

a) Điểm A nằm trên trục hoành thì có hoành độ bằng 0;

_ bP là trung điểm của đoạn thắng AB khi và chỉ khi hoành độ của P băng trung bình cộng các hoành độ của A và B;

25

c) Néu tứ giác ABCD là hình bình hành thì trung bình cộng các toạ độ

tương ứng của A và C băng trung bình cộng các toạ độ tương ứng của Bvà

D

Giải:

a) Ta biết một điểm nằm trên trục hoành (Ox) có tọa độ (x ; 0) với x eR

Do vậy, điểm A năm trên trục hoành thì có hoành độ bằng 0 là khang định sai

b) Ta biết : Điểm A (xA;yA) và B (xB 3 YB) 5 P là trung điểm của đoạn

đoạn thẳng AB khi và chỉ khi hoành độ của P bằng trung bình cộng các

hoành độ của A và B là khẳng định sai

c) Ta biết : tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi hai đường chéo

AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường Từ đó tứ giác ABCD là

hình bình hành thì trung bình cộng các toạ độ tương ứng của A va C bằng trung bình cộng các toạ độ tương ứng của B và D là khẳng định đúng

.I CÂU HỒI TRÁC NGHIỆM

1 Cho tứ giác ABCD Số các vectơ khác ø có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của tứ giác băng:

2 Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O Số các véc tơ khác 0 cling

phương với ÓC có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác bằng:

5 Cho ba điểm phân biệt A., B,C Đẳng thức nào sau đây là đúng?

(A) CA-BA= BC; (B) AB+AC=BC ;

7 Cho tam giác ABC có G Ia trong tam, I là trung điểm của đoạn thắng BC

Đăng thức nào sau đây là đúng ?

1—

(A) GA=2GI ; (B) 16=-;H ;

(C) GB+GC =2GI; (D) GB+GC=GA

8 Cho hinh binh hanh ABCD Ding thtrc nào sau đây là đúng?

(A) AC+BD =2BC; (B) AC+BC=AB;

(C) AC-BD=2CD ; (D) AC-AD=CD

9 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành OABC, C nằm trên

Ox Khang dinh nao sau day 1a dung ?

(A) 4 có tung độ khác 0; (B) A và B có tung độ khác nhau;

(C)C có hoành độ bằng 0; (D) xq + Xc — Xp=0

-10.Cho #=(3;~2) , v = (1; 6) Khẳng định nào sau đây là đúng ?

(A) + v va a=(—4; 4) ngược hướng ;

(B) Điểm GÓ ; 5) là trọng tâm của tam giác BCD;

(C) AB=CD;

(D) AC, AD cing phuong

13 Trong mat phang Oxy cho bến điểm A(-5 ;-2), B55 3) C(3 5 3)

(A) 2a+5 va a+2b;

AC Cac cap vecto nado sau

(B) a@-2b va 2a-5;

(C) 52+ và -104~2ð : (D) a+b va a—b

nh vuông ABCD có gốc O là tâm của hình

15 Trong mặt phẳng Oxy cho hì r

ác trục tọa độ Khăng định nào

vuông và các cạnh của nó song song VỚI €

sau đây là đúng ? 2

(A) |04+Ø8|= AB: (B) Ø4- OB và DC cùng hướng;

(C) xạ =—Xc VÀ YA = ŸC › (D) xe =—Xc Về YC Z —YB‹

16 Cho M@ ;~ 4) Kẻ MMI vuông góc với Öx , MM; vuông góc với Ôy.-

Khẳng định nào sau đây là đúng ?

(A) OM, =-3;

(B) OM) =4 :

(C) OM,—OM; có tọa độ (3 ; =4):

(D) OM, + OM} 6 toa do (3; - 4)

17 Trong mat phẳng Oxy cho AC ; ~3), B(4 ; 7) Tọa độ trung điểm I của đoạn thăng AB là

(A) (634)3 (B) (2; 10);

(C)G32)5 (D) (8 ;- 21)

18 Trong mặt phẳng Oxy cho A(5 ; 2) B(10 ; 8) Tọa độ của vecto 4B là

(A)(5:10): (B) 2; 4);

19 Cho tam giác ABC có B(9: 7) C(11 ;— 1), M vàN lần lượt là trung

điểm của AB và AC Tọa độ của vectơ A#N là:

(C) 0:6); (D) 6 ; 3)

20 Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A@ ; -2), B(7: 1), C(0 ; 1)

D(- 8; — 5) Khẳng định nào sau đây là đúng ?

(A) AB và CD đối nhau :

(B) AB va CD cùng phương nhưng ngược hướng ;

(C) AB và CD cùng phương và cùng hướng ;

(D) A,B,C ,D thang hang

21 Cho ba điểm A (— 1; 5), B(5 ; 5), C(= 1; 11) Khang dinh nào sau day

la dung ?

(Að)A.B,C thẳng hằng : (B) AB và AC cùng phương ;

(C) AB va AC không cùng phương; (D) AB va BC cùng phương

22 Cho a =(;—4), ð =(—1:2) Tọa độ của vectơ ø + b la

26 Cho ba điểm A (1; 1), B(-2 ; -2), C(7 : 7) Khăng định nào đúng 2

(A) G2; 2) là trọng tâm của tam giác ABC:

29

(B) Diém B ở giữa hai điểm A và C ;

(C) Điểm A ở giữa hai điểm B và C ;

(D) Hai vecto 4B và ÁC cùng hướng

27 Cho các điểm M (2 : 3) ,N(0 ; =4), PC- 1 ; 6) lần lượt là trung điểm của

các cạnh BC , CA, AB Tọa độ đỉnh A của tam giác là :

29 Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng ?

(A) Hai vectơ a=(C-5:0), 5 =(—4; 0) cùng hướng ;

(B) Vectơ c =(7; 3) la vecto đối của d =(-733);

(C) Hai vecto u= (4; 2) va v= (8 ; 3) cùng phương ;

(D) Hai vecto a = (633), b=(;1)ngược hướng

- 30 Trong hệ trục (O ; i,j) „ tọa độ của vectơ i+j la:

(A) 03 D; (B)\C1; 1): (C)(1;0); Ø)Œ;1)

2 Các vectơ khác o có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác đều

Vậy số các vectơ cùng phương với OG las A - B

3 Các vectơ khác ø có điểm đầu và điểm cuối là đỉnh của lục giác đều

bing OC 1a: FO , AB, ED Nay sé cac vecto là 3

Taco: CA-BA=CA+ AB=CB #BC

AB + AC = BC & AB = BC - AC = BC +CA=BA => A=B (Tri

31

6 Điều kiện cần và đủ để Ilà trung điểm A 1 B

của đoạn thăng AB là : 14=-1

7 Llà trung điểm BC và G là trọng tâm tam giác ABC A

Gọi E đối xứng với G qua Ï

9 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hình bình hành OABC

có C nằm trên Ox nên điểm C (xc ;0) và AB = oC,

32

11 G là trọng tâm của tam giác ABC nên

và 4D=(8;0) nên 4B.45= 0= 48 L 4D.Vây ABCD là hình chữ nhật

14 Ta có: —2(52 + )=~10 4<2ð Suy ra: 5đ + 5 và —10 a~—2ð là hai vectơ cùng phương

15 Ta có ABCD là hình vuông tâm O nên OA = OB

17 Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là :

18 Tọa độ của vectơ AB = (Xp—X„;yg — y4) = 6;6)

19 M là trung điểm của AB và N là trung điểm của AC nên

mmŒT†1

MN=2 BC =(;~4)

20 Taco AB =(4;3), CD =(-8;-6) = CD =~2A4B Vay AB và

CD cùng phương nhưng ngược hướng

26 Tacé: AB=(-3;-3), AC=(6; 6) va BC =(9;9)

AC=-2 AB=> AB // AC >A,B,C thang hang

Mat khde: AB = [4B|=3V2 , AC=|4C|=6y2 va BC = |BC|=9V2

BA +AC =32 + 6/2 = 9/2 =BC

Vay diém A năm giữa hai điêm B và C

27 Trung tuyến AM cắt PN tại I thi I là trung điểm

của PN nên I (-3 ; 1) và I cũng là trung điểm của AMA,

Suy ra: A đối xứng với M qua I nên ; Pp

Yc =3Yo-(Vat Ye) Yo=-7

29 Tacó: a=(-5;0), b=(4;0) >4 =šP >a tts

30 Tacó: 7=(1;0), f=(031) Si +7 =)

AE

A KIEN THUC CO BAN

1 Dinh nghia: Voi méi géc a (0° < a S$ 180°) ta xác định một điêm M

trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM =qœ.Giả sử điểm M có tọa độ

sina = sin(180° —a) cosa = ~cos(180° —a)

tana = —tan(180° -—a) cota = —cot(180° —a@)

3 Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt:

4 Géc gitta 2 vecto

Cho 2 vecto a#0; b#0 Lay một điểm O tu) ý

Vẽ Ộ =ä:ÐB =B ` 3&0

Gĩc AOB cĩ số đo từ 0° đến 180° được gọi là gĩc giữa < A

Néu (a,b) = 90° thi ta noi hai vectơ a,b

vuơng gĩc với nhau và ký hiệu a.L hoặc bLa

B BÀI TẬP

1 Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta cĩ:

a) sinA = sin(B +C); b) cosA = —cos(B +C)

Giai:

Tacé: A+B +C = 180° > B +C = 180°-A

a) sin(B +C) = sin(180° — A) = sinA;

b) cos(B +C) = cos(180° — A) = -cosA = cosA = —cos(B +C)

2 Cho AOB là tam giác cân tại O cĩ OA = a và cĩ các đường cao OH và

AK Giả sử AOH = œ Tính AK và OK theo a và a

Vì AAOB cân tại O, AH là đường cao và AOH = œ

nên AOB= 2AOH=2œ

Xét AAKO vuơng tại K, ta cĩ:

* cos AOK = ~ => OK = OA.cos AOK = a.cos2a

Chimg minh rang:

a) sin105° = sin75°; b) cos170° = —cos10°;

c) cos122° = —cos58° :

Giải:

sin105° = sin(180° —75°) = sin75°;

cos! 70° = cos(180° —10°) = -cos10°;

cos122° = cos(180°—58°) = =cos58°

Nhân xét: Để tính các giá trị lượng giác của góc a: 90° < œ< 180) ta có thê sử dụng các tinh chất của các tỉ số lượng giác dé dua về tính các giá trị lượng giác của góc 180° — œ

4 Chứng minh rằng với mọi góc ơ (0° < œ < 180°)

Sử dụng định nghĩa của sin và cosin, ta có:

Sina = yo > sin’a = ors

COSGL = Xo => COS"O = X75

Tur dé: sin’a +cos2œ = Yor +XQ2 =OM?=1

Chú ý: Bạn đọc cân ghi nhớ kết quả này

Vay P = 3sinˆx +cos”x = 322] Sa

Cho hình vuông ABCD Tính:

cos(AC;BA); cos(AC; BD); cos(AB;CD)

Giai:

cos(AC; BA) i

Dựng AB'= BA, khi đó:

(AC;BA) =(AC,AB') = CAB'=45° +90° =135°

=> cos(AC;BA)= cos135°= cos(180° —45°)

§2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

A KIEN THUC CO BAN

1 Tích vô hướng của hai vectơ

a Định nghĩa

Tích vô hướng của hai vect0 a và b là một số, ký hiệu a.b và được

xác định như sdu: a.b = lal[b|cos (a,b)

Nhận xét Với a ta có: a0 =Ủa =0

* Nếu a=b,khi đó a.a ký hiệu ä gọi là bình phương vô hướng của

vecto a

*Tacéa¢0,b40: albeab=0

b Tinh chất của tích vô hướng

Với mọi vectơ a,b,c và số k ta có:

# ab=ba

+ a(b+e)=ab+ac

+ (ka)B=k(ak)=a(kb)

+ a >0; a =0©œa=0

2 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng và ứng dụng: Trên mặt phẳng tọa

d6 (O; i,j), cho hai vecto: a= (a,38), b= (b,;b,) Khi đó:

*ab=ab, at

[ile Jatea?

B BÀI TẬP B

1 Cho tam giác vuông cân ABC có

AB = AC =a Tính các tích vô hướng:

AB.AC; ACCB;

* AB.AC =|AB|.| AC |.cos(AB;AC) = a.4.cos 90°= 0;

(Ta cũng có thể nhận xét rằng AB L AC = AB.AC =0)`

* ACCB -| AC |.| CB|.cos(AC;CB), trong đó:| AC |= a ;

CB? = AB? +AC? = ä? +a2 = 2a? = |CB|= a2;

Dựng AB'=CB

v2

cos(AC;CB) =cosB'AC =cos135° = as s

Vay AC.CB = a{—2]

2 Cho bs diém O, A, B thẳng hàng và biết OA = a, OB = b Tính tích vô

hướng OA.OB trong hai trường hợp:

a) Diém O nam ngoai đoạn AB;

b) Diém O nằm trong đoạn AB

Giải:

Ta có: OA.OB =| OA |.| OB | cos(OA; OB) = abcos(OA; OB) ;

a) KhiO nằm ngoài đoạn AB thì: NT ee

(OA;OB)=0°> cos(OA;OB)=1;

Vậy OA.OB =ab 4 —————-3-

A ö B

b)_ Khi O nằm ngoài đoạn AB thì:

(OA; OB) =180°> cos(OA;OB) =¬l;

Vậy OA.OB=-ab

3 Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tại I

a) Chứng minh ALAB = ALAM va Bi.BA = BIBN;

b) Hay dung kết quả câu a) dé tinh ALAM + BLBN theo R

41